人教版九年级数学上22.3实际问题与二次函数第二课时教案

人教版数学九年级上22.3.2实际问题与二次函数第二课时教学设计课题22.3.2实际问题与二次函数单元第二十二章学科数学年级九年级上学习目标情感态度和价值观目标通过对生活中实际问题的探究活动，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情.能力目标1.通过对商品涨价与降价的分析，感受函数知识在生活中的应用；2.在探究活动中，学会与他人合作并能与他人交流思维过程和探究结果．知识目标 1.将实际问题抽象成数学问题，经历函数建模的过程；2.会用二次函数知识求实际问题的最大值或最小值.重点用二次函数知识解决商品利润问题。

难点能够正确分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并求出最大(小）值。

学法自主探究、分组探究、合作交流教法引导发现法启发探究法教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课一、情境导入设疑：观看商场的促销广告、电商广告页面，商家做广告的目的是什么？如果你是商场经理，你该如何定价才能获得最大利润？揭示课题：商品利润问题教师出示各种促销图片，设疑，激发学生探究的欲望，进而揭示课题。

从身边常见的生活实际情境入手，创设问题情境，激发学生的求知欲。

讲授新课二、探究新知问题1：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是_____元，销售利润______元.涉及到的数量关系：（1）销售额=售价×销售量;（2）利润=销售额-总成本=单件利润×销售量;（3）单件利润=售价-进价.问题2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（1）降价：①设每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元随之变化：建立函数关系式：②自变量x的取值范围如何确定？③降价多少元时，利润y最大，是多少？（2）涨价：①设每件涨价n元，则每星期售出商品的利润m元随之变化：建立函数关系式：②自变量n的取值范围如何确定？③涨价多少元时，利润m最大，是多少？学生分小组合作探究,教师提供题干中涉及到的“数量关系”引导学生分步探究。

22.3实际问题与二次函数第2课时二次函数与最大利润问题【知识网络】典案二导学设计一、阅读课本：二、学习目标：1．懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；2．会应用二次函数的性质解决问题．三、探索新知某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？解：（1）设每件涨价x元，则每星期少卖_________件，实际卖出_________件，设商品的利润为y元．（2）设每件降价x元，则每星期多卖_________件，实际卖出__________件．四、课堂训练1．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，应如何定价才能使利润最大？2．蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x上市时间x/（月份） 1 2 3 4 5 6市场售价P（元/千克）10.5 9 7.5 6 4.5 3这个函数的图象是抛物线的一段（如图）．（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；（2）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？（收益＝市场售价－种植成本）五、目标检测某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元，求：（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有最大值？最大值是多少？。

22.3实际问题与二次函数（2）教学目标1．通过对实际问题情景的分析，能够建立二次函数的数学模型，并利用二次函数的知识求解；能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理.2.经历利用二次函数解决实际问题的过程，学会用数学的思想方法去观察、研究和解决日常生活中所遇到问题，体验数学建模的思想.3．通过将二次函数的有关的知识灵活用于实际，让学生体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感．教学重点把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题．教学难点读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．教学过程一、导入新课1.如何求出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值？①通过配方法把二次函数解析式化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式，当a ＞0（a ＜0）时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低（高）点，也就是说，当x ＝h 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小（大）值k ．②利用公式，当a ＞0（a ＜0），抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低（高）点，也就是说，当x ＝－ab 2时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小（大）值a b ac 442 ． 2.上节课我们利用二次函数及其图象的性质解决了有关：如抛球、拱桥跨度等问题，这节课我们利用二次函数的有关知识研究和解决有关几何面积和商品利润问题．二、探究新知（1）探究面积问题：例1.用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长的变化而变化．当为多少米时，场地的面积S 最大？解：因为矩形场地总长为60 m 的一边长，矩形面积S ，所以另一边长为30-，所以S ＝(30-)＝－2＋30.因为a= -1＜0，所以当x ＝－b 2a ＝－3021 （－）＝15时，S 最大＝225. 变式1：如图，用一段长为60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m ，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：设垂直于墙的边长为x 米，矩形菜园的面积为S ，所以S ＝x(60－2x)＝－2x 2＋60x.因为0＜60－2x ≤32，即14≤x ＜30.所以当x ＝－b 2a ＝－602×（－2）＝15时，S 最大＝450. 变式2：将问题2中“墙长为32 m ”改为“墙长为18 m ”，求这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：设矩形面积为S m 2，与墙平行的一边为x 米，则S ＝60－x 2·x ＝－x 22＋30x. 根据题意可得：0＜x ≤18.由于x ＝－b 2a＝30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值．当x ＝18时，S 最大＝378. （2）探究商品利润问题：例2.某商场的一批衬衣现在的售价是60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：(1)若设每件衬衣涨价x 元，获得的利润为y 元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期少卖________件，实际卖出________件．所以y ＝________.(2)若设每件衬衣降价a 元，获得的利润为y 元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期多卖________件，实际卖出________件．所以y ＝________.根据两种定价可能，让学生自愿分成两组，分别计算各自的最大利润；老师巡视，及时发现学生在解答过程中的不足，加以辅导；最后展示学生的解答过程，教师与学生共同评析． 分析：设每件涨价x 元，则每件的利润是（60-40+x ）元，所售件数是（300-10x ）件，总利润为y ；设每件降价a 元，则每件的利润是（60-40-a ）元，所售件数是（300+20a ）件，总利润为w；根据利润=每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式，根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大．（1）解：设涨价x元，利润为y，（2）则y=（60-40+x）（300-10x）（3）=-10x2+100x+6000（4）=-10（x-5）2+6250根据每涨价1元，每星期要少卖出10件，所售件数是（300-10x）件，300-10x≥0，x≤30，得出自变量x的取值范围是：0≤x≤30；因此当x=5时，y有最大值6250．60+5=65元每件定价为65元时利润最大．（2）设每件降价a元，总利润为w，则w=（60-40-a）（300+20a）=-20a2+100a+6000=-20（a-2.5）2+6125因为每件降价a元，所以0≤a≤20；因此当a=2.5时，w有最大值6125．每件定价为57元时利润最大．综上所知每件定价为65元时利润最大．归纳总结：解决问题的一般步骤：（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值. 三：巩固练习1.如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用a10米）：如果AB的长为x，面积为y.一段墙体（墙体的最大可用长度（1）求面积y与x的函数关系（写出x的取值范围）；（2）x取何值时，面积最大？面积最大是多少？分析：（1）AB长为x米，则BC长为：（24-3x）米，该花圃的面积为：（24-3x）x；进而得出函数关系即可；（2）根据x的取值范围，判断出最大面积时x的取值，代入解析式便可得到最大面积．解：（1）由题意得：y=x（24-3x），即y=-3x2+24x，∵x＞0，且10≥24-3x＞0∴143≤x＜8；故y与x的函数关系为y=-3x2+24x，（143≤x＜8）；（2）y=-3x2+24x=-3（x-4）2+48（143≤x＜8）；∵开口向下，对称轴为4，∴当x=143时，花圃有最大面积，最大为：=-3（143-4）2+48=1403．答：当x为143时，面积最大，最大为1403．2.某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？分析：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据所给函数图象列出关于kb 的关系式，求出k、b的值即可。

22.3 实际问题与二次函数教学内容22.3 实际问题与二次函数（2）．教学目标1．会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．3．根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式．教学重点1．根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式．2．求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课复习利用二次函数解决实际问题的过程导入新课的教学．二、新课教学1．探究2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元,每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大？教师引导学生阅读问题，理清自变量和变量，根据不同情况列出函数关系式．具体步骤见教材第50页．2．巩固练习重庆某区地理环境偏僻,严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，区政府对该花木产品每投资x万元，所获利润为P＝－错误! (x－30)2＋10万元，为了响应我国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元，若开发该产品，在前5年中,必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通，公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品,每投资x万元可获利润Q＝－错误!(50－x）2＋错误!（50－x)＋308万元．（1）若不进行开发，求10年所获利润最大值是多少?（2)若按此规划开发,求10年所获利润的最大值是多少?（3）根据（1）（2)计算的结果,请你用一句话谈谈你的想法．教师引导学生先自主分析，小组进行讨论．在学生分析、讨论过程中，对学生进行学法引导，引导学生先了解二次函数的基本性质，并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型,借助二次函数的性质来解决这类实际应用题．解：（1）若不开发此产品，按原来的投资方式，由P＝－错误!（x－30)2＋10知道,只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获最大利润10万元,则10年的最大利润为M＝10×10＝100万元．1（2)若对该产品开发，在前5年中，当x＝25时，每年最大利润是:P＝－错误! (25－30)2＋10＝9.5(万元）．则前5年的最大利润为M＝9.5×5＝47.5万元．2设后5年中x万元就是用于本地销售的投资,则由Q＝－错误! (50－x）＋错误!（50－x)＋308知，将余下的(50－x）万元全部用于外地销售的投资．才有可能获得最大利润．则后5年的利润是M＝[－错误!（x－30)2＋10］×5＋（－错误!x2＋错误!x＋308)×53＝－5(x－20）2＋3500．故当x＝20时,M3取得最大值为3500万元．∴10年的最大利润为M＝M2＋M3＝3547.5万元．（3)因为3547.5＞100，所以该项目有极大的开发价值．三、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？四、布置作业习题22.3 第8题．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数第2课时《销售利润问题》教案一. 教材分析本节课是人教版九年级数学上册第22.3节实际问题与二次函数的第2课时，主要内容是销售利润问题。

教材通过引入实际问题，让学生理解和掌握二次函数在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

本节课的内容与学生的生活实际紧密相连，有利于激发学生的学习兴趣和积极性。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。

但是，将二次函数应用于实际问题的解决上，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生运用二次函数解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.理解销售利润问题的背景和意义，掌握销售利润问题的解决方法。

2.能够将二次函数知识应用于解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

3.培养学生的团队协作能力和问题解决能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.重点：掌握销售利润问题的解决方法，能够将二次函数应用于实际问题的解决。

2.难点：如何引导学生将二次函数与实际问题相结合，提高学生的问题解决能力。

五. 教学方法本节课采用问题驱动的教学方法，通过引入实际问题，引导学生运用二次函数知识进行解决。

同时，采用小组合作学习的方式，鼓励学生积极参与讨论，提高学生的团队协作能力和问题解决能力。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生进行思考和讨论。

2.准备教学课件，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的销售利润问题，如商品打折、促销活动等，引导学生关注销售利润问题，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）呈现一个具体的销售利润问题，如某商品原价为100元，售价为80元，求商品的利润。

引导学生运用二次函数知识进行解决。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选取一个销售利润问题进行解决。

教师巡回指导，解答学生的问题，引导学生运用二次函数知识进行解决。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题第2课时 实际问题与二次函数（2）※教学目标※【知识与技能】将生活实际问题转化为数学问题，进一步体验二次函数在生活中的应用.【过程与方法】通过对生活中实际问题的探究,体会数学在生活实际中的广泛应用，发展数学思维.【情感态度】感受数学在生活中的应用，激发学生学习热情，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神.【教学重点】利用二次函数解决有关拱桥问题.【教学难点】建立二次函数的数学模型.※教学过程※一、问题导入问题 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P （元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？答案 解：（1）由题意，得()7002045201600y x x =--=-+.（2）P =()()()22402016002024006400020608000x x x x x --+=-+-=--+，∵x ≥45，a =-20＜0，∴当x =60时，P 最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P （元）最大，最大利润是8000元.（3）由题意，得()2206080006000x --+=.解得150x =，270x =．∵抛物线()220608000P x =--+的开口向下，∴当50≤x ≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元.又x ≤58，∴50≤x ≤58.∵在201600y x =-+中，20k =-＜0，∴y 随x 的增大而减小.∴当x =58时，y 最小值=-20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒.二、探索新知探究 图中是抛物线形拱桥，当拱桥离水面2m 时，水面宽4m ，水面下降1m ，水面宽度增加多少？提问（1）石拱桥桥拱的形状可以近似地看成是抛物线吗？（2）将本体转化为二次函数问题，需要求出二次函数解析式，根据题中条件，求二次函数解析式的前提是什么？（3）题中“水面下降1m 的含义是什么？”水面下降的同时水面宽度有什么变化？如何求宽度增加多少？解决问题：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立坐标系.设这条抛物线表示的二次函数为2y ax =.由抛物线经过点（2，-2），可得222a -=⨯，12a =-.这条抛物线表示的二次函数为212y x =. 当水面下降1m 时，水面的纵坐标为-3.请你根据上面的函数解析式求出这时的水面宽度.水面下降1m 三、巩固练习1.如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端拴于立柱与铁结合处，绳子自然下垂呈抛物线状态，一身高0.7米的小女孩站在离立柱0.4米处，其头刚好触上绳子，则绳子最低点到地面的距离为多少米？2.如图，一位篮球运动员甲在距篮球筐下4米处跳起投篮，球的运行线路为抛物线，当球运行到水平距离为2.5米时达到最高高度为3.5米，然后准确地落入篮筐，已知篮圈中心到地面的高度为3.05米，该运动员的身高为1.8米．（1）在这次投篮中，球在该运动员的头顶上方0.25米处出手，则当球出手时，该运动员离地面的高度为多少米？（2）运动员乙跳离地面时，最高能摸到3.3米运动员乙在运动员甲与篮板之间的什么范围内能在空中截住球？答案：1.如图所示，以O 为坐标原点，水平方向为x 轴，垂直方向为y 轴，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为()20y ax a =≠.设A ，B ，D三点坐标依次为（A x ，A y ），（B x ，B y ），（D x ，D y ）.由题意，得AB =1.6，∴0.8A x =-，0.8B x =，又可得1 1.60.42D x ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭=-0.4.∴当0.8x =-时，A y =()2•0.80.64a a -=,当0.4x =-时，()2•0.40.16y D a a =-=.∵2.20.7 1.5A D y y -=-=，∴0.640.16 1.5a a -=.∴258a =.∴抛物线的解析式为2258y x =.当0.4x =-时，()2250.40.58D y =⨯-=，∴0.70.50.2-=（m ）. 2.（1）设抛物线的解析式为2 3.5y ax =+.∵（1.5，3.05）在抛物线上，∴3.05 1.52 3.5a =⨯+.解得0.2a=-.∴20.2 3.5y x =-+.当 2.5x =-时， 2.25y =， ∴运动员离地面的高度为2.250.25 1.80.2--=（m ）.（2）由题意,得 3.3y =，则23.30.2 3.5x =-+.解得11x =，21x =-.∴413-=（m ）.∴乙在运动员甲与篮板之间的距离甲3米范围内能在空中截住球.四、归纳小结1.运用二次函数解决实际问题的一般步骤：审题；建立数学模型；求抛物线解析式；解决实际问题.2.数形结合思想的运用.※布置作业※从教材习题22.3中选取.※教学反思※本课时的教学应注意建立正确的直角坐标系，使类似于抛物线的实际问题转化为平面直角坐标系中的抛物线.教学时，教师仍可采用分步设问的形式让学生回答并让学生互相交流.教师应鼓励学生用多种方法建立平面直角坐标系，并求出相应抛物线的解析式，在这一过程中让学生体验探究发现的乐趣，体会数学的最优化思想.。