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抽屉原理把4只苹果放到3个抽屉里去，共有3种放法，不论如何放，必有一个抽屉里至少放进两个苹果。
同样，把5只苹果放到4个抽屉里去，必有一个抽屉里至少放进两个苹果。
……更进一步，我们能够得出这样的结论：把n＋1只苹果放到n个抽屉里去，那么必定有一个抽屉里至少放进两个苹果。
这个结论，通常被称为抽屉原理。
利用抽屉原理，可以说明（证明）许多有趣的现象或结论。
不过，抽屉原理不是拿来就能用的，关键是要应用所学的数学知识去寻找“抽屉”，制造“抽屉”，弄清应当把什么看作“抽屉”，把什么看作“苹果”。
【例1】一个小组共有13名同学，其中至少有2名同学同一个月过生日。
为什么？【分析】每年里共有12个月，任何一个人的生日，一定在其中的某一个月。
如果把这12个月看成12个“抽屉”，把13名同学的生日看成13只“苹果”，把13只苹果放进12个抽屉里，一定有一个抽屉里至少放2个苹果，也就是说，至少有2名同学在同一个月过生日。
【例2】任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数。
这是为什么？【分析】首先我们要弄清这样一条规律：如果两个自然数除以3的余数相同，那么这两个自然数的差是3的倍数。
而任何一个自然数被3除的余数，或者是0，或者是1，或者是2，根据这三种情况，可以把自然数分成3类，这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。
我们把4个数看作“苹果”，根据抽屉原理，必定有一个抽屉里至少有2个数。
换句话说，4个自然数分成3类，至少有两个是同一类。
既然是同一类，那么这两个数被3除的余数就一定相同。
所以，任意4个自然数，至少有2个自然数的差是3的倍数。
想一想，例2中4改为7，3改为6，结论成立吗？【例3】有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内，试问不论如何取，从箱中至少取出多少只就能保证有3双袜子（袜子无左、右之分）？【分析】试想一下，从箱中取出6只、9只袜子，能配成3双袜子吗？回答是否定的。
按5种颜色制作5个抽屉，根据抽屉原理1，只要取出6只袜子就总有一只抽屉里装2只，这2只就可配成一双。
1.68页：（1）因为扑克共有四种花色，所以先讨论4人的情况（以红桃为例）：4人都是红桃；3人是红桃，1人是其他花色；2人是红桃，另2人是其他花色【另2人花色不同】；1人是红桃，另3人是其他花色【另3人花色不同，分别是方块、黑桃、梅花】。
可以看出，只有最后一种情况花色各不相同，其余情况都满足题中所说的“至少有2张牌是同花色的”。
但最后一种情况，再加上第5张牌，无论这种牌是什么花色，都会和前4张中的一张花色重复，从而满足“至少有2张牌是同花色的”这一要求。
（2）直接讨论5人的情况（以红桃为例）：5人都是红桃；4人是红桃，1人是其他花色；3人是红桃，另2人是其他花色【另2人花色不同】；2人是红桃，另3人是其他花色【另3人花色不同，分别是方块、黑桃、梅花】。
1人是红桃，另3人分别是方块、黑桃、梅花，还剩一个人，无论他抽到什么花色，都会和前4人中的一个人重复。
（3）当题中要求“至少如何如何”时，我们就要考虑最平均、最倒霉、最背的情况，也就是前4张牌，花色都不一样，但是再加上第5张牌，无论这种牌是什么花色，都会和前4张中的一张花色重复，从而满足“至少有2张牌是同花色的”这一要求。
（4）5张牌中，“至少有2张牌是同花色的”；【5÷4=1……1 1+1=2】6张牌中，“至少有2张牌是同花色的”；【6÷4=1……2 1+1=2】7张牌中，“至少有2张牌是同花色的”；【7÷4=1……3 1+1=2】8张牌中，“至少有2张牌是同花色的”；【8÷4=2 】【整除时不加】9张牌中，“至少有3张牌是同花色的”；【9÷4=2……1 2+1=3】由此可以看出，5、6、7、8时，答案都是2，规律是“牌数÷花色”，然后用商加1.【切记是商加1，而不是商加余数】2.68页例1：（1）先讨论3支笔（以第一个笔筒为例）：第一个笔筒放3支；第一个笔筒放2支，其他笔筒放1支；第一个笔筒放1支，其他两个笔筒各放1支，剩下的1支无论放到哪个笔筒中，都会有一个笔筒中出现两支笔。
初中数学竞赛：抽屉原理把5个苹果放到4个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个苹果，这是抽屉原理的通俗解释。
一般地，我们将它表述为：第一抽屉原理：把（mn＋1）个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有（m＋1）个物体。
使用抽屉原理解题，关键是构造抽屉。
一般说来，数的奇偶性、剩余类、数的分组、染色、线段与平面图形的划分等，都可作为构造抽屉的依据。
例1从1，2，3，…，100这100个数中任意挑出51个数来，证明在这51个数中，一定：（1）有2个数互质；（2）有2个数的差为50；（3）有8个数，它们的最大公约数大于1。
证明：（1）将100个数分成50组：{1，2}，{3，4}，…，{99，100}。
在选出的51个数中，必有2个数属于同一组，这一组中的2个数是两个相邻的整数，它们一定是互质的。
（2）将100个数分成50组：{1，51}，{2，52}，…，{50，100}。
在选出的51个数中，必有2个数属于同一组，这一组的2个数的差为50。
（3）将100个数分成5组（一个数可以在不同的组内）：第一组：2的倍数，即{2，4，…，100}；第二组：3的倍数，即{3，6，…，99}；第三组：5的倍数，即{5，10，…，100}；第四组：7的倍数，即{7，14，…，98}；第五组：1和大于7的质数即{1，11，13，…，97}。
第五组中有22个数，故选出的51个数至少有29个数在第一组到第四组中，根据抽屉原理，总有8个数在第一组到第四组的某一组中，这8个数的最大公约数大于1。
例2求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数。
证明：因1996÷4＝499，故只需证明可以找到一个各位数字都是1的自然数，它是499的倍数就可以了。
得到500个余数r1，r2，...，r500。
由于余数只能取0，1，2， (499)499个值，所以根据抽屉原理，必有2个余数是相同的，这2个数的差就是499的倍数，这个差的前若干位是1，后若干位是0：11…100…0，又499和10是互质的，故它的前若干位由1组成的自然数是499的倍数，将它乘以4，就得到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数。
．．第五讲抽屉原理二本讲知识点汇总：一、最不利原则：为了保证能完成一件事情，需要考虑在最倒霉（最不利）的情况下，如何能达到目标．二、抽屉原理：形式1：把n+1个苹果放到n个抽屉中，一定有2个苹果放在一个抽屉里；形式2：把m⨯n+1个苹果放到n个抽屉中，一定有m+1个苹果放在一个抽屉里．例1．中国奥运代表团的173名运动员到超市买饮料，已知超市有可乐、雪碧、芬达、橙汁、味全和矿泉水6种饮料，每人各买两种不同的饮料，那么至少多少人买的饮料完全相同？「分析」本题的“抽屉”是饮料的选法，“苹果”是173名运动员．练习1、中国奥运代表团的83名运动员到超市买饮料．超市有可乐、雪碧、芬达和橙汁，每人各买两种不同的饮料，那么至少多少人买的饮料完全相同？例2．国庆嘉年华共有5项游艺活动，每个学生至多参加2项，至少参加1项．那么至少有多少个学生，才能保证至少有4个人参加的活动完全相同？「分析」本题的“抽屉”是参加活动的方法．练习2、高思运动会共有4个项目，每个学生至多参加3项，至少参加1项．那么至少有多少个学生，才能保证至少有5个人参加的活动完全相同？例3．从1到50这50个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和是50？「分析」思考一下：哪两个数的和是50？练习3、从1到35这35个自然数中，至少选出多少个数才能保证其中一定有两个数的和为34？例4．从1到100这100个自然数中，至少选出多少个数才能保证其中一定有两个数的和是7的倍数？如果要保证是6的倍数呢？「分析」两个数的和是7的倍数，这两个数除以7的余数要符合什么条件哪？练习4、从1至99这99个自然数中任意取出一些数，要保证其中一定有两个数的和是5的倍数，至少要取多少个？例5．至少取出多少个正整数，才能保证其中一定有两个整数的和或差是100的倍数？「分析」从余数角度思考一下：什么样的两个数的和或差是100？例6．在边长为2的正六边形中，放入50个点，任意三点不共线，请证明：一定能从中选出三个点，以它们为顶点的三角形面积不大于1．「分析」通过把正六边形均分，来构造“抽屉”．四大发明之印刷术印刷术是中国古代的四大发明之一，是中国古代汉族劳动人民经过长期实践和研究才发明的．活字印刷的方法是先制成单字的阳文反文字模，然后按照稿件把单字排列在字盘内涂墨印刷．自从汉朝发明纸以后，书写材料比起过去用的甲骨、简牍、金石和缣帛要轻便、经济多了，但是抄写书籍还是非常费工的，远远不能适应社会的需要．至迟到东汉末年的熹平年间（公元172~178年），出现了摹印和拓印石碑的方法．大约在公元600年前后的隋朝，人们从刻印章中得到启发，在人类历史上最早发明了雕版印刷术．雕版印刷是在一定厚度的平滑的木板上，粘贴上抄写工整的书稿，薄而近乎透明的稿纸正面和木板相贴，字就成了反体，笔划清晰可辨．雕刻工人用刻刀把版面没有字迹的部分削去，就成了字体凸出的阳文，和字体凹入的碑石阴文截然不同．印刷的时候，在凸起的字体上涂上墨汁，然后把纸覆在它的上面，轻轻拂拭纸背，字迹就留在纸上了．到了宋朝，雕版印刷事业发展到全盛时期．雕版印刷对文化的传播起了重大作用，但是也存在明显缺点：第一，刻版费时费工费料；第二，大批书版存放不便；第三，有错字不容易更正．北宋平民发明家毕昇总结了历代雕版印刷的丰富的实践经验，经过反复试验，在宋仁宗庆历年间（公元1041~1048）制成了胶泥活字，实行排版印刷，完成了印刷史上一项重大的革命．毕昇的方法是这样的：用胶泥做成一个个规格一致的毛坯，在一端刻上反体单字，字划突起的高度象铜钱边缘的厚度一样，用火烧硬，成为单个的胶泥活字．为了适应排版的需要，一般常用字都备有几个甚至几十个，以备同一版内重复的时候使用．遇到不常用的冷僻字，如果事前没有准备，可以随制随用．为便于拣字，把胶泥活字按韵分类放在木格子里，贴上纸条标明．排字的时候，用一块带框的铁板作底托，上面敷一层用松脂、蜡和纸灰混合制成的药剂，然后把需要的胶泥活字拣出来一个个排进框内．排满一框就成为一版，再用火烘烤，等药剂稍微熔化，用一块平板把字面压平，药剂冷却凝固后，就成为版型．印刷的时候，只要在版型上刷上墨，覆上纸，加一定的压力就行了．为了可以连续印刷，就用两块铁板，一版加刷，另一版排字，两版交替使用．印完以后，用火把药剂烤化，用手轻轻一抖，活字就可以从铁板上脱落下来，再按韵放回原来木格里，以备下次再用．毕昇还试验过木活字印刷，由于木料纹理疏密不匀，刻制困难，木活字沾水后变形，以及和药剂粘在一起不容易分开等原因，所以毕昇没有采用．毕昇的胶泥活字版印书方法，如果只印二三本，不算省事，如果印成百上千份，工作效率就极其可观了，不仅能够节约大量的人力物力，而且可以大大提高印刷的速度和质量，比雕版印刷要优越得多．现代的凸版铅印，虽然在设备和技术条件上是宋朝毕昇的活字印刷术所无法比拟的，但是基本原理和方法是完全相同的．活字印刷术的发明，为人类文化做出了重大贡献．这中间，中国的平民发明家毕昇的功绩是不可磨灭的．可是关于毕昇的生平事迹，我们却一无所知，幸亏毕昇创造活字印刷术的事迹，比较完整地记录在北宋著名科学家沈括的名著《梦溪笔谈》里．但是除开西夏文字的几本推测为活字印刷的佛经外，中原地区无发现活字印刷的中文印刷品！作业1.（1）一个班有37个人，那么至少有多少人是同一星座的？（2）一副扑克牌，共54张，那么至少从中摸出多少张牌，才能保证至少有6张牌的花色相同？2.动物王国举行运动会，共有101位运动员，有短跑、跳高、跳远、10米跳台、3米跳板五个项目，每位运动员最多选三个项目，最少选一个项目．那么至少有多少位运动员所选的项目都相同？3.1至70这70个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于6？4.1至40这40个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的和都不是4的倍数？5.在半径为1的圆内，画13个点，其中任意3点不共线．请证明：一定存在3个点，以它们为顶点的三角形面积小于．6第五讲抽屉原理二例7．答案：12．解答：共有C215种不同的选择方式，而1731511L8，所以至少有12个人买的饮料完全相同．6例8．答案：46．解答：共有C25C115种参加方法，所以至少153146人．5例9．答案：27．解答：可构造出26个组数：（1，49）、（2，48）、…、（24，26）、（25）、（50）．所以至少要取27个数才能保证取到一组和为50的数．例10．答案：46，37．解答：由题意可知，如果取出的数没有两个数的和是7的倍数，则：除以7余1的数与除以7余6的数不能共存，除以7余2的数与除以7余5的数不能共存，除以7余3的数与除以7余4的数不能共存．而除以7余0的数只能取1个，且100147L2，所以最不利的情况是取尽余1、余2、余3和一个余0的数，共45个数，所以至少选出46个数才可满足要求．同理至少选出37个数才能保证是6的倍数．（注意此时除以6余3和余0的数都只能选1个）例11．答案：52．解答：可构造出51个组数：（1，8）、（2，9）…（7，14）；（15，22）、（16，23）…（21，28）；……（85，92）、（86，93）…（91，98）；（99）、（100）．每组数中的两数的差为7．只取出每个数组中较小的数显然不能满足要求，所以至少要取出52个数，这时由抽屉原理知必定能取到某一个数组的两个数．例12．解答：先将正六边形分割成6个边长为2的正三角形，再将每个三角形等分成4个边长为1的正三角形，这样就把正六边形分割成24个边长为1的正三角形，则由抽屉原理知，必有3点在一个等边三角形中，以它们为顶点的三角形面积显然不大于1．（边长是1的等边三角形面积小于1）练习1、答案：14．简答：共有C2=6种不同的选择方式，而83=6⨯13+5，所以至少有14个人买的饮料完全相同．4练习2、答案：57．简答：共有C3+C2+C1=14种参加方法，所以至少14⨯4+1=57人．444练习3、答案：20．简答：可构造出19个组数：（1，33）、（2，32）、…、（16，18）、（17）、（34）、（35）．所以至少要取20个数才能保证取到一组和为34的数．练习4、答案：42．简答：1~99这99个数中除以5余1的有20个，余2的有20个，余3的有20个，余4的有20个，余0的有19个，选出余1和余2的数，再选一个余0的数，再任选一个数一定符合题意，20+20+1+1=42个．作业6.答案：（1）4个；（2）23张．简答：（1）抽屉原理；（2）最不利原则．7.答案：5位．简答：首先运动员的项目有C1+C2+C3=25种可能，根据抽屉原理，至少有5位运动员的项目相同．5558.答案：36个．简答：每12个数中最多取出6个．9.答案：12个．简答：将1~40按照除以4的余数分为四组：A组：{1，5，…，37}；B组：{2，6，…，38}；C组：{3，7，…，39}；D组：{4，8，…，40}．首先，B、D组最多取一个．取了A组就不能取C组．所以最多能取12个．10.证明：将半径为1的圆六等分，分为六个扇形，每个扇形的面积是π．根据抽屉原理，至少有三个点6．在同一部分中，这三个点组成的三角形不会大于所在的扇形，即π6。
抽屉原理习题精选（含答案）1．木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？2．一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有3张牌有相同的点数？3．有11名学生到老师家借书，老师的书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。
试证明：必有两个学生所借的书的类型相同4．有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜。
试证明：一定有两个运动员积分相同。
5．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿1个球，至多拿2个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？6．某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人数为多少人？7．有黑色、白色、蓝色手套各5只（不分左右手），至少要拿出多少只（拿的时候不许看颜色），才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。
8．一些苹果和梨混放在一个筐里，小明把这筐水果分成了若干堆，后来发现无论怎么分，总能从这若干堆里找到两堆，把这两堆水果合并在一起后，苹果和梨的个数是偶数，那么小明至少把这些水果分成了多少堆？9．从1，3，5，……，99中，至少选出多少个数，其中必有两个数的和是100。
10．某旅游车上有47名乘客，每位乘客都只带有一种水果。
如果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有多少人带苹果。
11．某个年级有202人参加考试，满分为100分，且得分都为整数，总得分为10101分，则至少有多少人得分相同？12．2006名营员去游览长城，颐和园，天坛。
规定每人最少去一处，最多去两处游览，至少有几个人游览的地方完全相同?13．某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株，最多一人植树100株，则至少有多少人植树的株数相同？答案：1．将红、黄、蓝三种颜色看作三个抽屉，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出4个球。
小学五年级奥数精讲：抽屉原理习题及答案一、知识总结：抽屉原理1：将多于n件物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
抽屉原理2：将多于m×n件物品任意放到到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于（m+1）件。
理解抽屉原理要注意几点：(1)抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系，要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍数多，至于多多少，这倒无妨。
（2）“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法，不规定每个抽屉中都要放物品，即有些抽屉可以是空的，也不限制每个抽屉放物品的个数。
（3）抽屉原理只能用来解决存在性问题，“至少有一个”的意思就是存在，满足要求的抽屉可能有多个，但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。
（4）将a件物品放入n个抽屉中，如果a÷n= m……b，其中b是自然数，那么由抽屉原理2就可得到，至少有一个抽屉中的物品数不少于（m+1）件。
二、小试牛刀例1、五年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。
已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间。
问：至少有几名学生的成绩相同？例2、夏令营组织2000名营员活动，其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目。
规定每人必须参加一项或两项活动。
那么至少有几名营员参加的活动项目完全相同？例3、把125本书分给五（2）班学生，如果其中至少有1人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？例4、五（1）班张老师在一次数学课上出了两道题，规定每道题做对得2分，没做得1分，做错得0分。
张老师说：可以肯定全班同学中至少有6名学生各题的得分都相同。
那么，这个班最少有多少人？例5、任意将若干个小朋友分为五组。
证明：一定有这样的两组，两组中的男孩总数与女孩总数都是偶数。
例6、把一个长方形画成3行9列共27个小方格，然后用红、蓝铅笔任意将每个小方格涂上红色或蓝色。
是否一定有两列小方格涂色的方式相同？例7、在任意的四个自然数中，是否总能找到两个数，它们的差是3的倍数？例8、从1，3，5，7，…，47，49这25个奇数中至少任意取出多少个数，才能保证有两个数的和是52。
六下（人教）第五单元数学广角-鸽巢问题（抽屉原理）（附答案第五单元数学广角——鸽巢问题（抽屉原理）一、最不利原则：为了保证能完成一件事情，需要考虑在最倒霉（最不利）的情况下，如何能达到目标。
二、抽屉原理：形式1：把n+1个苹果放到n个抽屉中，一定有2个苹果放在一个抽屉里；形式2：把m某n+1个苹果放到n个抽屉中，一定有m+1个苹果放在一个抽屉里。
模块一抽屉原理【例题1】把3个苹果放到两个抽屉中，有（）种放法。
【练习1】把4支铅笔放进3个笔筒中，有（）种放法。
【例题2】把8个桃子放到7个果盘里，一定有一个果盘里至少放进了（）桃子。
【练习2】把7本书放进6个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进（）本书。
【例题3】五年级一班有28个学生，保证至少有几个同学在同一个月出生？【练习3】在任意25个人中，至少有几个人的星座相同？【例题4】把25个玻璃球最多放进几个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有5个玻璃球？【练习4】把17本书最多放到（）个空书架上，才能保证至少有一个书架上有5本书。
第1页共14页六下人教版同步奥数第五单元数学广角——鸽巢问题能力提升思维突破挑战极限【例题5】平安路小学组织862名同学去参观甲、乙、丙3处景点。
规定每名同学至少参观一处，最多可以参观两处，至少有多少名同学参观的景点相同？【练习5】中国奥运代表团的173名运动员到超市买饮料，已知超市有可乐、雪碧、芬达、橙汁、味全和矿泉水6种饮料，每人各买两种不同的饮料，那么至少多少人买的饮料完全相同？【例题6】国庆嘉年华共有5项游艺活动，每个学生至多参加2项，至少参加1项。
那么至少有多少个学生，才能保证至少有4个人参加的活动完成相同？【练习6】桂苑小学六年级每名学生都订阅了《数学小灵通》、《小学生作文》、《英语天地》、《科学画报》这4种报刊中的2种，他们当中至少有34名学生订阅的报刊种类相同。
你知道桂苑小学六年级至少有多少名学生吗？【例题7】从1，2，3，……，21这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于4？【练习7】1至70这70个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于6？第2页共14页六下人教版同步奥数第五单元数学广角——鸽巢问题能力提升思维突破挑战极限【例题8】从1，4，7，10，……37，40这14个自然数，至少任取多少个数才能保证其中至少有2个数的和是41？【练习8】从1到50这50个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和是50？【例题9】从1到100这100个自然数中，至少选出多少个数才能保证其中一定有两个数的和是7的倍数？如果要保证是6的倍数呢？【练习9】从1至99这99个自然数中任意取出一些数，要保证其中一定有两个数的和是5的倍数，至少要取多少个？【例题10】某省有4千万人口,每个人的头发根数不超过15万根,那么该省中至少有多少人的头发根数一样多？【练习10】49名同学共同参加体操表演，其中最小的8岁，最大的11岁。
小学奥数抽屉原理题型及答案解析一、抽屉原理解释抽屉原理，也被称为鸽巢原理，是组合数学中的一个重要原理。
这个原理的基本含义是：如果n+1个物体被放到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉中会放有2个或更多的物体。
这个原理可以用来解决很多看似复杂的问题。
原理解释：假设有3个抽屉和4个苹果，我们要把这4个苹果放进3个抽屉里。
无论我们怎么放，总会有至少一个抽屉里放了2个或更多的苹果。
这是因为每个抽屉最多只能放1个苹果的话，3个抽屉只能放3个苹果，但我们有4个苹果，所以至少有一个抽屉里会有2个苹果。
同样的，如果有n个抽屉和n+1个物体，无论我们怎么分配这些物体到抽屉里，至少会有一个抽屉里会有2个或更多的物体。
二、抽屉原理应用举例属相问题：中国有12个属相，如果问任意37个人中，至少有几个人属相相同？我们可以把12个属相看作12个抽屉，37个人看作37个物体。
根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有4个或更多的物体，也就是说，至少有4个人的属相是相同的。
自然数问题：在任意的100个自然数中，是否可以找到一些数（可以是一个数），它们的和能被100整除？这个问题也可以通过抽屉原理来解决。
如果我们把这100个自然数对100取余，那么余数只能是0到99之间的数，也就是有100个“抽屉”。
根据抽屉原理，至少有一个“抽屉”里有多于一个的数，这两个数的差就是100的倍数，因此它们的和也能被100整除。
三、抽屉原理解题思路和方法首先，需要理解抽屉原理的基本含义，即如果把n+1个物体放在n个抽屉里，那么至少有一个抽屉中至少放有2个物体。
这是解题的基础。
其次，在解题过程中，需要找出隐藏的抽屉数和物体数，并将问题转化为抽屉问题。
这通常需要对问题进行仔细分析，找出其中的规律和特点。
接下来，可以利用平均分的方法来确定每个抽屉中的物体数。
如果物体数不能被抽屉数整除，那么至少有一个抽屉中的物体数会多于平均值。
这有助于确定至少有多少个物体是相同或满足某种条件的。
抽屉原理例题讲解：板块一：基础题型1．将60个红球、8个白球排成一条直线，至少会有多少个红球连在一起？答案：7详解：60÷（8＋1）=6……6,6＋1=7个。
2．17名同学参加一次考试，考试题是3道判断题（答案只有对或错），每名同学都在答题纸上依次写上了3道题目的答案．请问：至少有几名同学的答案是一样的？答案：3详解：答案的结果有23=8种情况，即8个抽屉。
17÷8=2……1，2＋1=3名。
3．任意写一个由数字1、2组成的六位数，从这个六位数中任意截取相邻两位，可得一个两位数，请证明：在从各个不同位置上截得的所有两位数中，一定有两个相等．详解：两位数的情况共4种：12,21,11,22。
六位数可以截取出5个两位数，所以必有重复。
4．将1至6这6个自然数随意填在图2，图中的六个圆圈中，试说明：图中至少有一行的数字之和不小于8。
详解：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7=21,21÷3=7，图形总共有3行，第一行只有一个数，最大填6，那么后两行至少有一行是大于7的整数，即不小于8。
5．从l，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数，请说明：(1)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；详解：构造差为50的抽屉：（1,51）、（2,52）、……、（50,100），共50个抽屉。
选出51个数，必有两数来自一组，即差为50.(2)在这51个数中，一定有两个数差1．详解：构造差为1的抽屉：（1,2）、（3,4）、……、（99,100），共50个抽屉。
必有两数来自一组，即差为1.6．从1，2，3，…，21这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于4？答案：12详解：构造差为4的抽屉：（1,5）、（2,6）、（3,7）、（4,8）、（9,13）、（10，14）、（11，15）、（12,16）、（17,21）、（18）、（19）、（20）共12个抽屉，最多取12个数。
人教版数学六年级下册第五单元抽屉原理附解析教师版抽屉原理一、选择题(共5题；共10分)1．（2分）下列说法中，有（）句说法描述正确。
①给正方体的6个面分别涂上不同的5种颜色，不论怎么涂，至少有3个面颜色相同。
②公交车上有13名乘客，他们中至少有2个人的生日在同一个月内。
③任意找3个人，则至少有2个人的性别相同。
A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】【解答】解：①6÷5=1（个）······1（个）1＋1=2（个），至少有2个面颜色相同，原题干说法错误；②13÷12=1（个）······1（个）1＋1=2（个），他们中至少有2个人的生日在同一个月内，原题干说法正确；③3÷2=1（个）······1（个）1＋1=2（个），则至少有2个人的性别相同，原题干说法正确。
故答案为：C。
【分析】抽屉原理，至少在同一抽屉里相同物体的个数=物体总个数÷抽屉的个数＋1。
2．（2分）盒子里有5个黑球、3个黄球、2个绿球，任意拿出6个，最少有一个（）。
A．黑球B．黄球C．绿球D．白球【答案】A【解析】【解答】解：3＋2=5（个），任意拿出6个，最少有一个黑球。
故答案为：A。
【分析】黄球和绿球一共有5个，任意拿出6个，最少有一个黑球。
3．（2分）把3个红球、3个白球装袋子里，至少取（）个球，可以保证取到两个颜色相同的球。
A．2B．3C．4【答案】B【解析】【解答】解：2＋1=3（个）故答案为：B。
【分析】有两种颜色的球，至少取3次，可以保证取到两个颜色相同的球。
4．（2分）13个人中（）有两个人生日在相同的月份。
A．一定B．可能C．不可能【答案】A【解析】【解答】解：一年有12个月份，13个人中一定有两个人生日在相同的月份。
抽屉问题（1）求结论【例题1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装1只，这样还剩下1只鸽子．这只鸽子可以任意飞进其中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有2只鸽子．所以这句话是正确的．利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”，6÷5=1......1 ，1+1=2（只）把6个苹果放到5个抽屉中，每个抽屉中都要有1个苹果，那么肯定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一定有一个笼子里有2只鸽子．【巩固】把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼．在8个鱼缸里面，每个鱼缸放一条，就是8条金鱼；还剩下的一条，任意放在这8个鱼缸其中的任意一个中，这样至少有一个鱼缸里面会放有两条金鱼．【例题2】数学兴趣小组有13个学生，请你说明：在这13个同学中，至少有两个同学属相一样．属相共12个，把12个属相作为12个“抽屉”，13个同学按照自己的属相选择相应的“抽屉”，根据抽屉原理，一定有一个“抽屉”中有两个或两个以上同学，也就是说至少有两个同学属相一样．【巩固】光明小学有367名2000年出生的学生，请问是否有生日相同的学生？一年最多有366天，把366天看作366个“抽屉”，将367名学生看作367个“苹果”．这样，把367 个苹果放进366个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个苹果．这就说明，至少有2名同学的生日相同．【例题3】向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？一年最多有366天，可看做366个抽屉，730个学生看做730个苹果．因为730÷366=1......364，所以，至少有1＋1＝2（个）学生的生日是同一天．【巩固】试说明400人中至少有两个人的生日相同.将一年中的366天或365天视为366个或365个抽屉，400个人看作400个苹果，从最极端的情况考虑，即每个抽屉都放一个苹果，还有35个或34个苹果必然要放到有一个苹果的抽屉里，所以至少有一个抽屉有至少两个苹果，即至少有两人的生日相同.【例题4】三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩．方法一：情况一：这三个小朋友，可能全部是男，那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正确的；情况二：这三个小朋友，可能全部是女，那么必有两个小朋友都是女孩的说法是正确的；情况三：这三个小朋友，可能其中1男2女那么必有两个小朋友都是女孩说法是正确的；情况四：这三个小朋友，可能其中2男1女，那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正确的．所以，三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩的说法是正确的；方法二：三个小朋友只有两种性别，所以至少有两个人的性别是相同的，所以必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩．【例题5】“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等．假设共有n个小朋友到公园游玩，我们把他们看作n个“苹果”，再把每个小朋友遇到的熟人数目看作“抽屉”，那么，n个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下n种可能：0，1，2，……，n-1．其中0的意思是指这位小朋友没有遇到熟人；而每位小朋友最多遇见n-1个熟人，所以共有n个“抽屉”．下面分两种情况来讨论：⑴如果在这n个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上n-2个熟人，这样熟人数目只有n-1种可能：0，1，2，……，n-2．这样，“苹果”数(n个小朋友)超过“抽屉”数(n-1种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等．⑵如果在这n个小朋友中，每位小朋友都至少遇到一个熟人，这样熟人数目只有n-1种可能：1，2，3，……，n-1．这时，“苹果”数(n个小朋友)仍然超过“抽屉”数(n-1种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等．总之，不管这n个小朋友各遇到多少熟人(包括没遇到熟人)，必有两个小朋友遇到的熟人数目相等．【巩固】年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多．数学小组共有20名同学，因此每个同学最多有19个朋友；又由于他们都有朋友，所以每个同学至少有1个朋友．因此，这20名同学中，每个同学的朋友数只有19种可能：1，2，3，……，19．把这20名同学看作20个“苹果”，又把同学的朋友数目看作19个“抽屉”，根据抽屉原理，至少有2名同学，他们的朋友人数一样多．【例题6】在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形．我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”．一个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里．将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相同（需要对学生利用余数性质进行解释：为什么余数相同，则差就能被整除）．这两个数的差必能被3整除．【巩固】四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由．想一想，不同的自然数3除的余数有几类？在这道题中，把什么当作抽屉呢？把这四个连续的自然数分别除以3，其余数不外乎是0，1，2，把这3个不同的余数当作3个“抽屉”，把这4个连续的自然数按照被3除的余数，分别放入对应的3个“抽屉”中，根据抽屉原理，至少有两个自然数在同一个抽屉里，也就是说，至少有两个自然数除以3的余数相同．【例题7】证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数．在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数a、b，它们除以自然数m的余数相同，那么它们的差a-b是m的倍数.根据这个性质，本题只需证明这8个自然数中有2个自然数，它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一定是7的倍数．【巩固】证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。
抽屉原理知识要点1.抽屉原理的一般表述(1)假设有3个苹果放入2个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个苹果。
它的一般表述为：第一抽屉原理：(mn＋1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有(m＋1)个物体。
(2)若把3个苹果放入4个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。
它的一般表述为：第二抽屉原理：(mn－1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有(m－1)个物体。
2.构造抽屉的方法常见的构造抽屉的方法有：数的分组、染色分类、图形的分割、剩余类等等。
例1自制的一副玩具牌共计52张(含四种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅，每种牌都有1点，2点， (13)点牌各一张)，洗好后背面朝上放。
一次至少抽取张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同。
如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的(不计颜色)，那么至少要取张牌。
点拨对于第一问，最不利的情况是两种颜色都取了1～13点各一张，此时再抽一张，这张牌必与已抽取的某张牌的颜色与点数都相同。
点拨对于第二问，最不利的情况是：先抽取了1，2，4，5，7，8，10，11，13各4张，此时再取一张，这张牌的点数是3，6，9，12中的一张，在已抽取的牌中必有3张的点数相邻。
解 (1)13×2＋1＝27(张) (2)9×4＋1＝37(张)例2 证明：37人中，(1)至少有4人属相相同；(2)要保证有5人属相相同，但不保证有6人属相相同，那么人的总数应在什么范围内？点拨可以把12个属相看做12个抽屉，根据第一抽屉原理即可解决。
解 (1)因为37÷12＝3……1，所以，根据第一抽屉原理，至少有3＋1＝4(人)属相相同。
(2)要保证有5人的属相相同的最少人数为4×12＋1＝49(人)不保证有6人属相相同的最多人数为5×12＝60(人)所以，总人数应在49人到60人的范围内。
例3 有一副扑克牌共54张，问：至少摸出多少张才能保证：(1)其中有4张花色相同？(2)四种花色都有？点拨首先我们要弄清楚一副扑克牌有2张王牌，四种花色，每种有13张。
组合组合原理和构造抽屉原理0星题课程目标知识提要抽屉原理•概述抽屉原理有时也被称为鸽巢原理．它是组合数学中一个重要的原理．抽屉原理又细分为第一抽屉原理和第二抽屉原理．•抽屉原理1.第一抽屉原理第一抽屉原理又分以下两种不同的表述方式：表述1：多于n+1个的物体放到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里的物体不少于2件．表述2：把多于mn+1〔n不为0〕个的物体放到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有不少于(m+1)的物体．2.第二抽屉原理把(mn－1)个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物体〔例如，将4×5−1=19个物体放入5个抽屉中，那么必定有一个抽屉中的物体数少于等于4−1=3〕．•构造抽屉原理的方法运用抽屉原理的核心是分析清楚问题中，哪个是物件，哪个是抽屉．精选例题抽屉原理1. 现有211名同学和四种不同的巧克力，每种巧克力的数量都超过633颗．规定每名同学最多拿三颗巧克力，也可以不拿．假设按照所拿巧克力的种类和数量都是否相同分组，那么人数最多的一组至少有名同学．【答案】7【分析】根据题意分析可得：一个同学所取的不同种类：不拿有1种，拿1个有4种，拿2个有10种，拿3个有20种，共有1+4+10+20=35(种);这35种情况可以看做抽屉，211÷35=6⋯⋯1,所以6+1=7(人).2. 一次测验共有10道题，每道题完全答对可以得5分，答对一半可以得3分，答错或不答不得分，至少有人参加比赛才能保证有3人的得分相同．【答案】91【分析】最低得分为0分，最高得分为50分，其中1,2,4,7,47,49分得不到，一共可以得到50−0+1−6=45(种)分数，45×2+1=91．3. 班里有48名同学，运动会过后，为了奖励同学们的优异表现，老师要给同学们发巧克力，老师去超市买了一些巧克力之后，发现无论怎么发给同学们〔每人至少一块巧克力〕，总能找到3个同学分到的巧克力一样多，那么老师最多买了块巧克力．【答案】598【分析】先让每个抽屉有2个同学，那么48÷2=24,所以有23个抽屉，那么总能找到3个同学在一个抽屉里，那么共有(1+2+3+4+5+6+⋯+23)×2+23+23=598.4. 有61只乒乓球，将它们放在20个盒子里，不允许有空盒子，每个盒子里最多放5只乒乓球，那么最少有个盒子里的乒乓球数量相同．【答案】5【分析】1+2+3+4+5=15,61÷15=4⋯⋯1,4+1=5．5. 某超级市场有128箱苹果．每箱至少有120个，至多有144个，装苹果个数相同的箱子称为一组，其中数量最多一组的箱子个数为n．那么n的最小值是．【答案】6【分析】144−120+1=25种情况，128÷25=5⋯⋯3，n的最小值为5+1=6．6. 图书馆中有科技书、故事书、美术书．让五〔1〕班同学去借书，不能不借，最多借3本．要确保有3个同学借书的类型和数量完全一样，那么五〔1〕班至少有名学生．【答案】39【分析】借1本书有3种情况；借2本书有6种情况；借3本书有3+2+2+2+1=10(种)情况；共有3+6+10=19(种)情况，根据抽屉原理，为确保3个同学借书的类型和数量都一样，至少有19×2+1=39(名)同学．7. 从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12中至多项选择出个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍．【答案】8【分析】把这12个数分成6个组：第1组：{1,2,4,8}；第2组：{3,6,12}；第3组：{5,10}；第4组：{7}；第5组：{9}；第6组：{11}．每组中相邻两数都是2倍关系，不同组中没有2倍关系．选没有2倍关系的数，第1组最多2个〔1，4或2，8或1，8〕，第2组最多2个〔3，12〕，第3组只有1个，第4，5，6组都可以取，一共2+2+1+1+1+1=8(个)．如果任意取9个数，因为第3，4，5，6组一共5个数中，最多能取4个数，剩下9−4=5(个)数在2个组中，根据抽屉原理，至少有3个数是同一组的，必有2个数是同组相邻的数，是2倍关系．8. 某校六年级有3个班，在一次数学竞赛中至少有人获奖才能保证在获奖的同学中一定有4名学生同班．【答案】10【分析】根据抽屉原理，3×3+1=10．9. 新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸两个球，这些球给人的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿五色之分〔摸时，看不到颜色〕，结果发现总有两个人取的球相同，由此可知，参加取球的至少有人．【答案】16【分析】分两球同色和异色两种情况，共有C52+C51=15〔种〕情况，15+1=16．10. 袋中有外形完全一样的红、黄、蓝三种颜色的小球各15个，每个小朋友从中摸出2个小球，至少有个小朋友摸球，才能保证一定有两个人摸的球一样．【答案】7【分析】摸球的不同情况共有红红、黄黄、蓝蓝、红黄、红蓝、黄蓝6种，所以至少需要7个人，才能保证有两人摸的球一样．11. 有足够多的苹果、橘子、香蕉三种水果，最少要分成堆〔每堆都有苹果、橘子和香蕉三种水果〕，才能保证找得到这样的两堆；把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数．【答案】9【分析】两堆合并后三种水果的个数都是偶数，那么合并前，这两堆水果同种水果的个数奇偶性相同，对于一堆水果，按每种水果的奇偶性分类，共有2×2×2=8〔种〕情况，8+1=9．12. 有红、黄、蓝、白、黑五种形状大小完全一样的小球假设干，每人必须从中选3只小球．要使有两人得到球的颜色完全一样，至少有人参加选球．【答案】36【分析】分所选3个球同色、两种颜色、三种颜色三种情况，共有C51+2C52+C53=35〔种〕情况，35+1=36．13. 有红黄蓝三种颜色的上衣和裤子．同学们任意选择一种颜色的上衣和裤子穿，问：①上衣和裤子的搭配方式有种．②至少要名学生，才能保证有两人穿的上衣和裤子的颜色都相同．【答案】①9；②10【分析】①利用乘法原理，3×3=9〔种〕，所以有9种搭配方式．②利用抽屉原理，9+1=10〔个〕，当有10个人时，就可以保证一定有两个人穿的上衣和裤子颜色都相同．14. 从1到20中，最多能取个数，使任意两个数不是3倍关系．【答案】16【分析】按照3倍关系分组．(1、3、9),(2、6、18),(4、12),(5、15),(7),(8),(10),(11),(13),(14),(16),(17),(19),(20)共14组，从第一组和第二组中最多可以取两个数，剩下每组中最多取一个数，所以最多可以取2+2+12=16〔个〕数使得任意两个数没有3倍关系．15. 一个盒子里面装有标号为1到100的100张卡片，某人从盒子里随意抽卡片，如果要求取出的卡片中至少有两张标号之差为5，那么此人至少需要抽出张卡片．【答案】51【分析】考虑最不利情况，取(1,2,3,4,5),(11,12,13,14,15),(21,22,23,24,25),⋯,(91,92,93,94,95)共50个数，然后再随便取一个，就会出现标号之差为5的情况．50+1=51．16. “六一〞儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等．【答案】见解析．【分析】假设共有n个小朋友到公园游玩，我们把他们看作n个“苹果〞，再把每个小朋友遇到的熟人数目看作“抽屉〞，那么，n个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下n种可能：0,1,2,⋯,n−1其中0的意思是指这位小朋友没有遇到熟人；而每位小朋友最多遇见n−1个熟人，所以共有n个“抽屉〞．下面分两种情况来讨论：⑴如果在这n个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上n−2个熟人，这样熟人数目只有n−1种可能：0,1,2,⋯,n−2这样，“苹果〞数〔n个小朋友〕超过“抽屉〞数〔n−1种熟人数目〕，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等．⑵如果在这n个小朋友中，每位小朋友都至少遇到一个熟人，这样熟人数目只有n−1种可能：1,2,3,⋯,n−1这时，“苹果〞数〔n个小朋友〕仍然超过“抽屉〞数〔n−1种熟人数目〕，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等．总之，不管这n个小朋友各遇到多少熟人〔包括没遇到熟人〕，必有两个小朋友遇到的熟人数目相等．17. 有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同．现在请你挑选假设干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子？【答案】18【分析】将1至49中相乘小于100的两个数，按被乘数分成9组，如下：(1×2)、(1×3)、(1×4)、⋯、(1×49)；(2×3)、(2×4)、(2×5)、⋯、(2×49)；⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (8×9)、(8×10)、(8×11)、(8×12)；(9×10)、(9×11)．因为每个数只能与左右两个数相乘，也就是每个数作为被乘数或乘数最多两次，所以每一组中最多会有两对数出现在圆圈中，最多可以取出18个数对，共18×2=36次，但是每个数都出现两次，故出现了18个数．例如：(10×9)、(9×11)、(1×8)、(8×12)、(12×7)、(7×13)、(13×6)、(6×14)、(14×5)、(5×15)、(15×4)、(4×16)、(16X3)、(3×17)、(17×2)、(2×18)、(18×1)、(1×10).共出现1∼18号，共18个孩子．假设随意选取出19个孩子，那么共有19个号码，由于每个号码数要与旁边两数分别相乘，那么会形成19个相乘的数对．那么在9组中取出19个数时，有19=9×2+1，由抽屉原理知，必有三个数对落入同一组中，这样某个数字会在数对中出现三次〔或三次以上〕，由分析知，这是不允许的．故最多挑出18个孩子．18. 从1至99这99个自然数中任意取出一些数，要保证其中一定有两个数的和是5的倍数，至少要取多少个？【答案】42个【分析】简答：1∼99这99个数中除以5余1的有20个，余2的有20个，余3的有20个，余4的有20个，余0的有19个，选出余1和余2的数，再选一个余0的数，再任选一个数一定符合题意20+20+1+1=42个．19. 在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上．证明：在以这五点为顶点的三角形中，至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一．【答案】见解析．【分析】如图，将长方形按中线分为两局部，那么由抽屉原理知必然有3个点在同一个区域，那么由这3个点所构成的三角形的面积必然小于该区域的一半，即长方形面积的四分之一．20. 用五种颜色给正方体各面涂色〔每面只涂一种色〕，请你说明：至少会有两个面涂色相同．【答案】见解析．【分析】可以把五种颜色作为5个“抽屉〞，六个面作为六个物品，当把六个物品随意放入五个抽屉时，根据抽屉原理，一定有一个抽屉中有两个或两个以上的物品，也就是至少会有两个面涂色相同．21. 如图，在时钟的表盘上任意作9个120∘的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖4个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数．并举一个反例说明，作8个扇形将不能保证上述结论成立．【答案】见解析．【分析】在表盘上共可作出12个不同的扇形，且1∼12中的每个数恰好被4个扇形覆盖．将这12个扇形分为4组，使得每一组的3个扇形恰好盖住整个表盘．那么，根据抽屉原]+1=3个扇形属于同一组，那么这一组的3个扇形可以覆理，从中选择9个扇形，必有[94盖整个表盘．另一方面，作8个扇形相当于从全部的12个扇形中去掉4个，那么可以去掉盖住同一个数的4个扇形，这样这个数就没有被剩下的8个扇形盖住，那么这8个扇形不能盖住整个表盘．22. 红、蓝两种颜色将一个2×5方格图中的小方格随意涂色〔见下列图〕，每个小方格涂一种颜色．是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？【答案】存在．【分析】用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形：将上面的四种情形看成四个“抽屉〞，把五列方格看成五个“苹果〞，根据抽屉原理，将五个苹果放入四个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于两个苹果，也就是至少有一种情形占据两列方格，即这两列的小方格中涂的颜色完全相同．23. 把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔？【答案】9【分析】要想保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔，把小兔子当作“物品〞，把“笼子〞当作“抽屉〞，根据抽屉原理，要把10只小兔放进10−1=9(个)笼里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔．24. 从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。
抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。
它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原理。
它是组合数学中一个重要的原理。
一．抽屉原理最常见的形式原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
[证明]（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能.原理2 把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
[证明]（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能.原理1 2都是第一抽屉原理的表述第二抽屉原理：把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
[证明]（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能二．应用抽屉原理解题抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。
许多有关存在性的证明都可用它来解决。
例1：400人中至少有两个人的生日相同.解：将一年中的366天视为366个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：至少有两人的生日相同.又如：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同.“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。
”“从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。
”例2：幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理.解：从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。
