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第19章《19.1.1变量与函数》第一课时[活动一]活动内容设计：1．每张电影票售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张．三场电影的票房收入各多少元．设一场电影售票x 张，票房收入y元．•怎样用含x的式子表示y?2．在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10cm•，•每1kg•重物使弹簧伸长0．5cm，怎样用含有重物质量m的式子表示受力后的弹簧长度？设计意图：让学生熟练从不同事物的变化过程中寻找出变化量之间的变化规律，并逐步学会用含有一个变化量的式子表示另一个变化的量．教师活动：引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律．学生活动：在教师的启发引导下，经历尝试运算、猜想探究、归纳总结及验证等过程得到正确的结论．活动结论：1．早场电影票房收入：150×10=1500（元）日场电影票房收入：205×10=2050（元）晚场电影票房收入：310×10=3100（元）关系式：y=10x2．挂1kg重物时弹簧长度：1×0.5+10=10.5（cm）挂2kg重物时弹簧长度：2×0.5+10=11（cm）挂3kg重物时弹簧长度：3×0.5+10=11.5（cm）关系式：L=0.5m+10[师]通过上述活动，我们清楚地认识到，要想寻求事物变化过程的规律，首先需确定在这个过程中哪些量是变化的，而哪些量又是不变的．在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable），那么数值始终不变的量称之为常量（constant）．如上述两个过程中，售出票数x、票房收入y；重物质量m，•弹簧长度L都是变量．而票价10元，弹簧原长10 cm……都是常量．Ⅲ．随堂练习1．购买一些铅笔，单价0．2元／支，总价y元随铅笔支数x变化，•指出其中的常量与变量，并写出关系式．2．一个三角形的底边长5cm，高h可以任意伸缩．写出面积Ｓ随h•变化关系式，并指出其中常量与变量．Ⅳ．课时小结本节课从现实问题出发，找出了寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方法步骤．它对以后学习函数及建立函数关系式有很重要意义．1．确定事物变化中的变量与常量．第19章《19.1.1变量与函数》第二课时教学准备ppt教学过程设计（含各环节中的教师活动和学生活动以及设计意图）教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境我们来回顾一下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变化？同一问题中的变量之间有什么联系？也就是说当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否随之确定一个值呢？这将是我们这节研究的内容．Ⅱ．导入新课[师]我们首先回顾一下上节活动一中的两个问题．思考它们每个问题中是否有两个变量，变量间存在什么联系．[生]活动一两个问题都有两个变量．问题（1）中，•经计算可以发现：每当售票数量x取定一个值时，票房收入y就随之确定一个值．例如早场x=150，则y=1500；•日场x=205，则y=2050；晚场x=310，则y=3100．问题（2）中，通过试验可以看出：每当重物质量m确定一个值时，弹簧长度L•就随之确定一个值．如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0．5cm．当m=10时，则L=15，当m=20时，则L=20．[师]很好，他说得非常正确．谢谢你．我们再来回顾活动二中的两个问题．看看它们中的变量又怎样呢？[生]活动二中的两个问题也都分别有两个变量．问题（1）中，很容易算出，当S=10cm2时，r=1．78cm；当S=20cm2时，r=2．52cm．•每当S取定一个值时，r随之确定一个值，它们的关系为r=S．问题（2）中，我们可以根据题意，每确定一个矩形的一边长，•即可得出另一边长，再计算出矩形的面积．如：当x=1cm时，则Ｓ＝1×（5-1）=4cm2，当x=2cm时，则Ｓ＝2×（5-2）=6cm2……它们之间存在关系S=x（5-x）=5x-x2．因此可知，•每当矩形长度x取定一个值时，面积Ｓ就随之确定一个值．[师]谢谢你，大家为他鼓掌．由以上回顾我们可以归纳这样的结论：上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应．其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系．我们来看下面两个问题，通过观察、思考、讨论后回答：（1）下图是体检时的心电图．其中横坐标x表示时间，纵坐标y•表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？（2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y，•对于表中每个确定的年份（x），都对应着个确定的人口数（y）吗？中国人口数统计表年份人口数／亿1984 10．341989 11．061994 11．761999 12．52[生]我们通过观察不难发现在问题（1）的心电图中，对于x的每个确定值，y•都有唯一确定的值与其对应；在问题（2）中，对于表中每个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y．[师]一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x•的每个确定的值，y•都有唯一确定的值与其对应，•那么我们就说x•是自变量（independentvariable），y是x的函数（function）．如果当x=a时，y=b，那么b•叫做当自变量的值为a时的函数值．据此我们可以认为：上节情景问题中时间t是自变量，里程s是t的函数．t=1时的函数值s=60，t=2时的函数值s=120，t=2．5时的函数值s=150，…，同样地，在以上心电图问题中，时间x是自变量，心脏电流y是x的函数；人口数统计表中，•年份x是自变量，人口数y是x的函数．当x=1999时，函数值y=12．52亿．从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系．[活动一]活动内容设计：1．在计算器上按照下面的程序进行操作：填表：x 1 3 -4 0 101y显示的数y是输入的数x的函数吗？为什么？2．在计算器上按照下面的程序进行操作．下表中的x与yx 1 2 3 0 -1y 3 5 7 2 -1所按的第三、四两个键是哪两个键？y是x的函数吗？如果是，写出它的表达式（用含有x的式子表示y）．设计意图：理验证以至最后确定按键、写表达式逐步掌握列函数式的方法．教师活动：引导学生正确操作、分析思考、寻求理由证据，确定按键及函数关系式．学生活动：在教师引导下，1．经历操作、填表、分析、推理、确认等一系列过程，更加深刻理解函数意义．2．通过观察、讨论、分析、猜想、验证、确立等一系列过程，进一步掌握建立函数关系式的办法．活动结论：1．从计算结果完全可以看出，每输入一个x的值，操作后都有一个唯五的y值与其对应，所以在这两个变量中，x是自变量、y是x的函数．这两个键，且每个x•的值2．从表中两行数据中不难看出第三、四按键是1都有唯一一个y值与其对应，所以在这两个变量中，x是自变量，y是x的函数．关系式是：y=2x+1[师]通过以后活动，我们对函数意义认识更深刻了，并完善掌握了函数关系式确定的方法．为了进一步学好函数，我们再来完成一个问题．[活动二]活动内容设计：一辆汽车油箱现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（L）随行驶里程x（km）的增加而减少，平均耗油量为0．1L/km．1．写出表示y与x的函数关系式．2．指出自变量x的取值范围．3．汽车行驶200km时，油桶中还有多少汽油？设计意图：通过这一活动，加深函数意义理解，熟练掌握函数关系式确立的办法．学会确定自变量的取值范围，并能通过关系式解决一些简单问题．教师活动：注意学生在活动中对函数意义的认识水平，引导其总结归纳自变量取值范围的方法．学生活动：通过活动，感知体会函数意义，学会确立函数关系式及自变量取值范围，并能掌握其一般方法．活动过程及结果：1．行驶里程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数．行驶里程x时耗油为：0.1x油箱中剩余油量为：50-0.1x所以函数关系式为：y=50-0.1x2．仅从式子y=50-0．1x上看，x可以取任意实数，但是考虑到x•代表的实际意义是行驶里程，所以不能取负数，并且行驶中耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有汽油50L，即0.1x≤50，x≤500．因此自变量x的取值范围是：0≤x≤5003．汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数y=50-0．1x在x＝200时的函数值，。
公开课教案
第 7 周星期五第 5 节 20 年 4 月 8 日执教：授课班级：初二五班
2.如图,已知菱形ABCD 的对角线AC 长为4,BD 的长在变化,设BD 的长为x,则菱形的面积为y=21×4×x
3.国内平信邮资(外埠,100克内)简表：
信件质量m/克 O<m ≤20 20<m ≤40 40<m ≤60 邮资y/元
O.80
1.60
2.40
注:巩固变量与函数的概念,让学生充分体会到许多问题中的变量关系都存在着函数关系,初步了解函数的三种表示方法。
五、总结归纳 1.常量与变量的概念 2.函数的定义 3.函数的三种表示方式
注:通过总结归纳,完善学生已有的知识结构。
六、布置作业
P.81习题1 P71，练习
教学反思 学生通过本课的学习品尝到成功的体验和乐趣。
课堂气氛活跃，学生的参与度高，
教学效果显著。
《19.1.1变量与函数》本课是函数的起始课，函数是刻画运动变化现象的重要数学模型，要从数学的角度研究变化现象，把握变化规律，首先要关注变化过程中量的变化，这就是变量，本课在充分体会运动变化过程中数量变化的基础上，领会变量与常量的含义．进一步研究运动变化过程中变量之间的对应关系，在观察具体问题中变量之间对应关系的基础上，抽象出函数的概念．进一步讨论函数的自变量取值范围，用解析法和列表法表示函数关系，初步体会用函数描述和分析运动变化规律． 1．了解变量与常量的意义；2．体会运动变化过程中的数量变化．3．进一步体会运动变化过程中的数量变化；4．从典型实例中抽象概括出函数的概念，了解函数的概念．5．了解解析法和列表法，并能用这两种方法表示简单实际问题中的函数关系；6．能确定简单实际问题中函数的自变量取值范围；7．会初步分析简单实际问题中函数关系，讨论变量的变化情况.1. 了解变量与常量的意义，充分体会运动变化过程中量的变化．2. 概括并理解函数概念中的对应关系．3. 用解析法和列表法表示函数关系，确定简单实际问题的自变量取值范围． 多媒体：PPT 课件、电子白板第一课时一、初步感知统领全章：1.观察图片，体会变化：【活动导语】“万物皆变”——行星在宇宙中的位置随时间而变化，气温随海拔而变化，云图随时间变化而变化，汽车行驶的路程随时间变化而变化……在你的周围的事物中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在.为了研究这些运动变化现象中变量间的依赖关系，数学中逐渐形成了函数概念.人们通过研究函数及其性质，更深入地认识现实世界中许多运动变化的规律.本章中，我们将从初步认识变量和函数开始，重点学习一类最基本的函数——一次函数.2.如图，小球在斜坡上滚动，请观察这一运动变化过程，你注意到了什么变化？变化的量有哪些？不变的量有哪些？变换的量：小球在斜坡上滚动的路程s；小球离起点的水平距离x；小球离水平面的高度y；小球滚动的时间t.不变的量：斜坡的高度，斜坡的长度，斜坡的水平长度等.二、细心体会感受新知：1.先请思考下面几个问题：（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶的时间是t h,行驶的路程为s km，填写下表，s的值随t的值得变化而变化吗？（2）每张电影票的售价为10 元，第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出x 张票，票房收入为y 元，y的值随x的值的变化而变化吗？（3）你见过水中涟漪吗？如图，圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径r 分别为10 cm，20 cm，30 cm 时，圆的面积S 分别为多少？S的值随r的变化而变化吗？（4）用10 m长的用10 m长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长 x 分别为3 m，3.5 m，4 m，4.5 m 时，它的邻边长y 分别为多少？y的值随x的值的变化而变化吗？2.变量和常量：这些问题反映了不同事物的变化过程，其中有些量的数值是变化的，有些量的数值是始终不变的.变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量；常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量.三、运用新知解决问题1.练习：指出下列变化过程中的变量和常量：（1）汽油的价格是7.4元/升，加油x L，车主加油付油费y 元；（2）小明看一本200 页的小说，看完这本小说需要t 天，平均每天所看的页数为n；（3）用长为40 cm 的绳子围矩形，围成的矩形一边长为x cm，其面积为S cm2．解：（1）常量为汽油的价格7.4，变量为加油量L和油费y；（2）常量为这本书的总页数200，变量为平均每天所看的页数n和阅读天数t；（3）常量为矩形的周长40，变量为矩形的一边长x和面积S.2. 你能举出一个变化过程的例子，并说出其中的变量和常量吗？试一试！想一想：你能确定下列变化过程中的变量吗？(1)小敏长高了；(2)在汤中加水，汤变淡了；(3)小狗越来越可爱了.四、巩固训练形成能力：1. 从空中落下一个物体，它降落的速度随时间的变化而变化，即落地前速度随时间的增大而逐渐增大，这个问题中变量是( )A．物体B．速度C．时间和速度D．重量和空气2.某人要在规定的时间内加工100个零件，则工作效率η与时间t之间的关系中，下列说法正确的是（）A．数100和η，t都是变量B．数100和η都是常量C．η和t是变量D．数100和t都是常量3.在△ABC中，它的底边是a，底边上的高是h，则三角形面积S=12ah，当a为定长时，在此式中（）A．S，h是变量，12，a是常量B．S，h，a是变量，12，是常量C．S，h是变量，12，S是常量D．S是变量，12，a，h是常量4. 用20 cm的铁丝所围的长方形的长x（cm）与面积S（cm2）的关系式是＿＿＿，其中常量是＿＿＿，变量是＿＿＿＿.5.地壳的厚度约为8～40千米.地表以下不太深的地方,温度可按y=35x+t 计算,其中x(千米)是深度, t(℃)是地球表面温度，y(℃)是地表下x千米处的温度.(1)在这个关系式中,哪些量是变量,哪些量是常量？(2)若地球的表面温度是t=35℃, 当x=30千米时，求y的值.五、课堂小结：（1）什么叫变量？什么叫常量？（2）举一个运动变化的例子并指出其变量和常量．（3）你认为变化过程中的变量之间会有联系吗？第二课时一、观察思考分析变化：问题1 下面变化过程中，是否包含两个变量？同一问题中的变量之间有什么联系？（1）汽车以60km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为th，行驶的路程为skm；（2）每张电影票的售价为10 元，设某场电影售出 x张票，票房收入为y 元；（3）圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，圆的半径为 r ，面积为 S ；（4）用10m 长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长为 x，它的邻边长为 y．[活动说明与建议]说明：本问题主要是给出具体事例让学生认识并抽象得到函数的概念，函数概念的抽象应循序渐进，首先让学生知道这些事例是一个变换的过程，其次这些变换过程中都含有两个变量，这两个变量之间存在着某种联系，最后由教师引导通过具体的数据，发现当给定一个变量的值时，有唯一的另一个变量的值与之对应，这种对应关系每个问题都不同.建议：在教师的引导下，充分的让学生通过实例感知函数，感知这种对应关系.【归纳】上面每个问题中的两个变量相互联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一的值与之对应.二、观察思考再次概括：问题2：一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量之间存在上面那样的关系.（1）下面是中国代表团在第23 届至30 届夏季奥运会上获得的金牌数统计表，届数和金牌数可以分别记作 x 和 y，对于表中每一个确定的届数 x，都对应着一个确定的金牌数 y 吗？（2）如图是北京某天的气温变化图，你能根据图象说出某一时刻的气温吗？问题3：综合以上这些现象，你能再次归纳出上面所有事例的变量之间关系的共同特点吗？函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数．如果当 x =a 时，对应的 y =b，那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值．三、初步应用巩固知识：练习1 下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？请说明理由．（1）向一水池每分钟注水0.1m3，注水量 y（单位：m3）随注水时间 x（单位：min）的变化而变化；（2）改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之变化；（3）秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均占有耕地面积 y（单位：m2）随这个村人数 n 的变化而变化；（4）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为 x，它的坐标记为 y，y 随 x 的变化而变化．练习2 下面的我国人口数统计表中，人口数y 是年份x 的函数吗？为什么？练习3 下图是一只蚂蚁在竖直的墙面上的爬行图，请问：蚂蚁离地高度 h 是离起点的水平距离 t 的函数吗？为什么？【追问】蚂蚁离起点的水平距离 t 是离地高度 h 的函数吗？为什么？练习4 你能举出一个函数的实例吗？四、课堂小结：第三课时一、问题重现加深认识：1.函数解析式和自变量的取值范围.问题1 回顾函数定义，用含有自变量的式子表示下列函数关系,并确定自变量的取值范围.（1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为t h，行驶的路程为s km；（2）每张电影票的售价为10 元，设某场电影售出 x张票，票房收入为y 元；（3）圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，圆的半径为 r ，面积为 S ；（4）用10 m 长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长为 x，它的邻边长为 y．解：（1）s=60t（t＞0）；（2）y=10x（x≥0且x为整数）；（3）S=πr²（r＞0）；（4）y=5-x（0＜x＜5）.[归纳]（1）用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数的解析式.（2）在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围．练习：求下列函数中自变量x的取值范围：(1)y＝3x－1；(2)y＝2x2＋7；(3)y＝1x＋2；(4)y＝x－2.[解析] 用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值.例如，在(1)，(2)中，x取任意实数，3x－1与2x2＋7都有意义；而在(3)中，x＝－2时，1x＋2没有意义；在(4)中，x＜2时，x－2没有意义.解：(1)x的取值范围是任意实数；(2)x的取值范围是任意实数；(3)x的取值范围是x≠－2；(4)x的取值范围是x≥2.2.列表法和图像法表示函数问题 2 下面两个例子中，函数关系还能用解析式表示吗？它们分别是用什么形式表示函数关系的？（1）下面是中国代表团在第23 届至30 届夏季奥运会上获得的金牌数统计表，届数和金牌数可以分别记作 x 和 y，对于表中每一个确定的届数 x，都对应着一个确定的金牌数 y ；（2）如图是北京某天的气温变化图，对于每一个时刻，都有唯一确定的气温与之对应，【归纳】有的函数关系并不能用解析式表示出来，还有两种表示函数关系的方法：列表法和图像法.二、例题探究问题深入：例1 [教材P73例1] 汽车油箱中有汽油50 L.如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少，平均耗油量为0.1 L/km.(1)写出表示y与x的函数关系的式子；(2)指出自变量x的取值范围；(3)汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？解：（1）y与x的函数关系式为y=50-0.1x.（2）因油量y＞0，故0.1x≤50，∴自变量x的取值范围是0≤x≤500.（3）把x=200代入y=50-0.1x，得y=50-0.1×200=30.汽车行驶200km时，油箱中还有30L汽油.练习：如图19－1－：搭1条小鱼需要8根火柴，每多搭1条小鱼就要增加6根火柴，随着小鱼条数的增加，火柴的根数也随着增加.搭小鱼所需火柴的根数S、所搭小鱼的条数n，如果是请写出S与n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；如果不是，请说明理由.三、当堂练习：1.下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？请说明理由.(1)向一水池每分钟注水0.1 m3，注水量y(单位：m3)随注水时间x(单位：min)的变化而变化；(2)改变正方形的边长x，正方形的面积S随之变化；(3)某村的耕地面积是106 m2，这个村人均占有耕地面积y(单位：m2)随这个村人数n的变化而变化；(4)P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为x，它的坐标记为y，y随x的变化而变化.2.你能用含自变量的式子表示下列函数，并说出自变量的取值范围吗？(1)等腰三角形的面积为12，底边长为x，底边上的高为y，y随着x的变化而变化；(2)把边长为10 cm的正方形纸板的四个角都截去一个边长为x的小正方形，做成一个无盖的长方体，该长方体的体积V(单位：cm3)随x(单位：cm)的变化而变化.3.下面的我国人口数统计表中，人口数y是年份x的函数吗？为什么？四、课堂小结：略。
