立体几何10道大题

立体几何练习题1.四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面⊥SBC 面ABCD ，已知45=∠ABC ，2=AB ，22=BC ，3==SC SB .（1）设平面SCD 与平面SAB 的交线为l ，求证：AB l //； （2）求证：BC SA ⊥；（3）求直线SD 与面SAB 所成角的正弦值.2.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，，AD=AC=1，O为AC 的中点，PO平面ABCD ，PO=2，M 为PD 的中点。

（1）证明：PB//平面ACM ； （2）证明：AD平面PAC（3）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值。

3.如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=︒，2BC AD =，△PAB 与△PAD 都是等边三角形．（1）证明：CD ⊥平面PBD ；（2）求二面角C PB D --的平面角的余弦值．4.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AC ⊥AD ．底面ABCD 为梯形，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，PA=AB=BC=3，点E 在棱PB 上，且PE=2EB ． （Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PCB ； （Ⅱ）求证：PD ∥平面EAC ；（Ⅲ）求平面AEC 和平面PBC 所成锐二面角的余弦值．5.如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面于直线AB ，平面ABCD 平面ABPE AB =，且2AB BP ==，1AD AE ==，AE AB ⊥，且//AE BP ．（1）设点M 为棱PD 中点，在面ABCD 是否存在点N ，使得MN ⊥平面ABCD ？若存在，请证明；若不存在，请说明理由； （2）求二面角D PE A --的余弦值.6.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．7.在四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．（1）求证AB⊥面VAD；（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．8.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=，对角线AC与BD 相交于O，OF⊥平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2．（Ⅰ）求证：EF∥BC；（Ⅱ）求面AOF 与平面BCEF 所成锐二面角的正弦值．9.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD=90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AD=AB=2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点． （Ⅰ）求证：PB ⊥DM ；（Ⅱ）求BD 与平面ADMN 所成的角．10.如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=，四边形ACFE为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =. （1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 二面角的平面角为(90)θθ≤，试求cos θ的取值围.立体几何试卷答案（2）证明：连接AC ，45222ABC AB BC ∠===，，，由余弦定理得2AC =，AC AB ∴= 6分 取BC 中点G ，连接,SG AG ，则AG BC ⊥.,,,SB SC SG BC SG AG G =∴⊥=BC ∴⊥面,.SAG BC SA ∴⊥ …………………8分（Ⅲ）如图，以射线OA 为x 轴，以射线OB 为y 轴，以射线OS 为z 轴，以O 为原点，建立空间直角坐标系xyz O -,B ySCAD2、试题解析：（1）证明：为AC的中点，即O为BD的中点，且 M为PD的中点，又平面ACM，平面ACM,所以PB//平面ACM。

（2）证明：因为，AD=AC，所以，所以,又PO平面ABCD，所以所以AD平面PAC。

（3）取OD的中点为N，因为所以MN平面ABCD，所以为直线AM与平面ABCD所成角。

因为AD=AC=1，，所以所以又所以3.（1）证明见解析；（2）33．． 试题解析：（1）证明：过P 作PO ⊥平面ABCD 于O ，连OA ．依题意PA PB PD ==，则OA OB OD ==．又△ABD 为Rt ∆，故O 为BD 的中点． ∵PO ⊂面PBD ，∴面PBD ⊥面ABCD ．在梯形ABCD 中，222CD DB CB +=，4.【解答】（Ⅰ）证明：∵PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，∴PA ⊥BC ． 又AB ⊥BC ，PA ∩AB=A ，∴BC ⊥平面PAB ．又BC ⊂平面PCB ，∴平面PAB ⊥平面PCB ．…（Ⅱ）证明：∵PC ⊥AD ，∴在梯形ABCD 中，由AB ⊥BC ，AB=BC ，得∠BAC=，∴∠DCA=∠BAC=，又AC ⊥AD ，故△DAC 为等腰直角三角形， ∴DC=AC=（AB ）=2AB ． 连接BD ，交AC 于点M ，则==2．连接EM，在△BPD中， ==2，∴PD∥EM，又PD⊂/平面EAC，EM⊂平面EAC，∴PD∥平面EAC．…（Ⅲ）解：以A为坐标原点，AB，AP所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（0，3，0），C（3，3，0），P（0，0，3），E （0，2，1）设=（x，y，1）为平面AEC的一个法向量，则⊥，⊥，∵=（3，3，0），=（0，2，1），∴解得x=，y=﹣，∴=（，﹣，1）．设=（x′，y′，1）为平面PBC的一个法向量，则⊥，⊥，又=（3，0，0），=（0，﹣3，3），∴，解得x′=0，y′=1，∴=（0，1，1）．（取PB中点为F，连接AF可证为平面PBC的一个法向量．）∵cos＜，＞=|=，∴平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值为..…注：以其他方式建系的参照给分．5.（1）详见解析；（2）2 3 .试题分析：（1）连接AC ，BD 交于点N ，连接MN ，证明MN ⊥平面ABCD ，从而MN 即为所求；（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解.试题解析：（1）连接AC ，BD 交于点N ，连接MN ，则MN ⊥平面ABCD ， ∵M 为PD 中点，N 为BD 中点，∴MN 为PDB ∆的中位线，∴//MN PB ， 又∵平面ABCD ⊥平面ABPE ，平面ABCD平面ABPE AB =，BC ⊂平面ABCD ，BC AB ⊥，6【解答】（本小题满分14分）（1）证明：如右图，取A 1B 的中点D ，连接AD ，… 因AA 1=AB ，则AD ⊥A 1B 由平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1， 且平面A 1BC ∩侧面A 1ABB 1=A 1B 。

得AD ⊥平面A 1BC ，又BC ⊂平面A 1BC ，所以AD ⊥BC ．… 因为三棱柱ABC ﹣﹣﹣A 1B 1C 1是直三棱柱，则AA 1⊥底面ABC ，所以AA 1⊥BC ．又AA 1∩AD=A ，从而BC ⊥侧面A 1ABB 1， 又AB ⊂侧面A 1ABB 1，故AB ⊥BC ．（2）解：连接CD ，由（1）可知AD ⊥平面A 1BC ， 则CD 是AC 在平面A 1BC 的射影∴∠ACD 即为直线AC 与平面A 1BC 所成的角，则…在等腰直角△A 1AB 中，AA 1=AB=2，且点D 是A 1B 中点 ∴，且，∴… 过点A 作AE ⊥A 1C 于点E ，连DE由（1）知AD ⊥平面A 1BC ，则AD ⊥A 1C ，且AE ∩AD=A ∴∠AED 即为二面角A ﹣A 1C ﹣B 的一个平面角，…且直角△A1AC中：又，∴，且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为．…7.【解答】证明：（1）由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E，则VE⊥AD，而面VAD⊥底面ABCD，则VE⊥AB．又面ABCD是正方形，则AB⊥AD，故AB⊥面VAD．（2）由AB⊥面VAD，则点B在平面VAD的射影是A，设VD的中点为F，连AF，BF由△VAD是正△，则AF⊥VD，由三垂线定理知BF⊥VD，故∠AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角．设正方形ABCD的边长为a，则在Rt△ABF中，AB=a，AF=a，tan∠AFB=故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为．8. 【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形∴AD∥BC，且BC⊄面ADEF，AD⊂面ADEF，∴BC∥面ADEF，且面ADEF∩面BCEF=EF，∴EF∥BC．解：（Ⅱ）∵FO⊥面ABCD，∴FO⊥AO，FO⊥OB又∵OB⊥AO，以O为坐标原点，OA，OB，OF分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，取CD的中点M，连OM，EM．易证EM⊥平面ABCD．又∵BC=CE=DE=2EF=2，得出以下各点坐标：B（0，1，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣1，0），F（0，0，），E（﹣，﹣，），向量=（﹣，，），向量=（﹣，﹣1，0），向量，设面BCFE的法向量为：，，得到，令时， =（﹣1，，1），面AOF的一个法向量，设面AOF与面BCEF所成的锐二面角为θ，则cosθ===，∴sinθ=．故面AOF与面BCEF所成的锐二面角的正弦值为．…99如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，设BC=1，则A（0，0，0）P（0，0，2），B（2，0，0），M（1，12，1），D（0，2，0）（Ⅰ）因为=0所以PB ⊥DM ． （Ⅱ）因为=0所以PB ⊥AD ． 又PB ⊥DM ．因此的余角即是BD 与平面ADMN ． 所成的角． 因为所以= 因此BD 与平面ADMN 所成的角为． 10. 试题解析：（1）证明：在梯形ABCD 中，∵//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=，∴2AB =，∴2222cos603AC AB BC AB BC =+-••=，∴222AB AC BC =+，∴BC AC ⊥，∴平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE平面ABCD AC =，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面ACFE .（2）由（1）分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y轴，z 轴发建立如图所示空间直角坐标系， 令(03)FM λλ=≤≤，则(0,0,0),(3,0,0),(0,1,0),(,0,1)C A B M λ，∴(3,1,0),(,1,1)AB BM λ=-=-.设1(,,)n x y z =为平面MAB 的一个法向量， 由1100n AB n BM ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩，得300x y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则1(1,3,3)n λ=， ∵2(1,0,0)n =是平面FCB 的一个法向量， ∴122212||cos ||||13(3)1(3)4n n n n θλλ•===++-⨯-+.∵0λ≤≤，∴当0λ=时，cos θ有最小值7，当λ=cos θ有最大值12，∴1cos ]2θ∈.。