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证明数列不等式的常用放缩方法技巧(不含答案)

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证明数列不等式的常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如：aa >+12；n n n >+)1(⑵将分子或分母放大（或缩小）⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+<⋅； 2)1()1(++<+n n n n⑷二项式放缩: n n n n n n C C C +++=+= 10)11(2,1210+=+≥n C C n n n ,2222210++=++≥n n C C C nn n n )2)(1(2≥->n n n n(5)利用常用结论： Ⅰ.的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) ：2111(1)(1)k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211kk k k k k <==+-+--+（程度小）Ⅳ. 21k的放缩(3)：2214112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b ma mb ab 和)0,0(>>>++<m b a ma mb ab记忆口诀“小者小,大者大”。

解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之亦然. Ⅵ.构造函数法 构造单调函数实现放缩。

例：()(0)1xf x x x=≥+，从而实现利用函数单调性质的放缩：()()f a b f a b +≤+。

一．先求和再放缩例1.)1(1+⋅=n n a n ,前n 项和为S n ，求证：1<n s例2.nn a )31(= , 前n 项和为S n ，求证：21<n s二． 先放缩再求和 （一）放缩后裂项相消例3．数列{}n a ，11(1)n n a n +=-，其前n 项和为n s，求证：22n s <（二）放缩后转化为等比数列。

例4.{}n b 满足：2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+（1） 用数学归纳法证明：n b n≥（2） 1231111...3333n n T b b b b =++++++++，求证：12n T <三、裂项放缩例5.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k .奇巧积累： (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C nn(3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rr n r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn(5)nn n n 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(12) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n nn n n n n n n n n n n n(13)111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(14) 3212132122)12(332)13(2221nn n nnnnnn <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(15)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (16))2(1)1(1≥--<+n n n n n (17)111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i例6.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥+->-++++n n n (2)求证:n n412141361161412-≤++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn例7.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例8.已知n n n a 24-=,nnna a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .四、分式放缩姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b ma mb ab 和)0,0(>>>++<m b a ma mb ab记忆口诀”小者小,大者大”解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之亦然. 例9. 姐妹不等式:12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 和121)211()611)(411)(211(+<+---n n 也可以表示成为 12)12(5312642+>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n和1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n例10.证明:.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n五、均值不等式放缩例11.设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2)1(2)1(2+<<+n Sn n n例11.已知函数bxa x f 211)(⋅+=，a>0,b>0,若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最大值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f例12.求证:213121111<++++++<n n n六、二项式放缩n n n n n n C C C +++=+= 10)11(2,1210+=+≥n C C n n n ,2222210++=++≥n n C C C nn n n )2)(1(2≥->n n n n例13.设N n n ∈>,1，求证)2)(1(8)32(++<n n n .例14. n n a 32⋅= , 试证明：.121111424n n n a a a +++<+≤例15. 求证： .3)11(2<+≤n n例16.求证:nn n2ln )211ln(2ln 3ln <+≤-.七、部分放缩(尾式放缩) 例17.求证: 74123112311311<+⋅+++⨯++-n例18. 设++=ana 211.2,131≥++a n a a 求证：.2<n a例19.设数列{}n a 满足()++∈+-=N n na a a n n n 121，当31≥a 时证明对所有,1≥n 有2)(+≥n a i n ；21111111)(21≤++++++na a a ii八、借助数列递推关系例20. 若1,111+=⋅=+n a a a n n ,求证:)11(211121-+≥+++n a a a n例21.求证:1222642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn例22. 求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn九、函数放缩例23.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n nn∈+-<++++ .例24.求证:)2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n ααααααα例25. 求证:nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++十、分类放缩例26.求证:212131211nn>-++++例27. 已知函数),1()(2R c b c bx x x f ∈≥++=，若)(x f 的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列}{n b 满足)()(*3N n nn f bn∈=，记数列}{n b 的前n 项和为n T ，问是否存在正常数A ，使得对于任意正整数n 都有A T n <？并证明你的结论。

练习：1、添加或舍弃一些正项（或负项）例1、已知*21().n n a n N =-∈求证：*122311...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 例2、函数f （x ）=xx 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n +)(2121*1N n n ∈-+.3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）例3、已知a n =n ，求证：∑nk=1k a 2k＜3．4、放大或缩小“因式”；例4、已知数列{}n a 满足2111,0,2n na a a +=<≤求证：1211().32nk k k k a a a ++=-<∑5、逐项放大或缩小例5、设)1(433221+++⨯+⨯+⨯=n n a n 求证：2)1(2)1(2+<<+n a n n n6、固定一部分项，放缩另外的项； 例6、求证：2222111171234n ++++<1、设n 为大于1的自然数，求证.2121312111>+++++++n n n n2、设n 为自然数，求证.!1)122()52)(32)(12(n n n n n n ≥-----3、若n 是自然数，求证.213121112222<++++n4、求证：.332113*********<⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++n5、若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a6、当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n7、7完全解读：对于学生来说，他们非常清楚证明此题的方向，即先放缩再求和，但是学生的问题就是放缩的误差过大，而不能判断是什么原因导致的误差过大 .学生解法：提出以下改进方案 .方案 1 ：通项放缩不变，减少放缩的项数尝试 1 ：第一项不放缩，从第二项开始放缩仍然失败，不过离成功更近了 .尝试 3 ：前三项不放缩，从第四项开始放缩终于成功了！方案 2 ：减小通项的放缩误差反思：对于改进 1 ，尽管最后没有成功，但从上面方案 1 的最终成功可以得到启发，改进为在求和时第一项不放缩，从第二项开始放缩。

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【数列】放缩证明不等式的4种方法(数列难点)

【数列】放缩证明不等式的4种方法(数列难点)

【数列】放缩证明不等式的4种方法（数
列难点）
数列放缩证明不等式的方法有很多，以下是其中4种方法：
- 直接求和再放缩：通过求和的方式将原式进行化简，再进行放缩证明。

- 先放缩再求和：通过放缩将原式进行化简，再通过求和的方式证明。

- 等差数列：将原式中的数列通过放缩转换为等差数列，再进行证明。

- 等比数列：将原式中的数列通过放缩转换为等比数列，再进行证明。

在使用放缩法证明不等式时，需要根据数列的特点选择合适的放缩方法，并进行严谨的证明。

不等式的放缩技巧

不等式的放缩技巧

数列型不等式放缩技巧八法证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一 利用重要不等式放缩1．均值不等式法例1 设求证.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n .2)1(2)1(2+<<+n S n n n 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k =+=，，2121)1(+=++<+<k k k k k k )21(11∑∑==+<<∴nk n nk k S k 即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放2b a ab +≤1)1(+<+k k k 2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n 过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里na a n a a a a a a nnnnn n22111111++≤++≤≤++其中，等的各式及其变式公式均可供选用。

3,2=n例2 已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为bxa x f 211)(⋅+=54)1(=f )(x f ，求证：（02年全国联赛山东预赛题）21.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f 简析 )2211()()1()0(22114111414)(⨯->++⇒≠∙->+-=+=n f f x x f xx x x.2121)21211(41)2211()2211(112-+=+++-=⨯-++⨯-++-n n n n n例3 已知为正数，且，试证：对每一个，b a ,111=+ba *∈N n .（88年全国联赛题）1222)(+-≥--+n n n n n b a b a 简析 由得，又，故111=+b a b a ab +=42)11)((≥++=++abb a b a b a ，而，4≥+=b a ab nn nr r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)(令，则nnnb a b a n f --+=)()(=，因为，倒序相加得)(n f 1111----++++n n n r r n r n n n ab C b a C b a C in ni n C C -==，)(2n f )()()(111111b a ab C b a b a C ab b a C n n n n r n r r r n r n n n n -------+++++++ 而，则1211112422+------=⋅≥≥+==+==+n nnn n n rn r rrn n n b a b a ab b a b a ab b a=)(2n f ))(22())((11r r n r n r n r r n r n r n n r n n b a b a b a b a C C C -----+-=+++++，所以，即对每一个，⋅-≥)22(n 12+n )(n f ⋅-≥)22(n n 2*∈N n .1222)(+-≥--+n n n n n b a b a 例4 求证.),1(221321N n n n C C C C n n nnnn∈>⋅>++++- 简析 不等式左边=++++nn n n n C C C C 32112222112-++++=-n n =，原结论成立.nn n 122221-⋅⋅⋅⋅⋅> 212-⋅n n 2．利用有用结论例5 求证.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 简析 本题可以利用的有用结论主要有：法1 利用假分数的一个性质可得)0,0(>>>++>m a b ma mb ab>-⋅⋅122563412n n =+⋅⋅n n 212674523 )12(212654321+⋅-⋅⋅n nn 即⇒12)122563412(2+>-⋅⋅n n n .12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n法2 利用贝努利不等式的一个)0,1,2,(1)1(≠->≥∈+>+*x x n N n nx x n 特例(此处)得12121)1211(2-⋅+>-+k k 121,2-==k x n =-+∏⇒-+>-+=)1211(121212111k k k k n k .1212121+=-+∏=n k k n k 注：例5是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。

数列不等式放缩技巧

数列不等式放缩技巧

数列不等式放缩技巧何谓放缩？就是当要证明不等式A<B成立时，可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A放大成C，即A<C，后证C<B，这种证法便称为放缩法，简称放缩。

在高考数列不等式中，常常伴随着类似形式的不等式证明，这类式子无法通过求和化简或数学归纳法证明，然而通过适当的放缩技巧，却能快速使问题简单化。

【知识技巧】1、放缩的几种形式：①构造特殊数列求和进行放缩；技巧积累：(1)；(2)（3）(4)(5)(6)(7)②应用基本不等式或函数单调性放缩；③加强命题，转化为数学归纳法证明题（注意点：形式、方向、首项）。

2、放缩的注意事项①熟练掌握裂项技巧，如：，这类数列由于可以裂项求和，所以在证明不等式时，大可不必放缩；②放与缩要注意形式、方向和首项，要注意放缩度的把握。

③可以只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项）。

【例题讲解】1、通项公式的放缩1、（2013广东理）设数列的前项和为.已知,,.(Ⅰ) 求的值;(Ⅱ) 求数列的通项公式;(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.2、求证:3、（2012广东理）设数列{an}的前n项和为Sn，满足，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式．（3）证明：对一切正整数n，有.2、递推式的放缩1、已知,求证:当时,2、已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．3、加强命题1、数列中，，对任何，都有。

（1）求通项公式；（2）证明：对任何，4、利用不等式或函数放缩1.设,求证解析: 此数列的通项为，，即2、设，如图，已知直线及曲线：，上的点的横坐标为（）.从上的点作直线平行于轴，交直线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点.的横坐标构成数列.（Ⅰ）试求与的关系，并求的通项公式；（Ⅱ）当时，证明；（Ⅲ）当时，证明.解析:（过程略）.证明（II）：由知，∵，∴.∵当时，，∴.证明（Ⅲ）：由知.∴恰表示阴影部分面积，显然④∴.【课后练习】1、（2014广东文）设各项为正数的数列的前和为,且满足(1)求的值;(2)求数列的通项公式;(3)证明:对一切正整数,有2、(2014新课标2理)已知数列满足=1，.（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；（Ⅱ）证明：.3、已知,,求证:.4、已知数列中，。

证明数列求和不等式的两种放缩技巧

证明数列求和不等式的两种放缩技巧

求和（Sum）不等式是数学中一种有用的工具，用来估计数列的总和。

这种不等式经常被用来证明一些性质，比如收敛性、最大最小值等等。

在解决一些复杂的问题时，求和的不等式经常要求使用特殊的技巧，如放缩。

本文将介绍两种求和不等式的放缩技巧：前项放缩和后项放缩。

前项放缩指的是一种能够让前n项值成比例证明一个求和不等式的技巧。

例如，假设我们有如下的求和不等式：S = x <sub>1 </sub> + x <sub>2 </sub> + ... + x <sub>n </sub> ≤ A那么我们可以用前项放缩的技巧来证明这个不等式：首先，假定 n 个x <sub>i<sub> (i=1,2,…,n) 的值分别为 a<sub>i </sub>，则有S = a<sub>1 </sub> + a<sub>2 </sub> + ... + a<sub>n </sub> ≤ A其次，将所有的x <sub>i </sub>(i=1,2,…,n) 都放缩至 b<sub>i </sub>值，意思是你将每一项都扩展或缩小一倍（例如，a<sub>1 </sub> 会放缩至2a<sub>1 </sub>）。

此时有 S = b<sub>1 </sub> + b<sub>2 </sub> + ... + b<sub>n </sub> ≤ A（由此可见，前 n 项值放缩后，左边的总和 S 仍小于右边的 A，因此原来的不等式：S≤A 成立）另一种求和不等式的放缩技巧是后项放缩。

此时我们可以将最后一项x<sub>n</sub> 放缩成 b<sub>n</sub>（通常要求b<sub>n</sub> ≤a<sub>n</sub>），这样就有实数范围[a<sub>n</sub>, b<sub>n</sub>]了。