1.3.2 直线的极坐标方程课件 (北师大选修4-4)

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1.3.2 直线的极坐标方程课件 (北师大选修4-4)

解：圆＝4 sin 的化为直角坐标方程是 x 2 y 2 4 y 0即x 2 ( y 2) 2 4 那么一条与此圆相切的圆的方程为 x 2化为极坐标方程为 cos 2
7、曲线＝0，＝ ( 0)和＝4所围成的 3 面积 _________ .
1 3、极坐标方程 sin ( R)表示的曲线是 3 A、两条相交的直线 B、两条射线
C、一条直线
D、一条射线
1 2 2 解：由已知sin 可得 cos 3 3 2 y 2 所以得 tan 即 4 x 4 两条直线l1 : 2 x 4 y 0, l2 : 2 x 4 y 0 所以是两条相交直线
A

(2, ) 4
M

2

4 O 在Rt OMH中，＝ OM sin , MH
H
即 sin 2 所以，过点A(2, )平行于极轴的直线方程 4 为 sin 2

2、求过A(2,3)且斜率为的直线的极坐标方程。 2
解：由题意可知，在直角坐标系内直线方程为 2x y 7 0 设M ( , )为直线上的任意一点，将x cos , y sin 代入直线方程 2 x y 7 0得 2 cos sin 7 0这就是所求的极坐标方程
0
为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为

4 ( R)
或
5 ( R) 4
( 0)表示极角为的一条射线。＝ ( R)表示极角为的一条直线。
例题2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。解：如图，设点 M ( , ) M 为直线L上除点A外的任意一点，连接OM ﹚ o A x 在 Rt MOA 中有

1.3.2 直线的极坐标方程课件(人教A选修4-4)

x＋y＝1 由 y－x＝1 x＝0，得 y＝1.
∴两条直线的交点的直角坐标为(0,1)， π 化为极坐标为(1，2)．
直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化及直线与圆的位置关系的判断是高考模拟的重点内容.2012 年陕西高考以填空题的形式考查了直线和圆的极坐标方程以及直线与圆的位置关系．
标方程，然后在直角坐标系下研究所要求解的问题，最后再将直角坐标方程转化为极坐标方程即可．
[通一类] 3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线 ρ(cos θ＋sin θ)＝1 与 ρ(sin θ－cos θ)＝1 的交点的极坐标．
解：由 ρ(cos θ＋sin θ)＝1，得 x＋y＝1；由 ρ(sin θ－cos θ)＝1，得 y－x＝1.
[悟一法]
求直线极坐标方程的步骤： (1)设(ρ，θ)为直线上任一点的极坐标． (2)写出动点满足的几何条件． (3)把上述条件转化为ρ，θ的等式． (4)化简整理．
[通一类] 1．若将例题中的“平行”改为“垂直”，如何求解？
π 解：如图所示，在直线 l 上任意取点 M(ρ，θ)，∵A(2，4)， π ∴|OH|＝2cos 4＝ 2. 在 Rt△OMH 中， |OH|＝|OM|cos θ， ∴ 2＝ρcos θ，即 ρcos θ＝ 2. π ∴过 A(2，4)且垂直于极轴的直线方程为 ρcos θ＝ 2.
[精讲详析]
本题考查直线的极坐标方程的求法，解题的关
键是通过解直角三角形得到动点 M 的等式．然后转化为关于 ρ， θ 的等式．如图所示，设 M(ρ，θ)为直线 l 上的任意一点．
过点 M 作 MH⊥x 轴， π ∵A(2，4)， π ∴|MH|＝2sin 4＝ 2. 在 Rt△OMH 中，|MH|＝|OM|sin θ，即 ρsin θ＝ 2. π ∴过点 A(2，4)且平行于极轴的直线的极坐标方程为． ρsin θ＝ 2.

北师大版选修1.3.2直线的极坐标方程(全国优质课一等奖)

N
和 5
4
4
新课讲解一 —过极点的直线方程
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起
来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射
线组合而成。原因在哪？
0
M
O 45° x N
可以考虑允许极径可以取全体实数。
( R) 或 5 ( R )
4
4
变式练习一
1、求过极点，倾角为
5
4
的射线的极坐标方程。
5 ( 0)
4
2、求过极点，倾角为
4
的直线的极坐标方程。
或 5
4
4
新课讲解二 —过定点且垂直于轴的直线方程
思考2：如图，过点A(a，0)(a≠0)，且垂直于极轴的直线l
的极坐标方程是什么？
ρM
O
θ a
A
a＞0时设M(ρ,θ)为直线上任意一点，
则有 ρcosθ＝a；
x
总结概括
几种特殊的直线的极坐标方程：
3.在极轴上方与极轴平行且到极轴距离为a的极坐标方程：
M(， )
a
sin a
O
x
4.在极轴下方与极轴平行且到极轴距离为a的极坐标方程：
x
O
a
sin a
M(， )
新课讲解三 -过定点与极轴成一定角度的直线方程
思考3：设点P的极坐标为A (a, 0) ，直线l 过点P且与极轴
（4）化简：化简并检验所得方程即为所求。
新课讲解一 —过极点的直线方程
思考1：如图，过极点作射线OM，若从极轴到射线OM的最小
正角为450，则射线OM的极坐标方程是什么？
射线OM：

高中数学1.2.3、4、5直线和圆的极坐标方程名师公开课市级获奖课件(北师大版选修4-4)

当堂双基达标
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π π 坐标方程即可．例如对于极坐标方程 ρ＝θ，点 M(4，4)可以表 π π π π π 5π 示为(4，4＋2π)或(4，4－2π)或(－4， 4 )等多种形式，其中，只 π π 有( ， )的极坐标满足方程 ρ＝θ. 4 4
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课时作业
BS ·数学选修4-4
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2．3
课前自主导学
直线和圆的极坐标方程
当堂双基达标
2． 4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 *2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程
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1.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程． 2.掌握简单图形的极坐标方程与直角坐标方程的课标解读互化． 3.理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的表示.
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菜
单
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3.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化两坐标方程的互化，我们把极轴与平面直角坐标系 xOy 的 x 的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位．
课时作业
菜
单
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3．试结合教材 P12－14 例 4－例 8，总结求简单曲线的极坐标方程的关键是什么？常需用到什么知识？
【提示】求简单曲线的极坐标方程的关键，就是要找到极径 ρ 和极角 θ 之间的关系，这常用到解三角形(正弦定理、

北师大版高中数学选修4-4课件高二理科同步课件：1.2.3.1直线的极坐标方程随堂验收(共14张PPT)

高中学课件（金戈铁骑整理制作）
2.3 直线和圆的极坐标方程第一课时直线的极坐标方程
随堂验收
1.极坐标方程(ρ≥0)表示( )
6 A.点 B.射线 C.直线 D.圆
答案:B
解析:如图所示,故选B.
2.过点 (2, 6且), 平行于极轴的直线的极坐标方程是( )
A.ρ=sinθB.y=1
6.经过 (1, 平) 行于极轴的直线的极坐标方程为________.
2 答案:ρsinθ=1
7.经过极点,倾斜角是

5
的直线的极坐标方程为________.
答案： ( R)
5
8.求满足下列条件的直线的极坐标方程: (1)过A(2,π),且与极轴垂直;
(2)过B (2, ,)且与极轴平行.
2
解析:(1)设P(ρ,θ)是直线l上的任意一点,如图所示,在△POA 中,
OP·cos(π-θ)=2, ∴ρcosθ=-2. 故所求直线的极坐标方程为 ρcosθ=-2.
(2)设P(ρ,θ)是直线l上的任意一点,如图所示, OP\5sinθ=-2, ∴ρsinθ=-2. 故所求直线l的极坐标方程为ρsinθ=-2.
C.ρsinθ=1
D.ρcosθ=1
答案:C
解析:设M(ρ,θ)为所求直线上任一点, 依题意,可得ρsinθ=1.
3.过(3,π)且与极轴垂直的直线的极坐标方程为( )
A.ρcosθ=3
B.ρcosθ=-3
C.ρsinθ=3
D.ρsinθ=-3
答案:B
4.直线 3 x y 0 的极坐标方程(限定ρ≥0)为________. 3
答案 : 和 7
6
6
解析:由直线

1.3.2 直线的极坐标方程课件(人教A选修4-4)

[小问题· 大思维]
1．在直线的极坐标方程中，ρ的取值范围是什么？
提示：ρ的取值范围是全体实数，即ρ∈R. 2．在极坐标系中，点M(ρ，θ)与点P(－ρ，θ)之间有什么关系？提示：若ρ<0，则－ρ>0，因此点M(ρ，θ)与点P(－ρ，θ)关于极点对称．
[研一题]
[例 1] π 求过点 A(2，4)且平行于极轴的直线的极坐标方程．
即(x－1)2＋y2＝1. 直线 l 的直角坐标方程为 x－y－4＝0. 圆心 C(1,0)，所以过点 C 与 l 垂直的直线方程为 x＋y－1＝0. 化为极坐标方程为 ρcos θ＋ρsin θ－1＝0， π 2 即 ρcos (θ－4)＝ 2 .
[悟一法]
解答此类问题应先将已知条件中的极坐标方程化为直角坐
[研一题] [例 3] 已知⊙C：ρ＝2cos θ，直线 l：ρcos θ－ρsin θ＝4，求
过点 C 且与直线 l 垂直的直线的极坐标方程．
[精讲详析]
本题考查极坐标与直角坐标的互化及直线极坐
标方程的求法．解答本题需要先求出直线的一般方程，然后化一般方程为极坐标方程即可． ⊙C 的直角坐标方程是 x2＋y2－2x＝0，
x＋y＝1 由 y－x＝1 x＝0，得 y＝1.
∴两条直线的交点的直角坐标为(0,1)， π 化为极坐标为(1，2)．
直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化及直线与圆的位置关系的判断是高考模拟的重点内容.2012 年陕西高考以填空题的形式考查了直线和圆的极坐标方程以及直线与圆的位置关系．
[悟一法]
求直线极坐标方程的步骤： (1)设(ρ，θ)为直线上任一点的极坐标． (2)写出动点满足的几何条件． (3)把上述条件转化为ρ，θ的等式． (4)化简整理．

坐标系与参数方程复习课件(北师大版选修4-4)

则θ =_____. 【解析】直线为y=xtanθ，圆为(x-4)2+y2=4,作出图形, 相切时，易知倾斜角为或 5 .
6 6
2 0
A(4,0)点， 3
则x+y的最大值等于_____.
x= 3 cosθ
2 解析:设椭圆 x y2 1在第一象限部分上的点P
x 3cos
1 x cos x t t x cos （为参数）（为参数） y 1 sin （t为参数） y 1 cos y t 1 t
【例1】(2011·安徽皖南八校模拟改编)在平面直角坐标系
6
A(4，
) 3
4 【规律方法】点的极坐标是距离和角组成的实数对，求三 O 5 角形的面积常常利用两边和夹角的正弦积的一半计算. 5 B(5，)
6
x
【例3】在以O为极点的极坐标系中，直线l的极坐标方程是
ρ cosθ -2=0,直线l与极轴相交于点M，以OM为直径的圆的极
坐标方程是_____. 【审题指导】先求圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程. 【自主解答】直线l：ρcosθ-2=0的普通方程为x=2, M(2,0),以OM为直径的圆的普通方程是(x-1)2+y2=1,即 x2+y2=2x，化为极坐标方程为ρ=2cosθ.
小结（学习要求）：
作业：
练习册P220-222
谢谢！
(x-2)2+y2=4.圆心(2,0)到直线x+ 3 y-4=0的距离为
d 2 30 4 12

3
2
1,
∵d=1<r=2,∴直线与圆相交.
d<r d=r d>r

高中数学北师大版选修4-4配套课件：1-2.3、4、5《直线和圆的极坐标方程》

2．常见简单曲线的极坐标方程
3.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化两坐标方程的互化，我们把极轴与平面直角坐标系 xOy 的 x 的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位．
把曲线的两种方程进行相互转化．
4．圆锥曲线统一的极坐标方程设定点为 F，定直线为 l，过定点 F 作定直线 l 的垂线，垂足为 K，以 F 为极点，FK 的反向延长线 Fx 为极轴，建立极坐标系．如图 1－2－6，设定点 F 到直线 l 的距离|FK|＝p， M(ρ ， θ) 为曲线上任意一点，曲线的极坐标方程为 ρ ＝ ep . 1－ecos θ
2．3
直线和圆的极坐标方程
2． 4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 *2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程
1.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程． 2.掌握简单图形的极坐标方程与直角坐标方程的课标解读互化． 3.理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的表示.
1．曲线的极坐标方程在极坐标系中，如果曲线 C 上的点与一个二元方程 φ(ρ， θ)＝0 建立了如下的关系： (1)曲线 C 上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ， θ)满足方程 φ(ρ，θ)＝0； (2)极坐标满足方程 φ(ρ，θ)＝0 的点都在曲线C上．那么方程 φ(ρ，θ)＝0 叫作曲线 C 的极坐标方程，曲线 C 叫作极坐标方程 φ(ρ，θ)＝0 的曲线．
【提示】如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标方程再判断其是哪种曲线．
π (1)求过点 A(1,0)且倾斜角为 4的直线的极坐标方程； 3 (2)在极坐标系中，求半径为 r，圆心为 C(r，2π)的圆的极坐标方程．【思路探究】

坐标系与参数方程复习课件(北师大版选修4-4)

则θ =_____. 【解析】直线为y=xtanθ，圆为(x-4)2+y2=4,作出图形, 相切时，易知倾斜角为或 5 .
6 6
2 0
A(4,0)
x2 【例3】.已知点P为椭圆 y 2 1 在第一象限部分上的点， 3
则x+y的最大值等于_____.
x= 3 cosθ
2 解析:设椭圆 x y2 1在第一象限部分 3 cosθ+sinθ=2sin(θ+ ) 3 当 . ，x+y取得最大值2。
6

练习：
x t 3 1.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 y 3 t (参数t∈R)，圆C的参数方程为 x 2cos (参数θ ∈ y 2sin 2 ［0,2π )),则圆C的圆心到直线l的距离为_____. 2 2 2.已知圆C的参数方程为 x cos (α 为参数)，以原点 y 1 sin
x 3cos
1 x cos x t t x cos （为参数）（为参数） y 1 sin （t为参数） y 1 cos y t 1 t
【例1】(2011·安徽皖南八校模拟改编)在平面直角坐标系
3 6
则△OAB的面积为_____.
解：点B(5，- 5 )即B(5，7 )，且点A(4， ) ， 6 6 3
∴∠AOB= 7 5 ,
6 3 6
所以△OAB的面积为
S= 1·|OA|·|OB|·sin∠AOB= 1 ×4×5×sin 5
2 2
=
1 1 ×4×5× =5. 2 2
x t 1 xOy中，则直线与圆 x 2 2cos (t为参数) 3 y 2sin t 3 y 3 ( 为参数)的位置关系为______.

1.3.2 直线的极坐标方程课件(人教A选修4-4)

且记∠OPM＝∠1，∠OMP＝∠2，
则∠1＝α－θ，∠2＝π－(α－θ0)．
在△OMP 中应用正弦定理： ρ ρ0 ＝， sin ∠2 sin ∠1 sin π－∠2 即 ρ＝ρ0· sin ∠1 sin α－θ0 ＝ρ0· . sinα－θ 即直线方程为 ρsin (θ－α) ＝ρ0sin (θ0－α)． (2)设 P(ρ，θ)为直线上任意一点(如图)，由△OMP 为直角三角形，显然有，ρcos (θ－θ0)＝ρ0.这就是所求直线方程．
x＋y＝1 由 y－x＝1 x＝0，得 y＝1.
∴两条直线的交点的直角坐标为(0,1)， π 化为极坐标为(1，2)．
直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化及直线与圆的位置关系的判断是高考模拟的重点内容.2012 年陕西高考以填空题的形式考查了直线和圆的极坐标方程以及直线与圆的位置关系．
[悟一法] 对比直角坐标系中直线的方程，可将(1)看成是直线方程的点 π 斜式，不难验证当 θ0＝0，α＝2时，直线(1)即 ρcos θ＝ρ0；当 θ0 π ＝2，α＝0 时，即 ρsin θ＝ρ0.
[通一类] 2．(2012· 上海高考)如图，在极坐标系中， π 过点 M(2,0)的直线 l 与极轴的夹角 α＝6.若将 l 的极坐标方程写成 ρ＝f(θ)的形式，则 f(θ)＝________.
标方程，然后在直角坐标系下研究所要求解的问题，最后再将直角坐标方程转化为极坐标方程即可．
[通一类] 3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线 ρ(cos θ＋sin θ)＝1 与 ρ(sin θ－cos θ)＝1 的交点的极坐标．
解：由 ρ(cos θ＋sin θ)＝1，得 x＋y＝1；由 ρ(sin θ－cos θ)＝1，得 y－x＝1.

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4、直线 cos 2关于直线＝对称的直线 4 方程为 ( B ) A、 cos 2, B、 sin 2 C、 sin 2, D、＝2sin
解：此题可以变成求直 x 2关于y x 线的对称直线的问题即y 2化为极坐标方程为 sin 2
§1.3.2直线的极坐标方程
复习引入：
怎样求曲线的极坐标方程？
答：与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点Ｐ的坐标与之间的关系，然后列出方程(,)=0 ，再化简并讨论。
新课讲授例题1：求过极点，倾角为 4 的射线的极坐标方程。 M 分析：如图，所求的射线上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 / 4，其极径可以取任意的非负数。故所求直线的极坐标方程为 ( 0)
A

(2, ) 4
M

2

4 O 在Rt OMH中，＝ OM sin , MH
H
即 sin 2 所以，过点A(2, )平行于极轴的直线方程 4 为 sin 2

2、求过A(2,3)且斜率为的直线的极坐标方程。 2
解：由题意可知，在直角坐标系内直线方程为 2x y 7 0 设M ( , )为直线上的任意一点，将x cos , y sin 代入直线方程 2 x y 7 0得 2 cos sin 7 0这就是所求的极坐标方程
sin( ) a sin
显然A点也满足上方程。
小结：直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点，且垂直于极轴
3、过某个定点，且与极轴成一定
的角度
解：在直线l上任意取点M ( , ) Βιβλιοθήκη (2, ) 4 MH 2 sin
练习1、求过点 A(2, )平行于极轴的直线。 4
1 3、极坐标方程 sin ( R)表示的曲线是 3 A、两条相交的直线 B、两条射线
C、一条直线
D、一条射线
1 2 2 解：由已知sin 可得 cos 3 3 2 y 2 所以得 tan 即 4 x 4 两条直线l1 : 2 x 4 y 0, l2 : 2 x 4 y 0 所以是两条相交直线

5、在极坐标系中，已知一个圆的方程为 6 直线的极坐标方程是( C
＝12 sin( )，则过圆心与极轴垂直的
)

A、 sin 3 3B、 sin 3 3 C、 cos 3D、 cos 3
6、在极坐标系中，与圆＝4 sin 相切的一条直线的方程是 ( B ) A、 sin 2, B、 cos 2 C、 cos 4, D、 cos 4
4
思考： 5 1、求过极点，倾角为的射线的极 4 5 坐标方程。易得 ( 0)
4 2、求过极点，倾角为的直线的极 4 5 坐标方程。或
4 4
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？
练习：设点P的极坐标为A( a , 0) ，直 l 线过点P且与极轴所成的角为 ,求直线l 的极坐标方程。 M 解：如图，设点 M ( , ) ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM， MOA 中有在
a sin( ) sin( ) 即
0
为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为

4 ( R)
或
5 ( R) 4
( 0)表示极角为的一条射线。＝ ( R)表示极角为的一条直线。
例题2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。解：如图，设点 M ( , ) M 为直线L上除点A外的任意一点，连接OM ﹚ o A x 在 Rt MOA 中有
OM cos MOA OA 即 cos a 可以验证，点A的坐标也满足上式。
求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图； 2、设点 M ( , ) 是直线上任意一点； 3、连接MO； 4、根据几何条件建立关于 , 的方程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。

解：由图可知围成的面积就是扇形AOB 的面积 1 2 8 即S 4 6 3
A
O
B
X
解：圆＝4 sin 的化为直角坐标方程是 x 2 y 2 4 y 0即x 2 ( y 2) 2 4 那么一条与此圆相切的圆的方程为 x 2化为极坐标方程为 cos 2
7、曲线＝0，＝ ( 0)和＝4所围成的 3 面积 _________ .

1.3.2 直线的极坐标方程课件 (北师大选修4-4)

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