第三章 积分及其应用讲稿

第三章 积分及其应用§3. 1 定积分的概念导入：(10分钟)我们来讨论平面图形的面积计算这一实际问题.在初等数学中，我们已掌握了圆、三角形、梯形等规则几何图形面积的计算方法，但一般平面图形的面积如何来计算呢？根据面积的可加性，求任何平面图形的面积问题可以归结为求下述曲边梯形的面积问题.一、曲边梯形的面积设y =f （x ）在区间［a ，b ］上非负、连续.由直线x =a ，x =b ，y =0及曲线y =f （x ）所围成的四边形ABCD ，如图3 -1所示，称为曲边梯形，其中曲线弧段 DC ={（x ，f （x ））｜x∈［a ,b ］}称为曲边.图3 -1我们注意到，一方面曲边梯形在底边AB 各点处的高f （x ）是变化的量，但另一方面若f （x ）在［a ，b ］上连续，则在很小的一段区间上f （x ）变化很小，且当区间长度无限缩小时，f （x ）的变化也无限减小，这说明总体上高是变化的，但局部上高又近似于不变，因此我们采用如下方法计算该曲边梯形的面积：（1）分划：取分点x i ∈［a ，b ］（i =0，1，2，…，n ）：a =x 0＜x 1＜x 2＜…＜x i -1＜x i ＜…＜x n =b ，将底边对应区间［a ，b ］分成n 个小区间［x i -1，x i ］，其长度依次记为Δx i =x i -x i -1（i =1，2，…，n ），相应地，整个大曲边梯形被分割成n 个小曲边梯形.（2）作近似：在［x i -1，x i ］上任取一点ξi ，并以底为［x i -1，x i ］、高为f （ξi ）的矩形近似代替第i 个小曲边梯形（i =1，2，…，n ），从而整个大曲边梯形面积的近似值为1()nii f ξ=∑Δx i .显然当区间分划愈细，则其精度愈高.（3）取极限：记λ=}{1max i i nx ≤≤∆,令λ→0，此即意味着对区间［a ，b ］的分划无限加密（此时必有n →∞）.于是，我们便将其极限值limλ→1()nii f ξ=∑ix ∆定义为曲边梯形的面积.在实践中还有许多其他量可类似表示.于是，从这些量出发我们便抽象出一个重要概念——定积分.二、定积分的概念定义1 设函数f （x ）在区间［a ，b ］上有界，今取n +1个分点：a =x 0＜x 1＜x 2＜…＜x i -1＜x i ＜…＜x n -1＜x n =b ，将［a ，b ］分成n 个小区间［x i -1，x i ］，其长度记为Δx i =x i -x i -1（i =1，2，…，n ），并令λ=}{1max i i nx ≤≤∆,若∀ξi ∈［x i -1,x i ］（i =1，2，…，n ），极限limλ→1ni f =∑(ξi )Δx i存在，且该极限值与对区间［a ，b ］的分划及ξi 的取法无关，则称f （x ）在［a ，b ］上可积，且称该极限值为f （x ）在［a ，b ］上的定积分，记为()d baf x x ⎰，其中,f （x ）称为被积函数，x 称为积分变量，a 和b 分别称为积分下限和上限，［a ，b ］称为积分区间，1ni f =∑（ξi ）Δx i 称为积分和.由定积分的定义易知：（1）当被积函数在积分区间上恒等于1时，其积分值即为积分区间长度，即()d baf x x ⎰=b -a ；（2）定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记号无关，即()d b af x x ⎰=()d baf t t ⎰=()d baf u u ⎰.由上面定义可知，图3 -1中曲边梯形的面积可记为()d baf x x ⎰，从而可知，若f （x ）∈C （［a ，b ］），则当在区间［a ，b ］上f （x ）≣0时，()d baf x x ⎰在几何上表示由曲线y =f （x ）、直线x =a 和x =b 及x 轴所围成的曲边梯形的面积.此外，若在区间［a ，b ］上f （x ）≢0，则由曲线y =f （x ）、直线x =a 和x =b 及x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴下方，此时由定义可知()d ba f x x ⎰在几何上表示该曲边梯形面积的负值.进一步，若f （x ）在［a ，b ］上变号，则()d baf x x ⎰便等于由曲线y =f （x ）、直线x =a 和x =b 及x 轴所围图形中x 轴上方的图形面积之和减去x 轴下方的图形面积之和.总之，若f （x ）∈C （［a ，b ］），则定积分()d baf x x ⎰的几何意义是表示由x 轴、曲线y =f （x ）、直线x =a 与x =b 所围成的各部分图形面积的代数和，其中位于x 轴上方的图形面积取正号，位于x 轴下方的图形面积取负号.为方便起见，我们用R （［a ，b ］）表示区间［a ，b ］上所有可积函数的集合，可以证明： （1）若f （x ）∈C （［a ，b ］），则f （x ）∈R （［a ，b ］）；（2）若f （x ）为［a ，b ］上的单调有界函数，则f （x ）∈R （［a ，b ］）； （3）若f （x ）在［a ，b ］上仅有有限个第一类间断点，则f （x ）∈R （［a ，b ］）. 定积分的概念要求对于区间［a ，b ］的任意分划及∀ξi ∈［x i -1，x i ］（i =1，2，…，n ），极限0limλ→1()niii f x ξ=∆∑均存在且值相同，才能说明f （x ）∈R （［a ，b ］），且 ()d baf x x ⎰=0limλ→1()niii f x ξ=∆∑.但是，当f （x ）属于上面三类可积函数之一时，我们可作特殊分划及取特定的ξi ∈［x i -1，x i ］（i =1，2，…，n ）去构造积分和而求得定积分()baf x dx ⎰的值.例1 利用定义计算定积分120d x x ⎰.解 因为被积函数f （x ）=x 2在积分区间［0，1］上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间［0，1］的分划点ξi 的取法无关.因此，为了便于计算，不妨把区间［0，1］等分成n 份，分点为x i =i n ，i =1，2，…，n -1.这样，每个小区间［x i -1，x i ］的长度Δx i =1n（i =1，2，…，n ）.取ξi =x i （i =1，2，…，n ），得和式:1()niii f x ξ=∆∑=21nii i x ξ=∆∑=21ni i i x x =∆∑=211ni i n n=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ =31n 21ni i=∑=31n ·16n （n +1）（2n +1） =16·1112n n ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当λ→0即n →∞时，对上式取极限，由定积分的定义，即得所要计算的积分为12d x x ⎰=0limλ→21nii i x ξ=∆∑=limn →∞161112n n ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=13. 三、定积分的性质为了以后计算及应用方便起见，我们先对定积分作以下两点补充规定： （1） 当a =b 时，()d baf x x ⎰=0；（2） 当a ＞b 时，()d baf x x ⎰= -()d abf x x ⎰.由规定（2）可知，交换定积分的上下限时，定积分绝对值不变而符号相反. 下面我们讨论定积分的性质.假定各性质中所列出的定积分都是存在的. 性质1 若f （x ），g （x ）∈R （［a ，b ］），则对任何常数α，β有αf （x ）+βg （x ）∈R （［a ，b ］），且[]()()d b a f x g x x αβ+⎰=()d ()d bbaaf x xg x x αβ+⎰⎰.证 由于f （x ），g （x ）∈R （［a ，b ］），故对［a ，b ］的任一分划：x 0=a ＜x 1＜x 2＜…＜x n -1＜x n =b , 记Δx i =x i -x i -1（i =1，2，…，n ），λ=}{1max i i nx ≤≤∆，∀ξi ∈［x i -1，x i ］，有limλ→[]1()()niiii f g x αξβξ=+∆∑=αlimλ→1()niii f x ξ=∆∑+βlimλ→1()niii g x ξ=∆∑=α()d baf x x ⎰+β()d bag x x ⎰.所以αf （x ）+βg （x ）∈R （［a ，b ］），且[]()()d baf xg x x αβ+⎰=α()d baf x x ⎰+β()d bag x x ⎰.性质2 若a ＜c ＜b ，且f （x ）∈R （［a ，b ］），则()d baf x x ⎰=()d caf x x ⎰+()d bcf x x ⎰.证 由于f （x ）∈R （［a ，b ］），且a ＜c ＜b ，故可选取区间［a ，b ］的分划，使c 成为分点，即a =x 0＜x 1＜…＜0i x =c ＜01i x +＜…＜x n =b .于是1()n iii f x ξ=∆∑=01()i i ii f x ξ=∆∑+01()ni i i i f x ξ=+∆∑.令λ→0，得()d baf x x ⎰=()d c af x x ⎰+()d bcf x x ⎰.此性质称为定积分对积分区间的可加性，按照前面关于定积分的规定可以看出本性质中的条件“a ＜c ＜b ”可去掉，只要f （x ）在所给区间上是可积的.请读者自己考虑.性质3 若f （x ）∈R （［a ，b ］），且∀x ∈［a ，b ］有f （x ）≣0，则()d baf x x ⎰≣0.证 由已知条件及极限性质有()d baf x x ⎰=0limλ→1()niii f x ξ=∆∑≣0.推论1 若f （x ），g （x ）∈R （［a ，b ］），且∀x ∈［a ，b ］有f （x ）≣g （x ），则()d baf x x ⎰≣()d bag x x ⎰.证 令F （x ）=f （x ） -g （x ），则F （x ）∈R （［a ，b ］），且∀x ∈［a ，b ］有F （x ）≣0，由性质3即得()d baF x x ⎰≣0，再由性质1可得()d baf x x ⎰≣()d bag x x ⎰.推论2 若f （x ）∈R （［a ，b ］），则()d baf x x ⎰≢()d baf x x ⎰.证 由于∀x ∈［a ，b ］有-｜f （x ）｜≢f （x ）≢｜f （x ）｜.由推论1有-()d baf x x ⎰≢()d b af x x ⎰≢()d baf x x ⎰，即()d baf x x ⎰≢()d baf x x ⎰.推论3（估值定理） 设f （x ）∈R （［a ，b ］），m ，M 为常数.若∀x ∈［a ，b ］有m ≢f （x ）≢M ，则m （b -a ）≢()d baf x x ⎰≢M （b -a ）.证 由于m ≢f （x ）≢M ，根据推论1有m （b -a ）=d bam x ⎰≢()d baf x x ⎰≢d baM x ⎰ =M （b -a ）.性质4（积分第一中值定理） 设f （x ）∈C （［a ，b ］），g （x ）∈R (［a ，b ］),且g （x ）在［a ，b ］上不变号，则∃ξ∈［a ，b ］使得()()d baf xg x x ⎰=f （ξ）()d bag x x ⎰.证 不妨设对∀x ∈［a ，b ］有g （x ）≣0，则()d bag x x ⎰≣0.又因f （x ）∈C （［a ，b ］，故f （x ）在［a ，b ］上存在最大值和最小值，令m =[],min x a b ∈f （x ），M =[],min x a b ∈f （x ），则mg （x ）≢f （x ）g （x ）≢Mg （x ），由推论1得m()d bag x x ⎰≢()()d b af xg x x ⎰≢M ()d ba g x x ⎰.若()d bag x x ⎰=0，则∀ξ∈［a ，b ］所证等式显然成立.若()d b ag x x ⎰＞0,则m ≢()()d ()d babaf xg x xg x x⎰⎰≢M .因为f （x ）∈C （［a ，b ］），由闭区间上连续函数的介值定理知∃ξ∈［a ，b ］，使f （ξ）=()()d ()d babaf xg x xg x x⎰⎰，即()()d baf xg x x ⎰=f （ξ）()d bag x x ⎰.推论4（积分中值定理） 设f （x ）∈C （［a ，b ］），则∃ξ∈［a ，b ］，使得()d baf x x ⎰=f （ξ）（b -a ）.性质5 设f （x ）∈C （［a ，b ］），f （x ）在［a ，b ］上非负且不恒等于零，则()d baf x x ⎰＞0.证 由于f （x ）在［a ，b ］上非负且不恒等于零，故∃x 0∈［a ，b ］使得f （x 0）＞0.不妨设x 0∈（a ，b ），则由连续函数的保号性知，存在x 0的某邻域U （x 0，δ）⊂［a ，b ］，使得∀x ∈U （x 0，δ）均有f （x ）＞12f （x 0），从而由性质2，3及推论3得 ()d baf x x ⎰=0()d x af x x δ-⎰+00()d x x f x x δδ+-⎰+0()d bx f x x δ+⎰≣00()d x x f x x δδ+-⎰=12f （x 0）·2δ=f （x 0）δ. 至于x 0=a 或b 的情形，则取a 的右邻域或b 的左邻域可完全类似地证明. 类似于推论1的证明可得： 推论5 设f （x ），g （x ）∈C （［a ，b ］），且在［a ，b ］上有f （x ）≣g （x ）及f （x ）≠g (x ),则()d baf x x ⎰＞()d bag x x ⎰.推论6 设f （x ）∈C （［a ，b ］），且()d baf x x ⎰,则∀x ∈［a ，b ］有f （x ）≡0.证 用反证法.如果∃x 0∈［a ，b ］使得f （x 0）≠0,即｜f （x 0）｜＞0,则由性质5有()d baf x x ⎰＞0.此与题设矛盾，故∀x ∈［a ，b ］有f （x ）≡0.例2 证明不等式：1≢1401d x x +⎰≢43.证 由于f （x ）=41x +≢2412x x ++=()221x +=1+x 2.又显然有 f （x ）=41x +≣1，所以 1=1d x⎰≢141+dx x⎰≢()121dx x+⎰=1d x⎰+120d x x⎰=1+13（此处利用了例1的结果）=43.这就证明了1≢141+dx x⎰≢43.总结：1、定积分的概念a、曲边梯形的面积b、変力做功问题2、定积分的性质a、计算性质b、积分中值定理教学后记：作业：§3. 2 不定积分复习：（8分钟）上一节我们通过曲边梯形的面积问题引入定积分的概念，定积分是一个特殊的极限，所以我们可以通过极限计算方法计算部分简单的定积分，通过定积分的几何意义可以把定积分和平面图形的面积对等起来，这就是说如果我们能够计算定积分，就可以求取平面图形的面积了。