三角函数与三角恒等变换

2011年高三数学复习（第3章三角函数与三角恒等变换）：3.3三角函数的图象一、选择题（共7小题，每小题5分，满分35分）1．（5分）函数的图象的一条对称轴的方程是（）A．x=0 B．C．x=πD．x=2π2．（5分）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平行移动B．向右平行移动C．向左平行移动D．向右平行移动3．（5分）把函数的图象向左平移，所得图象的函数式为（）A．B．C．y=sin2x D．4．（5分）函数f（x）=5sin（2x+θ）的图象关于y轴对称的充要条件是（）A．B．θ=2kπ+π C．D．θ=2kπ+π （k∈z）5．（5分）如图曲线对应的函数是（）A．y=|sinx| B．y=sin|x| C．y=﹣sin|x|D．y=﹣|sinx|6．（5分）在同一坐标系中，曲线y=sinx与y=cosx的图象的交点是（）A．B．C．D．（kπ，0）k∈z7．（5分）方程sinx=lgx实根个数为（）A．一个B．二个C．三个D．无数个二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）8．（4分）设函数f（x）=A+Bsinx，若B＜0时，f（x）的最大值是，最小值是﹣，则A=，B=．9．（4分）函数y=sinx与y=tanx的图象在[0，2π]上交点个数是．10．（4分）（1）要得到的图象向平移；（2）y=sinx﹣cosx的图象，可由y=sinx+cosx的图象向右平移得到．11．（4分）函数与y轴距离最近的对称轴是．12．（4分）设函数y=f（x）sinx的图象为C1，将C1向右平移个单位，可得曲线C2，若曲线C2与函数y=cos2x的图象关于x轴对称，那么f（x）可以是．三、解答题（共11小题，满分0分）13．作出下列函数的图象（1）；（2）．14．作出下列函数的图象（1）y=sinx|cosx|+cosx|sinx|；（2）．15．作出下列函数的图象（1）；（2）y=|tan|x||．16．f（cosx﹣1）=cos2x．（1）求f（x）的定义域；（2）作出函数f（x）的图象．17．由图写出y=Asin（ωx+φ）的解析式，其中﹣π≤φ≤π．A＞0，ω＞0．18．求函数f（x）=cos3x的周期．19．若方程|sinx|+cos|x|﹣a=0，在[﹣π，π]上有4个解，求a的取值范围．20．用五点法作函数的图象．并说明怎样由y=sinx图象变化得到这个图象．21．（1）作出函数在两个周期的图象；（2）作出函数的图象．22．已知正弦曲线，，由这个最高点到相邻的最低点曲线与x轴交于点（6，0）试求这条曲线的解析式（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）．23．求方程8sinx=x的实根的个数．2011年高三数学复习（第3章三角函数与三角恒等变换）：3.3 三角函数的图象参考答案与试题解析一、选择题（共7小题，每小题5分，满分35分）1．（5分）函数的图象的一条对称轴的方程是（）A．x=0 B．C．x=πD．x=2π【分析】直接利用正弦函数的对称轴方程，求出函数的图象的一条对称轴的方程，即可．【解答】解：y=sinx的对称轴方程为：x=kπ，，所以函数的图象的对称轴的方程是：x=2kπ+π，k∈Z，显然C正确，故选C【点评】本题是基础题，考查三角函数的对称性，对称轴方程的求法，考查计算能力，推理能力，是送分题．2．（5分）（1987•全国）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x 的图象（）A．向左平行移动B．向右平行移动C．向左平行移动D．向右平行移动【分析】假设将函数y=sin2x的图象平移ρ个单位得到，根据平移后，求出ρ进而得到答案．【解答】解：假设将函数y=sin2x的图象平移ρ个单位得到y=sin2（x+ρ）=sin（2x+2ρ）=∴ρ=﹣∴应向右平移个单位故选D．【点评】本题主要考查三角函数的平移．属基础题．3．（5分）（2013•杨浦区校级模拟）把函数的图象向左平移，所得图象的函数式为（）A．B．C．y=sin2x D．【分析】根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．【解答】解：y=sin[2（x+）+]=sin（2x+）故选D．【点评】本题主要考查三角函数的平移．属基础题．4．（5分）函数f（x）=5sin（2x+θ）的图象关于y轴对称的充要条件是（）A．B．θ=2kπ+π C．D．θ=2kπ+π （k∈z）【分析】根据函数f（x）=5sinx（2x+θ）的图象关于y轴对称得到函数f（x）为偶函数，进而得到f（﹣x）=f（x），然后代入用两角和与差的正弦公式展开整理并根据三角函数的性质得到答案．【解答】解：若函数f（x）=5sinx（2x+θ）的图象关于y轴对称，得到5sin（2x+θ）=5sin（﹣2x+θ）∴sin2xcosθ+cos2xsinθ=sinθcos2x﹣cosθsin2x∴cosθsin2x=0∴cosθ=0∴（k∈Z）．故选C．【点评】本题主要考查三角函数的基本性质﹣﹣奇偶性、两角和与差的正弦公式．三角函数部分公式比较多，要强化记忆．5．（5分）（2012•迎泽区校级模拟）如图曲线对应的函数是（）A．y=|sinx| B．y=sin|x| C．y=﹣sin|x|D．y=﹣|sinx|【分析】应用排除法解决本题，先从图象的右侧观察知它与正弦曲线一样，可排除一些选项，再从左侧观察又可排除一些，从而可选出答案．【解答】解：观察图象知：在y轴的右侧，它的图象与函数y=﹣sinx相同，排除A、B；又在y轴的左侧，它的图象与函数y=sinx相同，排除D；故选C．【点评】本题主要考查了三角函数函数的图象与图象变化，同学们对于常用的正弦函数的图象要切实掌握．6．（5分）在同一坐标系中，曲线y=sinx与y=cosx的图象的交点是（）A．B．C．D．（kπ，0）k∈z【分析】先在同一坐标系中，画出曲线y=sinx与y=cosx的图象，观察图象发现其规律即可．【解答】解：在同一坐标系中，画出曲线y=sinx与y=cosx的图象，观察图形可知选项B正确，故选B．【点评】本题主要考查了余弦函数的图象与正弦函数的图象，图象是研究函数性质的重要手段，属于基础题．7．（5分）（2012秋•西山区校级期末）方程sinx=lgx实根个数为（）A．一个B．二个C．三个D．无数个【分析】先把方程sinx=lgx实根个数转化为函数y=sinx与函数y=lgx的图象交点个数．画出图象，由图象即可得出结论．【解答】解：因为方程sinx=lgx实根个数，就是函数y=sinx与函数y=lgx的图象交点个数．因为sinx≤1，且x=10时，y=lgx=1．x＞10时，y=lgx＞1．如图得：交点有3个．故选C．【点评】本题主要考查根的个数问题以及数形结合思想和转化思想的应用．在求解根的个数问题时，一般直接解方程不好解的话，常借助于图象解题．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）8．（4分）（2015春•临海市校级期中）设函数f（x）=A+Bsinx，若B＜0时，f（x）的最大值是，最小值是﹣，则A=，B=﹣1．【分析】根据A﹣B=，A+B=﹣，可得答案．【解答】解：根据题意，由∴A=，B=﹣1故答案为：，﹣1【点评】本题主要考查正弦函数的最值问题．属基础题．9．（4分）（2012•贾汪区校级模拟）函数y=sinx与y=tanx的图象在[0，2π]上交点个数是3．【分析】利用x∈[0，），sinx＜x＜tanx，结合函数的周期，即可得到函数y=sinx 与y=tanx的图象在[0，2π]上交点个数．【解答】解：因为x∈（0，），sinx＜x＜tanx，x=0时sinx=tanx=0，所以函数y=sinx与y=tanx的图象在[0，）上有一个交点，在（）有一个交点，在（]有一个交点，所以函数y=sinx与y=tanx的图象在[0，2π]上交点个数是：3故答案为：3【点评】本题是基础题，考查函数图象的交点的个数，考查绘图能力，基本知识的掌握情况．10．（4分）（1）要得到的图象向向左平移；（2）y=sinx﹣cosx的图象，可由y=sinx+cosx的图象向右平移得到．【分析】（1）利用图象平移，化简，直接求出平移结果．（2）化简y=sinx﹣cosx的图象，可由y=sinx+cosx，为一个角的一个三角函数的形式，然后平移即可．【解答】解：（1）要得到的图象向左平移，可得y=sin（2x+）=cos2x（2）y=sinx﹣cosx=sin（x﹣），y=sinx+cosx=所以y=sinx+cosx向右平移，即可得到y=sinx﹣cosx的图象．故答案为：（1）向左，，（2）．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查逻辑思维能力，是基础题．11．（4分）（2013春•北京校级月考）函数与y轴距离最近的对称轴是x=．【分析】求出函数的对称轴的方程，选择适当的k的值，即可求出与y轴最近的对称轴方程．【解答】解：正弦函数对称轴是使得函数取得最小和最大值的点的x的值，所以2x+=+2kπ或2x+=﹣+2kπ k∈Zx=+kπ或x=﹣+kπ k∈Z所以与y轴最近的对称轴为：x=故答案为：x=【点评】本题是基础题，借助正弦函数的对称轴方程，求出函数对称轴方程，考查计算能力，常考题．12．（4分）设函数y=f（x）sinx的图象为C1，将C1向右平移个单位，可得曲线C2，若曲线C2与函数y=cos2x的图象关于x轴对称，那么f（x）可以是f（x）=2cosx．【分析】由题意曲线C2与函数y=cos2x的图象关于x轴对称，先求曲线C2的方程，再用函数y=f（x）sinx的图象为C1，将C1向右平移个单位，可得曲线C2，求出C2的方程，两者相同，化简可求f（x）【解答】解：曲线C2与函数y=cos2x的图象关于x轴对称，所以曲线C2的方程为：y=﹣cos2x；函数y=f（x）sinx的图象为C1，将C1向右平移个单位，可得曲线C2，所以C2的方程又可以表示为：y=f（x）sin（x）所以f（x）sin（x）=﹣cos2x化简得f（x）=2sin（x+）所以：f（x）=2cosx故答案为：f（x）=2cosx【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，二倍角的余弦，两角和与差的三角函数，考查学生计算能力，是中档题．三、解答题（共11小题，满分0分）13．作出下列函数的图象（1）；（2）．【分析】（1）利用五点作图法作图；（2）先化简函数的解析式，再利用三角函数的五点作图法．【解答】解：（1）（2）=．【点评】本题主要考查三角函数的五点作图法的作图能力以及三角函数的化简计算能力．14．作出下列函数的图象（1）y=sinx|cosx|+cosx|sinx|；（2）．【分析】（1）易求得函数的周期为2π，函数中含有绝对值，故可去绝对值，分x∈，，，四段去绝对值，转化为简单函数作图即可．（2）1+cos2x=2cos2x，由cosx的符号分段讨论，转化为与tanx有关的函数，画出图象即可．【解答】解：（1）易求得函数的周期为2π，可作出函数在[0，2π]上的图象，再两边平移2kπ个单位即可．y=sinx|cosx|+cosx|sinx|=如图：（2）=如图所示：【点评】本题考查三角函数的化简、三角函数作图，考查作图能力．15．作出下列函数的图象（1）；（2）y=|tan|x||．【分析】（1）对函数分别去掉绝对值符号，在使得sinx为正、负、0的x的区间上进行讨论，然后画出图象即可．（2）y=|tan|x||．考虑函数中的绝对值，结合正切函数的性质，考查y=tanx的符号，分区间解答，然后画图象．【解答】解：（1）；当x∈（2kπ，2kπ+π），k∈Z，y=1，当x∈（2kπ﹣π，2kπ），k∈Z，y=﹣1，当x=kπ时函数无意义，其图象为（2）y=|tan|x||．当x∈[kπ，kπ+）时，y=tanx，当x∈（kπ﹣，kπ）时，y=﹣tanx，图象为：【点评】本题考查三角函数的图象，注意函数的定义域，分段函数的图象，是基础题．16．f（cosx﹣1）=cos2x．（1）求f（x）的定义域；（2）作出函数f（x）的图象．【分析】（1）根据cosx的范围，求出cosx﹣1的范围，从而求f（x）的定义域；（2）先求函数f（x）的表达式，作出函数f（x）的图象．【解答】解：（1）因为cosx∈[﹣1，1]，所以cosx﹣1∈[﹣2，0]，所以f（x）的定义域：[﹣2，0]（2）因为f（cosx﹣1）=cos2x．所以f（cosx﹣1）=（cosx﹣1）2+2（cosx﹣1）+1．所以f（x）=x2+2x+1 x∈[﹣2，0]，函数图象如图：【点评】本题考查函数的定义域及其求法，二次函数的图象，考查分析问题解决问题的能力，作图能力，是基础题．17．由图写出y=Asin（ωx+φ）的解析式，其中﹣π≤φ≤π．A＞0，ω＞0．【分析】先从图中得到A和T的值，然后根据周期的求法算出ω的值，最后根据特殊值确定φ得到解析式．【解答】解：由图可知A=，T=π，∴ω==2又因为当x=时y=0代入可得：sin（2×+φ）=0∴φ=π+2kπ∴φ=∵﹣π≤φ≤π∴φ=∴解析式为：y=sin（2x+）【点评】本题主要考查根据三角函数的图象求三角函数解析式的问题．属基础题．18．求函数f（x）=cos3x的周期．【分析】设出函数的周期为T，根据周期的定义有f（x）=f（x+T）得，3x+2π=3（x+T），同三角函数的f（x）=cos3x=cos（3x+2π）比较，得到T的值．【解答】解：设周期为T．f（x）=cos3x=cos（3x+2π），f（x+T）=cos3（x+T）由f（x）=f（x+T）得，3x+2π=3（x+T），解得T=∴函数f（x）=cos3x的周期．【点评】本题是一个三角函数的定义问题，是一个利用诱导公式来解的问题，是一个概念问题，解题时紧抓住定义，本题可以作为解答题的一问出现．本题也可以画图象来解．19．若方程|sinx|+cos|x|﹣a=0，在[﹣π，π]上有4个解，求a的取值范围．【分析】将a分离出来，得到a=|sinx|+cos|x|，若方程|sinx|+cos|x|﹣a=0，在[﹣π，π]上有4个解，即函数y=a和y=|sinx|+cos|x|，x∈[﹣π，π]有4个交点即可．故问题转化为研究y=|sinx|+cos|x|，x∈[﹣π，π]的图象问题．因为函数中含有绝对值，故可分段讨论．【解答】解：|sinx|+cos|x|﹣a=0，在[﹣π，π]上有4个解⇔a=|sinx|+cos|x|，x∈[﹣π，π]有4个交点令y=|sinx|+cos|x|，x∈[﹣π，π]==图象如图所示：故a的取值范围是：1＜a＜【点评】本题考查方程根的个数问题，方程根的个数问题，往往转化为函数图象交点的个数问题．考查转化思想和数形结合思想．20．用五点法作函数的图象．并说明怎样由y=sinx图象变化得到这个图象．【分析】先根据五点作图法令取0，，π，，2π，求出x，y的值列出表格，然后依据表格作出图象；先根据左加右减的原则进行左右平移，然后将横坐标变为原来的2倍，将纵坐标变为原来的3倍，最后根据上加下减的原则进行上下平移．【解答】解：用五点法列表如下0π2πxsin（）0 1 0﹣1 0y﹣1 2﹣1﹣4﹣1从而得到图象如下y=sinx y=sin（x﹣）y=sin（）y=3sin（）y=3sin（）﹣1【点评】本题主要考查三角函数的图象和平移变换．三角函数的基础知识的熟练掌握是解题的关键．21．（1）作出函数在两个周期的图象；（2）作出函数的图象．【分析】先将函数解析式化简再作图．【解答】解：（1）∵sin2x=2sinxcosx∴当cosx＞0时，即时，y=当cosx＜0时，即时，y=（2）∵y=sinx=sinx∴当x时，y=1+cosx+cosx=1+2cosx当x时，y=1+cosx﹣cosx=1当x时，y=﹣1﹣cosx﹣cosx=﹣1﹣2cosx当x时，y=﹣1﹣cosx+cosx=﹣1【点评】主要考查三角函数的图象．注意化简三角函数时注意分母不能是0．22．已知正弦曲线，，由这个最高点到相邻的最低点曲线与x轴交于点（6，0）试求这条曲线的解析式（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）．【分析】首先由曲线y=Asin（ωx+φ）的最高点求A，再由最高点与相邻的平衡点求最小正周期T，进一步求得ω，最后通过特殊点求φ，则问题解决．【解答】解：由曲线y=Asin（ωx+φ）的一个最高点是（2，），得A=，又最高点（2，）到相邻的最低点间，曲线与x轴交于点（6，0），则=6﹣2=4，即T=16，所以ω==．此时y=sin（x+φ），将x=2，y=代入得φ=，所以这条曲线的解析式为．【点评】本题主要考查由曲线y=Asin（ωx+φ）的部分信息求函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的方法．23．求方程8sinx=x的实根的个数．【分析】将8sinx=x化简成sinx=，方程根的问题转化成函数y=sinx与函数y=的图象的交点问题，观察图象即可．【解答】解：∵8sinx=x∴sinx=画出函数y=sinx与函数y=的图象可得实根的个数为7个．【点评】本题主要考查了超越方程的根的问题，往往转化成两个函数图象的交点问题，属于基础题．参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；wsj1012；yhx01248；minqi5；庞会丽；wdlxh；涨停；zhwsd；wzj123（排名不分先后）菁优网2017年7月21日。