必修4 平面向量知识点小结
一、向量的基本概念
1.向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别.
向量常用有向线段来表示 .
注意:不能说向量就是有向线段,为什么?提示:向量可以平移.
举例 1 已知A(1,2),B(4,2),则把向量u A u B ur按向量a r( 1,3)平移后得到的向量是. 结果:(3,0)
2.零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作:0r,规定:零向量的方向是任意的;
3.单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位
向量(与u A uu B r共线uuur
的单位向量是u A u B ur );
| AB|
4.相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;
5.平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量
a r、
b r叫做平行向量,记作:a r∥b r,
规定:零向量和任何向量平行 . 注:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合;
③平行向量无传递性!(因为有r0);
④三点A、B、C 共线u A uu B r、u A u C ur共线.
6.相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量 . a r的相反向量记作a r.
举例 2 如下列命题:(1)若|a r | |b r | ,则a r b r. (2)两个向量相
等的充要条件是它们的起点相同,终点相同 . (3)若u A u B ur
u D u C u r,则ABCD是平行四边形 .
(4)若ABCD是平行四边形,则u A uu B r u D u C uur.
(5)若a r b r,b r c r,则a r c r.
(6)若a r / /b r,b r / /c r则a r / /c r.其中正确的是. 结果:(4)(5)
二、向量的表示方法
1.几何表示:用带箭头的有向线段表示,如AB ,注意起点在前,终点在后;
2. 符号表示 :用一个小写的英文字母来表示,如 a r ,b r , c r 等;
3. 坐标表示 :在平面内建立直角坐标系,以与 x 轴、 y 轴方向相同 的两个单位向量 i r , r j 为基底,则平面内的任一向量 a r 可表示为 a r xi r y r j (x, y ) ,称 ( x, y )为向量 a r 的坐标, a r (x, y )叫做向量 a r 的坐标表示 .
结论:如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标 相同.
三、平面向量的基本定理
定理 设e r 1
,e r 2
同一平面内的一组基底向量, a r 是该平面内任一向量, 则存在唯一实数对 ( 1, 2
),使 a r 1
e r 1 2
e r 2
.
1)定理核心: a r
λ1e r 1 λ2e
r 2
;(2)从左向右看,是对向量 a r
的分
解,且
表达式唯一;反之,是对向量 a r
的合成 .
(3)向量的正交分解:当 e r 1
,e r 2
时,就说 a r λ1r e 1 λ2r e 2
为对向量 a r
的正交分 解.
举例 3 (1)若 a r
(1,1), b r
(1, 1), c r
( 1,2) ,则 c r
. 结果:
1r 3 r a b
.
22
(2)下列向量组中, 能作为平面内所有向量基底的是 B A. e r 1
(0,0) , e r 2
(1, 2) B. r e 1
( 1,2) , e r 2
(5,7) C. r e 1
(3,5) , e r 2
(6,10)
(1)模:| a r | | | |a r |;
(2)方向:当 0时, a r 的方向与 a r 的方向相同,当
D. e r 1
(2, 3) , 1, 3 ,
24
(3)已知u A u D ur ,u B u E ur
分别是 可用向量 a r
,b r
表示为 . (4)已知 △ABC 中,点 值是 . 结果: 0 四、实数与向量的积 实数 与向量 a r 的积是 下: △ABC 的边 BC ,AC 上的中线 ,
且 u A u D ur
a r
4
r a
2
果 结上 边
B u u r B
u u u u r
u u r
u u u u r C u 的
u u r u u 个向量,记作 a r ,它的长度和方向规定如
方向与a r的方向相反,当0时,a r r0,注意:a r 0.
五、平面向量的数量积
1. 两个向量的夹角:对于非零向量a r,
b r,
)称为向量a r,b r的夹角. uuur r
作OA
a r,
u r
u u把
r b
AOB (0
当 0时, a r , b r 同向;当 时, a r , b r 反向;当 2时,a r ,b r 垂
直
. 2. 平面向量的数量积 :如果两个非零向量 a r , b r ,它们的夹角为 , 我们把数量 | a r || b r | cos 叫做 a r 与b r 的数量积(或内积或点积) ,记作: a r b r , 即 a r b r |a r | |b r |cos .
规定:零向量与任一向量的数量积是 0. 注:数量积是一个实数,不再是一个向量 举例 4
(1
)△ ABC 中,| u A uu B r
| 3 ,|u A uu C r
| 4 ,|u B u C ur
| 5 ,则 9
.
uuur uuur AB BC
果
:
结
果:
2)已知a r
1,21
,b r
0, 12
,c r
a r
kb r
,d r
a r
b r
,c r
与d r
的夹角为 4
,则k
1. 3)已知 |a r
| 2,|b r
| 5, a r
b r
3,则 |a r
b r
| ___ . 结果: 23. 4)已知 r
a, r
b 是两个非零向量,且| a r
| |b r
| |a r
b r
|,则a r
与a r
b r
的夹角为 30o . 结果: 3.向量b r 在向量 a r
上的投影: |b r | cos ,它是一个实数,但不一定大于 0. 举例 5 已知|a r
| 3,|b r
| 5,且 a r
b r
12 ,则向量 a r
在向量 b r
上的投影为 ___ . 结果: 152
.
5
4. a r b r 的几何意义 :数量积 a r b r 等于a r 的模|a r |与b r 在a r 上的投影的积 .
5. 向量数量积的性质 :设两个非零向量 a r , ( 1) a r b a r b 0 ; (2)当 a r 、 b 同向时, a r b |a r | |b|,特别地, a r b r |a r | | b r |是a r 、 b r
同向的充要分条件 ; 当a r 、 b r 反向时, a r b r |a r | |b r |,a r b r |a r | 件; 当 为锐角时, a r b r 0,且 a r 、b r 不同向, 充分条件 ; 当 为钝角时, a r b r 0 ,且 a r 、 b r 不反向; 充分条件 .
(3)非零向量 a r , b r 夹角
b r ,其夹角为 ,
则:
a r 2
|b r |是a r 、 b r 反向的充要分条 ab ab 的计算公
式: cos 0 是 为锐角的 必要不 0 是 为钝角的 必要不 | a r a ||b b r | ;④ a r b r |a r ||b r | . 举例 6 取值范1)已知 a r
( ,2 ) , b r
(3 ,2) ,如果 a r
与b r
的夹角为锐角,则 的 3
或 0
且 3
;
(2)已知△OFQ 的面积为 S ,且
u O u F ur u F u Q ur 1
,若
12 S 23
,则
u O u F ur
, u F u Q ur
夹角
的 取值范围是 _____ . 结果: 4, 3
;
43
①用 k 表示 a r
b r
;②求 a r
b r
的最小值,并求此时 a r
与b r
的夹角 的大小. 结果:① a r
b r k 4k 1
(k 0) ;②最小值为 12
, 60o
. 六、向量的运算
1. 几何运算 (1)向量加法
运算法则:①平行四边形法则;②三角形法则 . r 运算形式:若 u A uu B r a r , u B uu C r b r ,则向量u A uu C r 叫做 a r
与b 的和,即 r r uuur uuur uuur a b AB BC AC ;
作图:略 . 注:平行四边形法则只适用于不共线的向
量 .
(2)向量的减法 运算法则:三角形法则 . 运算形式:若 u A uu B r a r , u A u C ur b r ,则 a r b r u A u B ur u A uu C r C uu A ur ,即由减向量的终 点指向被减向量的终点 .
作图:略 .
注:减向量与被减向量的起点相同 .
举例 7
( 1
)化简:①
u A u B ur
u B u C ur
C uu
D ur
;② u A uu B r
u A u D ur
u D uu C ur
;③
uuur uuur uuur uuur uuur uuur r (AB CD) (AC BD) . 结果:① AD ;② CB ;③ 0;
(2
)若正方形 ABCD 的边长为 1
,u A u B ur
a r
,u B u C ur
b r
,u A u C ur r
c ,则 |a r
b r
c r
|
.
结果: 2 2 ;
(3
)若O 是△ABC 所在平面内一点,且满足 O uu B ur
O uu C ur u O u B ur
O uu C ur
2u O u A ur
,则△ABC 的 形状为 . 结果:直角三角形;
( 4)若 D 为 △ ABC 的边 BC 的中点, △ ABC 所在平面内有一点 P ,满足 u P u A ur u B u P ur
C uu P ur r
0,设 || u u P
Au u D
uP ur r |
| ,则 的值为 . 结果:2;
(5)若点O 是 △ABC 的外心,且 u O u A ur u O uu B r u C uu O r r
0 ,则
△ABC 的内角 C 为 . 结
果: 120o
.
2. 坐标运算 :设 a r (x 1,y 1) ,b (x 2,y 2
) ,则
(1)向量的加减法运算 :a r b (x 1 x 2,y 1 y 2),a r b (x 1 x 2,y 1 y 2
) . 举例 8 (1)已知
3)已知 a r
(cos x,sin x) , r
b (cos y,sin y) ,
且满足 |k r
a b | 3|a r
kb|
其中 k 0 )