2020-2021学年高中数学人教A版选修4-4课件：2.4 渐开线与摆线

3π x＝ ， 2 即得对应的点的坐标． y＝3，
【答案】 3
3π ，3 2
变式训练1
半径为2的基圆的渐开线的参数方程为
________，当圆心角φ＝π时，曲线上点的直角坐标为________．
解析 半径为2的基圆的渐开线的参数方程为 (φ为参数)．
x＝2cosφ＋φsinφ， y＝2sinφ－φcosφ
(φ为参数)，求对应圆的摆线的参数方程．
解
首先根据渐开线的参数方程可知圆的半径为6，所以对 (φ为参数)．
x＝6φ－6sinφ， 应圆的摆线的参数方程为 y＝6－6cosφ
x＝cosφ＋φsinφ， π 【例3】 当φ＝ ，π时，求出渐开线 (φ为 2 y＝sinφ－φcosφ
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析 【例1】
x＝3cosφ＋3φsinφ， 给出某渐开线的参数方程 y＝3sinφ－3φcosφ
(φ
为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是 ________，且当参数φ取 ________．
【分析】 根据一般情况下基圆半径为r的渐开线的参数方程 (φ为参数)进行对照可知．
故A，B两点间的距离为 |AB|＝ 3π π [ 2 ＋1－2－1]2＋1－12
＝ π＋22＝π＋2.
参数)上的对应点A，B，并求出A，B间的距离．
【解】
x＝cosφ＋φsinφ， π 将φ＝2代入 y＝sinφ－φcosφ，
π π π π 得x＝cos2＋2sin2＝2， π π π y＝sin － cos ＝1. 2 2 2
π ∴A(2，1)．
x＝cosφ＋φsinφ， 将φ＝π代入 y＝sinφ－φcosφ，

(φ 是参数)(其中 k∈N*)．
本题易错点是误把点(1,0)中的1或0当成φ 的值，代入参数方程中求出x和y的值；或者在求出cos φ＝1 后，直接得出φ＝0，从而导致答案不全面．
2．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出当圆的半径 最大时该摆线的参数方程和对应的圆的渐开线的标准方程．
【解析】令 y＝0，得 r(1－cos φ)＝0，即得 cos φ＝1，所以 φ＝2kπ(k∈Z)．
代入得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)＝2，即得 r＝k1π(k∈Z)． 又因为 r>0，所以 r＝k1π(k∈N*)，易知，当 k＝1 时，r 最大 值为1π．
代入即可得，圆的摆线的参数方程是yx＝＝1π1πφ1－－csoins
φ， φ
(φ 为参数)，
圆的渐开线的参数方程是xy＝ ＝1π1πcsions
【解析】令 r(1－cos φ)＝0，可得 cos φ＝1，所以 φ＝2kπ(k ∈Z)，代入可得，x＝r(2kπ－sin 2kπ)＝1，所以 r＝21kπ．
又根据实际情况，可知 r 是圆的半径，故 r＞0，所以应有 k＞0 且 k∈Z，即 k∈N*．
所以所求摆线的参数方程是
x＝21kπφ－sin φ， y＝21kπ1－cos φ
时对应的曲线上的点的坐标为________．
【答案】2
22＋
82π，
22－
82π
【解析】r＝1，∴2r＝2.将 φ＝π4代入曲线的参数方程得 x
＝ 22＋ 82π，y＝ 22－ 82π．
4．已知一个圆的摆线方程是xy＝ ＝44φ－－4c4osisnφφ， (φ 是参数)， 求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．
【解题探究】 根据圆的直径可知渐开线的参数方程，将 φ ＝π3，π2代入参数方程即可求得对应的 A，B 两点的坐标．

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根据渐开线的定义和求解参数方程的过程可知其中的字母r是指基圆的半 径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角．
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[再练一题]
x＝cos φ＋φsin φ， 3π π 1．当φ＝ 2 ， 2 时，求出渐开线 上的对应点A，B，并 y＝sin φ－φcos φ
【解析】 根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B正确． 【答案】 B
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[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________
那么，根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为|AB|＝
3＋ 6
3π
3 3－π 2 2 π －2 ＋ 6 －1
1 ＝6 13－6 3π2－6π－36 3＋72. 即A、B两点之间的距离为 1 2 13 － 6 3 π －6π－36 3＋72. 6

设 点 M 的 坐 标 为 ( x , y ) , 取 为 参 数 ， 根 据 点 M 满 足 的 几 何 条 件 ， 有
x O D O A D A O A M C r r s i n ,
y D M A C A B C B r r c o s .
四 渐开线与摆线
1、渐开线 2、摆线
1、渐开线
1、渐开线的定义
探究：P41
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
设 开 始 时 绳 子 外 端 （ 笔 尖 ） 位 于 点 A ，
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
B M ( x r c o s , y r s i n ) , | B M | r .
O
A
由 于 向 量 e 1 ( c o s , s i n ) 是 与 O B 同 方 向 的 单 位 向 量 ，
因 而 向 量 e 2 ( s i n , c o s ) 是 与 向 量 B M 同 方 向 的 单 位 向 量 。

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D典例透析
圆的渐开线的参数方程及应用 【例1】 已知圆的直径为2,其渐开线的标准参数方程对应的曲线 π π 上两点A,B对应的参数分别 是 和 , 求������, ������两点间的距离. 3 2 分析:先写出圆的渐开线的参数方程,再把点A,B对应的参数分别 代入参数方程可得A,B两点的坐标,然后使用两点之间的距离公式 可得点A,B之间的距离. 解:根据题意可知圆的半径是1, 所以其对应渐开线的参数方程是 ������ = cos������ + ������sin������, (������为参数). ������ = sin������-������cos������ π π 分别把 φ= 和 ������ = 代入,
3 2
可得 A,B 两点的坐标分别为 ������
3+ 3π 3 3-π 6
,
6
, ������
பைடு நூலகம்π 2
,1 .
根据两点之间的距离公式可得 A,B 两点间的距离为
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|AB|=
������ = 9(������-sin������), (������为参数). ������ = 9(1-cos������)
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四 渐开线与摆线
考纲定位
重难突破
1.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚 重点：渐开线与摆线
动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚 的基本概念和参数方
动时直线上定点的轨迹(渐开线)．知道平摆线 程.
和渐开线的生成过程，以及它们的参数方程. 难点：渐开线与摆线
2.通过阅读材料，知道外摆线、内摆线的生成 及其方程的灵活运用.
过程；学会摆线在实际应用中的实例.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
1．渐开线的产生过程
[自主梳理]
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧， 保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的 渐开线 ，相应的定
圆叫做 基圆 ．
程；④圆的渐开线和 x 轴一定有交点而且是唯一的交点．
其中正确的说法有( )
A．①③
B．②④
C．②③
D．①③④
解析：本题主要考查渐开线和摆线的有关概念和参数方程的问题，对于一个圆， 只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同， 其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐 标轴的交点要看坐标系的选取．故选 C. 答案：C
[双基自测]
1．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线
的参数方程可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出
坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐
开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方
因此O→M＝O→B＋B→M
＝(2α－2sin α，2－2cos α)

答案：A
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2．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．
解：取 φ 为参数，φ 为基圆上点与原点的连线与 x 轴 正方向的夹角． ∵直径为 10，∴半径 r＝5. 代入圆的渐开线的参数方程得：
x＝5cos φ＋φsin φ， y＝5sin φ－φcos φ.
这就是所求的圆的渐开线的参数方程.
返回
x＝2t－sin t， 3．摆线 y＝21－cos t
(0≤t≤2π)与直线 y＝2 的交点
的直角坐标是________．
答案：(π－2,2)；(3π＋2,2)
返回
4．圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点
O.圆上点M起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M的轨
迹方程．
π 解：xM＝r· φ－r· φ－2 cos
＝r(φ－sin φ)， π yM＝r＋r· sin(φ－ ) 2 ＝r(1－cos φ)． 即点 M 的轨迹方程为 x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ.
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返回
的长相等，它们的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， 向量 OB ＝(2α，2)， 向量 MB ＝(2sin α，2cos α)，
返回
BM ＝(－2sin α，－2cos α)， 因此 OM ＝ OB ＋ BM
＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． 动点 M 的坐标为(x，y)，向量 OM ＝(x，y)
返回
1．渐开线的产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端 系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线就是圆的 渐开线 ，相应的定圆

第二讲参数方程 四渐开线与摆线
2.摆线
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
人民教育出版社 高中 |选修4-4
人民教育出版社 高中 |选修4-4
摆线的概念
圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上 一个定点 的轨迹，圆的摆线又叫 旋轮线 ．
摆线的参数方程：
x＝rφ－sin φ y＝r1－cos φ
(φ 为参数)
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所以xy＝＝221α－－csoins
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
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总结：
(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动， 圆周上一个定点的轨迹．
(2)在圆的摆线中，圆周上定点的位置也可以由圆心角φ唯 一确定．
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[例2] 设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时 圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚 动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程， 画出相应曲线，求此曲线上点的纵坐标y的最大值，说 明该曲线的对称轴．
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[精讲详析] 本题考查摆线的参数方程的求 法及应用．解答本题需要先分析题意，搞清M 点的轨迹的形状，然后借助图象求得最值．
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轨迹曲线的参数方程为
x＝8t－sin t y＝81－cos t
(0≤t≤2π)
即 t＝π 时，即 x＝8π 时，y 有最大值 16.
向量OB ＝(2α，2)， 向量 MB＝(2sin α，2cos α)， BM ＝(－2sin α，－2cos α)，
因此OM ＝OB＋BM
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编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。

一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。

思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
[思路点拨] 利用向量知识和三角函数的有关知识求解．
[解] 当圆滚过 α 角时，圆心为点 B，圆与 x 轴的切点为 A，定点 M 的位置如图所示，∠ABM＝α.
由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 AM 的
长相等，它们的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， 向量―O→B ＝(2α，2)，向量―M→B ＝(2sin α，2cos α)， ―BM→＝(－2sin α，－2cos α)，因此―OM→＝―O→B ＋―BM→ ＝(2α－2sin α，2－2cos α)
＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． 又动点 M 的坐标为(x，y)，向量―OM→＝(x，y)
所以xy＝＝221α－－csoins
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地 滚动时圆周上一个定点的轨迹．

S 随堂练习 UITANG LIANXI
1
2
3
3.圆的渐开线和摆线的参数方程
(1)圆的渐开线的参数方程:
x
= r(������������������φ + φ������������������φ), y = r(������������������φ-φ������������������φ) (φ
x y
= =
���1���1������((φ1--������������������������������������φφ)),(φ
为参数);
所求圆的渐开线的参数方程为
x
=
1 ������
y=
(������������������φ + φ������������������φ),
1 ������
x y
= =
221k1k������������((φ1--������������������������������������φφ)),(φ
为参数,k∈N*).
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
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四 渐开线与摆线
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课程目标 1.借助教具或计算机软件,观察圆在直 线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、 直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹 (渐开线).知道平摆线和渐开线的生成 过程,以及它们的参数方程. 2.通过阅读材料,知道外摆线、内摆线 的生成过程;学会摆线在实际应用中的 实例.