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线性代数第一章习题集

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一. 判断题（正确打√，错误打×）1. n 阶行列式ij a 的展开式中含有11a 的项数为1-n .( × ) 正确答案：)!1(-n解答：方法1因为含有11a 的项的一般形式是nnjj a a a 2211，其中n j j j 32是1-n 级全排列的全体，所以共有)!1(-n 项. 方法2 由行列式展开定理=nnn n n n a a a a a a a a a 212222111211n n A a A a A a 1121211111+++ ，而n n A a A a 112121++ 中不再含有11a ，而11A 共有)!1(-n 项，所以含有11a 的项数是)!1(-n .注意：含有任何元素ij a 的项数都是)!1(-n .2. 若n 阶行列式ij a 中每行元素之和均为零，则ij a 等于零.( √ )解答：将nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211中的n 、、、 32列都加到第一列，则行列式中有一列元素全为零，所以ij a 等于零.3.33224411443322110000000a b b a a b b a a b a b b a b a =.( √ ) 解答：方法1按第一列展开332244114411414133224133224144332211)(0000000a b b a a b b a a b b a b b a a a b b a b b a b b a a a a b a b b a b a =-=-=.方法2 交换2，4列，再交换2，4行2233441144332211443322110000000000000000000000a b b a a b b a a b b a a b b a a b a b b a b a =-==33224411a b b a a b b a . 方法 3 Laplace 展开定理：设在n 行列式D 中任意取定了)11(-≤≤n k k 个行，由这k 行元素所组成的一切k 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D 。

所以按2，3行展开323244332211)1(0000000+++-=a b a b b a b a 33224411a b b a a b b a =33224411a b b a a b b a . 4. 若n 阶行列式ij a 满足ij ij A a =,n j i ，， ,2,1=,则0≥ij a .(√)解答：由行列式展开定理nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211n n A a A a A a 1121211111+++=021212211≥+++=n a a a .5. 若n 阶行列式ij a 的展开式中每一项都不为零,则0≠ij a .( × ) 解答：反例如04221=. 二. 单项选择题1. 方程0881441221111132=--x xx的根为（B ）.（A ）3,2,1； （B ）2,2,1-； （C ）2,1,0； （D ）2,1,1-. 解答：（范德蒙行列式）0)2)(2)(1)(22)(12)(12(881441221111132=-+-+---=--x x x x x x ，所以根为2,2,1-.2. 已知a a a a a a a a a a =333231232221131211,那么=+++323133312221232112111311222a a a a a a a a a a a a （D ）. （A ）a ； （B ）a -； (C)a 2； （D ）a 2-.解答： =+++323133312221232112111311222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -22323331222321121311=。

3. 已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++0030z y z y x z y x λλλ仅有零解，则（A ）.（A ）0≠λ且1≠λ；（B ）0=λ或1=λ；（C ）0=λ；（D ）1=λ.解答：因为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++0030z y z y x z y x λλλ仅有零解，所以02-21-02-20111-01-311≠==）（λλλλλλλ， 所以0≠λ且1≠λ.4.下列行列式中不一定等于n λλλ 21的是（B ）.（A ）nnn a a a λλλ 00221121； （B ）nnn nna a a2221λλλ；（C ）nn n a a a λλλ2122110； （D ）00000000000000121n n λλλλ---- . 解答： 注意nnn nna a a2221λλλ=2)1()1(--n n n λλλ 21；而0000000000000121n n λλλλ----=n n n λλλ 2111)1()1(----=n λλλ 21. 5.n 阶行列式ij a D =展开式中项12,12,31,21n n n n n a a a a a --- 的符号为(D). （A ）- ； （B ）+； （C ）2)1()1(+-n n ； （D ）2)1()1(--n n .三. 填空题1. 已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++c z y x b z y x az y x 有唯一解,且1=x ,那么=--111111c b a 4 .解答：系数行列式4112110110111111111-=--=--=D ， 而4111DD D x -===,所以41-=D ,所以41111111111111111111=-=---=--=--D c b a c b a c b a . 2. 已知4阶行列式中第3行的元素依次为-1，0，2，4，第4行的余子式依次为10，5,a ,2则a = 9 . 解答：因为10280a -+=，所以9a =.3. 若V 为n 阶范德蒙行列式,ij A 是代数余子式，则=∑=nj i ij A 1,V .解答：V V AA A A A nj i ijn nj i ij =+=++++=∑∑===01,2112111, .4. =56789012011400103002001000120 .解答：方法1 12056789012011400103020010005541322314==a a a a a .方法2 12024501141030200-5120114010300200100055678901201140010302001000=⨯===. 5. 设xx x x xD 111123111212-=，则D 的展开式中3x 的系数为 -1 .解答：D 的展开式中有一项是344332112x a a a a -=-. 或者按第一行展开：11123112111231111131111112112111123111212x x xx xx x xx x x x x x x x D ---+---=-=， 由此可以看出3x 的系数为-1. 四. 计算题1.已知4521011130112101--=D ，计算44434241A A A A +++.解答：方法144434241A A A A +++1111011130112101-=11111002011110112011011001131112001-=--=-=-=. 方法2=++434241A A A 00111011130112101=-=，所以14444434241-==+++A A A A A .方法3 1172544434241-=-+--=+++A A A A .2. 计算行列式2116415012051422------2116211641506403016050165021201205120560156151422520105210---------===-=----------3. 计算行列式1322340922623383----解答：12811-1201565-022312383313119043223123833262290432231-=----=----50754602515-01281-215651121281-2-=-=--=. 4. 计算行列式1111111111111111--+---+---x x x x解答：（行和相等）11111111111111111111111111111111-----+---=--+---+---x x x xx x x x.0000011110000011114x xx x x x x xxx x x x x x=------=-----=5. 计算行列式cc b b a a ------11110011001解答：110001000100011100100010001110011001001110110011001==--=----=------c b a ccba cc b ba cc b ba a6. 计算行列式ba a a a a ab a a a a a b a n n n +++321321321解答：（行和相等）ba a a a ab a a a a a b ba a a a a ab a a a a a b a n nn ni i n nn +++=+++∑=3232321321321321111)（.)0000001)11321-==∑∑+=+=n ni i n ni i b a b bba a a ab （（7. 计算行列式n222232222222221.解答：当2=n 时：22221-=；当2>n 时：22-≠i i 行，行得到 )!.2(22-0000122220001-222232222222221--==n n n五．证明题1. 设1121()12321343x x f x x x x x --=----，证明：存在(0,1),ξ∈使得()0f ξ'=.证明：因为111(0)1220133f --=--=--，101(1)1110121f =-=-，所以(0)(1)f f =，而()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)可导，所以由Rolle 定理知存在(0,1),ξ∈使得()0f ξ'=.2.证明当1=λ时，行列式074717171616361615151525141414141=----λλλλ.证明：0.3-1113-10113-0111084013-11113-11113-11113-840174717171616361615151525141414141===----λλλλ3.333111,,00a b c abc a b c a b c =++=设是互异的实数，证明的充分必要条件是.证明：方法一设222233331111()a b c x f x abcxa b c x =，将其按第4例展开得到2314243444()f x A A x A x A x =+++，由于()()()0f a f b f c ===，且,,a b c 是互异的实数，由方程根与系数的关系知3444A a b c A ++=-，而44()()()A c b c a b a =---，于是 34333111abc M a b c ==()()()c b c a b a ---a b c ++， 所以33311100ab c a b c a b c =++=的充分必要条件是. 注 ，该方法具有一般性，利用它可以证明12322221231122221231231111()()n nni j i i j i nn n n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x =≤<≤----=-∑∏.方法二333333333333222222222211110011()()()()()()()()()(){()()()}()()()()b ac a a b c a b a c a b ac a a b c a b a c a b a c a a ab b a ac c b a c a a ac c a ab b b a c a ac c ab b b a c a a c b c b c b b a c a c b a b c --=--=----=--++++=--++---=--+--=---+-+=---++六.000i i i i a x b y c z d i x y +++求四个平面=0(=1,2,3,4)相交于一点(,,z )的充要条件.解答想法：三个平面相交于一点，第四个平面过该点：方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d +++⎧⎪+++⎨⎪+++⎩=0=0=0有唯一解000x y (,,z )，当且仅当1112223330a b c a b c a b c ≠，第四个平面过000x y (,,z )点当且仅当4040404a x b y c z d +++=0，所以3124444D D Da b c d D D D+++=0， 于是4142434a D b D c D d D +++=0，即11112222333444440a b c d a b c d a b c d a b c d =， 所以000i i i i a x b y c z d i x y +++四个平面=0(=1,2,3,4)相交于一点(,,z )的充要条件是1112223330a b c a b c a b c ≠ 并且11112222333444440a b c d a b c d a b c d a b c d =.。

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线性代数习题集(带答案)

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. .. .. .第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题. .. .. .1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .. .. .. .16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1. cb a db a dc a dc bd c b a d c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)；6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.. .. .. .四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a dcbad c b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni in nn n n n n n nna aa aaaa a aa a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ;12.2-; 13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ;18.7=k 三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4. ∏-=-11)(n k k a x5. )111()1(00∑∏==-+-nk knk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ; 7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略). .. .. .第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

线性代数第一章题库及解答

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第一章会计算反序数，掌握行列式的性质，会计算行列式，掌握克莱姆法则 第22页2.计算下列各行列式. （1）|1232121−11|=|132230100|=|323|=−6 （2）307220583 =|307−2201303| =2⋅（−1）2+2⋅|37133| =2(3×3−7×13)=−164.（3）|20000−1000030000−5|=2×(−1)×3×(−5)=30（4）|1111123413610141020|=|11110123013601410|=|111101230013014|=|1111012300130001|=1 （5）5042111141201121=|5114121301−10010| =|54231−1010|=−|523−1| =11 （6）|11111−11111−11111−1|=|11110−20000−20000−2|=−8（第一行乘-1加到下面各行）4、k 取何值时，下列齐次线性方程组仅有零解？（系数行列式不等于0） （1）{3x +2y −z =0kx +7y −2z =02x −y +3z =0 D =|32−1k7−22−13|=|32−1k −6301150|=-|k −63115|=−(5k −30−33)=−(5k −63)≠0 所以k ≠635(2){kx 1+x 2+x 3=0x 1+kx 2−x 3=02x 1−x 2+x 3=0 D =|k 111k −12−11|=|k 11k +1k +102−k −20|=(k +1)|112−k−2|=(k +1)(−2−2+k )=(k +1)(k −4)≠0 所以k ≠−1并且k ≠−4第25页4、（1）|21413−12112325062|=|2141506212325062|=0 （将第一行加到第二行后，第二行和第四行元素对应相等） （2）方法一：|1201135001561234|=|100111500156134|=|100111000106134|=3⋅(−1)4+3|101110016|=−3|10101−1016|=−3|1−116|=−21方法二：|1201135001561234|=|1201015−10156033|=|15−1156033|=3|15−1007011|=−21|1501|=−21（3）a b b bb a b b b b a bb b b a=|a +3bbb b a +3b a b b a +3b b a b a +3b b b a | =|a +3b bb b 0a −b 0000a −b 0000a −b| =(a +3b)(a −b)3 （4）x yyxx x y y yx x y+++ =|2x +2y y x 2x +2y x +y y 2x +2yx x +y |=|2(x +y)y x0x y −x 0x −y y | =2(x +y )|x y −x x −y y|=2(x +y )[xy +(x −y )2] =2(x 3+y 3) 或者：x yy x x x y y yxx y+++=1213222222x y y x c c x y x y y c c x yxx y+++++++11(22)1(22)010y x y x x y x yy x y xy x xx yx yy=++=+-+-2233(22)2()()2()x y x x y x y x xy y x y x yy-=+=+-+=+-单项选择题（1） 关于行列式，下列命题错误的是（B ）.A. 行列式第一行乘以2，同时第二列除以2，行列式的值不变 B ．互换行列式的第一行和第三行，行列式的值不变 C ．互换行列式的任意两列，行列式仅仅改变符号 D ． 行列式可以按任意一行展开（2） 关于行列式，下列命题正确的是（A ）. A. 任何一个行列式都与它的转置行列式相等B ．互换行列式的任意两行所得到的行列式一定与原行列式相等C ．如果行列式有一行的所有元素都是1，则这个行列式等于零D ． 以上命题都不对（3）下列命题错误的是（ B ）.A. 如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组有唯一解 B ．如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组无解C ．如果齐次线性方程组的系数行列式等于零，则该方程组有非零解D ．如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组只有零解 （4）排列1 6 5 3 4 2的逆序数是（ B ）.0+0+1+2+2+4=9 A. 8 B ．9 C ．7 D ． 6（5）212431235-的代数余子式12A 是（ C ）.A. 2143-- B ．2143- C ．4125--D ．4125- 2.填空题.（1）|1−221|= 5（2）|123045006|=1×4×6=24（3）若52k 74356=，则k =_7_________.（4）212431235-的余子式32M =|22−41|，代数余子式32A =−|22−41|.（5）若a c 3b d =，则2a 2c2b 2d -=--12，a 2c b 2d --=--6，2a 2cb d=---6. （6）已知k341k 000k 1-=，则k =_1或3_________.3、在四阶行列式中，确定下列各项的符号.a13a24a31a42t（3412）=2+2=4 所以a13a24a31a42的符号是正号.a34a23a41a12将行标按自然顺序排列a12a23a34a41t（2341）=1+1+1=3 所以a34a23a41a12的符号是负号.。

线性代数章节练习题

线性代数章节练习题

bc
b b2 ac
c
a
c2 a2
ab abc
b b2 abc
c c2 abc
abc
111
(a b c) a2 b2 c2 (a b c) a b c
111
a2 b2 c2
(a b c)(b a)(c a)(c b)
246 427 327 1000 427 327 1000 100 327 （2） 1014 543 443 2000 543 443 2000 100 443
D 2 0
2 7
2 0
2 0
5 3 2 2
求第四行各元素的余子式之和的值。
8 计算 n 阶行列式
x y 00 0 0 x y0 0 Dn 0 0 0x y y 0 00 x
3 1 1 9 计算行列式 D 1 5 1 。
1 1 3
3 2 2 10 计算三阶行列式 D k 1 k 。
（C） C PT AP
（D） C PAPT
13 计算
0 1 0 2007 1 2 3 0 1 0 2006 1 0 0 4 5 61 0 0 0 0 1 7 8 9 0 0 1
14 设 A 为 n 阶可逆阵，交换 A 的第 i 行与第 j 行后得到 B。 （1）证明 B 可逆；（2）求 AB-1
（C）当 n m 时，必有 AB 0
（D）当 n m 时，必有 AB 0 18 证明 R( A B) R( A) R(B)
4 1 41 则
R(BA 2A)
19 A 为 m p 矩阵，B 为 p n 矩阵，若 AB=0 证明： R( A) R(B) P
20 设 A 为 n 阶矩阵，且 A2=A，若 R( A) . 证明 R( A E) n r ，其中 E 为 n 阶单位阵
线性代数同步练习册第一章(15题,18页)

线性代数同步练习册第一章(15题,18页)

第一章 行列式1、利用对角线法则计算行列式.(1)abn b a m -.(2) 40230120.(3)38114112---. (4) 321a a a aaa .(5)yxyx x y x y y x y x+++.２、利用行列式的性质计算行列式．(1)004003002001000.（2）10315398122299331201221---.(3) 1132211313213211------.（4）3214214314324321.(5) 2100032000002100032100032.(6)vu d c y x b a 00000000.（7）yy x x -+-+1111111111111111.(8）33221111110011001b b b b b b ------.3、计算n 阶行列式(1）....0010...3010...021...321nn .（2）xa a a a x aaa a x a a a a x ............................(3) xa x a x a x a a D nn n 0...01...00..................00...000...100 (011321)---=-.4、证明：(1) 设c b a ,,为互异实数, 证明行列式:ba a c cbc b a cb aD +++=222为零的充要条件是0=++c b a .(2) 0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a .(3）bz ay by ax bx az by ax bx az bzay bxaz bz ay by ax +++++++++yxzx z yz y x b a )(33+=.5、设行列式 aa a a a a a a a D 20...0012...0000......... (000)...120000...012000 (00122)222=证明 n n a n D )1(+=.6、设5021011321011111---=D ，求14131211432A A A A +++，其中j i A 为行列式中元素j i a 的代数余子式.7、求行列式 2235007022220403--=D 的第四行各元素的余子式之和.8、如果齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧===+++++000433322111kx kx kx x x x x 有非零解, k 应取什么值?9、λ为何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧===+---++0002333222111x x x x x x x x x λλ只有零解.10、问μλ,取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧===++++++002333222111x x x x x x x x x μμλ有非零解.11、解方程02002003211121=xx x .12、利用范德蒙行列式计算行列式 （1）27181914131211111--.(2) 2222................3 (33)2 (22)1 (11)n n nD n n n =.13、用克莱姆法则解下列线性方程组 （1）⎩⎨⎧=+=+273152y x y x .(2) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+--=-+44522272532z y x z y x z y x .14、求三次多项式)(x f ，使得16)3(,3)2(,410(,0)1(====-f f f f .15、已知m 阶行列式,a A =n 阶行列式,b B =求*B AO D =的值.第一章 行列式 自测题一、选择题： 1、行列式01221≠--k k 的充分必要条件是（ ）.(A)1-≠k （B ）3≠k(C)1-≠k 且3≠k (D) 1-≠k 或3≠k2、行列式01110212=-kk的充要条件是（ ）.(A)2-=k （B ）3=k(C)2-=k 且3=k (D) 21-=k 或3=k 3、设四阶行列式0=A ，则A 中（ ）.(A) 必有一行元素全为零； (B) 必有两行元素对应成比例；(C) 必有一行元素可以表示为其余各行对应元素的线性关系； (D) 对角线上元素全为零.4、行列式8040703362205010的值为 ( ). (A) 72-； (B) 24-； (C)36-； (D)12-.二、填空题 1、设行列式12211=b a b a ，22211=c a c a ，则=++222111c b a c b a .2、设三阶行列式22=-A ，则=A .3、若三阶行列式6222321332211321=---c c c a b a b a b a a a ， 则行列式 =321321321c c c b b b a a a . 4、设100100200001000-=aa ，则=a . 5、若行列式1333231232221121211==a a a a a a a a a D ， 则行列式=---333231312322212112121111324324324a a a a a a a a a a a a .6、设3214214314324321=A , 则=+++24232221432A A A A .三、计算四阶行列式（1）dcd c b a b a 00000000.（2）1111111111111111--+---+---x x x x四、计算n 阶行列式1...12...1..................3 (11)2 (211)1...3211 (4321)x xxx x x n x x n x n n---.五、设347534453542333322212223212)(---------------=x x x x x x x x x x x x x x x x x f ，求方程0)(=x f 根的个数？六、求方程08814412211111)(32=--=x xxx f 的根.七、如果齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧===+-+++-0002333222111x x x x kx x kx x x 有非零解, k 应取什么值?八、判定方程组;.0)2(03)3(5;02)2(32132213212⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++-=-+-x a x x x a x x x x a 是否只有零解.九、证明等式 ∑∏=≤≤≤-==414144434241242322214321)(1111i i i j j i x x x x x x x x x x x x x x x A .十、用克莱姆法则解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++1132132523z y x z y x z y x .。