数字通信课程设计
匹配滤波器
摘要
在通信系统中，滤波器是重要的部件之一，滤波器特征的选择直接影响数字信号的恢复。在数字信号接收中，滤波器的作用有两个方面，使滤波器输出有用信号成分尽可能强；抑制信号带外噪声，使滤波器输出噪声成分尽可能小，减少噪声对信号判决的影响。对最佳线性滤波器的设计有一种准则是使滤波器输出信噪比在特定时刻到达最大，由此导出的最佳线性滤波器称为匹配滤波器。在数字通信中，匹配滤波器具有广泛的应用。因此匹配滤波器是指滤波器的性能与信号的特征取得某种一致，使滤波器输出端的信号瞬时功率与噪声平均功率的比值最大。本文设计并仿真了一种数字基带通信系统接收端的匹配滤波器。
一、课程设计的目的
通过本次对匹配滤波器的设计，让我们对匹配滤波器的原理有更深一步的理 解，掌握具体的匹配滤波器的设计方法与算法。
二、课程设计的原理
设接收滤波器的传输函数为)(f H ,冲击响应为)(t h ,滤波器输入码元)(t s 的持续时间为s T ,信号和噪声之和)(t r 为
)()()(t n t s t r += s T t ≤≤0 式中，)(t s 为信元，)(t n 为白噪声。
并设信元)(t s 的频谱密度函数为)(f S ,噪声)(t n 的双边功率谱密度为
2/0n P n =,0n 为噪声单边功率谱密度。
假定滤波器是线性的，根据叠加定理，当滤波器输入信号和噪声两部分时，滤波器的输出也包含相应的输出信号和输出噪声两部分，即
)()()(00t n t s t y +=
由于：)()()()()()(2
*
f P f H f P f H f H f P R R Y
== )(f P R 为输出功率谱密度，)(f P R 为输入功率谱密度，2/)(0n f P R =
这时的输出噪声功率0N 等于
⎰
⎰∞
∞
-∞
∞
-=•=df f H n
df n f H N 2
02
0)(22)(
在抽样时刻0t 上，输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比为
⎰
⎰
∞
∞
-∞
∞
-=
=
df
f H n df e f S f H N t s r ft j 2
02
20
000)(2
)()()(0
π
为了求出0r 的最大值，利用施瓦兹不等式求0r 的最大值
2
02
2
2
02
202)(2
)()()(2
)()(0
n E df
f H n df
f S df f H df
f H n df
e
f S f H r ft j =
≤
=
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰∞
∞
-∞
∞
-∞
∞
-∞∞
-∞
∞
-π 且当时02*)()(ft j e f kS f H π-=，等式成立，即得到知道的信噪比为
2n E 在白噪声干扰的背景下，按上式的设计的线性滤波器，将能在给定时刻0t 上获得最大输出信噪比02n E 。是输出信噪比最大时刻。这种滤波器就是最大信噪比意义下的最佳线性滤波器，由于它的传输特性与信号频谱的复共轭一致，称为匹配滤波器。
匹配滤波器的特性还可以用冲激响应函数)(t h :
22*2()()()j ft j ft j ft h t H f e df kS f e e df
πππ∞
∞
--∞
-∞
=
=
⎰
⎰
**()()()00
k s t t d ks t t τδττ∞
=-+=-⎰-∞
可见，匹配滤波器的冲激响应)(t h 就是信号)(t s 的镜像)(0t t s -，但在时
间轴上平移了0t 。0t 是输出信噪比最大时刻。
三、课程设计的容
设计仿真了数字基带通信系统在接收端接收到模拟信号后通过匹配滤波器的效果，其中匹配滤波器的输入信号我们假定为正弦信号，经过匹配滤波器的输出信号作为抽样判决器的输入信号。我们通过比较匹配滤波器的输入输出信号，验证得出其性能特性。 如下图所示的仿真结果，我们假定匹配滤波器的输入信号为正弦信号与白噪声的叠加，其频率,采样频率,延时时间,。
0.5
1 1.52
-100
10t/s S (t )
输入信号+噪声
-50
050
00.5
1f(Hz)
|S (W )|
输入信号幅度谱
0.5
1 1.52
-100
10t/s
h (t )
冲激响应
-50
050
00.5
1f(Hz)
|H 1(W )|
单位冲激响应幅度谱
1
23
4
-1000
1000t/s
S o (t )
匹配滤波器输出信号-50
050
050
100f(Hz)
|S o 1(W )|
输出信号幅度谱
由实验的结果，我们可以看出匹配滤波器的单位冲激响应幅度谱与输入信号的幅度谱一致，符合上面我们推导的公式；由滤波器的输出信号我们可以得出，在抽样时刻处，信号有最大值，在输出信号的幅度谱中，干扰噪声白噪声明显减小，信号的有用成分被保留下来，体现出了匹配滤波器抑制噪声，保证在抽样时刻有最大值的特性，从而进一步保证了输出信噪比在抽样时刻最大，为下一步抽样判决提供了有利的条件。由此可以看出匹配滤波器对数字基带通信系统的通信可靠性的提高有着很重要的作用。
四、 附录
实验程序：
clear all ; close all ;
fc=20; %余弦信号的频率 fs=5*fc; %采样频率 ts=1/fs; k=1;
to=2; %采样时刻 t=[0:ts:2-ts]; t1=[0:ts:4-2*ts];
