高考高三数学一轮复习专题专题 不等式
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专题四 不等式江苏省苏州实验中学徐贻林【课标要求】 1．课程目标(1) 不等关系：了解现实世界和日常生活中的一些不等关系．(2) 一元二次不等式：能从实际情境中抽象出一元二次不等式；了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；掌握一元二次不等式的解法．(3) 二元一次不等式组与简单线性规划问题：能从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题；并能加以解决（一般的最优整数解问题不作要求）．(4) ≤2a b +（a ≥0，b ≥0）≤2a b+（a ≥0，b ≥0）；能用基本不等式证明简单不等式（指只用一次基本不等式即可解决的问题）；能用基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不等式即可解决的问题）．2．复习要求（1）不等式是作为描述、刻画现实世界中不等关系的一种数学模型介绍给学生的，复习中要淡化解不等式的技巧性要求，突出不等式的实际背景及其应用，注意不要偏重于从数学到数学的纯理论探讨．（2）求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解．复习中，应注意融入算法的思想，让学生更加清晰地认识不等式求解过程．（3）不等式有丰富的实际背景，二元一次不等式组是刻画平面区域的重要工具．刻画区域是解决线性规划问题的一个基本步骤，复习中应注意从实际背景中抽象出二元一次不等式组．（4）线性规划是优化模型之一．教师应引导学生体会线性规划的基本思想，用图解法解决一些简单的线性规划问题，不必引入过多名词．简单的线性规划问题指约束条件不超过四个（x ≥0也看作一个约束条件）的线性目标函数的最大（小）值问题．实际问题中经常会涉及最优整数解问题，复习中可向学生作一些介绍，但在训练和考查中不作要求．3．复习建议（1）重视数学思想方法的复习① 在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练力度．② 加强分类讨论思想的复习．在解不等式或证不等式的过程中，如遇到含有参的问题，这时可能要对参数进行不重不漏的讨论．③ 加强函数与方程思想在不等式中的应用训练． ④ 在不等式的证明中，要加强化归思想的复习． (2) 强化不等式的应用在复习时应用加强这方面知识和能力的训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，在求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误，同时还要注意实际情况的限制．【典型例题】 例1（填空题）（1）若212x +≤21()4x -，则函数2x y =的值域是． 解析：212x+≤2421()24x x --=，22142230x x x x +≤-+-≤，，31x -≤≤，128y ≤≤． （2）已知函数2,0;()2,0x x f x x x +⎧=⎨-+>⎩≤．则不等式2()f x x ≥的解集是．解析：依题意220,0,00112112x x x x x x x x x ⎧⎧≤>≤≤<≤⇒≤≤+⇒--⎨⎩-+≥⎨⎩≥或或． （3）已知函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,3)-和(1,1)两点，若01c <<，则a 的取值范围是．解析：由题意得3,2,2,021,121a b c a c c a a a a b c -+=⎧+==-<-<<<⎨++=⎩，．（4）不等式组2222323,20x x x x x x ⎧-->--⎪⎨+-<⎪⎩的解集为__________________．解析：2223013,13,,13(2)(1)01020x x x x x x x x x x ⎧--<-<<-<<⎧⎧⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨⎨⎨+->->+->⎪⎪⎩⎩⎪⎩．（5）若关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，则实数a 的取值范围是． 解析：设()2f x x ax a =--，则关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集()3f x ⇔≤-在(),-∞+∞上能成立()min 3f x ⇔≤-．（6）已知||(a b c a +<-，b ，c ∈R ），给出下列不等式：①a b c <--；②a b c >-+；③a b c <-；④||||a b c <-；⑤||||a b c <--．其中一定成立的不等式是（注：把成立的不等式的序号都填上）．解析：∵||a b c c a b c b c a b c +<-⇔<+<-⇔-+<<--，∴①②是正确的．∵||||a b -≤||a b +c <-，∴||a ≤||b c -，∴④正确．令3a =，1b =-，4c =-，满足条件，但31(3)4a b c =<-=-+-=-，||3|||1|(3)2a b c =<--=----=不能成立，∴③，⑤是错误的．（7）若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是．解析：2()a b c ++＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ≥222412a ab ac bc +++=，当且仅当b ＝c 时取等号．或者2()a b c ++＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝12＋2()b c -≥12，当且仅当b ＝c 时取等号．（8）定义在(0,)()()()()f x f x f y f xy +∞+=的函数满足，且1()0x f x ><时，若不等式()f f f a ≤+对任意,(0,)x y ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是．解：依题设12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则211x x >．根据题意有212111()()()()x f x f x f x f x x -=-⋅=221111()(()())()0x xf x f x f f x x -+=->(1()0x f x ><时)．所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >．从而函数()f x 在(0,)+∞单调递减，所以不等式()(f f f a f f ≤+⇒≤⇒≥即a ≤≥，从而a 又0a >，所以0a <a 的取值范围为(，填写答案为(． （9）已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z =11()()x y x y++的最小值为．解析：z =11()()x y x y ++=1y xxy xy x y+++=21()222x y xy xy xy xy xy xy +-++=+-， 令t ＝xy , 则210()24x y t xy +<=≤=，由2()f t t t =+在10,4⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，故当t =14时，2()f t t t=+有最小值334，所以当12x y ==时z 有最小值254．（10）三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是． 解析：由2x ＋25＋|3x －52x |≥225,112|5|ax x a x x x x≤≤⇒≤++-，而2510x x x x+≥=，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；且2|5|0x x -≥，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；所以，2min 25[|5|]10a x x x x≤++-=，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；故(,10]a ∈-∞．例2 已知命题22:46:210(0)p x q x x a a -≤-+-≥>，．若非p 是q 的充分不必要 条件，求a 的取值范围．解：{}:46102|102p x x x A x x x ⌝->><-=><-，，或．，或．{}22:21011|11q x x a x a x a B x x a x a -+-≥≥+≤-=≥+≤-，，或，记，或．而p q A ⌝⇒∴，⊂B ，即12110,030a a a a -≥-⎧⎪+≤∴<≤⎨⎪>⎩．例3已知适合不等式2435x x p x -++-≤的x 的最大值为3，求p 的值． 解：因为x 的最大值为3，故x -3<0，原不等式等价于24(3)5x x p x -+--≤， 即2242x x x p x --≤-+≤+，则22520(1){320(2)x x p x x p -+-≤-++≥，设（1）（2）的根分别为12213443(),()x x x x x x x x >>、、，则2433x x ==或．若23x =，则9-15+p -2=0，p =8．若43x =，则9-9+p +2=0,p =-2．当a =-2时，原方程组无解，所以p =8．例４一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有2的面积，应如何设计十字型宽x 及长y ，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省．解：设2,y x h =+由条件知：24x xh +=即h =设外接圆的半径为R ，即求R 的最小值，22222222224(2)2(22),2()510(02)25,8R x h x x hx h R f x x x x R R x=++=++∴===+<<∴≥=，等号成立时，225102,8x x x=⇒=∴当2x =时R 2最小，即R 最小，从而周长l最小，此时2,21x cm y h x cm ==+=．例5已知函数()f x 在R 上有定义，对任何实数0a >和任何实数x ，都有()()f ax af x =．（Ⅰ）证明()00f =； （Ⅱ）证明(),0,,0.kx x f x hx x ≥⎧=⎨<⎩其中k 和h 均为常数；（Ⅲ）当（Ⅱ）中的0k >时，设()()()1(0)g x f x x f x =+>，讨论()g x 在()0,+∞内的单调性并求极值．证明:（Ⅰ）令0x =，则()()00f af =，∵0a >，∴()00f =.（Ⅱ）利用已知条件()()f ax af x =得，当0x >时,()(1)(1)f x f x xf =⋅=，取(1)k f =，则有()(0)f x kx x =>．当0x <时,()(()(1))()(1)f x f x x f =-⋅-=--, 取(1)h f =--，则有()(0)f x hx x =<．∴(),0,,0kx x f x hx x ≥⎧=⎨<⎩成立． （Ⅲ）当0x >时，()()()11g x f x kx f x kx =+=+，221()x g x kx -'=．令()0g x '=，得11x x ==-或；当(0,1)x ∈时，()<0g x '，∴()g x 是单调递减函数；当[1,)x ∈+∞时，()>0g x '，∴()g x 是单调递增函数；∴当1x =时，函数()g x 在()0,+∞内取得极小值1(1)g k k =+．例6已知函数()2f x x x =+．(1)数列{}n a 满足:10a >，()1n n a f a +'=，若11112ni ia =<+∑对任意的n N ∈恒成立，试求1a 的取值范围；(2)数列{}n b 满足:11b =，()1n n b f b +=()n N ∈，记11n nc b =+，k S 为数列{}n c 的前k 项和，k T 为数列{}n c 的前k 项积，求证1710nk k k kT S T =<+∑． 解：(1)因为()21f x x '=+，所以121n n a a +=+．于是()1121n n a a ++=+，110a +>，{}1n a +为等比数列，所以()11112n n a a -+=+，从而11111112n n a a -⎛⎫= ⎪++⎝⎭．所以111ni na==+∑211111111112111121122212n a a a -⎛⎫++++<⨯=≤ ⎪+++⎝⎭-．故13a ≥． (2)因为()1n n b f b +=(1)n n b b =+，所以111n n n n b c b b ==++,1223111n n n n b b b T b b b b ++==, 1(1)n n n b b b +=+,111n n b b +=11n b -+，111n n n c b b +=-．ABCDS即有1211111111k k k k S b b b b b ++=-++-=-． 由()11k k k b b b +=+，显然0n b >，知21k k b b +>，即2111k kb b +<．因为1231,2,3b b b ===，所以111112nnk k k k k k T S T b ==+=<+∑∑2242111111761621066616k -+++++<+=-．【新题备选】1．已知ABC ∆的三边长,,a b c 满足2b c a +≤，2c a b +≤，求ba的取值范围． 解：设a x b =，c y a =，则121210,0x y x y xy x x y <+≤⎧⎪<+≤⎪⎨<+⎪⎪>>⎩，作出平面区域（如图），由图知：21(,)33A ，31(,)22C ，∴2332x <<，即2332b a <<．2．四棱锥S -ABCD 的所有棱长均为1米,一只小虫从S 点出发沿四棱锥的棱爬行,若在每一顶点处选择不同的棱都是等可能的.设小虫爬行n 米后恰好回到S 点的概率为n P(1)求2P 、3P 的值;(2)求证:131(2,)n n P P n n N ++=≥∈(3)求证:2365>(2,)24n n P P P n n N -+++≥∈… 解:(1)2P 表示从S 点到A (或B 、C 、D )点,然后再回到S 点的概率, 所以2111111111434343433P =⨯+⨯+⨯+⨯=；因为从S 点沿SA 棱经过B点或D 点,然后再回到S 点的概率为1111()243318⨯⨯⨯=，所以3124189P =⨯=．(2)设小虫爬行n 米后恰好回到S 点的概率为n P ，那么1n P -表示爬行n 米后恰好没回到S 点的概率，则此时小虫必在A (或B 、C 、D )点，所以()1113n n P P +⨯-=，即131(2,)n n P P n n N ++=≥∈．(3)由131n n P P ++=,可得1111()434n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,从而21114123n n P -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以yxO1AB CD1-1-212y x +=1x y =+ 2x y +=1x y +=1y x =+23112=+4163n n P P P -+++⨯ (1)11165+>163324n n -⎡⎤-⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 3．设函数f (x )=log b 22212x x ax-++(b >0且b ≠1)， （1）求f (x )的定义域；（2）当b >1时，求使f (x )>0的所有x 的值．解 （1）∵x 2－2x ＋2恒正，∴f (x )的定义域是1＋2ax >0，即当a ＝0时，f (x )定义域是R ．当a ＞0时，f (x )的定义域是（－12a，+∞）；当a ＜0时，f (x )的定义域是（－∞，－12a）．（2）当b >1时，在f (x )的定义域内，f (x )>0⇔22212x x ax -++>1⇔x 2－2x +2>1+2ax ⇔x 2－2(1+a )x +1>0，其判别式Δ=4(1+a )2－4=4a (a +2)，①当Δ<0时，即－2<a <0时，∵x 2－2(1+a )x +1>0， ∴f (x )>0⇔x <－12a．②当Δ=0时，即a =－2或0时，若a =0,f (x )＞0⇔(x －1)2>0⇔x ∈R 且x ≠1．若a =－2,f (x )＞0⇔(x +1)2＞0⇔x ＜14且x ≠－1． ③当△＞0时，即a ＞0或a ＜－2时，方程x 2－2(1+a )x +1=0的两根为x1=1+a ,x 2=1+a ．若a ＞0，则x 2＞x 1＞0＞－12a，∴()01f x x a >⇔>+112x a a-<<+若a <－2，则1212x x a<<-，∴f (x )＞0⇔x ＜1+a 或1+a ＜x ＜ －12a ．综上所述：当－2＜a ＜0时，x 的取值集合为{x |x ＜－12a}；当a =0时，x ∈R 且x ≠1，x ∈R ，当a =－2时，{x |x ＜－1或－1＜x ＜14}；当a ＞0时，x ∈{x |x ＞1+a 或－12a＜x ＜1+a }；当a ＜－2时，x ∈{x |x ＜1+a 或1+a ＜x ＜－12a}． 4．设()f x 是定义在[-1,1]上的奇函数，且对任意a ,b ∈[-1,1]，当a +b ≠0时，都有()()0f a f b a b+>+.（1）若a >b ，试比较()f a 与()f b 的大小；（2）解不等式：11()()24f x f x -<-；（3）证明：若－1≤c ≤2，则函数g (x )=f (x -c )和h (x )=f (x -c 2) 存在公共定义域，并求出这个公共定义域.解：（1）任取x 1，x 2∈[－1,1]，当x 1＜x 2时，由奇函数的定义和题设不等式，得2112122121()()()()()()()0()f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=->+-∴f (x )是增函数，a ,b ∈[-1,1] ，且a >b ，∴f (a )＞f (b )．（2）因为f (x )是[-1,1]上的增函数，∴11()()24f x f x -<-等价于111211141124x x x x ⎧-≤-≤⎪⎪⎪-≤-≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩1524x ⇔-≤≤；（3）设函数g (x )与h (x )的定义域分别为P 和Q ，则P ＝[c -1,c +1],Q =[c 2-1,c 2+1], ∵－1≤c ≤2,∴(c 2-1)-(c +1)=(c +2)(c +1) ≤0,即21c -≤c ＋1.又c 2＋1＞c -1，所以g (x )定义域与h (x )定义域交集非空．当－1≤c ＜0，或1＜c ≤2时，c (c -1)>0,这时公共定义域为[21c -,c +1]当0≤c ≤1时，c (c -1)≤0，这时公共定义域为[c -1,c 2+1]． 【专题训练】 一、填空题： 1．设满足不等式(2)23a x x -<+的解集为A ，且1A ∉，则实数a 的取值范是． 2．已知12,x x 是关于x 的方程22104x ax a a -+-+=的两个实根，那么1212x xx x +的最大值为。
