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第十八章 隐函数定理及其应用§4条件极值以往所讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义域，但是另外还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还受到各自不同条件的限制.例如 要设计一个容量为V 的长方形开口水箱，试问水箱的长ֽ宽ֽ高各等于多少时，其表面积最小？为此，设水箱的长ֽ宽ֽ高分别为z y x ,,，则表面积为.)(2),,(xy yz xz z y x S ++=依题意，上述表面积函数的自变量不仅要符合定义域的要求)0,0,0(>>>z y x ，而且还须满足条件.V xyz = （1）这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题.结论1：条件极值问题的一般形式是在条件组．．．．．．．．．．．．．．．．)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ （2）的限制下，求目标函数．．．．．．．．．．),,,(21n x x x f y = （．3．）．的极值．．．.．☆ 求条件极值的方法: 转化为无条件极值1、 用消元法将条件极值化为无条件极值问题来求解有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 如上面的例子，由条件（1）解出xy V z =，并代入函数),,(z y x S 中，得到.)11(2),,(),(xy xy V xy V y x S y x F ++== 然后按)0,0(),(=y x F F ，求出稳定点32V y x ==，并有3221V z =.最后判定在此稳定点上取得最小面积3243V S =.注．：1）在一般情形下要从条件组（2）中解出m 个变元并不总是可能的.下面我们介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法.2、用拉格朗日乘数法在多数情况下较难把条件极值直接(例如消元法)转化为无条件极值, 需要用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法.（1） 从较简单的情况入手设ϕ,f 均为二元函数，欲求函数),(y x f z = （4）在条件 0),(:=y x C ϕ （5） 的限制下的极值问题.我们有以下结论.结论2：若函数．．．),(y x f z =在．0),(=y x ϕ的附加条件下．．．．．．,．在点．．),(00y x 取得极值．．．．,．则．0),(00=y x ϕ, ．又如果．．．),(y x f z =在点．．0P 可微、．．．0),(=y x ϕ在点．．0P 的某邻域内能惟一确定可微的．．．．．．．．．．．．．隐函数．．．)(x g y =，．则有．．.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ϕϕ (8) 上述等式等价于．．．．．．．⎪⎭⎪⎬⎫==+=+.0)(,0)()(,0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ （9） 如果引入辅助变量．．．．．．．．λ和辅助函数．．．．．),,(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+= (10)则．(9)．．．中三式就是．．．．．⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=.0)(),(,0)()(),,(,0)()(),,(000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕϕλλϕλλλ (11)这样就把条件极值问题．．．．．．．．．．(4),(5)．．．．．．．转化为讨论函数．．．．．．．(10)．．．．的无条件极值问题．．．．．．．．.． 事实上:①0),(00=y x ϕ显然.②∵0),(=y x ϕ在点0P 的某邻域内能惟一确定可微的隐函数)(x g y =，∴0x x =必定是))(,(x g x f z =的极值点，所以，由),(y x f z =在0P 可微，)(x g y =在0x 可微，得到.0)('),(),(00000=+x g y x f y x f y x (6) 又 .),(),()('00000y x y x x g y x ϕϕ-= (7)把(7)代入(6)后又得到.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ϕϕ (8)③由（8）可知方程组⎩⎨⎧=+=+0)()(0)()(0000P b P af P b P af y y x x ϕϕ 有非零解，不妨设0≠a ，令a b=0λ代如上试可得⎩⎨⎧=+=+0)()(0)()(000000P P f P P f y y x x ϕλϕλ.考虑到条件0),(00=y x ϕ即得⎪⎭⎪⎬⎫==+=+.0)(,0)()(,0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ （9）④引入辅助变量λ和辅助函数),,(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+= 则(9)中三式就是⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=.0)(),(,0)()(),,(,0)()(),,(000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕϕλλϕλλλ ▋注．：1）上述结论就把条件极值问题转化为讨论函数(10)的无条件极值问题。
计算条件极值
条件极值是指在一定的条件下，函数取得的最大值或最小值。
计算条件极值需要使用拉格朗日乘数法。
假设有一个函数f(x,y)，需要在条件g(x,y)=0的情况下求出f(x,y)的极值。
首先，我们需要构造一个拉格朗日函数L(x,y,λ)，它的表达式为：
L(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y)
其中，λ是拉格朗日乘数。
接下来，我们需要求出L(x,y,λ)对x、y和λ的偏导数，并令它们等于0：
∂L/∂x = ∂f/∂x + λ∂g/∂x = 0
∂L/∂y = ∂f/∂y + λ∂g/∂y = 0
∂L/∂λ= g(x,y) = 0
解这个方程组，就可以求出x、y和λ的值。
将这些值代入原函数f(x,y)中，就可以得到条件极值。
需要注意的是，拉格朗日乘数法只能求出条件极值，而不能求出无条件极值。
此外，如果条件g(x,y)不是光滑的函数，那么拉格朗日乘数法也无法求出极值。
拉格朗日乘数法是一种非常重要的数学工具，它在物理、经济学、工程学等领域都有广泛的应用。
多元函数条件极值本文讨论的是多元函数条件极值问题。
极值是指函数的极大值和极小值，而条件极值是函数在某特定条件下的极大值或极小值。
多元函数条件极值是指在多个变量的条件限制下，函数的极大或极小值。
例如，f（x，y）= x2 + y2，其中x = 1，y = 2。
这意味着我们已经将变量x和y约束在特定的值之内，这样就可以求出条件极值。
因此，在这种情况下，条件极值为5。
多元函数条件极值的求解原理也与一元函数条件极值的求解原理相同，即要找到函数在约束条件下的极大/极小值，就必须找到当前函数极大/极小处的偏导数为0的解。
举例来说，假设我们有函数f（x，y）= x2 + y2，其中x = 1，y = 2。
我们首先要求函数的偏导数，得到：f/x = 2xf/y = 2y现在，我们必须将上述偏导数置于0，得到：2x = 02y = 0将x = 1，y = 2带入此方程，得到：2*1 = 02*2 = 0显然，这两个方程都是不成立的，这说明此处没有极值。
因此，在x = 1，y = 2处，f（x，y）= x2 + y2的极值为5。
另一种情况，我们考虑函数f（x，y）= x2 + y2，其中x = 3，y = -2。
此时，我们求得偏导数为：f/x = 2xf/y = 2y将偏导数置于0，得到：2x = 02y = 0将x = 3，y = -2带入此方程，得到：2*3= 02*（-2）= 0此时，这两个方程都成立，这说明此处有一个极值，称为条件极值。
因此，在x = 3，y = -2处，f（x，y）= x2 + y2的条件极值为13。
总之，多元函数条件极值是指在多个变量的条件限制下，函数的极大或极小值。
它的求解方法是将函数的偏导数等于0，并将满足条件的变量值带入方程，以计算极大极小值。
条件极值问题条件极值问题（ConditionalExtremumProblem）是数学优化学中一种经典的问题。
它是寻找函数代数形式中给定条件下的极大值或极小值的问题，也称为特征值问题。
条件极值问题是非线性规划中最重要的研究内容之一，它在工程、科学和经济领域有广泛的应用。
条件极值问题的基本概念是以决策变量给定的函数的形式而存在。
它是一种非线性的数学问题，可以用来模拟复杂的现实系统，并得出最优解。
条件极值问题可以分为线性条件极值问题、二次条件极值问题、多项式条件极值问题和非线性条件极值问题四大类。
线性条件极值问题的特点是，它的结果是一个固定的最优值，而不是函数的极值，这样优化问题就可以转换为数学模型，从而解决函数极值的求解问题。
它的求解方法可以是单纯形法、拉格朗日法和变分法等。
二次条件极值问题涉及到函数结构和约束条件，使用等式和不等式条件限制函数极值，从而实现函数最优化。
这些条件中必须包含几个变量，以使求解过程更加复杂。
一般来说，这类问题的求解方法可以是梯度法、拉格朗日法和凸规划法等。
多项式条件极值问题是指函数极大值和极小值在一定条件下运行的问题，它通常采用一系列多项式来表示，而这系列多项式都符合条件限制。
多项式条件极值问题的求解方法可以是微积分法、牛顿法和拉格朗日法等。
非线性条件极值问题是指函数极大值和极小值在一定条件下运行的问题，它通常采用一系列非线性函数来表示，而这系列函数都符合条件限制。
非线性条件极值问题的求解方法可以是拉格朗日法、曲线法、局部搜索法和迭代法等。
条件极值问题有着广泛的应用。
在工程设计中，如汽车设计、机床设计和航空设计等，都需要考虑优化问题，如参数选择、尺寸设定和构型设计等，这些问题都可以用条件极值问题解决。
在经济学领域，它可以用来模拟复杂的经济体系，以求最终的最优解。
条件极值问题有着广泛的应用，其解决方法也非常多，但其都存在某些不足。
例如，很多方法往往只能求解一些特定的问题，而在复杂的环境中，常常无法得出全局最优解；另外，由于它涉及到非线性条件，这些条件也影响求解的结果。
CH 15 极值和条件极值1．极值的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 的邻域内成立不等式 ),(),(00y x f y x f ≤ (或),(),(00y x f y x f ≥)就称),(y x f z =在点),(00y x 取得极大值(或极小值),点),(00y x 称为函数),(y x f z =的极大值点(或极小值点)极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点. 2．函数),(y x f z =取得极值的必要条件设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数,且在),(00y x 点处具有极值,则0),(00=y x f x ,0),(00=y x f y .3．二元函数极值存在的充分条件设函数),(y x f z =在点),(00y x 的邻域内具有一阶及二阶连续偏导数,又0),(00=y x f x ,0),(00=y x f y ,令A y x f xx =),(00,B y x f xy =),(00,C y x f yy =),(00,则(1)02>-B AC 时有极值,且当0<A 时有极大值, 0>A 时有极小值; (2) 02<-B AC 时没有极值;(3) 02=-B AC 时可能有极值,也可能无极值.4．二元函数),(y x f z =在约束条件0),(=y x ϕ下极值的求法(1) 从条件方程 0),(=y x ϕ中解出)(x f y =,带入))(,(x y x f z =,即化为一元函数的无条件极值问题.(2) Lagrange 乘数法:作),(),(),(y x y x f y x F λϕ+= (λ为参数),在从方程组0),(),(=+=y x y x f F x x x λϕ,0),(),(=+=y x y x f F y y y λϕ,0),(=y x ϕ中解出y x ,就是可能的极值点.例1．数xyz f =在条件0,1222=++=++z y x z y x 下的极值。
mathematica条件极值Mathematica条件极值是统计学中的一种测量和分析方法，是指在特定条件下达到的最大或最小值。
它主要是用来研究和衡量概率性，但也可以用来检验统计假设。
Mathematica条件极值方法可以被应用于数学统计领域解决问题，如：最小二乘法，多元线性回归分析，卡方检验，协方差分析和标准线性模型，及其他很多统计分析技术。
Mathematica条件极值方法可以帮助分析师研究特定条件下如何影响买家行为，这有助于统计学家利用数据来建立模型，从而更好地理解和预测客户行为。
条件极值方法可以用来实现不同下游市场之间的对比，例如，假定某一地区的价格低于另一地区。
通过把两个地区最低价格作为条件极值，可以探究不同地区的价格支持度的差异，从而更好地开发市场。
除此之外，Mathematica条件极值方法也可以帮助统计学家研究样本空间，比如，探究哪些因素导致某种结果，以及因果之间的关系。
它可以帮助检验多元统计模型，发现新的统计关联，以及识别重要的样本空间，以便更好地解释特定数据的结果。
Mathematica条件极值方法是一种可靠而有效的统计分析方法，可以用于解决复杂的数据和状况，帮助统计学家获得更精准的结果。
Mathematica的执行速度很快，可以处理大规模的数据和细节，而且可以检查多个变量，以揭示其之间的关系。
相比传统的统计分析方法，Mathematica条件极值优势更加突出，可以提供更准确的结果。
尽管Mathematica条件极值方法十分有用，但它也存在一些潜在的问题，比如数据失真、偏差和过度拟合等。
在分析大规模数据时，可能会遇到数据维度不足的问题，这会影响条件极值的结果准确性。
另外，如果分析师没有足够的时间和精力来检验模型的质量，他们可能会错过一些重要的偏差和歧义，这也会造成误差。
总之，Mathematica的条件极值方法在统计学中占据了一席之地。
根据统计学家的不同需求，它可以很好地解决各种复杂的数据问题，从而提供准确而有效的统计分析结果。
条件极值点的必要条件引言：在数学中，我们经常会遇到求解函数的条件极值点的问题。
条件极值点是指在一定条件下，函数在某点上取得极大值或极小值。
而要找到这些条件极值点，我们需要依据一定的必要条件进行分析和求解。
本文将介绍条件极值点的必要条件，并通过示例进行说明。
一、一元函数的条件极值点必要条件对于一元函数f(x)在点x0处存在条件极值点，以下两个必要条件必须同时满足：1. f'(x0) = 0，即函数在该点处的导数为0；2. f''(x0) ≠ 0，即函数在该点处的二阶导数不为0。
这两个条件的含义是：条件极值点处函数的斜率为零，且该点处的曲线弯曲程度不为零。
示例：求解函数f(x) = x^3 - 3x的条件极值点。
计算函数的一阶导数f'(x) = 3x^2 - 3，然后令f'(x) = 0，得到x = ±1。
接着，计算函数的二阶导数f''(x) = 6x，将x = ±1代入，得到f''(±1) = ±6。
根据必要条件，当f'(x) = 0且f''(x) ≠ 0时，x = ±1为函数f(x)的条件极值点。
二、多元函数的条件极值点必要条件对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)在点(x10, x20, ..., xn0)处存在条件极值点，以下两个必要条件必须同时满足：1. ∇f(x10, x20, ..., xn0) = 0，即函数在该点处的梯度为零向量；2. Hessian矩阵H(x10, x20, ..., xn0)为正定或负定。
这两个条件的含义是：条件极值点处函数的梯度为零向量，且该点处的Hessian矩阵的特征值均为正或均为负。
示例：求解函数f(x, y) = x^2 + y^2 - 2xy的条件极值点。
计算函数的梯度∇f(x, y) = (2x - 2y, 2y - 2x)，然后令∇f(x, y) = (0, 0)，得到2x - 2y = 0和2y - 2x = 0，解得x = y。
