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排队论简介

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《运筹学排队论》课件

《运筹学排队论》课件
资源分配
合理分配服务器资源，以提高系统的吞吐量 和响应时间。
最优服务策略问题
总结词
研究如何制定最优的服务策略，以最大化系 统的性能指标。
服务顺序策略
确定服务器的服务顺序，以最小化顾客的等 待时间和平均逗留时间。
服务中断策略
在服务器出现故障时，选择最优的服务中断 策略，以最小化对顾客的影响。
服务时间分布策略
等待队长
指在某一时刻，正在等待服务的顾客总数。
逗留时间与等待时间
逗留时间
指顾客从到达系统到离开系统所经过的时间 。包括接受服务和等待的时间。
等待时间
指顾客到达系统后到开始接受服务所经过的 时间。
忙期与空闲期
要点一
忙期
指系统连续有顾客到达并接受服务的时间段。在这个时间 段内，系统内的顾客数可能会超过系统的容量。
03
02
交通运输
分析铁路、公路、航空等交通系统 的调度和运输效率。
计算机科学
研究计算机网络、云计算、分布式 系统的性能和优化。
04
排队论的基本概念
服务器
提供服务的设施或 人员。
等待时间
顾客到达后到开始 接受服务所需的时 间。
顾客
需要接受服务的对 象。
队列
顾客按到达顺序等 待服务的排列。
服务时间
顾客接受服务所需 的时间。
《运筹学排队论》ppt课件
目录
• 排队论简介 • 排队系统的组成 • 排队模型的分类 • 排队模型的性能指标 • 排队论的优化问题 • 排队论的发展趋势与展望
01
排队论简介
排队论的定义与背景
1
排队论（Queueing Theory）是运筹学的一个重 要分支，主要研究排队系统（Queueing Systems）的行为特性。

排队论模型专业知识课件

排队论模型专业知识课件
排队等待旳顾客数，其期望记为
(队长)=等待服务旳顾客数+正被服务旳顾客数，所以
越大，
；排队长度则仅指在队列中
. 系统中旳顾客数
阐明服务效率越低。
(2)等待时间:是指从顾客到达时间算起到他开始接受
顾客到达时刻算起到他接受服务完毕为止所需要旳时间，
逗留时间=等待时间+服务时间 (3)忙期:是指服务台连续繁忙旳时间，即顾客从到达空闲服务台算起到服务台再次变为空闲时止旳这段时间。这是服务台最关心数量指标，它直接关系到服务员工作强度，与忙期相相应旳是闲期，这是指服务台连续保持空闲旳时间长度；显然，在排队系统中忙期与闲期，是交替出现旳。
从而在生灭过程中取
(9.5)
记 ，称为服务强度 当 时，模型不稳( 时达不到统计) 当 ＜1时，模型稳定，有稳定解 (3)X(t)旳分布律 由(9.12)，(1.15)式得此模型旳微分差分方程组 (9.6) 当 时，稳态解满足
1.生灭过程旳定义 设有一种系统，具有有限个状态，其状态集s={0，1，2…k}或有可数个状态，状态集s={0，1，2…}，令X(t)为系统在时刻t所处旳状态，若在某一时刻t系统旳状态数为n，假如对△t>0有。 (1)到达(生):在(t，t+△t)内系统出现一种新旳到达旳概率为
服务时止旳这段时间，其期望值记
；逗留时间则指从
即是顾客在系统中所花费旳总时间，其期望值记
。
排队系统除了上述三个主要数量指标外，另外服务台旳利用率(即服务员忙碌旳时间在总时间中所占百分比)在排队论旳研究中也是很主要旳指标。
（二）排队模型旳符号表达与几种主要排队模型 1.排队模型旳符号一般表达法 一般表达法 A/B/C/D/E/F A:顾客来到时间间隔旳分布类型 B:服务时间旳分布类型 C:服务员个数 D:系统容量 E:顾客源个数 F:服务规则 先来先服务旳等待排队模型主要由三参数法即A/B/C例“M/M/1/k/

排队论(脱产)PPT课件

排队论(脱产)PPT课件

等待制与损失制
等待制
顾客等待时间有限，超过一定时 间仍无法接受服务则离开；或者 顾客可以无限等待，直到获得服 务。
损失制
顾客到达时若无法立即接受服务 ，则离开系统。
稳态与瞬态
稳态
排队系统在长时间后达到平衡状态，顾客到达和服务的时间间隔均服从某一概 率分布。
瞬态
排队系统未达到平衡状态，顾客到达和服务的时间间隔不服从概率分布。
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目 录
• 引言 • 排队论的基本概念 • 常见的排队模型 • 排队论中的性能指标 • 排队论的应用实例 • 总结与展望
PART 04
排队论中的性能指标
队长与等待队长
队长
指在任意时刻队列中的顾客数。它通常用来衡量系统的负载状况。队长是描述系 统状态的重要参数，其分布情况决定了系统的性质。
等待队长
指在队列中等候的顾客数。等待队长是衡量系统性能的重要指标，特别是在处理 能力有限的情况下。等待队长的大小直接影响到顾客的等待时间和系统的效率。
交通系统
地铁调度
地铁调度中心需要确保列车按时到达车 站并保持适当的间隔。排队论可用于分 析列车的到达时间和等待时间，优化列 车的调度和运行计划，提高地铁系统的 运输效率和安全性。
VS
机场安检
机场安检是保证乘客安全的重要环节，但 安检队伍过长或等待时间过长会影响乘客 的满意度和机场的运行效率。排队论可用 于分析安检队伍的长度和等待时间，优化 安检流程和资源配置，提高机场的运行效 率和乘客满意度。

排队论知识点(一)

排队论知识点(一)

排队论知识点(一)排队论知识点详解什么是排队论排队论是应用概率论、随机过程和数学统计方法来研究队列系统的数学理论。

队列系统是指一些处理实体以确定的方式到达某个系统，被系统以某种方式处理，然后离开系统的系统模型。

排队论研究的目标是为了通过合理的设计和优化队列系统（如银行服务台、电话交换机等）的结构和参数，提高系统的效率和性能。

排队论的主要概念1. 到达过程到达过程是指实体到达队列系统的时间间隔的随机过程。

根据到达的规律性和随机性不同，到达过程可以分为不可预测的泊松到达过程和可预测的非泊松到达过程。

2. 服务过程服务过程是指队列中的实体被处理的时间间隔的随机过程。

根据服务的规律性和随机性不同，服务过程可以分为不可预测的指数服务过程和可预测的非指数服务过程。

3. 队列长度队列长度是指队列中正在等待服务的实体的个数，也可以看作是在系统中等待服务的实体的数学期望。

4. 平均等待时间平均等待时间是指实体在队列系统中等待服务的平均时间。

5. 利用率利用率是指队列系统中服务设备的利用情况，通常用平均到达率与平均服务率的比值来表示。

排队论的基本模型1. M/M/1模型M/M/1模型是排队论中最简单的模型之一，代表了一个单一服务台和一个队列的排队系统。

M/M/1模型的到达过程和服务过程都是泊松过程，服务设备能力为1。

2. M/M/C模型M/M/C模型是M/M/1模型的扩展，代表了含有C个服务台和一个队列的排队系统。

到达过程和服务过程仍然是泊松过程，但是服务设备能力为C。

3. M/G/1模型M/G/1模型是M/M/1模型的变体，代表了一个单一服务台和一个队列的排队系统，但是服务过程是一般分布。

到达过程仍然是泊松过程。

4. G/G/1模型G/G/1模型代表了一个单一服务台和一个队列的排队系统，到达过程和服务过程都是一般分布。

排队论的应用1. 交通拥堵排队论可以用来研究交通拥堵的原因和解决方案，进一步优化交通网络资源的利用和流量的分配。

运筹学-排队论

运筹学-排队论

定长分布（D）：每个顾客接受的 服务时间是一个确定的常数。
负指数分布（M）：每个顾客接受
的服务时间相互独立，具有相同
的负指数分布：
b(t)=
e- t
t0
0
t<0
其中>0为一常数。
K阶爱尔朗分布（En）：
b(t)=
k(kt)k-1
(K-1)!
e- kt
当k=1时即为负指数分布；k 30,近似
M/M/1 等待制排队模型
单服务台问题，又表示为M/M/1/ ： 顾客相继到达时间服从参数为的负 指数分布；服务台数为1；服务时间 服从参数为的负指数分布；系统的 空间为无限，允许永远排队。
队长的分布
记 Pn=p{N=n} , n=0,1,2….为系统达到平衡状态后队 长的概率分布，
则 n=；n= ，= /<1， 有Pn= (1-)n n=0,1,2….
排队系统类型：
顾客到达
服务台串联排队系统
排队系统类型：
聚
散
服务机构
（输入）
（输出）
随机聚散服务系统
随机性——顾客到达情况与顾客 接受服务的时间是随机的。
一般来说，排队论所研究的排队 系统中，顾客相继到达时间间隔 和服务时间这两个量中至少有一 个是随机的，因此，排队论又称 随机服务理论。
顾客（单个或成批）相继到达的时
间间隔分布：这是刻划输入过程的
最重要内容。令T0=0，Tn表示第n顾
客到达的时刻，则有T0T1 T2…..
Tn ……
记Xn= Tn –Tn-1
n=1,2,…,则Xn是第n顾客与第n-1顾
客到达的时间间隔。
一般假定{Xn}是独立同分布，并 记分布函数为A(t)。

排队论

排队论

排队论研究的内容
（1）性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性， 主要是 研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等， 包括了瞬间和稳态两种情形。 （2）最优化问题，又分静态最优和动态最优，前者 指最优设计，后者指有排队系统的最优运营。 （3）排队系统的统计推断，即判断一个给定的排 队系统符合那种模型，以便根据排队理论进行分析 研究。
图 12-2
（d）顾客的到达可以是相互独立的，就是说，以前 的到达情况对于以后顾客的到来没有影响，否则就 是有关联的。例如，工厂内的机器在一个短的时间 区间内出现停机的数量（顾客到达）的就受已经待 修或被修理的机器数目的影响。我们主要讨论的是 相互独立的情形。
（e）输入过程可以是平稳的，或称对时间是齐次的， 是指描述相继到达的间隔时间分布和所含参数（如 期望值、方差等）都是与时间无关的，否则称为非 平稳的，非平稳情形的数学处理是很困难的。
趋于稳态，而无需等到t
形也确实存在的。
以后。但永远达不到稳态的情
求稳态概率Pn 时，并不一定求t 时 Pn (t) 的极限，而只需 令导数 Pn(t) 0 即可。我们以下着重研究稳态的情形。
到达间隔的分布和服务时间的分布
解决排队问题首先要根据原始资料作出顾客 到达间隔和服务时间的经验分布，然后按照统
（2）排队规则
（a）顾客到达时，如所有服务台都在被占用，在这种 情形下顾客可以随即离去，也可以排队等候。随即 离去的称为即时制或称损失制，因为这将失去许多 顾客；排队等候的称为等候制。
先到先服务，即按到达的次序接受服务， 后到先服务如乘电梯的顾客常是后入先出的,仓库中存
放的厚钢板也是如此。在情报系统中，最后到达的 信息往往是最有价值的 随机服务，指服务员从等待的顾客中随机地挑取其一 进行服务，因而不管到达的先后，如电话交换台接通 呼唤的电话就是如此。 有优先权的服务，如医院对于病情严重的患者将给予 优先治疗。

排队论

排队论

③ 普通性：对充分小的Δ t,在时间区间（t,t+Δ t）
内有2个或2个以上顾客到达的概率是Δ t的高阶无穷
小.即
P (t , t t ) o(t )
n2 n

由此知，在(t，t+Δ t)区间内没有顾客到达的概率为:
P0 (t , t t ) 1 Pi (t , t t )
. t0 . t1 . t2 . … . tn-1 . tn .
②平稳性：即对于足够小的Δ t，在时间区间[t，
t+t]内有1个顾客到达的概率为
P (t，t t ) t (t ) 1
设表示单位时间内有 一个顾客到达的概率 也就是在[t,t+Δ t]内有一个顾客到达的概率与t 无关,而与Δ t成正比。 λ >0 是常数，称为概率强度。
即时制：服务台个数是c时，n=1，，c
求解状态概率Pn(t)方法：建立含Pn(t)的微分
差分方程，通过求解微分差分方程得到系统瞬态
解，由于对瞬态解求出确定值比较困难，即便求 得一般也很难使用。因此我们常常使用它的极限 (如果存在的话)：
lim
t
p n (t ) p n
称为稳态(steady state)解，或称统计平衡状态 (Statistical Equilibrium State)的解。
排队论(Queueing Theory) （随机服务系统）
排队论（Queueing Theory)，也称随机服务系统理论，是
运筹学的一个重要分支之一。
1909年，丹麦哥本哈根电子公司电话工程师A. K. Erlang 的开创性论文“概率论和电话通讯理论”标志此理论的诞生。
排队论的发展最早是与电话，通信中的问题相联系的，这些

排队论

排队论
2
[M/M/C]模型 [M/M/C]模型
标准的[M/M/C]模型 标准的[M/M/C]模型[M/M/C]:[∞/∞/FCFS] 模型[M/M/C]:[∞/∞/FCFS] M/M/C型系统和C M/M/1 M/M/C型系统和C个M/M/1型系统 系统容量有限制的多服务台模型(M/M/C/N/∞) 系统容量有限制的多服务台模型(M/M/C/N/∞) 顾客源为有限的多服务台模型(M/M/C/∞/M) 顾客源为有限的多服务台模型(M/M/C/∞/M)
逗留时间
等待时间
=
+
服务时间
12
1.3 排队论研究的基本问题 1.排队系统的统计推断 : 即通过对排队系统主要参数 排队系统的统计推断: 的统计推断和对排队系统的结构分析， 的统计推断和对排队系统的结构分析 ， 判断一个给 定的排队系统符合于哪种模型， 定的排队系统符合于哪种模型 ， 以便根据排队理论 进行研究。 进行研究。 2.系统性态问题 :即研究各种排队系统的概率规律 系统性态问题: 主要研究队长分布、 性 ， 主要研究队长分布 、 等待时间分布和忙期分布 等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。 等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。 3.最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，最优 最优化问题：即包括最优设计(静态优化) 运营（动态优化） 运营（动态优化）。
§1.2 排队系统的模型分类
上述特征中最主要的、影响最大的是： 上述特征中最主要的、影响最大的是： 顾客相继到达的间隔时间分布 服务时间的分布 服务台数
9
D.G.Kendall，1953提出了分类法，称为Kendall记号(适用于 Kendall，1953提出了分类法 称为Kendall记号 提出了分类法， 记号( 并列服务台) 并列服务台)即：

排队论简述

排队论简述

0.9 1 2 3 0.3(人 / min) 3
八、M/M/S等待制排队模型
• 下表给出了M/M/3/∞和3个M/M/1/∞的比较：
项目 空闲的概率 顾客必须等待的概率 平均队长 平均排队长 M/M/3/∞ 0.0748 0.57 3.95 1.70 3个M/M/1/∞ 0.25（每个子系统） 0.75 9（整个系统） 2.25（每个子系统）
二、排队系统模型的基本组成部分
• 排队现象是由两个方面构成，一方要求得到服务，另 一方设法给予服务。我们把要求得到服务的人或物（ 设备）统称为顾客，给予服务的服务人员或服务机构 统称为服务员或服务台。顾客与服务台就构成一个排 队系统，或称为随机服务系统。显然缺少顾客或服务 台任何一方都不会形成排队系统。 • 对于任何一个排队服务系统，每一名顾客通过排队服 务系统总要经过如下过程：顾客到达、排队等待、接 受服务和离去，其过程如下图所示: 顾客总体 输入 队 伍 服务台 输出 服务系统
五、描述排队系统的主要数量指标

4.根据排队系统对应的理论模型求用以判断系统运 行优劣的基本数量指标的概率分布或特征数。 平均队长（Ls）:指系统内顾客数（包括正被服务的顾 客与排队等待服务的顾客）的数学期望。 平均队列长（Lq）:指系统内等待服务的顾客数的数学 期望。 平均逗留时间（Ws）:顾客在系统内逗留时间（包括排 队等待的时间和接受服务的时间）的数学期望 平均等待时间（Wq）:指一个顾客在排队系统中排队等 待时间的数学期望间 忙期（Tb）：指服务机构连续繁忙时间（顾客到达空 闲服务机构起，到服务机构再次空闲止的时间）长度 的数学期望
Ls Lq ,
Lq

,
Ws Wq
1

第六章 排队论模型

第六章 排队论模型

上述事例中的各种问题虽互不相同，但却都 有要求得到某种服务的人或物和提供服务的人或 机构。排队论里把要求服务的对象统称为“顾 客”,而把提供服务的人或机构称为“服务台”或 “服务员”。不同的顾客与服务组成了各式各样 的服务系统。顾客为了得到某种服务而到达系统、 若不能立即获得服务而又允许排队等待，则加入 等待队伍，待获得服务后离开系统。
12
③随机服务 (RAND) 。即当服务台空闲 时，不按照排队序列而随意指定某个顾客去 接受服务，如电话交换台接通呼叫电话就是 一例。 ④优先权服务 (PR)。如老人、儿童先进 车站；危重病员先就诊；遇到重要数据需要 处理计算机立即中断其他数据的处理等，均 属于此种服务规则。
13
(3)混合制．这是等待制与损失制相结合的一种 服务规则，一般是指允许排队，但又不允许队列无 限长下去。具体说来，大致有三种：
16
3、服务台
服务台可以从以下3方面来描述： (1) 服务台数量及构成形式。从数量上说，服务台有 单服务台和多服务台之分。从构成形式上看，服务台 有：①单队——单服务台式； ②单队——多服务台并联式； ③多队——多服务台并联式； ④单队——多服务台串联式； ⑤单队——多服务台并串联混合式,以及多队列多 服务台并串联混合式等等。 如之前的分类模型图所示。
2
排队论历史：
起源于1909年在丹麦哥本哈根电子公司工作的电话工程 师A. K. Erlang(A.K.爱尔朗)对电话通话拥挤问题的研究工作， 其开创性论文---概率论和电话通讯理论则标志此理论的诞生。 表明了排队论的发展最早是与电话，通信中的问题相联系的， 并到现在也还是排队论的传统的应用领域。近年来在计算机通 讯网络系统、交通运输、医疗卫生系统、各类生产服务、库存 管理等等各领域中均得到广泛的应用。 排队论具体事例：

排队理论(queueing theory)

排队理论(queueing theory)

[编辑]
排队系统模型的基本组成部分
排队系统又称服务系统。服务系统由服务机构和服务对象（顾客）构成。服务对象到来的时 刻和对他服务的时间（即占用服务系统的时间）都是随机的。图 1 为一最简单的排队系统模型。 排队系统包括三个组成部分：输入过程、排队规则和服务机构。
[编辑]
输入过程
输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。它可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾 客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。例如，在生产线上加工的零件按 规定的间隔时间依次到达加工地点，定期运行的班车、班机等都属于确定型输入。随机型的输入 是指在时间 t 内顾客到达数 n（t）服从一定的随机分布。如服从泊松分布,则在时间 t 内到达 n 个顾客的概率为
在单队单服务台的情况下:
, 多队多服务台可看作是多个单队单服务台。在单队 k 个服务台的情况下:
，
三、超市收银台的优化设计
作为顾客来说，超市收银台越多越好越方便，而就超市经营者来说，增加收银台就要增加投 资。所以应该合理的规划收银台的数量，使得既不会因为收银台的数量过多而造成资源闲置浪
费，也不会因为收银台的数量过少而造成严重的排队现象。因此可对超市收银台进行管理和优化 设计。
Ls = Ls(C)
化简得：
(5)
通过计算机模拟依次算出 LS(1),LS(2),LS(3)…相邻两项之差，看常数落在哪两者之间，从而确 定使顾客损失费用和公司服务成本之和达到最优化服务台个数 C 的最优解 C * 。
1.对超市布局进行合理规划，为顾客营造出温馨，简便的购物环境。让顾客在尽量短的时间 内买到自己想买的商品，提高单位时间内进出超市的客流量，这样既节省了顾客的时间，也使超 市增加了顾客的流量，从而使超市的经营效率得到了提高。对于大型的超市在恰当的位置增加导 购员使一种很好的方法。对于第一次来消费的顾客，导购员的指导就会大量的减少他们的漫无目 的的逗留时间。收银台前的管理也是非常重要的，尽量让等待的顾客按顺序排队，避免过分的拥 挤和混乱。

第六节 交通流理论-排队论

第六节 交通流理论-排队论

二、排队论的基本原理
• 1．基本概念 • 1) “排队”与“排队系统”的概念 • “排队”—单指等待服务的，不包括正在被服务的；
• “排队系统”—既包括等待服务的，又包括正在被服务的车辆。
排队的车辆
排队系统 中的车辆
• 排队的 • 排队系统
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8辆车 10辆车
• 2)排队系统的3个组成部分：
输入
排队
• ①定长分布：每一顾客的服务时间都相等（发放物 品）；
• ②负指数分布：即各顾客的服务时间相互独立，服从 相同的负指数分布(看病)； • ③爱尔朗分布：即各顾客的服务时间相互独立，具有 相同的爱尔朗分布。
• 为叙述方便，引用下列符号，令
• M代表泊松分布输入或负指数分布服务；
• D代表定长分布输入或定长分布服务；
• 混合制：顾客到达时，若队伍长小于L，就排入队伍； 若队伍长等于L，顾客就离去，永不再来。
• 2)排队系统的3个组成部分：
• (3)服务方式(输出)指同一时刻有多少服务台可接纳顾 客，每一顾客服务了多少时间。每次服务可以接待单 个顾客，也可以成批接待，例如公共汽车一次就装载 大批乘客。
• 服务时间的分布主要有如下几种：
• (2)排队(规则)指到达的顾客按怎样的次序接受服务。 例如： • 损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾 客就自动消失，永不再来。
• 等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他们 就排成队伍，等待服务，服务次序有先到先服务(这 是最通常的情形)和优先权服务(如急救车、消防车 优先)等多种规则。

1


(1 ) 2
7)系统中的平均消耗时间 d

1
8)排队中的平均等待时间 w d

排队论简介

排队论简介
18
2. 排队规则
混合制． (3) 混合制 ． 这是等待制与损失制相结合的一 种服务规则， 一般是指允许排队， 种服务规则 ， 一般是指允许排队 ， 但又不允许队 列无限长下去。具体说来，大致有三种： 列无限长下去。具体说来，大致有三种： 队长有限。 ① 队长有限。当排队等待服务顾客人数超过 规定数量时，后来顾客就自动离去，另求服务。 规定数量时，后来顾客就自动离去，另求服务。 如水库的库容、 如水库的库容、旅馆的床位等都是有限的。
12
前 言
顾客排队时间的长短与服务设施规模的 大小， 大小，就构成了设计随机服务系统中的一对 矛盾。 矛盾。 如何做到既保证一定的服务质量指标， 如何做到既保证一定的服务质量指标， 又使服务设施费用经济合理， 又使服务设施费用经济合理，恰当地解决顾 客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾。 客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾。 这就是随机服务系统理论——排队论所 排队论所 这就是随机服务系统理论 要研究解决的问题。 要研究解决的问题。
19
2. 排队规则
等待时间有限。 ② 等待时间有限 。 即顾客在系统中的 等待时间不超过某一给定的长度T 等待时间不超过某一给定的长度T，当等待 时间超过T 顾客自动离去，不再回来。 时间超过T时，顾客自动离去，不再回来。 如易损坏的电子元器件的库存问题， 如易损坏的电子元器件的库存问题 ， 超过一定存储时间被自动认为失效。 超过一定存储时间被自动认为失效。 又如顾客到饭馆就餐， 又如顾客到饭馆就餐 ， 等了一定时间后 不愿再等而自动离去另找饭店用餐。 不愿再等而自动离去另找饭店用餐。
22
二、排队系统的描述符号与模型分类 上述特征中最主要的、影响最大的是： 上述特征中最主要的、影响最大的是： • 顾客相继到达的间隔时间分布 • 服务时间的分布 • 服务台数 D.G.Kendall，1953提出了分类法，称为Kendall D.G.Kendall，1953提出了分类法，称为Kendall 提出了分类法 记号(适用于并列服务台) 记号(适用于并列服务台)即：[X/Y/Z]:[d/e/f]

运筹学 排队论

运筹学 排队论

运筹学排队论引言排队论是运筹学中的一个重要分支，它研究的是如何优化排队系统的设计和管理。

排队论广泛应用于各个领域，如交通流量控制、银行业务流程优化、生产线调度等，对于提高效率和降低成本具有重要意义。

本文将介绍排队论的基本概念、排队模型以及应用案例，帮助读者了解运筹学中排队论的基本原理和应用方法。

什么是排队论排队论是一门研究排队现象的数学理论，它通过定义排队系统的各个要素，如顾客到达率、服务率、队列容量等，建立数学模型分析和优化排队系统的性能指标。

排队论主要研究以下几个方面：•排队系统的模型：包括单服务器排队系统、多服务器排队系统、顾客数量有限的排队系统等。

•排队系统的性能指标：包括平均等待时间、系统繁忙率、系统容量利用率等。

•排队系统的优化方法：包括服务策略优化、系统容量规划等。

排队论的基本概念到达过程排队论中的到达过程是指顾客到达排队系统的时间间隔的随机过程。

常用的到达过程有泊松过程、指数分布等。

到达过程的特征决定了顾客到达的规律。

服务过程排队论中的服务过程是指服务器对顾客进行服务的时间间隔的随机过程。

常用的服务过程有指数分布、正态分布等。

服务过程的特征决定了服务的速度和效率。

排队模型排队模型是排队论中的数学模型，用于描述排队系统的性能和行为。

常用的排队模型有M/M/1模型、M/M/s模型等。

这些模型分别表示单服务器排队系统和多服务器排队系统。

性能指标排队系统的性能指标用于评估系统的性能，常见的性能指标有平均等待时间、系统繁忙率、系统容量利用率等。

这些指标可以帮助决策者优化排队系统的设计和管理。

排队模型与分析M/M/1模型M/M/1模型是排队理论中最简单的排队系统模型，它是一个单服务器、顾客到达过程和服务过程均为指数分布的排队系统。

M/M/1模型的性能指标可以通过排队论的公式计算得出。

M/M/s模型M/M/s模型是排队理论中的多服务器排队模型，它是一个多个服务器、顾客到达过程和服务过程均为指数分布的排队系统。

排队论

排队论

X/Y/Z/A/B/C
前三项意义不变，而 A——系统容量限制N； B——顾客源数m； C——服务规则：FCFS（先到先服务）；LCFC （后到先服务）。
约定： 如省略后三项，表示 M / M / 2 / ∞ / ∞ / FCFS
排队系统
湖北工业大学 理学院 ZNL
1、队长Ls： 指在系统中的顾客数。 2、排队长Lq： 指系统中排队等候服务的顾客数。
3、M/M/1参数计算
u M／M／1 模型
（1）系统中平均顾客数（Ls）
LS nPn (1 ) 2 2(1 ) 3 3(1 ) n0 (1 )( 2 2 3 3 )
记
S 2 2 3 3 S 2 2 3 3 4
(1
)S
2
3
1
Ls
1
-λP0+μP1=0
(3)
λPn-1+μPn+1-(λ+μ)Pn=0
(4)
由式(3)得
P1
P0
通过求解可得
Pn
（ ）n
P0
,
u M／M／1 模型 n 0，1，2，
Pn
n1
P0 ( 1 2
)
P0
1
1
1
1
P0 1 Pn n (1 ), n 1
参数意义：
λ —— 单位时间内到达的平均顾客数 μ —— 单位时间内服务的平均顾客数 ρ —— 服务强度
例 (1)顾客到达某商店的间隔时间服从参数为10的指数分 布等同于(2)该商店在单位时间内到达的顾客数服从参数为 10的泊松分布
注：(1)指两个顾客到达商店的平均间隔时间是0.1个单位 时间.
(2)指一个单位时间内平均到达10个顾客

排队论在交通优化中的使用方法与实践分析

排队论在交通优化中的使用方法与实践分析

排队论在交通优化中的使用方法与实践分析摘要：交通优化是一个涉及城市发展和公共资源分配的重要领域。

排队论作为一种数学模型和统计方法，被广泛应用于交通系统的设计和优化中。

本文将介绍排队论在交通优化中的使用方法和实践，并分析其在不同交通场景中的应用情况。

第一节：排队论简介排队论是研究排队现象的数学理论，它可以分析排队长度、平均等待时间和服务水平等指标。

在交通优化中，排队论可以帮助我们理解交通流量和拥堵状况，并提供有效的优化策略。

第二节：排队论在交通信号优化中的应用在城市交通中，交通信号的优化是提高交通效率的关键。

排队论可以帮助我们分析交通信号的调度策略，并通过优化信号配时方案来减少交通拥堵。

通过收集车辆的到达时间和通过时间数据，我们可以建立交通信号优化模型，并通过排队论分析确定最佳的信号周期和绿灯时长。

第三节：排队论在交通流量预测中的应用交通流量预测是交通规划和管理中的重要环节。

排队论可以通过建立排队模型，分析车辆进入和离开队列的速率，预测交通流量的变化。

同时，排队论还可以帮助我们确定最佳的道路容量和交通设施规划，以应对不同交通流量的挑战。

第四节：排队论在公共交通优化中的应用公共交通系统的优化是提高城市交通效率和改善居民出行体验的重要手段。

排队论可以帮助我们分析公共交通线路的运行规律和乘客需求，优化车辆的发车间隔和乘车时间。

通过排队论的应用，我们可以提高公共交通系统的利用率，减少乘客的等待时间和拥挤程度。

第五节：排队论在停车场优化中的应用停车场的规划和管理对交通系统的流畅和停车用户的便利至关重要。

排队论可以帮助我们确定最佳的停车位容量和停车策略，减少停车场的排队长度和等待时间。

通过排队论的应用，我们可以提供更好的停车服务，优化城市停车资源的分配。

第六节：排队论在交通事故处理中的应用交通事故的处理对于交通安全和畅通具有重要影响。

排队论可以帮助我们分析事故发生和处理的时间分布，优化事故处理的调度和资源分配。

运筹学-第十章-排队论

运筹学-第十章-排队论
一般来说，排队论所研究的排队系统中，顾客到来的时 刻和服务台提供服务的时间长短都是随机的，因此这样 的服务系统被称为随机服务系统
小结
排队系统又称随机服务系统 ① 有请求服务的人或物； ② 有为顾客服务的人或物； ③ 顾客到达时间与接受服务时间是随机的。
结构： 顾客到达 ----- 排队 ------ 服务机构服务 ------ 顾客离去
类似地还可画出许多其他形式的排队系统，如串并混联的 系统，网络排队系统等
尽管各种排队系统的具体形式不同，但都可以由图10-5 加以描述
图10-5 随机服务系统
通常称上图表示的系统为一随机聚散服务系统，任一排队系 统都是一个随机聚散服务系统。 这里，“聚”表示顾客的到达，“散”表示顾客的离去。
所谓随机性则是排队系统的一个普遍特点，是指顾客的 到达情况(如相继到达时间间隔)与每个顾客接受服务的时 间往往是事先无法确切知道的，或者说是随机的。
II
在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。
3、其他相关指标
(1)忙期服务量：指一个忙期内系统平均完成 服务的顾客数；
(2)损失率: 指顾客到达排队系统，未接受服务 而离去的概率;
（对损失制或系统容量有限而言） (3)服务强度： = /s ；
根据前面的约定，我们将主要分析系统的平稳分布。于是记： Pn ：当系统达到统计平衡时处于状态n的概率（pn(t)）
② 等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间不超过 某一给定的长度T，当等待时间超过T 时，顾客将自动 离去，并不再回来。 如顾客到饭馆就餐，等了一定时间后不愿再等而自动 离去另找饭店用餐。
③ 逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。例如 用高射炮射击敌机，当敌机飞越高射炮射击有效区 域的时间为t 时，若在这个时间内未被击落，也就不 可能再被击落了。

计算机网络的排队论模型

计算机网络的排队论模型

计算机网络的排队论模型计算机网络是现代社会中不可或缺的一部分，它连接了人们、企业和机构，带来了信息的快速传递和资源的共享。

然而，在网络中，由于各种因素的存在，比如带宽限制、网络拥塞、数据包丢失等，会导致网络性能下降和用户体验下降的问题。

为了解决这些问题，排队论模型被引入到计算机网络中，用于研究和优化网络的性能。

一、排队论简介排队论是一种数学工具，用于研究到达一个服务系统的输入和离开系统的输出之间的关系。

它通过建立数学模型来描述输入、服务和输出的过程，并通过一些指标来衡量系统的性能。

在计算机网络中，排队论被广泛应用于分析和优化网络性能，如网络延迟、带宽利用率等问题。

二、排队论模型的基本元素在计算机网络的排队论模型中，有四个基本元素，分别是顾客、服务设备、队列和调度策略。

1. 顾客：顾客是指网络中需要进行服务的对象，可以是一个用户、一个数据包等。

每个顾客都有自己的到达时间和服务时间。

2. 服务设备：服务设备是指完成顾客服务的实体，可以是一个路由器、一个服务器等。

服务设备具有能力对顾客进行服务，并有一定的服务速率。

3. 队列：当顾客到达服务设备时，如果服务设备正在为其他顾客进行服务，该顾客将会进入队列中等待。

队列可以有多种形式，如先进先出(FIFO)队列、优先级队列等。

4. 调度策略：调度策略是指决定哪个顾客能够获得服务的规则。

常见的调度策略有先来先服务(FCFS)、最短作业优先(SJF)、循环调度(Round Robin)等。

三、排队论模型的应用排队论模型在计算机网络中有多种应用，以下是其中几个典型的应用场景。

1. 带宽利用率：通过排队论模型，可以分析网络中的数据流量和带宽的利用率。

根据顾客到达率、服务速率以及调度策略，可以计算出网络中数据包的平均排队长度、平均等待时间等指标，从而评估网络的带宽利用率。

2. 延迟分析：网络的延迟是影响用户体验的重要指标。

排队论模型可以帮助分析和优化网络的延迟。

通过调整服务速率、队列容量以及调度策略等因素，可以降低网络的延迟。

排队论

排队论

后到先服务LCFS，
有优先权服务PS， 随机服务RF。
（c）混合制排队
队长有限 等待时间有限 逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限
排队系统的三大要素描述 三、服务机制 主要包括服务设施的数量、连接形式、服务方式及服务时间 分布等. 服务设施的数量：一个或多个，分别称为单服务台与多服 务台排队系统； 连接形式：串联、并联、混联和网络等； 服务方式：单个或成批服务； 服务时间的分布：其中服务时间分布是最重要因素， 记服务台服务时间为V, 其分布函数为B(t), 密度函数为b(t), 常见的分布有： (1) 定长分布（D）
特别的,当t 1, 有E ( N (1)) , 可看成单位时间内到达顾客的平均数.
Poisson过程有如下性质：
(1) 在[t, t+△t] 时间内没有顾客到达的概率为
P0 (t ) e t (1 t ) o(t ) 1 t
(1) 在[t, t+△t] 时间内恰好有一个顾客到达的概率为 P (t ) 1 P0 (t ) (t ) t 1
无限状态生灭过程 定义：设｛N(t)，t ≥0 ｝是一个随机过程（其中N(t)表示时刻 t 系统中的顾客数）。若N(t)的概率分布具有如下性质： 1. 假设N(t) = n ，则从时刻 t 起到下一个顾客到达时刻止的 时间服从参数为 n 的负指数分布，n = 0，1，2，…。 2. 假设N(t) = n ，则从时刻 t 起到下一个顾客离去时刻止的 时间服从参数为 n 的负指数分布，n = 1，2，…。 3. 同一时刻只有一个顾客到达或离去。 则称｛N(t)，t ≥0 ｝是一个生灭过程。
Erlang输入(Ek) 顾客相继到达时间间隔{Xn}相互独立，具有相同的Erlang分布密度 函数
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fT(t)

t
t
t
T：元件寿命。元件已使用t 小时的条件下，一共能用 t t 的概率＝从开始算起至少能用 t 的概率。即元件对于已使用 t 小时没有记忆。（无记忆性）
指数分布性质2
无后效性
P(T t t / T t ) P(T t )
P(T t t / T t ) P(T t t and T t ) P(T t ) P(T t t ) e (t t ) et et ( t ) t et P(T t ) P(T t ) e e
一、随机变量与概率分布
1 2 2 连续型随机变量 a ( x) e x , e x 0 密度函数 密度函数 a( x) 2 ( 0) 概率密度函数 x R, 0 ( x R , 0) , 0 概率分布函数 2 2 E ( X ) , D ( X ) E ( X ) 1 / , D( X ) 1 / 数学期望和方差 2 X ~ N ( , )
例如
这些随机变量都有如下特点： 一放射性源放射出的 粒子数； 都取正整数，且与时间间隔长度关； 取值概率只与时间间隔的长度有关， 某电话交换台收到的电话呼叫数； 而与从哪个时刻开始算起没有关系； 到某机场降落的飞机数 ; 在互不相交的时间间隔内，彼此没有 影响。

一个售货员接待的顾客数; 一台纺纱机的断头数; …
泊松分布的图形特点：X~P( λ)
二项分布与泊松分布
历史上，泊松分布是作为二项分布的近 似，于1837年由法国数学家泊松引入的 . 在实际中，许多随机现象服从或近 似服从泊松分布.
泊松定理：
pn ，则有 设 是一个正整数， n

lim C p (1 pn )
n k n k n
n k
泊松分布产生的一般条件
在自然界和人们的现实生活中,经常要遇 到在随机时刻出现的某种事件.我们把在随机 时刻相继出现的事件所形成的序列,叫做随机 事件流. 若事件流具有平稳性、无后效性、普通性， 则称该事件流为泊松事件流（泊松流）.
下面简要解释平稳性、无后效性、普通性.
平稳性:
在任意时间区间内[t, t+t) ，事件发生k次(k≥0)的 概率只依赖于区间长度t，而与区间起点t无关.

随机变量X为时间(长度），如产品的尺寸、 随机变量X为时间间隔，如顾客到达的 重量、测量误差等。 时间间隔、电话呼叫的时间、产品的寿命等。 随机变量 ( x )2
常见连续型随机变量的概率分布
均匀分布 指数分布？ 正态分布？ k阶爱尔朗分布？

指数分布
随机变量 T
均值 方差
E (T )
EN (t ) t , DN (t ) t
N (t ) 服从参数为 t的Piosson分布
(t ) n t P{N (t ) n} e n!
n 1,2,...
Poisson过程与负指数分布 t) 定理2：设 N (为时间 内到达系统的顾客数 0 ,t 则 {N (t为参数为 ), t 0} 的Poisson 过程的
e


k
k!
, k 0,1,2,,
由此可知 设随机变量Xn~B(n, p), (n＝0, 1, 2,…), 且n很大，p很小，记=np，则
P{X k}

k
k!
e

,
k 0,1,2,...
Poisson分布可以作为大量试验中稀有事件 出现的频数的概率分布数学模型。 如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等
1

2
密度函数
1 Var(T )
αe αt fT (t ) 0
分布函数
for t 0 for t 0
fT(t)

P(T t) 1 eFra bibliotekαtE (T ) 1

t
指数分布性质1
fT(t) 是一个严格下降函数
P (0 T t ) P (t T t t )
无后效性:
在不相交的时间区间内，事件的发生是相互独立的，前 一区间内发生的事件数不影响到后面区间事件的发生数的 概率.
普通性:
在足够短的时间内，事件出现两次或两次以上的概率 可忽略不计.
对泊松流，在任意时间间隔(0,t)内,事件 (如交通事故)出现的次数服从参数为 λ t 的 泊松分布 . λ 称为泊松流的强度.
取值概率只与时间间隔的长度有关，而与从那个时刻开 始算起没有关系；不管多长时间(t)已经过去， 逗留时 间的概率分布与下一个事件的相同.
Poisson过程与Poisson分布
t) 定理1：设 N (为时间 内到达系统的顾客数 0 ,t 则 {N (t为 ), tPoisson 0} 过程的充要条件是
充要条件是相继到达的时间间隔T服从相互 独立的参数为 的负指数分布。
e t , t 0 aT (t ) 0 , t 0
X n：第n个顾客与第n-1个顾客到达的时间间隔；
Xn
数学期望和方差 常见离散型随机变量的概率分布

二点分布? 二项式分布? Poisson分布?

泊松分布的定义及图形特点
设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：
P ( X k ) e


k
k!
, k0,1,2,,
其中 λ >0 是常数,则称 X 服从参数为 λ的 泊松分布,记作X~P(λ ).
一、概率论回顾
P( X 1) p, P( k X 0) 1 p 1.1、随机变量与概率分布 k k nke P ( X k ) P( X k ) Cn p q 随机变量 k! , (k 0,1,, n) k 0,1, ; 0 离散型随机变量 E ( X ) , D( X ) 概率分布和概率分布图