组合(1)——组合、组合数的概念

组合数学概念
组合是一种数学概念，指的是从一组对象中选取一部分对象的方式。

组合数是表示从n个不同对象中选取r个不同对象的所有可能性的数字。

以下是一些与组合相关的数学概念：
1. 排列：从n个不同对象中选取r个不同对象并考虑顺序的方式。

排列数是表示从n个不同对象中选取r个不同对象并按某种顺序排列的所有可能性的数字。

2. 放回抽样：从n个对象中选取r个对象，每次选取一个对象后将其放回，以便可以再次选择。

放回抽样的组合数可以通过使用二项分布公式计算。

3. 不放回抽样：从n个对象中选取r个对象，每次选取一个对象后不将其放回，以便不能再次选择。

不放回抽样的组合数可以通过应用排列公式并除以r!来计算。

4. 二项式定理：描述了如何展开(a+b)的幂，其中a和b是实数或变量，n是非负整数。

二项式系数是展开后的系数，它与组合数具有相同的值。

5. 帕斯卡三角形：由二项式系数组成的三角形，其中每个数字是位于它上方的两个数字的和。

6. 组合恒等式：用于确定组合中的和式，它可以帮助简化组合
中的复杂计算。

7. 隔板法：一种用于解决分成多个组的组合方案的技巧，其中每个组由一个“隔板”分开。

8. 意大利尼和公式：用于计算完全随机游走的预期位置的公式，它涉及到随机变量和概率论的概念。

9. 完全平方数组合定理：描述了如何将一个正整数表示为完全平方数之和的数量，它在密码学、编程和计算机科学中具有重要意义。

10. 斐波那契数列：一种由数学家斐波那契提出并以他命名的
序列，它在组合问题中有多种应用。

组合数的概念组合数的概念是数学中的一个重要概念，它描述的是从一个给定集合中选取特定数量的元素的方式数。

组合数在概率论、统计学、计算数学、组合优化等领域中都有广泛的应用。

在数学中，我们经常遇到从一组元素中选择若干个元素的问题。

组合数就是描述这种选择问题的数学工具。

假设有一个集合S，它包含n个元素，我们想要从中选择r个元素。

那么从集合S中选取r个元素的选择方式的数量，就称为S中的组合数，通常用C(n, r)来表示。

组合数的计算通常使用排列组合公式：C(n, r) = n! / (r!(n-r)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。

组合数具有以下几个特点：1. 组合数是一个非负整数。

因为选取元素的数量不可能是负数，所以组合数一定是非负整数。

2. 组合数的大小与顺序无关。

也就是说，从集合S中选取的元素的顺序不会影响组合数的大小，只与选取的元素的数量有关。

例如，从集合{1,2,3}中选取2个元素的方式数与选取的元素的顺序无关，因此组合数C(3,2)是一样的，无论是选择{1,2}、{2,3}还是{1,3}。

3. 组合数满足性质C(n, r) = C(n, n-r)。

根据组合数的定义可知，选择r个元素的方式数与选择n-r个元素的方式数是相等的。

例如，从集合{1,2,3}中选择2个元素的方式数与选择1个元素的方式数相等，都是3种。

因此，C(3,2) = C(3,1) = 3。

组合数的应用十分广泛。

以下是一些主要的应用领域：1. 概率论：在概率计算中，经常需要计算事件发生的样本空间，这就涉及到从一个集合中选取若干个元素的组合数。

例如，投掷一枚骰子，选择两个点数之和为7的方式数，就是从六个点数中选择两个点数的组合数C(6,2) = 15。

2. 统计学：在统计学中，组合数用于计算排列组合问题的概率。

例如，从一个样本中选择几个元素，计算得到的组合数可以用来计算事件发生的可能性。

组 合【要点梳理】要点一：组合1.定义：一般地，从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．要点诠释：① 从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关． 排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别．② 如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合.因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或未被取到.要点二：组合数及其公式1.组合数的定义：从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．记作m n C ．要点诠释：“组合”与“组合数”是两个不同的概念：一个组合是指“从n 个不同的元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数”，它是一个数． 例如，从3个不同元素a ，b ，c 中取出2个元素的组合为ab ，ac ，bc ，其中每一种都叫做一个组合，而数字3就是组合数．2．组合数的公式及推导求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以按以下两步来考虑：第一步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；第二步，求每一个组合中m 个元素的全排列数mm A ．根据分步计数原理，得到m m m n n m A C A =⋅． 因此这里n ，m ∈N +，且m ≤n ，这个公式叫做组合数公式．因为!()!m n n A n m =-，所以组合数公式还可表示为：!!()!m n n C m n m =-．要点诠释：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题。

6.2.3~6.2.4第1课时组合及组合数的定义教学目标1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.会用组合知识解决一些简单的组合问题．教学知识梳理知识点一组合及组合数的定义1．组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．知识点二排列与组合的关系教学案例探究点1组合概念的理解例1判断下列问题是排列问题还是组合问题，并分别求出对应的方法数．(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？(2)从2,3,5,7,11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同选法？解：(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．分配方法有C45＝5种．(2)是排列问题，选出的2个数有角色差异(作分子与作分母)．不同的分数有A25＝20个．(3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．不同的选法有C49＝126种．方法归纳判断一个问题是否是组合问题的方法技巧区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．由此可知，定序问题属于组合，即排列时，如果限定某些元素保持规定的顺序，则定序的这n 个元素属于组合问题．跟踪训练1. 中国、日本、韩国、朝鲜四国举行女足邀请赛，赛制采取单循环赛方式，请列举出所有各场比赛的双方．解：单循环赛，指双方只赛一场，因此所有各场比赛双方为中国——日本；中国——韩国；中国——朝鲜；日本——韩国；日本——朝鲜；韩国——朝鲜．探究点2 简单的组合问题例2 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同选法有多少种？解：(1)原方程可变形为C 5n －1C 3n －3＋1＝195，所以C 5n －1＝145·C 3n －3， 即（n －1）（n －2）（n －3）（n －4）（n －5）5！＝145·（n －3）（n －4）（n －5）3！， 化简整理得n 2－3n －54＝0，解得n ＝9或n ＝－6(不合题意，舍去)，所以n ＝9.(2)由题意知x ∈N *，因为C x n ＝C n －x n ＝C 2x n ， 所以n －x ＝2x 或n －x ＋2x ＝n (舍去)，所以n ＝3x .由C x ＋1n ＝113C x －1n ，得n ！（x ＋1）！（n －x －1）！＝113·n ！（x －1）！（n －x ＋1）！， 整理得3(n －x ＋1)(n －x )＝11(x ＋1)x .将n ＝3x 代入上式并整理，得6x (2x ＋1)＝11x (x ＋1)．因为x ∈N *，所以6(2x ＋1)＝11(x ＋1)，解得x ＝5，则n ＝3x ＝15.方法归纳解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．跟踪训练2 已知有8名男生和5名女生，从中任选6人．(1)有多少种不同的选法？(2)其中有3名女生，有多少种不同的选法？(3)其中至多有3名女生，有多少种不同的选法？(4)其中既有男生又有女生，有多少种不同的选法？解：(1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992＋200＝4 950＋200＝5 150. (2)C 33＋C 34＋C 35＋…＋C 320＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 320＝C 45＋C 35＋…＋C 320＝…＝C 421＝5 985.(3)①因为C x 2＋3x ＋216＝C 5x ＋516， 所以x 2＋3x ＋2＝5x ＋5或(x 2＋3x ＋2)＋(5x ＋5)＝16，即x 2－2x －3＝0或x 2＋8x －9＝0，所以x ＝－1或x ＝3或x ＝－9或x ＝1.经检验：x ＝3或x ＝－9不合题意舍去．故原方程的解是x 1＝－1，x 2＝1.②由排列数和组合数公式，原方程可化为3·（x －3）！（x －7）！·4！＝5·（x －4）！（x －6）！， 则3（x －3）4！＝5x －6，即为(x －3)(x －6)＝40. 所以x 2－9x －22＝0，解之可得x ＝11或x ＝－2(舍去)．所以方程的根为x ＝11.探究点3 简单的组合问题例3 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同选法有多少种？解：方法一：(直接法)至少1名女生当选可分为两类：第一类：1名女生1名男生当选代表，有C13·C17种方法，第二类：2名女生当选代表，有C23种方法．由分类加法计数原理，至少有1名女生当选的不同选法有C13·C17＋C23＝21＋3＝24种．方法二：(间接法)10名学生中选2名代表有C210种选法，若2名代表全是男生有C27种选法，所以至少有1名女生当选代表的选法有C210－C27＝24种．方法归纳解答简单的组合问题的思考方法(1)弄清要做的这件事是什么事；(2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题；(3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果.跟踪训练3 某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有()A．C310种B．A310种C．A27A13种D．C27C13种【答案】D【解析】每个被选的人员无角色差异，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C13种选法；第二步，选男工，有C27种选法．故有C13C27种不同选法．课堂小结1．知识清单：(1)组合与组合数的定义．(2)排列与组合的区别与联系．(3)用列举法写组合．2．方法归纳：枚举法．3．常见误区：分不清“排列”还是“组合”．随堂练习2．若C2n＝28，则n的值为()A．9B．8C．7 D．6【答案】B【解析】∵C2n＝n！2！(n－2)！＝n(n－1)2＝28，∴n (n －1)＝56，即n ＝8.3．若C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，则C 12n 的值为________．【答案】91【解析】由已知，得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，所以2·n ！5！(n －5)！＝n ！4！(n －4)！＋n ！6！(n －6)！， 整理，得n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14.要求C 12n的值，故n ≥12，所以n ＝14， 于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91. 3．证明：C m n ＝n mC m －1n －1. 证明：∵n m ·C m －1n －1＝n m ·(n －1)！(m －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝n ！[m ·(m －1)！](n －m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C m n ， ∴C m n ＝n mC m －1n －1成立. 4.判断下列问题是组合问题，还是排列问题．(1)设集合A ＝{a ，b ，c ，d }，则集合A 的含有3个元素的子集有多少个？(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？(3)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？(4)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3个客人入座，又有多少种方法？(5)把4本相同的数学书分给5个学生，每人至多得一本，有多少种分配方法？(6)4个人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？解：(1)组合问题，因为集合中取出元素具有“无序性”．(2)组合问题，由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两个元素的位置无关．(3)排列问题，两个元素做除法时，谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关．(4)第一问是组合问题，第二问是排列问题，“入座”问题同“排队”，与顺序有关．(5)组合问题，由于4本数学书是相同的，不同的分配方法取决于从5个学生中选择哪4个人，这和顺序无关．(6)排列问题，因为5种工作是不同的，一种分工方法就是从5种不同的工作中选出4种，按一定的顺序分配给4个人，它与顺序有关．。