专题3：数列

卜人入州八九几市潮王学校2021届高考数学二轮复习专题三数列与不等式【重点知识回忆】1．数列在高考中，一般设计一个客观题和一个解答题，主要考察数列和不等式局部的根本知识，对根本运算才能要求较高，解答题常常综合考察函数、方程、不等式等知识．难度较大，尤其是数列、函数和不等式的综合考题，又参加了逻辑推理才能的考察，成为了近几年数列考题的新热点．2．数列与不等式局部的重点为：等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和；不等式的性质、解法和两个重要不等式的应用；该局部重点考察运算才能和逻辑推理才能，考察函数与方程思想、化归于转化思想及分类讨论思想． 【典型例题】1．等差数列与等比数列的综合 比较高． 例1．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，那么{}n a 的前n 项和n S =〔〕A ．2744n n +B ．2533n n +C ．2324n n +D ．2n n +答案：A解析：设数列{}n a 的公差为d ，那么根据题意得(22)22(25)d d +=⋅+，解得12d =或者0d =〔舍去〕，所以数列{}n a 的前n 项和2(1)1722244n n n n nS n -=+⨯=+．例2．等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，且41a ，22a ，3a 成等差数列．假设1a =1，那么4s =〔〕〔A 〕7〔B 〕8〔3〕15〔4〕16 解析：41a ，22a ，3a 成等差数列，13244a a a ∴+=，即211144a a q a q +=，2440q q ∴-+=，42,15q S ∴==，因此选C ．点评：该类题目综合考察了等差数列和等比数列的概念、通项公式和等比数列的求和公式等，根底性较强，综合程度较小，要求具有较纯熟的运算才能．2．函数与不等式综合不等式与函数有着亲密的联络，其中线性规划求目的函数的最值是近几年高考的热点问题之一，经常以选择题或者填空题出现．有不少关于最值方面的问题，通常用二次函数的配方法求最值或者用均值不等式求最值，考题经常以与不等式有关的实际应用问题出现．在应用不等式解决实际问题时，要注意以下四点：①理解题意，设变量．设变量时一般把要求最值的变量定为自变量； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题； ③在定义域内，求出函数的最值； ④正确写出答案．例３．设x ，y满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，假设目的函数z=ax+by 〔a>0，b>0〕的值是最大值为12，那么23a b +的最小值为〔〕 A ．625B ．38C ．311D ．4答案：A解析：不等式表示的平面区域如下列图阴影局部,当直线ax+by=z 〔a>0，b>0〕过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点〔4,6〕时，目的函数z=ax+by 〔a>0，b>0〕获得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6,而23a b +=2323()6a b a b++13()6b a a b =++1325266≥+=，应选A ． 点评：此题综合地考察了线性规划问题和由根本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且可以求得目的函数的最值，对于形如2a+3b=6，求23a b+的 最小值常用乘积进而用根本不等式解答．例4．本公司方案2021年在甲、乙两个电视台做总时间是不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费HY 分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0．3万元和0．2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间是，才能使公司的收益最大，最大收益是万元．答案：70解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间是分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得3005002009000000.x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，≥ 目的函数为30002000zx y =+．二元一次不等式组等价于3005290000.x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，≥作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域． 如图：作直线:300020000l x y+=，即320x y +=．平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目的函数获得最大值．联立30052900.x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得100200x y ==，．∴点M 的坐标为(100200)，． max 30002000700000z x y ∴=+=〔元〕．点评：此题是线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，找出线性约l束条件，写出所研究的目的函数，通过数形结合解答问题．用线性规划的方法解决实际问题能进步学生分析问题、解决问题的才能，随着课改的深化，这类试题应该是高考的热点题型之一．例5．设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--．(1)假设(0)1f ≥，求a 的取值范围；(2)求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集． 解析：〔1〕假设(0)1f ≥，那么2||111a a a a a <⎧-≥⇒⇒≤-⎨≥⎩； 〔2〕当x a ≥时，22()32,f x x ax a =-+22min(),02,0()2(),0,033f a a a a f x a a f a a ⎧≥≥⎧⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩， 当x a ≤时，22()2,f x x ax a =+-2min2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a ⎧-≥-≥⎧⎪==⎨⎨<<⎪⎩⎩，综上22min2,0()2,03a a f x a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩；〔3〕(,)x a ∈+∞时，()1h x ≥得223210x ax a -+-≥，当a a ≤≥时，0,(,)x a ∆≤∈+∞；当a <<>0，得：(0x x x a⎧⎪≥⎨⎪>⎩；讨论得：当,22a ∈时，解集为(,)a +∞；当(2a ∈-时，解集为()a ⋃+∞；当[22a ∈-时，解集为)+∞．点评：本小题主要考察函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等根底知识，考察灵敏运用数形结合、分类讨论的思想方法进展探究、分析与解决问题的综合才能．3．函数与数列的综合高考试题中经常将函数与数列综合在一起，设计综合性较强的解答题，考察数列的概念、性质、通项及求和公式等主干知识和分析问题、解决问题的逻辑推理才能．例6．知函数321()23f x x x =+-．〔Ⅰ〕设}{na 是正数组成的数列，前n 项和为nS，其中13a =．假设点211(,2)n n n a a a ++-(n ∈N*)在函数'()y f x =的图象上，求证：点(,)n n S 也在'()y f x =的图象上；〔Ⅱ〕求函数()f x 在区间(1,)a a -内的极值．解析：(Ⅰ)证明：因为321()2,3f x x x =+-所以'2()2f x x x =+，由点211(,2)(N)n n n a a a n +++-∈在函数'()y f x =的图象上,221122n n n n a a a a ++-=+111()()2()n n n n n n a a a a a a ++++-=+，又0(N )n a n +>∈，所以12n na a +-=，}{n a 是13,2a d ==的等差数列，所以2(1)32=22nn n S n n n -=+⨯+,又因为'2()2f n n n =+,所以()n S f n '=, 故点(,)n n S 也在函数'()y f x =的图象上．(Ⅱ)解:2()2(2)f x x x x x '=+=+,令()0,f x '=得02x x ==-或．当x 变化时,()f x '﹑()f x 的变化情况如下表:注意到(1)12a a --=<,从而①当212,21,()(2)3a a a f x f -<-<-<<--=-即时的极大值为,此时()f x 无极小值；②当10,01,()a a a f x -<<<<即时的极小值为(0)2f =-,此时()f x 无极大值； ③当2101,()a a a f x ≤--≤≤≥或或时既无极大值又无极小值．点评：本小题主要考察函数极值、等差数列等根本知识，考察分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考察分析问题和解决问题的才能．4．数列与不等式、简易逻辑等的综合数列是培养推理论证才能的极好载体，将数列的知识与推理证明的方法交织在一起进展考察，是新课程高考中的一个亮点，常常荣归纳、猜想、数学归纳法、分类讨论、等价转化等数学思想和方法于一体，对才能的要求较高．例7．设0,0.a b >>是3a 与3b 的等比中项，那么11a b+的最小值为〔〕 A ．8B ．4C ．1D ．14答案：B 解析：因为333=⋅b a，所以1=+b a ，11a b +11()()a b a b =++2b a a b=++24≥+=，当且仅当ba ab =即21==b a时“=〞成立，应选择B ． 点评：本小题考察指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考察了变通才能． 例8．设数列{}n a 满足3*010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数．〔Ⅰ〕证明：[0,1]n a ∈对任意*n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；〔Ⅱ〕设103c<<，证明：1*1(3),n n a c n N -≥-∈； 〔Ⅲ〕设103c <<，证明：222*1221,13n a a a n n N c++>+-∈-． 解析：(1)必要性：120,1a a c ==-∵∴，又2[0,1],011a c ∈≤-≤∵∴，即[0,1]c ∈．充分性：设[0,1]c ∈，对*n N ∈用数学归纳法证明[0,1]na ∈，当1n=时，10[0,1]a =∈．假设[0,1](1)k a k ∈≥，那么31111k k a ca c c c +=+-≤+-=，且31110k k a ca c c +=+-≥-=≥，1[0,1]k a +∈∴，由数学归纳法知[0,1]n a ∈对所有*n N ∈成立．(2)设103c <<，当1n =时，10a =，结论成立． 当2n ≥时，3211111,1(1)(1)n n n n n n a ca c a c a a a ----=+--=-++∵∴，103C <<∵,由〔1〕知1[0,1]n a -∈，所以21113n n a a --++≤且110n a --≥，113(1)n n a c a --≤-∴，21112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c -----≤-≤-≤≤-=∴，1*1(3)()n n a c n N -≥-∈∴．(3)设103c<<，当1n =时，2120213a c=>--，结论成立，当2n ≥时，由〔2〕知11(3)0n n a c -≥->，21212(1)1(1(3))12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ----≥-=-+>-∴，222222112212[3(3)(3)]n n n a a a a a n c c c -+++=++>--+++∴2(1(3))2111313n c n n c c-=+->+---． 点评：该题综合考察了等比数列的求和、不等式的性质的应用、充分必要条件和数学归纳法等，具有较高的难度，对逻辑推理才能的考察要求较高．５．数列与概率的综合例9．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列一共有个，其中为等差数列有三类：〔1〕公差为0的有6个；〔2〕公差为1或者-1的有8个；〔3〕公差为2或者-2的有4个，一共有18个，成等差数列的概率为，选B ．点评：此题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复． 【模拟演练】1．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．假设4a 是37a a 与的等比中项,832S =,那么10S 等于()A ．18B ．24C ．60D ．902．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别用S n 和T n 表示，假设534+=n nT S n n ，那么n na b 的值是()A4231n n -+B 8362n n -+C 6382n n -+D 6283n n -+ 3．函数()⎩⎨⎧≥-<+-=0101x x x x x f ，那么不等式()()111≤+++x f x x 的解集是〔〕A ．{}121|-≤≤-x xB ．{}1|≤x xC ．{}12|-≤x xD ．{}1212|-≤≤--x x4．x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，那么的最小值是________．高5．设数列{}n a 的前n 项和为nS，点*,()n S n n N n⎛⎫∈ ⎪⎝⎭均在函数32y x =-的图象上． 那么数列{}n a 的通项公式为．6．:p 实数x满足22430x ax a -+<，其中0a <:q 实数x满足260x x --≤或者2280x x +->，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求a 的取值范围．7．二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为〔1,3〕．〔l 〕假设方程()60f x a +=有两个相等的根，求()f x 的解析式；〔2〕假设()f x 的最大值为正数，求a 的取值范围．8．围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙〔利用旧墙需维修〕，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如下列图，旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)． 〔Ⅰ〕将y 表示为x 的函数：〔Ⅱ〕试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【参考答案】 1．答案：C 解析：由2437a a a =得2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++得1230a d +=,再由81568322S a d =+=得:1278a d +=那么12,3d a ==-,所以1019010602S a d =+=,应选C ．2．答案：A 解析：∵12121(21)(21)2n n n a a S n n a --+=-=-；21(21)n n T n b -=-． ∴2121n n n n a S b T --=4(21)3(21)5n n -=-+84426231n n n n --==++． 3．答案：C解析：依题意得10(1)(1)x x x x +<⎧⎨++-≤⎩或者10(1)1x x x x +⎧⎨++≥≤⎩所以1x R x ∈<-⎧⎨⎩或者111x x ≥-≤≤⎧⎪⎨⎪⎩解得：1111x x x ≤≤-⇒<≤-或，应选C ．4．答案：4 解析：∵＝≥＝4． 5．答案：65()na n n N *=-∈解析：由题意得，32,nS n n=-即232n S n n =-． 当n ≥2时，()221(32)312(1)65n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦;当n=1时，113a S =-×21-2×1-1-6×1-5．所以65()na n n N *=-∈．6．解析：设{}22|430(0)A x x ax a a =-+<<{}|3x a x a =<<，{}{}|23|42x x x x x =-≤≤⋃<->或={}|42x x x <-≥-或因为p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，所以q ⌝⇒p ⌝，且p ⌝推不出q ⌝而{}|42R C B x x =-≤<-，{}|3,R C A x x a x a =≤≥或所以{}{}|42|3x x x x a x a -≤<-≤≥或，那么320a a ≥-⎧⎨<⎩或者40a a ≤-⎧⎨<⎩即203a -≤<或者4a ≤-． 7．解析：〔1〕因为()20f x x +>的解集为〔1，3〕，所以()2(1)(3)f x x a x x +=--且0a <． 因此2()(1)(3)2(24)3f x a x x x ax a x a =---=-++〔1〕由方程()60f x a +=得：2(24)90ax a x a -++=〔2〕因为方程〔2〕有两个相等的根．所以2[(24)]490a a a ∆=-+-⋅=，即25410a a --=．解得：1a =〔舍去〕或者15a =-， 将15a=-代入〔1〕得()f x 的解析式为：2163()555f x x x =---， 〔2〕2()2(12)3f x ax a x a =-++221241()a a a a x a a+++=--，有a<0，可得()f x 的最大值为241a a a++-， 所以241a a a++->0，且a<0．解得：220aa <--<<，故当()f x 的最大值为正数时，实数a 的取值范围是(,2(23,0)-∞--+．8．解析：〔1〕如图，设矩形的另一边长为am ，那么2y -45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360，由xa=360,得a=x360，所以y=225x+2360360(0)x x ->． (II)108003602252360225,022=⨯≥+∴xx x 104403603602252≥-+=∴x x y ．当且仅当225x=x 2360时，等号成立．即当x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．。

模块三：等比数列理论一：等比数列定义从第二项起，后一项与前一项的比值相等，相等的比值为公比，用q 来表示，这个数列为等比数列。

等比数列定义：q a a n n=-1。

理论二：等比数列通项公式q a a n n=-1； 左相乘等于右相乘q a a n n =--21； 左相乘得到：q a a n n =--32； 12233432211...a aa a a a a a a a a a n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅-----1a a n =。

... ...q a a =34； 右相乘得到：一共有1-n 个q 相乘1-⇒n q 。

q a a =23； 左相乘等于右相乘得到：q a a =12； 1111--⋅=⇒=n n n n q a a q a a 。

等比数列的通项公式：11-⋅=n n q a a 。

理论三：等比数列的性质一在等比数列中，任意两项相除等于公比的序号相减次方。

关系式：n m nmq a a -=。

等比数列的性质一推理过程：根据等比数列的通项公式得到：11-⋅=m m qa a ，11-⋅=n n qa an m n m n m n m n m n m q q q qq q a q a a a -+---------====⋅⋅=⇒11)1()1(111111。

理论四：等比数列的性质二在等比数列中，任意两项的序号之和相等，这两项之积相等。

关系式：k s n m a a a a k s n m ⋅=⋅⇒+=+。

等比数列的性质二推理过程： n k sm q q n k s m k s n m --=⇒-=-⇒+=+。

根据等比数列的性质一得到：s m s m q a a -=，n k n k q a a -=k s n m nk s m a a a a a aa a ⋅=⋅⇒=⇒。

理论五：等比数列的性质三在等比数列中，中项的平方等于两项之积。

关系式：k a 是m a 和n a 的中项n m k a a a ⋅=⇒2。

专题3 数列专题压轴小题一、单选题1．（2022·全国·模拟预测（理））数列{}n a 满足1a a =，2131n n n a a a +=--，则下列说法错误的是（ ） A ．若1a ≠且2a ≠，数列{}n a 单调递减B ．若存在无数个自然数n ，使得1n n a a +=，则1a =C ．当2a >或1a <时，{}n a 的最小值不存在D ．当3a =时，121111,12222n a a a ⎛⎤++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∈ ⎥---⎝⎦2．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知数列{}n a 中，11a =，若()*112,N n n n na a n n n a --=≥∈+，则下列结论中错误的是（ ） A ．41225a =B ．11112n n a a +-≤ C ．ln(1)1n a n ⋅+<D ．21112n n a a -≤ 3．（2022·浙江·高三开学考试）已知数列{}n a 满足递推关系1e 1e nn a an a +-=，且10a >，若存在等比数列{}n b 满足1+≤≤n n n b a b ，则{}n b 公比q 为（ ）A ．12B ．1eC ．13D ．1π4．（2022·浙江·模拟预测）已知数列{}n a 满足()()112,1ln n n a a a b b n *+=-=+-∈N ．若{}n a 有无穷多个项，则（ ） A ．0b ≥B ．1b ≥-C ．1b ≥D ．2b ≥-5．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{}n a （公差不为零）和等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，如果关于x 的实系数方程22021202120210x S x T -+=有实数解，那么以下2021个方程()201,2,3,,2021i i x a x b i -+==⋅⋅⋅中，无实数解的方程最多有（ ）A ．1008个B ．1009个C ．1010个D ．1011个6．（2022·全国·高三专题练习）己知数列{}n a 满足：12a =，)()1123n n a a n *+=∈N ．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．101214S << B ．101416S << C ．101618S <<D ．101820S <<7．（2022·浙江·慈溪中学模拟预测）已知数列{}n a 满足：112a =-，且()1ln 1sin +=+-n n n a a a ，则下列关于数列{}n a 的叙述正确的是（ ） A ．1n n a a +>B ．1124-≤<-n aC ．212nn n a a a +>-+D ．2124n n a -≤-8．（2022·浙江省江山中学高三期中）已知数列{}n a 满足13a =，121n n na a a +=+-，记数列{}2n a -的前n项和为n S ，设集合12624535,,,5251712M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{nN M Sλλ=∈>对*n ∈N 恒成立}，则集合N 的元素个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．（2022·浙江省嘉善中学高三阶段练习）已知数列{}n a 满足11a =，()*14,2n n a a n N n -⎫=+∈≥，n S 为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则（ ） A ．20227833S << B ．2022723S <<C ．2022523S << D ．2022513S <<10．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}{}{}n n n a b c 、、满足()*111112233411111112334n n n n n n n n n n n b a b c c a a c c n S n T n b b b b a a a n+++====-=⋅∈=+++≥=+++≥---N ，，，（），（），则下列有可能成立的是（ ）A ．若{}n a 为等比数列，则220222022a b > B ．若{}n c 为递增的等差数列，则20222022S T <C ．若{}n a 为等比数列，则220222022a b < D ．若{}n c 为递增的等差数列，则20222022S T >11．（2022·浙江·模拟预测）已知各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，()1*111n n n n n a a n N a +++=-∈，则数列{}n a （ ）A ．无最小项，无最大项B ．无最小项，有最大项C ．有最小项，无最大项D ．有最小项，有最大项12．（2022·浙江浙江·二模）已知{}n a 为非常数数列且0n a ≠，1a μ=，()()*1sin 2,,n n n a a a n λμλ+=++∈∈R N ，下列命题正确的是（ ）A ．对任意的λ，μ，数列{}n a 为单调递增数列B ．对任意的正数ε，存在λ，μ，()*00n n ∈N ，当0n n >时，1n a ε-<C ．存在λ，μ，使得数列{}n a 的周期为2D ．存在λ，μ，使得2122n n n a a a +++->13．（2022·浙江温州·二模）对于数列{}n x ，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，恒有n x M ≤，则称数列{}n x 有界；若这样的正数M 不存在，则称数列{}n x 无界，已知数列{}n a 满足：11a =，()()1ln 10n n a a λλ+=+>，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2na 的前n 项和为nT ，则下列结论正确的是（ ） A ．当1λ=时，数列{}n S 有界 B ．当1λ=时，数列{}n T 有界 C ．当2λ=时，数列{}n S 有界D ．当2λ=时，数列{}n T 有界14．（2022·北京市育英学校高三开学考试）[]x 为不超过x 的最大整数，设n a 为函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，[)0,x n ∈的值域中所有元素的个数.若数列12n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n S ，则2022S =（ ）A ．10121013B ．12C ．20214040D ．1011101215．（2022·浙江浙江·高三阶段练习）已知数列{}n a 满足11a =，且12n n T a a a =，若*12,1n nn n a T T n N a ++∈=，则（ ） A ．5011,1211a ⎛⎫∈⎪⎝⎭B ．5011,1110a ⎛⎫∈⎪⎝⎭C ．1011,87a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．1011,65a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭16．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列{}n a 满足()*111,1ln 2n n a a a n N +==+∈，记n T 表示数列{}n a 的前n 项乘积.则（ ） A ．911,3026T ⎛⎫∈⎪⎝⎭ B ．911,2622T ⎛⎫∈⎪⎝⎭ C ．911,2218T ⎛⎫∈⎪⎝⎭ D ．911,1814T ⎛⎫∈⎪⎝⎭ 17．（2022·浙江·湖州中学高三阶段练习）已知各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，()11e cos n a n n a a n +*+=-∈Ν，其前n 项和为n S ，则下列关于数列{}n a 的叙述错误的是( ) A ．()1n n a a n *+>∈Ν B ．()211n n n a a a n *++<+∈ΝC．)n a n *∈ΝD．)n S n *<∈Ν18．（2022·浙江·镇海中学高三期末）已知无穷项实数列{}n a 满足： 1a t =， 且 14111n n n a a a +=--， 则（ ）A ．存在1t >， 使得20111a a =B ．存在0t <， 使得20211a a =C ．若2211a a =， 则21a a =D ．至少有2021个不同的t ， 使得20211a a =19．（2022·浙江杭州·高三期末）若数列{}n a 满足1n n a a +<，则下列说法错误的是（ ） A ．存在数列{}n a 使得对任意正整数p ，q 都满足p pq q a a a =+ B ．存在数列{}n a 使得对任意正整数p ，q 都满足pq q p a pa qa =+ C ．存在数列{}n a 使得对任意正整数p ，q 都满足p q q p a pa qa +=+ D ．存在数列{}n a 使得对任意正整数p ，q 部满足p q p q a a a +=20．（2022·全国·高三专题练习）已知{}n a 是各项均为正整数的数列，且13a =，78a =，对*k N ∀∈，11k k a a +=+与1212k k a a ++=有且仅有一个成立，则127a a a ++⋅⋅⋅+的最小值为（ ） A ．18 B ．20C ．21D ．2221．（2022·浙江·海亮高级中学模拟预测）已知数列{},n a n N *∈，212,n n n a a a m m R +=-+∈，下列说法正确的是（ ）A ．对任意的(0,1)m ∈，存在1[1,2]a ∈，使数列{}n a 是递增数列；B ．对任意的95(,)42m ∈，存在1[1,2]a ∈，使数列{}n a 不单调；C ．对任意的(0,1)m ∈，存在1[1,2]a ∈，使数列{}n a 具有周期性；D ．对任意的(0,1)m ∈，当1[1,2]a ∈时，存在3n a >.22．（2022·全国·高三专题练习）已知{}n a 是等差数列，()sin n n b a =，存在正整数()8t t ≤，使得n t n b b +=，*n N ∈.若集合{}*,n S x x b n N==∈中只含有4个元素，则t 的可能取值有（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．523．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）已知数列{}n a 满足：当0n a ≠时，2112+-=n n na a a ；当0n a =时，10n a +=；对于任意实数1a ，则集合{}0,1,2,3,nn an ≤=的元素个数为（ ）A ．0个B ．有限个C ．无数个D ．不能确定，与1a 的取值有关24．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足1221nn n a a a +=+，满足()10,1a ∈，1220212020a aa ++⋅⋅⋅+=，则下列成立的是（ ） A ．120211ln ln 2020a a ⋅> B ．120211ln ln 2020a a ⋅=C ．120211ln ln 2020a a ⋅<D ．以上均有可能25．（2022·全国·高三专题练习）已知各项都为正数的数列{}n a 满足1(2)a a a =>，1*11()n a n n ne a ka n N a +-++=-+∈，给出下列三个结论：①若1k =，则数列{}n a 仅有有限项；①若2k =，则数列{}n a 单调递增；①若2k =，则对任意的0M >，陼存在*0n N ∈，使得020n n M a >成立．则上述结论中正确的为（ ） A ．①① B ．①① C ．①① D ．①①①二、多选题26．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）数列{}n a 满足1a a =，2131n n n a a a +=--，则下列说法正确的是（ ）A ．若1a ≠且2a ≠，数列{}n a 单调递减B ．若存在无数个自然数n ，使得1n n a a +=，则1a =C ．当2a >或1a <时，{}n a 的最小值不存在D ．当3a =时，121111,12222n a a a ⎛⎤++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∈ ⎥---⎝⎦27．（2022·福建省福州第一中学高三开学考试）已知数列{}n a 满足101a <<，()()11ln 2N*n n n a a a n ++=-∈，n S 为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．()12n n n S +>B ．202212022a >C ．01n a <<D ．若113a =，则1132n n a -≥⋅28．（2022·江苏·高三开学考试） 已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，21n n S S n +=-+，则（ ）A ． 121(2)n n a a n n ++=-≥B ． 22n n a a +-=C ． 当10a =时，501225S =D ． 当数列{}n a 单调递增时，1a 的取值范围是11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭29．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知数列{}n a 满足：11a =，(()11322n n a a n -=≥，下列说法正确的是（ ）A ．N n *∀∈，12,,n n n a a a ++成等差数列B ．()1132n n n a a a n +-=-≥C ．()11*23N n n n a n --≤≤∈D ．*N n ∀∈，12,,n n n a a a ++一定不成等比数列30．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知正项数列{}n a ，对任意的正整数m 、n 都有222m n m n a a a +≤+，则下列结论可能成立的是（ ） A ．n mmn a a a m n+= B ．m n m n na ma a ++= C ．2m n mn a a a ++=D ．2m n m n a a a +⋅=31．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足328a =，()()1122nn n a n a n --⎡⎤=+≥⎢⎥⎣⎦，*n ∈N ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且()()222212221log log n n n n n b a a a a +-+=⋅-⋅，则下列说法正确的是（ ） A ．4221a a = B ．1216a a ⋅=C ．数列212n n a a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为单调递增的等差数列D ．满足不等式50n S ->的正整数n 的最小值为6332．（2022·福建南平·三模）如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅且,i i x y ∈Z .记n n n a x y =+，如()11,0A 记为11a =，()21,1A -记为20a=，()30,1A -记为31,a =-⋅⋅⋅，以此类推；设数列{}n a 的前n 项和为n S .则（ ）A ．202242a =B ．202287S =-C ．82n a n =D ．()245312n n n n S ++=33．（2022·全国·长郡中学模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a +=对于*n N ∀∈恒成立，若定义(1)n n S S =，()()(1)12nk k ni i S S k -==≥∑，则以下说法正确的是（ ）A ．{}n a 是等差数列B ．()232122nn n n S -+=-C ．()()()121A 1!k k k n k nn S S k +++--=+D ．存在n 使得()202120222022!nn S =34．（2022·全国·高三专题练习）我们常用的数是十进制数，如32101079110010710910⨯⨯+⨯⨯=++，表示十进制的数要用10个数码．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数()3212110112120212⨯⨯⨯++⨯=+，等于十进制的数13．把m 位n 进制中的最大数记为(),M m n ，其中m ，*,2n n ∈≥N ，(),M m n 为十进制的数，则下列结论中正确的是（ ）A ．()5,231M =B ．()()4,22,4M M =C ．()()2,11,2M n n M n n ++<++D ．()()2,11,2M n n M n n ++>++35．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足11a =，()12ln 11n n n a a a +=++，则下列说法正确的有（ ） A ．31225a a a <+B ．2211n nn a a a +-≤+ C ．若2n ≥，则131141ni i a =≤<+∑ D ．()()1ln 121ln 2nni i a =+≤-∑36．（2022·海南·嘉积中学高三阶段练习）“0，1数列”在通信技术中有着重要应用，它是指各项的值都等于0或1的数列．设A 是一个有限“0，1数列”，()f A 表示把A 中每个0都变为1，0，每个1都变为0，1，所得到的新的“0，1数列”，例如()0,1,1,0A，则()()1,0,0,1,0,1,1,0f A =．设1A 是一个有限“0，1数列”，定义()1k k A f A +=，1k =、2、3、⋅⋅⋅．则下列说法正确的是（ ）A ．若()31,0,0,1,1,0,0,1A =，则()10,0A =B ．对任意有限“0，1数列”1A ，则()2,n A n n ≥∈N 中0和1的个数总相等C ．1n A +中的0，0数对的个数总与n A 中的0，1数对的个数相等D ．若()10,0A =，则2021A中0，0数对的个数为10101413-（） 37．（2022·全国·高三专题练习（理））设数列{}n a 满足10a =，3128,N n na ca c n *+=+-∈其中c 为实数，数列{}2n a 的前n 项和是n S ，下列说法不正确的是（ ） A ．当1c >时，{}n a 一定是递减数列 B ．当0c <时，不存在c 使{}n a 是周期数列 C ．当10,4c ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]0,2n a ∈D ．当17c =时，52n S n >- 三、填空题38．（2022·全国·高三专题练习）对于数列{}n a ，若1,n n a a +是关于x 的方程2103n n x c x -+=的两个根，且12a =，则数列{}n c 所有项的和为________．39．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()2()log 41xf x x =+-，数列{}n a 是公差为2的等差数列，若()()()()112233440a f a a f a a f a a f a +++=，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________．40．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足：2110n n n a a a a c +==-++，.若数列{}n a 单调递减，则c的取值范围是________；若数列{}n a 单调递增，则c 的取值范围是__________.41．（2022·全国·高三专题练习（理））黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题．黎曼猜想研究的是无穷级数1111()123s s s sn n n ξ∞-===+++⋅⋅⋅∑，我们经常从无穷级数的部分和1111123s s s s n +++⋅⋅⋅+入手．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则122021111S S S ⎡⎤++⋅⋅⋅=⎢⎥⎣⎦______．（其中[]x 表示不超过x 的最大整数） 42．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）已知函数2()(2),2x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩，若对于正数(*)n k n N ∈，直线n y k x =与函数()f x 的图像恰好有21n 个不同的交点，则22212n k k k ++⋯+=___________.43．（2022·全国·高三专题练习）设①A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，n =1，2，3…，若11b c >，1112b c a +=，11,2n n n n n a c a a b +++==，12n n n a bc ++=，则n A ∠的最大值是________________.44．（2022·上海·高三专题练习）若数列{}n a 满足()**120,n n n n k a a a a n N k N +++++++=∈∈，则称数列{}n a 为“k 阶相消数列”.已知“2阶相消数列”{}n b 的通项公式为2cos n b n ω=，记12n n T b b b =，12021n ≤≤，*n N ∈，则当n =___________时，n T 取得最小值45．（2022·上海·高三专题练习）若数列{}n a 满足()*4411414242434141032n n n n n n n n a a a a a a a n N a a +-----=-=-===∈，，，且对任意*n N ∈都有n a m ＜，则m 的最小值为________.46．（2022·全国·高三开学考试（理））用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，(9)9g =，10的因数有1，2，5，10，(10)5g =，那么2015(1)(2)(3)(21)g g g g ++++-=__________．47．（2022·江苏苏州·模拟预测）设函数()21f x x =，()()222f x x x =-，()31sin 23f x x π=，取2019i it =，0,1,2,,2019i =，()()()()()()102120192018k k k k k k k S f t f t f t f t f t f t +-++=－－，1,2,3k =，则1S ，2S ，3S 的大小关系为________.（用“<”连接）四、双空题48．（2022·浙江·模拟预测）已知数列{}n a 对任意的n *∈N ，都有n a *∈N ，且131,,2n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数．①当18a =时，2022a =_________．①若存在m *∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数P ，则P ＝_________．49．（2022·全国·高三专题练习）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程若第1个图中的三角形的周长为1，则第n 个图形的周长为___________；若第1个图中的三角形的面积为1，则第n 个图形的面积为___________.50．（2022·全国·高三专题练习）对于正整数n ，设n x 是关于x 的方程：()222253log 1nn n nx x x ++++=的实根，记12nnax⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x表示不超过x的最大整数，则1a=______；若πsin2n nnb a=⋅，nS为{}n b的前n项和，则2022S=______．。

专题3——数列数列通项公式的求法一、定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。

特征：适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.二、公式法求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解。

特征：已知数列的前n 项和n S 与n a的关系例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。

三、由递推式求数列通项法 类型1 特征：递推公式为)(1n f a a n n +=+对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例3. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

类型2 特征：递推公式为 n n a n f a )(1=+ 对策：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例4. 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。

类型3 特征：递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ） 对策：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例5. 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .类型4 特征：递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

对策：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++ 其中s ，t 满足⎩⎨⎧-==+qst pt s ，再应用前面类型3的方法求解。

第3讲数列求和及其综合应用［考情分析］数列求和常与数列的综合应用一起考查，常以解答题的形式出现，有时与函数、不等式综合在一起考查，难度中等偏上.考点一数列求和r核心提炼、1.裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项抵消，有的是间隔项抵消.常见的裂项方式有：1 _1 1 , 1 _^=if_U__UYn（n+∖） n Λ+Γn（n+k） n+k）' n1-∖丸—1 n+∖）' 4??2—1 2∖2n —1 2∕ι÷l∕2.如果数列｛小｝是等差数列，｛d｝是等比数列,那么求数列｛4・儿｝的前〃项和S〃时,可采用错位相减法.用错位相减法求和时，应注意：（1）等比数列的公比为负数的情形；（2）在写出ff的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn—qSj的表“SJ和a qSn达式.考向1分组转化法求和例1已知在等比数列｛斯｝中，m=2,且两，的内一2成等差数列.⑴求数列｛斯｝的通项公式；⑵若数列｛小｝满足儿=J+21og2斯- 1,求数列｛d｝的前n项和解（1）设等比数列｛〃“｝的公比为4，由Q］, 〃2,。

3 —2成等差数列,得2。

2 =。

1+。

3-2,即4夕=2 + 2/-2,解得夕=2（4=0舍去），则m=α∣尸=2〃，n∈ N*.（2）⅛Λ=~+21og2Λrt— l=^+21og22n- l=^∏+2n-↑,则数列｛九｝的前〃项和考向2裂项相消法求和例2 （2020•莆田市第一联盟体学年联考）设数列｛斯｝的前〃项和为S”，且&=久一2〃，｛d ｝为正项等比数列，且〃∣=α∣+3, 63=604+2. ⑴求数列｛斯｝和｛d ｝的通项公式；⑵设c 〃=——j~~;—，求｛c 〃｝的前〃项和T n .4"+l∙∣0g2%+l解 (1)由工=/一2〃，得当〃 =1 时，0=S] = —1, 当九22 时，S n -ι=(n -l)2-2(n- l)=n 2-4n+3f所以当时，a∏=S n —S n -\=2n —3, a\ — — 1也满足此式.所以斯=2〃一3, Q @N*. 又加=。

新高考数学大一轮复习专题：第4讲 数列中的奇、偶项问题数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列．例 已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝12，[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *. (1)令b n ＝a 2n －1，判断{b n }是否为等差数列，并求数列{b n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前2n 项和为T 2n ，求T 2n .解 (1)因为[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，所以[3＋(－1)2n －1]a 2n ＋1－2a 2n －1＋2[(－1)2n －1－1]＝0，即a 2n ＋1－a 2n －1＝2，又b n ＝a 2n －1，所以b n ＋1－b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1＝2，所以{b n }是以b 1＝a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，n ∈N *.(2)对于[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，当n 为偶数时，可得(3＋1)a n ＋2－2a n ＋2(1－1)＝0，即a n ＋2a n ＝12，所以a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12为公比的等比数列； 当n 为奇数时，可得(3－1)a n ＋2－2a n ＋2(－1－1)＝0，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ×1＋12n n －1×2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝n 2＋1－12n ，n ∈N *. (1)数列中的奇、偶项问题的常见题型①数列中连续两项和或积的问题(a n ＋a n ＋1＝f (n )或a n ·a n ＋1＝f (n ))；②含有(－1)n的类型；③含有{a 2n }，{a 2n －1}的类型；④已知条件明确的奇偶项问题．(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{a n }求S n 时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a 2k －1＋a 2k 看作一项，求出S 2k ，再求S 2k －1＝S 2k －a 2k .1．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A ．200B ．－200C ．400D ．－400答案 B解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(－1)n ·n ，若对任意的正整数n ，使得(a n ＋1－p )·(a n －p )<0恒成立，则实数p 的取值范围是________．答案 (－1,3)解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n n －(－1)n －1(n －1)＝(－1)n(2n －1)． 因为对任意的正整数n ，(a n ＋1－p )(a n －p )<0恒成立，所以[(－1)n ＋1(2n ＋1)－p ][(－1)n(2n －1)－p ]<0. ①当n 是正奇数时，化为[p －(2n ＋1)][p ＋(2n －1)]<0，解得1－2n <p <2n ＋1，因为对任意的正奇数n 都成立，取n ＝1时，可得－1<p <3.②当n 是正偶数时，化为[p －(2n －1)][p ＋(1＋2n )]<0，解得－1－2n <p <2n －1，因为对任意的正偶数n 都成立，取n ＝2时，可得－5<p <3.联立⎩⎪⎨⎪⎧ －1<p <3，－5<p <3，解得－1<p <3.所以实数p 的取值范围是(－1,3)．3．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，记S n 为{a n }的前n 项和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *. (1)判断数列{b n }是否为等比数列，并写出其通项公式；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)求S n .解 (1)因为a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，所以a n ＋1·a n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1， 所以a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . 因为b n ＝a 2n ＋a 2n －1，所以b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12， 所以数列{b n }是公比为12的等比数列． 因为a 1＝1，a 1·a 2＝12，所以a 2＝12，b 1＝a 1＋a 2＝32，所以b n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝32n ，n ∈N *. (2)由(1)可知a n ＋2＝12a n ，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12为公比的等比数列， 所以a 2n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， 所以a n ＝11221,212n n n n +-⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩为奇数，偶，为数. (3)因为S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝3－32n ， 又S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3－32n －12n ＝3－42n ，。

高考数学二轮复习 专题3 数列 第一讲 等差数列与等比数列 理第一讲 等差数列与等比数列1．等差数列的定义．数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝d (其中n∈N *，d 为与n 值无关的常数)⇔{a n }是等差数列． 2．等差数列的通项公式．若等差数列的首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． 3．等差中项．若x ，A ，y 成等差数列，则A ＝x ＋y2，其中A 为x ，y 的等差中项．4．等差数列的前n 项和公式．若等差数列首项为a 1，公差为d ，则其前n 项和S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）d2．1．等比数列的定义． 数列{a n }满足a n ＋1a n＝q (其中a n ≠0，q 是与n 值无关且不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．2．等比数列的通项公式．若等比数列的首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1·q n －1＝a m ·qn －m(n ，m ∈N *)．3．等比中项．若x ，G ，y 成等比数列，则G 2＝xy ，其中G 为x ，y 的等比中项，G 值有两个． 4．等比数列的前n 项和公式．设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(√) (3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．(×) (4)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．(×) (5)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .(×) (6)1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＝1－b51－b.(×)1．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则数列{a n }的前5项和S 5＝(B ) A ．7 B ．15 C ．20 D ．25解析：2d ＝a 4－a 2＝5－1＝4⇒d ＝2，a 1＝a 2－d ＝1－2＝－1，a 5＝a 2＋3d ＝1＋6＝7，故S 5＝（a 1＋a 5）×52＝6×52＝15.2. (2015·北京卷)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是(C ) A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0解析：设等差数列{a n}的公差为d，若a1＋a2＞0，a2＋a3＝a1＋d＋a2＋d＝(a1＋a2)＋2d，由于d正负不确定，因而a2＋a3符号不确定，故选项A错；若a1＋a3＜0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝(a1＋a3)－d，由于d正负不确定，因而a1＋a2符号不确定，故选项B错；若0＜a1＜a2，可知a1＞0，d＞0，a2＞0，a3＞0，∴a22－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝d2＞0，∴a2＞a1a3，故选项C正确；若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＝d·(－d)＝－d2≤0，故选项D错．3．(2015·新课标Ⅱ卷)已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(B)A．21 B．42C．63 D．84解析：∵ a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴ 3＋3q2＋3q4＝21.∴ 1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.4．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是(B)A．90 B．100C．145 D．190解析：设公差为d，则(1＋d)2＝1·(1＋4d)．∵d≠0，解得d＝2，∴S10＝100.一、选择题1．已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，若a3＋a9＝6，则S11＝(B)A．12 B．33 C．66 D．99解析：∵{a n}为等差数列且a3＋a9＝6，∴a 6＋a 6＝a 3＋a 9＝6. ∴a 6＝3. ∴S 11＝a 1＋a 112×11＝a 6＋a 62×11＝11a 6＝11×3＝33.2．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，则数列{a n }的前6项和S 6＝(B ) A ．120 B ．140 C ．160 D ．180 解析：∵{a n }为等比数列，∴a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6为等比数列． ∴(a 3＋a 4)2＝(a 1＋a 2)(a 5＋a 6)． 即a 5＋a 6＝（a 3＋a 4）2a 1＋a 2＝40220＝80.∴S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝20＋40＋80＝140.3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n －1，则a 3＋a 17＝(C ) A ．15 B ．17 C ．34 D ．398 解析：∵S n ＝n 2－2n －1， ∴a 1＝S 1＝12－2－1＝－2. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－2n －1－[(n －1)2－2(n －1)－1] ＝n 2－(n －1)2＋2(n －1)－2n －1＋1 ＝n 2－n 2＋2n －1＋2n －2－2n ＝2n －3.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，n ＝1，2n －3，n ≥2.∴a 3＋a 17＝(2×3－3)＋(2×17－3)＝3＋31＝34. 4．(2014·陕西卷)原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(A )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 解析：由a n ＋a n ＋12＜a n ⇒a n ＋1＜a n ⇒{a n }为递减数列，所以原命题为真命题；逆命题：若{a n }为递减数列，则a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋；若{a n }为递减数列，则a n ＋1＜a n ，即a n ＋a n ＋12＜a n ，所以逆命题为真；否命题：若a n ＋a n ＋12≥a n ，n ∈N ＋，则{a n }不为递减数列；由a n ＋a n ＋12≥a n ⇒a n ≤a n ＋1⇒{a n }不为递减数列，所以否命题为真；因为逆否命题的真假为原命题的真假相同，所以逆否命题也为真命题． 故选A.5．某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为(C )A ．5B ．7C ．9D ．11解析：由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入m ＝9，因此选C.二、填空题6．(2015·安徽卷)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于27．解析：由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，故S 9＝9a 1＋9×（9－1）2×12＝9＋18＝27.7．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝32． 解析：将S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2两个式子全部转化成用a 1，q 表示的式子，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝3a 1q ＋2，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝3a 1q 3＋2，两式作差得：a 1q 2＋a 1q 3＝3a 1q (q 2－1)，即：2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1(舍去)．8．(2014·广东卷)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝5．解析：由题意知a 1a 5＝a 23＝4，且数列{a n }的各项均为正数，所以a 3＝2， ∴a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)·(a 2a 4)·a 3＝(a 23)2·a 3＝a 53＝25，∴log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5. 三、解答题9．已知数列{a n }满足，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2 ＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式． 解析：(1)b 1＝a 2－a 1＝1， 当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，所以{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1， 当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1.所以a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N *)．10．(2015·安徽卷)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)． 由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2，故a n ＝a 1qn －1＝2n －1.(2)S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝2n－1.又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1.。