平面向量基础知识点总结
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平面向量基本定理知，有且只有一对实数
x
、
y
，使得
r a
r xi
r yj
，
(x,
y)
叫做向量
a
的
（直角）坐标，记作 ar (x, y) ，其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，
r 特别地， i
(1, 0) ，
r j
r (0,1) ， 0 (0, 0) 。
r
r
若 a (x, y) ，则 | a | x2 y2
uuur 若 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ， 则 | AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
3、性质：
（1）
|
r a
|2
r a
2
；
r
r
| a | b (b 0) | a |2 b2 （实数与向量的转化关系）
⑤常用结论：
（1）若
uuur AD
1
uuur ( AB
uuur AC)
，则
D是ABFra bibliotek的中点
2
uuur uuur uuur r （2）或 G 是△ABC 的重心，则 GA GB GC 0
2 /5
7．向量的模：
r
uuur
1、定义：向量的大小，记为 | a | 或 | AB |
2、模的求法：
1 /5
②垂直向量——两向量的夹角为 2
r ur r r 性质： a b agb 0
r ur
r
ur
a b x1x2 y1 y2 0 （其中 a (x1, y1), b (x2 , y2 ) ）
6.向量的加法、减法： ①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。 平行四边形法则：
rr r r （2） a b | a |2 | b |2 ，反之不然
r r rr r r （3）三角不等式：| a | | b | | a b | | a | | b |
rr r r
rr
（4）| agb | | a || b | （当且仅当 a, b 共线时取“=”）
rr
rr r r
rr
rr r r
即当 a, b 同向时 ， agb | a || b | ； 即当 a, b 同反向时 ， agb | a || b |
（5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，
r
r rr rr
即 2 | a |2 2 | b |2 | a b |2 | a b |2
r a
x2 y2 ；若 A(x1, y1 ) ，
B(x2 , y2 ) ，则 AB x2 x1 , y2 y1 ， AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2
3.零向量、单位向量：
①长度为 0 的向量叫零向量，记为 0 ；
a
②长度为 1 个单位长度的向量，叫单位向量.（注： 就是单位向量）
ur uur uur
ur uur
uur r
即 n 个向量 a1, a2 , …… an 首尾相连成一个封闭图形，则有 a1 a2 …… an 0
r
r
rr
rrr r
②向量的减法向量 a 加上的 b 相反向量，叫做 a 与 b 的差。即： a b = a + ( b )；
差向量的意义： OA = ar ,
r OB = b ,
则 BA = ar
r b
r ③平面向量的坐标运算：若 a
( x1 ,
r y1) ， b
(x2 ,
y2
)
，则
r a
r b
( x1
x2 , y1
y2 ) ，
r a
r b
(x1
x2 , y1
y
2
)
，
r a
(x, y) 。
④向量加法的交换律： a + b = b + a ；向量加法的结合律：( a + b ) + c = a + ( b + c )
平面向量知识点总结
基本知识回顾：
1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.
2.向量的表示方法：
uuur ①用有向线段表示----- AB (几何表示法)；
rr ②用字母 a 、 b 等表示(字母表示法)；
③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：
rr
r
分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底。任作一个向量 a ，由
rr rr 交换律： agb bga ;
r r r rr rr 分配律： (a b)gc agc bgc
r
r
r
( a )· b = ( a · b )= a ·( b );
rr r r rr ——①不满足结合律：即 (agb)gc ag(bgc)
rr rr ②向量没有除法运算。如： agb cgb
r
r
8．实数与向量的积：实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作：λ a
r
r
（1）|λ a |=|λ|| a |；
（2）λ>0
时
λ
r a
与
r a
方向相同；λ<0
时
λ
r a
与
r a
方向相反；λ=0
时
λ
r a
=
0
；
r
r
rrr
rr r r
（3）运算定律 λ(μ a )=(λμ) a ，(λ+μ) a =λ a +μ a ，λ( a + b )=λ a +λ b
|a|
4.平行向量：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
r
rrr
rrr
②我们规定 0 与任一向量平行.向量 a 、 b 、 c 平行，记作 a ∥ b ∥ c .共线向量与平行向
量关系：平行向量就是共线向量.
r ur r r r r 性质： a // b (b 0) a b
(
是唯一）
uuur r r AC a b （起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）
uuur r r DB a b
加法首 尾相连 三角形法则 减法终 点相连方向指, 向被减数
uuuur uuur uuuur
uuuuuur
——加法法则的推广： ABn AB1 B1B2 …… Bn1Bn
方向
--
0, 0,
ur r b与同a 向 ur r b与反a 向
长度-
-
-
|
r a
|
r b
r ur r r
r
ur
a // b (b 0) x1 y2 x2 y1 0 （其中 a (x1, y1), b (x2 , y2 ) ）
5.相等向量和垂直向量： ①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
