数列通项公式的求法一

求数列通项公式法一 ：公式法：运用等差（等比）数列的通项公式.法二：前n 项和法：已知数列}{n a 前n 项和n S ，则⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n nn （注意：不能忘记讨论1=n ）Sn 表达式中含an ：已知n a 与n S 的关系式，利用)2(1≥-=-n S S a n n n ，将关系式转化为只含有n a 或n S 的递推关系，再利用上述方法求出n a .已知数列}{n a 前n 项和n S ，则⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n nn （注意：要验证能否合二为一）例1 数列{}n a 的前n 项和n n S n 92-=，则n a = 。

变式 数列{}n a 的前n 项和n n S n 92-=，._______85=<<k a k ，则若 变式 已知数列{}n a 的前n 项和公式，求{}n a 的通项公式①n n S n 322+=；②132-⋅=n n S例2设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且12-=n n a S ，求数列}{n a 的通项公式； 变式 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*111,42()n n a S a n N +==+∈，（1）设2n n n a b =，求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列}{n a 的通项公式及前n 项和的公式法三:：利用前n 项积，已知数列}{n a 前n 项之积T n ，一般可求T n-1，则a n ＝1－n n T T （注意：不能忘记讨论1=n ）. 例 数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a __________.法四 ：累加法：已知)2)((1≥=--n n f a a n n ，且{f(n)}成等差（比）数列，则求n a 可用累加法. 常见基本形式：三种例 数列}{n a 满足12212,5,32n n n a a a a a ++===-，（1）求证：数列1{}n n a a +-是等比数列； （2）求数列}{n a 的通项公式n a ；（3）求数列}{n a 的前n 项和n S .变式 已知数列}{n a ；①若满足291=a ，)2(121≥-=--n n a a n n ，则n a =_______________.变式 已知数列{}n a 满足11a =，)1(11+=-+n n a a n n (2)n ≥，则n a =_______________. 变式 已知数列{}n a 满足11a =，n n a a n n ++=--111(2)n ≥，则n a =_______________.法五：累乘法例 若满足a 1=1,)2(11≥+=-n n n a a n n ，则n a =_______________. 变式已知）（，n n n a a n a a -==+111,则数列{}n a 的通项公式=n a ( ) A. 12-n B.11-+n nn ）（ C. 2n D. n 法六 ：构造辅助数列法： 已知数列}{n a 的递推关系，研究a n 与a n －1的关系式的特点，可以通过变形构造，得出新数列)}({n a f 为等差或等比数列.共有六种类型：类型一：待定系数法例 已知数列满足1a =1，1n a +=2n a +3，则n a =_______________.变式 已知点,3121),11=+=+a x y a a n n 上，且在直线（则n a =_______________. 变式 已知数列{}n a 满足11a =，n n n a x a x a ，求的两实根，且满足为方程，26-60312=+=+-+βαβαβα类型二 取倒法例 已知数列}{n a 满足11=a ，131+=+n n n a a a ，则n a =_______ 变式 已知数列}{n a 满足11=a ，3231+=+n n n a a a ，则n a =_______ 类型三 取倒法与待定系数法相结合 例 已知数列}{n a 满足11=a ，231+=+n n n a a a ，则n a =_______ 变式 已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =，，．求{}n a 的通项公式；变式 变式 已知数列}{n a 的首项1a a =（a 是常数且1a ≠-），121(,2)n n a a n N n -=+∈≥．（1）}{n a 是否可能是等差数列，若可能，求出}{n a 的通项公式；若不可能，说明理由；（2）设(,n n b a c n N =+∈c 是常数)，若{}n b 是等比数列，求实数c 的值，并求出}{n a 的通项公式。

三.作差或做商法
例5.已知数列an满足
a1 2a2 3a3 nan n2,求an
练习.已知数列an满足
a1a2a3 an n2 ,求an
课堂小结
1、公式法
an

s1 sn
sn1
(n=1) (n 1)
注：验证a1在an中,不分段写.

1
an1
an
结论:数列{an}中, an pan1 q, a1 1, 求数列的通项an 待定系数法
倒数法
例4.数列{an}满足 ：
a1

2, an1

2an an 2
求数列{an}的通项公式.
练习 4
已知 a1 2 ，an 0 ，
且an1 an 2an1 an (n N )，求an .
练习3数列{an}满足
n a1 1, an1 n 1 an
求数列{an}的通项公式.
结论: 已知数列 {an}中，an1 f n an ，a1 2 ，求
通项公式 an .
3、构造法 构造一个新的等比数列或等差数列
例3 数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1 求{an}的通项公式.
当所给数列每依次相邻两项之间的差 组成等差或等比数列或可求和的数列 时，就可用累加法进行消元.
例1.数列 {an}中,an1 an n, a1 1,求数列的通项公式.
练习 1：an中，a1 1,
an1 an 3n1,求它的通项公式.
练习
2：数列an
中，an1

an

f
(n)逐差求和法
2 an1 pan q构造等差或等比数列

一般地，数列的通项公式可用数列的第n 项表示出来，因此求数列的通项公式，关键是根据数列各项之间的规律，求得数列第n 项的表达式.求数列的通项公式问题可采用公式法、逐差相加法、逐商相减法来求解.一、公式法对于求数列的通项公式来说，公式法是最简单，也最直接的方法，但该方法只适用于求解等差、等比数列的通项公式问题.在解题时，需首先根据等差、等比数列的定义判定数列的类型，然后求出数列的首项、公差、公比，再根据等差数列的通项公式：a n =a 1+(n -1)d ；等比数列的通项公式：a n =a 1q n -1来求解.例1.已知数列{a n }满足a 1=0，且11-a n +1-11-a n =1，求数列{a n }的通项公式.解:∵11-a n +1-11-a n =1,a 1=0，∴11-a 1=1，∴数列{}11-a n是以1为首项，1为公差的等差数列，∴11-a n =11-a 1+(n -1)×1=n ,∴数列{a n }的通项公式为a n =n -1n .由等差数列的定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，可知数列{}11-a n是等差数列，求得数列的首项、公差，便可利用等差数列的通项公式求出数列{}11-a n 的通项公式，通过运算，即可得到a n 的表达式.二、逐差相加法逐差相加法也叫做累加法，是求数列通项公式的常用方法之一.当遇到形如a n +1-a n =f (n )的递推式时，可采用逐差相加法求数列的通项公式.首先令n =1,2,3,…,n ，得到a n +1-a n =f (n ),a n -1-a n -2=f (n -1),…,a 2-a 1=f (1)，再将各项相加可得a n -a 1=(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)=f (n )+f (n -1)+…+f (1).通过正负相消，即可求得a n 的表达式.例2.若数列{a n }满足a n +1=a n +2n +1,a 1=1,求数列{a n }的通项公式.解:∵a n +1=a n +2n +1，∴a n +1-a n =2n +1，a n -a n -1=2n -1，...a 3-a 2=3=3，a 2-a 1=1.将上述式子累加可得(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 3-a 2)+(a 2-a 1)=[2(n -1)+1]+[2(n -2)+1]+…+(2×2+1)+(2×1+1)=2[(n -1)+(n -2)+…+2+1]+(n -1)=2×(n -1)n 2+(n -1)=n 2-1,∴a n =n 2，即数列{a n }的通项公式为a n =n 2.有些数列的递推式并不满足n =1的情况，因此运用逐差相加法求数列的通项公式，要注意考虑n =1的情况是否满足所求得的数列通项公式.三、逐商相乘法逐商相乘法也叫做累乘法，主要适用于求解由形如a n +1a n=f (n )的递推式求数列的通项公式问题.在解题时，需先分别令n =1,2,3，…，n ，得到=f (n )，a n -1a n -2=f (n -1),…，a 2a 1=f (1)，再将各项相乘可得a n a 1=a n +1a n ·a n -1a n -2·…·a 2a 1=f (n )·f (n -1)·…·f (1).通过约分，即可求得a n 的表达式.例3.已知数列{a n }是首项为1的正项数列，(n +1)a 2n +1-na 2n +a n +1a n =0，求数列{a n }的通项公式.解：(n +1)a 2n +1-na 2n +a n +1a n =(a n +1+a n )[(n +1)a n +1-na n ]=0,∵a n +1+a n >0，∴(n +1)a n +1=na n ，∴a n +1a n =n n +1，∴a 2a 1=12，a 3a 2=23，a 4a 3=34，…，a n a n -1=n -1n ，将上述n -1个式子相乘可得a n a 1=1n ，∴数列{a n }的通项公式为a n =1n.将数列的递推公式变形后，便可得到形如a n +1a n=f (n )的式子，于是采用逐商相乘法来求解，就能得到数列{a n }的通项公式.总之，无论运用哪种方法求解，都需仔细研究数列的各项或递推式，将其进行适当的变形，使其转化为a n +1-a n =d 、a n +1-a n =f (n )、a n +1a n =d 、a n +1a n =f (n )的形式，然后采用定义法、逐差相加法、逐商相乘法来求出数列的通项公式.（作者单位：甘肃省庆阳市环县第五中学）杜海坤探索探索与与研研究究50。

求数列通项公式的十种办法求数列的通项公式是数学中的一项重要工作。

下面列举了十种常用的求解数列通项公式的方法：1.递推法：这是最常见的一种方法。

通过观察数列中的规律，找出前一项与后一项之间的关系，并将其表达成递推公式，从而求得数列的通项。

例如斐波那契数列：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(n)表示第n项，F(n-1)表示第n-1项，F(n-2)表示第n-2项。

2.数列差法：如果数列的前后两项之间的差值有规律可循，可以通过观察差的变化规律来得到通项公式。

例如等差数列：a(n)=a(1)+(n-1)d，其中a(n)表示第n项，a(1)表示首项，d表示公差。

3.数列比法：如果数列的前后两项之间的比值有规律可循，可以通过观察比的变化规律来得到通项公式。

例如等比数列：a(n)=a(1)*r^(n-1)，其中a(n)表示第n项，a(1)表示首项，r表示公比。

4.代数方程法：数列中的数可以看作方程中的未知数，通过列方程组求解，得到方程的解即为数列的通项公式。

例如斐波那契数列可以通过矩阵的特征值和特征向量求得。

5.数列求和法：如果数列是由一个个项的和组成的，可以通过数列的求和公式求得通项公式。

例如等差数列的前n项和：S(n)=[n/2]*[2a(1)+(n-1)d]，其中[n/2]表示n除以2的整数部分，a(1)表示首项，d表示公差。

6.数列积法：如果数列可以表达为一系列项的连乘积的形式，可以通过求取连乘积的对数，再利用对数运算得到通项公式。

例如等比数列的前n项积：P(n)=a(1)^n*(r^n-1)/(r-1)，其中a(1)表示首项，r表示公比。

7.查表法：如果数列的部分项已知，可以通过列出表格的方式观察规律，推测出通项公式。

例如自然数列：1,2,3,...，通过观察可得到通项公式：a(n)=n。

8.数学归纳法：数学归纳法是一种证明方法，但也可以用来求数列的通项公式。

首先证明数列的通项公式对n=1成立，然后假设对n=k也成立，通过数学归纳法证明对n=k+1也成立，从而得到通项公式。