1.3.2直线的极坐标方程

解析：在直线 l 上任取点 P(ρ，θ)，在△OPM 中，由正弦定 OM OP 2 ρ 理得 ＝ ，即 ＝ π 5π ，化简 sin ∠OPM sin ∠OMP sin 6－θ sin 6 1 1 得 ρ＝ ，故 f(θ)＝ . π π sin 6－θ sin 6－θ 1 答案： π sin 6－θ
[悟一法]
求直线极坐标方程的步骤： (1)设(ρ，θ)为直线上任一点的极坐标． (2)写出动点满足的几何条件． (3)把上述条件转化为ρ，θ的等式． (4)化简整理．
[通一类] 1．若将例题中的“平行”改为“垂直”，如何求解？
π 解：如图所示，在直线 l 上任意取点 M(ρ，θ)，∵A(2，4)， π ∴|OH|＝2cos 4＝ 2. 在 Rt△OMH 中， |OH|＝|OM|cos θ， ∴ 2＝ρcos θ，即 ρcos θ＝ 2. π ∴过 A(2，4)且垂直于极轴的直线方程为 ρcos θ＝ 2.
[小问题· 大思维]
1．在直线的极坐标方程ຫໍສະໝຸດ ，ρ的取值范围是什么？提示：ρ的取值范围是全体实数，即ρ∈R. 2．在极坐标系中，点M(ρ，θ)与点P(－ρ，θ)之间有什么关 系？ 提示：若ρ<0，则－ρ>0，因此点M(ρ，θ)与点P(－ρ，θ)关 于极点对称．
[研一题]
[例 1] π 求过点 A(2，4)且平行于极轴的直线的极坐标方程．
2
[答案]
3
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标方程，然后在直角坐标系下研究所要求解的问题，最后再将 直角坐标方程转化为极坐标方程即可．
[通一类] 3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线 ρ(cos θ＋sin θ)＝1 与 ρ(sin θ－cos θ)＝1 的交点的极坐标．

解：圆＝4 sin 的化为直角坐标方程是 x 2 y 2 4 y 0即x 2 ( y 2) 2 4 那么一条与此圆相切的 圆的方程为 x 2化为极坐标方程为 cos 2
7、曲线＝0，＝ ( 0)和＝4所围成的 3 面积 _________ .
1 3、极坐标方程 sin ( R)表示的曲线是 3 A、两条相交的直线 B、两条射线
C、一条直线
D、一条射线
1 2 2 解：由已知sin 可得 cos 3 3 2 y 2 所以得 tan 即 4 x 4 两条直线l1 : 2 x 4 y 0, l2 : 2 x 4 y 0 所以是两条相交直线
A


(2, ) 4
M


2

4 O 在Rt OMH中， ＝ OM sin , MH
H
即 sin 2 所以，过点A(2, )平行于极轴的直线方程 4 为 sin 2

2、求过A(2,3)且斜率为 的直线的极坐标方程。 2
解：由题意可知，在直 角坐标系内直线方程为 2x y 7 0 设M ( , )为直线上的任意一点， 将x cos , y sin 代入直线方程 2 x y 7 0得 2 cos sin 7 0这就是所求的极坐标方 程
0
为了弥补这个不足，可以考虑允许 极径可以取全体实数。则上面的直 线的极坐标方程可以表示为

4 ( R)
或
5 ( R) 4
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。
例题2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直 于极轴的直线L的极坐标方程。 解：如图，设点 M ( , ) M 为直线L上除点A外的任 意一点，连接OM ﹚ o A x 在 Rt MOA 中有

设直线L与极轴交于点A。则在MOP
OMP , OPM ( 1 )
由正弦定理 得
1 sin[ ( 1 )] sin( )
显然点 P 的坐标 sin( ) 1 sin( 1 ) 也是它的解。
小结：直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点，且垂直பைடு நூலகம்极轴
练习：设点P的极坐标为A( a , 0) ，直 l 线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直l 线 的极坐标方程。 M 解：如图，设点 M ( , ) ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM， 在MOA 中有
a sin( ) sin( ) 即
sin( ) a sin
显然A点也满 足上方程。
例题3设点P的极坐标为( 1 ,1 ) ，直线 l 过点P且与极轴所成的角为 ,求直线l 的极坐标方程。
1 P
M
o
﹚ ﹚
1
x
解：如图，设点 M ( , ) 为直线上除 点P外的任意一点，连接OM 则 OM , xOM 由点P的极坐标知 OP 1 xOP 1
3、过某个定点，且与极轴成一定
的角度
；九目妖 ；
国尪,绝美の面颊红扑扑の.战申榜排位赛决赛阶段,还在继续之中.只是,有鞠言战申和卢冰战申呐场对战在前,其他战申の对战,就很难引起大家太多の关注了.哪怕是其他混元无上级存在の搏杀,似乎也失色了很多.押注大厅,顶层！林岳大臣,匆匆の来到鲍一公爵面前.“公爵大人！”林岳 大臣对鲍一公爵拱了拱手.“嗯,有哪个事?”鲍一公爵坐在椅子上,抬眉问道.“鞠言战申与卢冰战申の对战,已经结束,有结果了.”林岳大臣微微低头说道.林岳大臣の声音发颤,他很激动兴奋.“卢冰战申获胜了?”鲍一公爵也全部没去想鞠言战申有获胜の可能,很自然の就认为是卢冰战申 获胜了：“鞠言战申,还活着吧?”“公爵大人,是鞠言战申胜了.卢冰战申,被当场斩杀.从大斗场传来の消息说,鞠言战申是炼体与道法双善王.”林岳大臣颤音说道.“哪个?”鲍一公爵陡然站起身,整个人气势不经意の爆了一下,眼睛瞪圆.“怎么可能！”鲍一公爵の第一反应,就是觉得不现 实.“公爵大人,鞠言战申真是太强大了.呐一次鞠言战申の盘口压保,俺们押注大厅能从中赚取大量白耀翠玉.就算去掉分给波塔尪国の部分,也有可观の收获.啧啧,波塔尪国真是走了大运！”林岳大臣赞叹の模样道.波塔尪国,确实是走大运了.波塔尪国接连在鞠言盘口压保,鞠言战申接连获 胜,让波塔尪国从中赢取了泊量の白耀翠玉,同事还得到鞠言战申盘口惊人の押注积分.通过呐一届排位赛,波塔尪国便能得到下一届战申榜排位赛大量の盘口名额.甚至,可能会有超过拾个押注盘口名额,无疑是大丰收.“俺们の王尪大人,果然是真知灼见,竟能预料到鞠言战申会在此战获 胜.”鲍一公爵崇拜の语气缓缓说道,他以为仲零王尪先前就判断鞠言战申会击败卢冰战申,所以才会放开卢冰战申の盘口压保限额.(本章完)第三零三二章过意不去（补思）鲍一公爵以为仲零王尪是未卜先知,而实际上仲零王尪也根本就没想到鞠言战申能击败卢冰战申.放开盘口压保限额呐 个决定,是基于鞠言愿意为法辰王国效历万年の事间.大斗场上,决赛第一轮持续进行之中.波塔尪国の贺荣国尪等人,笑得合不拢嘴.呐一群人,都没有刻意压制自身内心中琛琛の喜悦.由于,先前廉心国尪等人让他们有些憋闷,轮到他们反击了.“陛下,呐下子俺们波塔尪国真真の发了.”申肜 公爵眉笑颜开道.“决赛阶段第一轮,鞠言战申和卢冰の盘口,压保额七拾多亿白耀翠玉！呐一下子,俺们波塔尪国就能获得七拾多亿押注积分.”另一名公爵也笑着说道.“哈哈,卢冰战申应该早点认输才是.早点认输,至少能活下来.蓝泊国尪,俺说得对不对?”贺荣国尪看向蓝泊国尪道.蓝泊 国尪看了贺荣国尪一眼,心中将贺荣国尪祖宗拾八代都骂了一遍.“呵呵,鞠言战申已经进入战申榜,他取代了卢冰战申の位置,暂事是第拾陆名.”仲零王尪笑着说道.鞠言击败了卢冰战申,在战申榜上自动取代卢冰战申の排名,而卢冰战申如果活着,那他の名次就是第拾七名.“不知道,鞠言战 申下一轮会挑战哪一位战申.”万江王尪眯着眼说道.“可能是……玄秦尪国の肖常崆战申?俺看鞠言战申呐性子,也不是好相与の呢.”秋阳王尪看向廉心国尪随意の语气道.玄秦尪国与鞠言也有矛盾,而玄秦尪国の肖常崆战申,在战申榜上排名第拾,按照规则鞠言战申是能够在下一轮决赛中 挑战肖常崆战申の.廉心国尪の脸色变了变.若是在鞠言战申杀死卢冰战申之前,廉心国尪自是巴不得鞠言挑战肖常崆战申.可现在,她の想法变了.委实是,鞠言の表现太过离奇.肖常崆战申の排名,虽然比卢冰战申高出几位,但二者在实历上,差距其实并不很大.肖常崆战申即便稍稍强出那么一 点点,可两人交手の话,肖常崆战申也不是一定能击败卢冰战申.一旦鞠言战申挑战肖常崆战申,那结果怕也难说.难道,要肖常崆战申主动认输?此事の鞠言战申,回到了纪沄国尪の身边.“鞠言战申,你已经登上战申榜了.拾陆名！”纪沄国尪兴奋の语气对鞠言说道.“俺们龙岩国,也出名了.” 纪沄国尪高兴得像个孩子,若不是由于呐里有太多人,她可能会在鞠言面前跳起来.“出名了,但俺们龙岩国还是太弱.陛下,俺们得尽快让尪国强大起来.就算不能成为顶级尪国,起码也得成为著名尪国.”鞠言笑着说道.“呐……太难了啊！著名尪国,一共只有二百个.俺们龙岩国,太弱小了.” 纪沄国尪摇头,那些著名尪国,基本上也都是很枯老の国度,每一个国家,都有大量善王级强者.龙岩国の善王,数量太少了.“只要资源足够,也并不是不能快速壮大扩罔.”鞠言笑道.“招揽善王级强者,需要の资源可就太多了.而且,就算有资源,善王也未必愿意加入呢.”纪沄国尪想一想其中 の难度,都觉得无历.“以前难,但以后会容易很多.之前是龙岩国没有名气,以后就不一样了.信任,会有不少善王,会主动の要加入龙岩国の.而且,俺们龙岩国可是有一头混鲲兽,呐吸引历对寻常善王可不小.”鞠言看着纪沄国尪道.混鲲兽！那是混元无上级强者都很在乎の叠要资源.虽是说, 混元无上级强者能够杀死混鲲兽,但并不是说混元无上级善王去了永恒之河就能猎杀到混鲲兽.想杀死混鲲兽,那需要多个条件都同事满足才行.首先,混鲲兽若是在永恒之河内不出来,那你就算一群混元无上级强者也无计可施.在永

1 3、极坐标方程 ( R)表示的曲线是 sin 3 A、两条相交的直线 B、两条射线
C、一条直线 D、一条射线
1 2 2 解：由已知 sin 可得 cos 3 3 2 y 2 所以得 tan 即 4 x 4 两条直线 l1 : 2 x 4 y 0, l2 : 2 x 4 y 0 所以是两条相交直线
OM cos MOA OA
即 cos a 可以验证，点A的坐标也满足上式。
求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图； 2、设点 M ( , ) 是直线上任意一点； 3、连接MO； 4、根据几何条件建立关于 , 的方 程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。
解：圆 ＝4 sin 的化为直角坐标方程是 x 2 y 2 4 y 0即x 2 ( y 2) 2 4 那么一条与此圆相切的 圆的方程为 x 2化为极坐标方程为 cos 2
7、曲线 ＝0，＝ ( 0)和＝4所围成的 3 面积 _________ .
4、直线 cos 2关于直线＝ 对称的直线 4 方程为 ( B ) A、 cos 2, B、 sin 2 C、 sin 2, D、＝2sin
解：此题可以变成求直 x 2关于y x 线 的对称直线的问题 即y 2化为极坐标方程为

sin 2

解：由图可知围成的面 积就是扇形 AOB 的面积 1 2 8 即S 4 6 3
A
O
B
X
A


( 2, ) 4
M


2

4 O 在Rt OMH中， ＝ OM sin , MH
H
即 sin 2 所以，过点A(2, )平行于极轴的直线方程 4 为 sin 22的直线的极坐标方程。

相切的一条直线的方
B、 cos 2 D、 cos 4
3.求过A(2,3)且斜率为2的直线的极坐标方程。
解：由题意可知，在直 角坐标系内直线方程为 2x y 7 0 设M ( , )为直线上的任意一点， 将x cos , y sin 代入直线方程 2 x y 7 0得 2 cos sin 7 0这就是所求的极坐标方 程
π 例3.求过点A(2, )平行于极轴的直线。 4
解：如图，设M ( , )是直线l上除点A外的任意一点
A(2, ) MB 2 sin 2 4 4


在Rt OMB中， MB OM sin ,即 sin 2 可以验证，点A的坐标(2, )满足上式， 4
6、在极坐标系中，与圆 ＝4 sin 相切的一条
( B ) 直线的方程是 A、 sin 2, B、 cos 2 C、 cos 4, D、 cos 4
解：圆＝4 sin 的化为直角坐标方程是 x 2 y 2 4 y 0即x 2 ( y 2) 2 4 那么一条与此圆相切的 圆的方程为 x 2化为极坐标方程为 cos 2
) 1 sin( ． 1 )
1.两条直线 cos( ) a 与 sin(
置关系是（ B ） A、平行 B、垂直
) a 的位
C、重合
D、平行或重合
2.在极坐标系中，与圆
程是（ B ）
A、 sin 2 C、 cos 4
4sin

4
则上述直线MN的极坐标方程是什么？ 5 ( R) 或 ( R) 4 4 ( 0)表示极角为的一条射线。

2
与极轴平行
极坐标方程
_ρ__s_i_n_θ__=a (0＜θ＜π)
图形
M(a, )
2
l
a
O
x
(2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线l经过 点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α ，直 线l的极坐标方程为： ρsin(α-θ) = ρ0sin(α-θ0) .
阅读课本P16---17 了解柱坐标系的定义, 以及如何用 柱坐标系描述空间中的点.
(1)特殊位置的直线的极坐标方程：
直线
极坐标方程
过极点， 倾斜角为α
θ= _α__(ρ∈R)或θ=_π__+_α_
(ρ∈R) (θ=_α__和θ=π__+__α_
(ρ≥0))
过点(a,0), 与极轴垂直
_ρ__c_o_s_θ__=a
( ＜＜)
2
2
图形
l
O(M)
x
l
a O Mx
直线
过点(a, ),
§1.3.2直线的极坐标方程
复习引入： 怎样求曲线的极坐标方程？
答：与直角坐标系里的情况一样，求 曲线的极坐标方程就是找出曲线上动 点Ｐ的坐标与之间的关系，然后列 出方程(,)=0 ，再化简并讨论。
新课讲授
例题1：求过极点，倾角为 的极坐标方程。
4
的射线 M
分析：
如图，所求的射线
上任一点的极角都
x 2化为极坐标方程为 cos 2
7、曲线＝0，＝ ( 0)和＝4所围成的
3 面积 _________.
解：由图可知围成的面积就是扇形AOB
的面积
A
即S 1 42 8
6
3
O
B
X

l


5 射线OM’上任意一点的极角都是 ， 因此，射线OM’的极坐标 4 5 方程是 0;
4
0;
M
x
4 5 因此，直线l的方程可以用 和 表示. 4 4
直线的极坐标方程 探究:
求直线 l 的极坐标方程.
如图，直线 l 经过极点，从极轴到直线 l 的角是 4 ，
显然，点P的坐标( 1 ,1 )是方程(1)的解，所以， 方程(1)为直线l的极坐标方程。
课堂练习
1、直线l1 : sin( ) a和l2：＝ －的位置 2 关系为 ( B ) A、l1平行l2 , B、l1 l2 C、l1与l2重合，D、l1和l2 斜交

2、两条直线 cos( ) a与 sin( ) a ) 的位置关系是 ( B A、平行，B、垂直 C、重合，D、平行或重合
O
a
A
x
可以验证，点A的坐标(a,0)满足上式，
所以, 这就是所求直线的极坐标方程。
【点评】求直线极坐标方程的步骤： 1.画出草图，确定直线在极坐标系中的位置； 2.设M(ρ,θ)是直线上任意一点； 3.连接MO,建立关于ρ,θ的方程f(ρ,θ)=0并化简； 4.检验并确认所得方程即为所求.
练习 、求过点A(2, )平行于极轴的直线。 1 4
D、一条射线
5、在极坐标系中，已知一个圆的方程为 6 直线的极坐标方程是 ( C
＝12 sin( )，则过圆心与极轴垂直的
)
A、 sin 3 3B、 sin 3 3

C、 cos 3D、 cos 3
归纳小结：
直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点，且垂直于极轴 3、过某个定点，且与极轴成一定的角度 求直线的极坐标方程的步骤 1.画出草图，确定直线在极坐标系中的位置； 2.设M(ρ,θ)是直线上任意一点； 3.连接MO,建立关于ρ,θ的方程f(ρ,θ)=0并化简； 4.检验并确认所得方程即为所求.

新课讲授 例题1：求过极点，倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析： 如图，所求的射线 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 / 4，其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为

4 ( 0)
思考： 5 1、求过极点，倾角为 的射线的极 4 5 坐标方程。 易得 ( 0 ) 2、求过极点，倾角为 坐标方程。
点M(ρ 0，θ 0)，且极轴到此直线的角为α ，直 线l的极坐标方程为： ρ sin(α -θ ) =
ρ 0sin(α -θ 0)
.
阅读课本P16---17
了解柱坐标系的定义, 以及如何用
柱坐标系描述空间中的点.
z 设P是空间任意一点， P(ρ,θ,Z) 在oxy平面的射影为Q， 用(ρ ,θ )(ρ ≥0, 0≤θ ＜2π )表示点Q o y 在平面oxy上的极坐标， θ 点P的位置可用有 Q x 序数组(ρ ,θ ,z)表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱 坐标系. 有序数组(ρ ,θ ,Z)叫点P的柱 坐标，记作(ρ ,θ ,Z). 其中 ρ ≥0, 0≤θ ＜ 2π , -∞＜Z＜+∞
柱坐标系又称半极坐标系，它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的. 空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐 标 (ρ ,θ ,Z) 之间的变换公式为
x cos y sin z z
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它 在柱坐标系中的坐标.
由已知的对称直线的问题关于sin12一个圆的方程为在极坐标系中已知sinsin直线的方程是相切的一条化为极坐标方程为圆的方程为那么一条与此圆相切的面积所围成的的面积积就是扇形解
§1.3.2直线的极坐标方程

3、过某个定点，且与极轴成一定
的角度
；
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仨就一溜儿进院儿来了。他们人还都没有走进堂屋，耿憨的大嗓门就先传进来了：“嫂子哇，俺们在街门外头就闻到香味儿了！”郭氏和耿老 爹赶快接出来。郭氏高兴地说：“这不正要让兰儿去叫你们呢！快进屋哇，都准备得差不多了！”耿老爹说“大家伙儿快进屋哇！兰儿，你去 学堂喊你大哥二哥一声，就等他俩了！”耿憨说：“不用去喊了，正儿和小直子很快就回来了！”青海说：“俺们从粉坊回来之前，俺已经去 招呼过了。耿正哥说安排一下木匠师傅们下午做的活儿，他们就回来了。”说着话，耿老爹招呼大家伙儿进堂屋各自找地儿坐了。耿兰又要去 包饺子，郭氏说：“兰儿，那不多的几个，你就不用插手了。往大铁锅里添上半锅水慢慢烧着哇！”郭氏说着话，先把备好的小炒菜全部腾挪 到灶台旁边的小厨桌上，然后把并在一起的两张桌子抹干净了，再把已经装好的两份凉菜分别摆在两边，把白酒全部放在靠门口的八仙桌上， 米酒全部放在靠里边那张原先的餐桌上。想一想，又去西房橱柜里捧来两小瓷瓶米酒，擦擦瓶子的外面，在靠门口的八仙桌上也放上一小瓷瓶， 另外一小瓷瓶搁在一边备着。又摆上酒盅、筷子。一阵脚步声传进堂屋里来，郭氏高兴地说：“是这兄弟俩回来了！”话音未落，耿直欢快的 声音就响起来：“哇，真香啊！娘哎，俺饿坏了！”郭氏扭头看看快步进院儿的兄弟俩，笑着说：“还知道饿了，就你们俩回来得最晚！快快 洗手，咱们这就开饭！”耿直高兴地跳进来屋说：“俺和哥哥在学堂那边就洗过手了，现在就可以开吃！伯，叔，大家伙儿都到了，还真是俺 俩最晚了哇！”耿正进门来，抱歉地笑笑，说：“有一个师傅出去了，俺们等了他一小会儿。”面团儿全部包完了，耿英将剩下不多的肉馅儿 盖好，面盆儿面板擀面杖什么的先不管它，大家都出来洗手。于是，郭氏安排大家伙儿入座，说：“你们男人喝白酒，都坐这一桌；俺们女的 都坐这一桌。来，嫂子和弟妹招呼秀儿和妞儿坐哇，咱们喝米酒。”四个人都说要帮着炒菜煮饺子，郭氏说：“没有什么事儿了，杂烩菜和鸡 已经做好，俺盛出来就妥；其他的小炒也已经全部备好了，这炉子里火苗儿正旺着呢，一拨拉就行；有兰儿烧煮饺子的水就足够了，都坐哇， 英子你也坐下哇！”于是，耿老爹招呼男人们坐在靠外的八仙桌那边儿，耿英拉着女人们坐在靠里的桌子这边儿，各自开酒瓶子，满酒。郭氏 用两个大海碗盛了香喷喷的大杂烩菜，在两张桌子上各放上一碗；又将热好的肥鸡用两个大盘子分别装了，也在两张桌子上各放上一盘。耿老 爹说：“他娘，你和兰儿都来和大家伙儿喝一杯，你再拨拉那几个小炒菜哇！煮饺子不着急，兰儿也先来吃着哇！”郭氏对耿兰说：“兰儿， 快起来坐这儿哇。你爹说得对，煮饺子不着

x2＋y2＝2y 联立 x＝－1 x＝－1 解得 y＝1
，
3π ，点(－1,1)的极坐标为( 2， )． 4
3π 答案：( 2， ) 4
返回
π 2 7π 4．已知直线的极坐标方程为 ρsin(θ＋ )＝ ，则点 A(2， ) 4 2 4 到这条直线的距离是________．
7π 解析：点 A(2， )的直角坐标为( 2，－ 2)． 4 π 2 直线 ρsin(θ＋ )＝ ， 4 2 π π 2 即 ρsin θ· ＋ρcos θ· ＝ 的直角坐标方程为 cos sin 4 4 2 2 2 2 x＋ y＝ ，即 x＋y＝1. 2 2 2
返回
∴点 A( 2，－ 2)到直线 x＋y－1＝0 的距离为 | 2－ 2－1| 2 d＝ ＝ ， 2 1＋1 7π π 2 2 故点 A(2， )到直线 ρsin(θ＋ )＝ 的距离为 . 4 4 2 2
返回
[例 2]
π 在极坐标系中， 直线 l 的方程是 ρsin(θ－ )＝1， 6
π 求点 P(2，－ )到直线 l 的距离． 6 [思路点拨] 将极坐标问题转化为直角坐标问题．
返回
[解]
π 点 P(2，－ )的直角坐标为( 3，－1)． 6
π 直线 l：ρsin(θ－ )＝1 可化为 6 π π ρsin θ· －ρcos θ· ＝1， cos sin 6 6 即直线 l 的直角坐标方程为 x－ 3y＋2＝0. ∴点 P( 3，－1)到直线 x－ 3y＋2＝0 的距离为 | 3＋ 3＋2| d＝ 2＝ 3＋1. 1＋－ 3 π π 故点 P(2，－ )到直线 ρsin(θ－ )＝1 的距离为 3＋1. 6 6
返回
π 2．设点 A 的极坐标为(2， )，直线 l 过点 A 且与极轴所成 6 π 的角为 ，求直线 l 的极坐标方程． 3 解：设 P(ρ，θ)为直线上任意一点(如图)．

[1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长 线上取一点M，使 OM= 3 O P = /4 X
M
练习：写出点 的负极径的极坐标 （ 6， ） 6 11 答：（－6， +π） 或（－6，－ +π） 6 6
负极径小结：极径变为负，极角增加 。
特别强调：一般情况下（若不作特别 说明时），认为 ≥ 0 。因为负极径只 在极少数情况用。
答：与直角坐标系里的情况一样，求 曲线的极坐标方程就是找出曲线上动 点Ｐ的坐标与之间的关系，然后列 出方程(,)=0 ，再化简并讨论。
新课讲授 例题1：求过极点，倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析： 如图，所求的射线 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 / 4，其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为 ( 0)
0
为了弥补这个不足，可以考虑允许 极径可以取全体实数。则上面的直 线的极坐标方程可以表示为

4 ( R)
或
5 ( R) 4
例题2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直 于极轴的直线L的极坐标方程。 解：如图，设点 M ( , ) M 为直线L上除点A外的任 意一点，连接OM ﹚ o A x 在 Rt MOA 中有
1、负极径的定义
说明：一般情况下，极径都是正值； 在某些必要情况下，极径也可以取 负值。（？）
对于点M（，）负极径时的规定： P X
[1]作射线OP，使XOP=
O

[2]在OP的反向延长
M
线上取一点M，使OM=
2、负极径的实例 在极坐标系中画出点 M（－3，/4）的位置
设直线L与极轴交于点A。则在MOP

练习：设点P的极坐标为A( a , 0) ，直 l 线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直 线l 的极坐标方程。 M 解：如图，设点 M ( , ) ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM， MOA 中有 在
a sin( ) sin( ) 即
解：圆＝4 sin 的化为直角坐标方程是 x 2 y 2 4 y 0即x 2 ( y 2) 2 4 那么一条与此圆相切的 圆的方程为 x 2化为极坐标方程为 cos 2
7、曲线＝0，＝ ( 0)和＝4所围成的 3 面积 _________ .
4、直线 cos 2关于直线＝ 对称的直线 4 方程为 ( B ) A、 cos 2, B、 sin 2 C、 sin 2, D、＝2sin
解：此题可以变成求直 x 2关于y x 线 的对称直线的问题 即y 2化为极坐标方程为 sin 2

解：由图可知围成的面 积就是扇形AOB 的面积 1 2 8 即S 4 6 3
A
O
B
X
OM cos MOA OA 即 cos a 可以验证，点A的坐标也满足上式。
求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图； 2、设点 M ( , ) 是直线上任意一点； 3、连接MO； 4、根据几何条件建立关于 , 的方 程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。
0
为了弥补这个不足，可以考虑允许 极径可以取全体实数。则上面的直 线的极坐标方程可以表示为

4 ( R)
或
5 ( R) 4
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。

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总结：高中数学极坐标公式及常见极坐标方程
2019-02-12| 转藏
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1.极坐标与直角坐标的互化公式；
2.常见圆的极坐标方程；
3.常见直线的极坐标方程
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1 3、极坐标方程 sin ( R)表示的曲线是 3 A、两条相交的直线 B、两条射线
C、一条直线
D、一条射线
1 2 2 解：由已知sin 可得 cos 3 3 2 y 2 所以得 tan 即 4 x 4 两条直线l1 : 2 x 4 y 0, l2 : 2 x 4 y 0 所以是两条相交直线
sin( ) a sin
显然A点也满 足上方程。
小结：直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点，且垂直于极轴
3、过某个定点，且与极轴成一定
的角度
解：在直线l上任意取点M ( , ) A(2, ) 4 MH 2 sin
练习1、求过点 A(2, )平行于极轴的直线。 4
A


(2, ) 4
M


2

4 O 在Rt OMH中， ＝ OM sin , MH
H
即 sin 2 所以，过点A(2, )平行于极轴的直线方程 4 为 sin 2

2、求过A(2,3)且斜率为 的直线的极坐标方程。 2
解：由题意可知，在直 角坐标系内直线方程为 2x y 7 0 设M ( , )为直线上的任意一点， 将x cos , y sin 代入直线方程 2 x y 7 0得 2 cos sin 7 0这就是所求的极坐标方 程

解：由图可知围成的面 积就是扇形AOB 的面积 1 2 8 即S 4 6 3
A
O
B
X
练习：设点P的极坐标为A( a , 0) ，直 l 线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直 线l 的极坐标方程。 M 解：如图，设点 M ( , ) ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM， MOA 中有 在