【精品】五年级奥数培优教程讲义第20讲 最小公倍数(教师版)

第20讲最小公倍数教学目标教学目标掌握倍数和最小公倍数的概念，最小公倍数的求法；会利用最小公倍数解决实际问题。

知识梳理一、约数和倍数的定义整数A能被整数B整除，A叫做B的倍数，B就叫做A的约数（在自然数的范围内）。

如：2和6是12的约数，12是2的倍数，12也是6的倍数；18的约数有1、18、2、9、3、6。

注意：①一个数的约数个数是有限的，一个数的倍数有无数个。

②任何数都有最小的约数1，最大的约数本身，最小的倍数也是本身。

③一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。

3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。

④因数和约数的区别：约数必须在整除的前提下才存在，而因数是从乘积的角度来提出的。

如果数a与数b 相乘的积是数c，a与b都是c的因数。

二、 2、3和5倍数的特征2的倍数的数特征是个位是0、2、4、6、8，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数5的倍数的数特征是个位是0或53的倍数的数特征是一个数各位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数三、质数与合数（1）只有1和本身两个因数的数叫做质数（或素数）（2）除了1和本身外还有其它因数的数叫做合数（3）1既不是质数，也不是合数（4）100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

（5）几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ……3的倍数有3、6、9、12、15、18 ……其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。

记作[2,3]=6。

如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。

如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。

几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。

注意：最大公约数×最小公倍数=两数的乘积，即（a，b）×[a，b]=a×b。

典例分析考点一：最小公倍数的求法例1、列举法：求6和10的最小公倍数。

【解析】先分别写出6 和8 各自的倍数，再从中找出公倍数和最小公倍数。

6 的倍数：6 ，12 , 18 ，24 ，30，36，42，48 …10 的倍数：10 ，20，30，40，50 …所以6和10的最小公倍数是30。

例2、短除法：求56和24的最小公倍数。

【解析】256 242 28 122 14 67 356和24的最小公倍数是2×2×2×7×3=168例3、分解质因数法：求120和100的最小公倍数【解析】120=2×2×2×3×5100=2×2×5×5[120，100]=2×2×2×3×5×5=600例4、多个数求最小公倍数：求45、60和75的最小公倍数【解析】3 45 60 903 15 20 305 5 20 102 1 4 21 2 1[45，60，90]=180 （当除到任意两数还有公因数时，则还要继续除下去）考点二：应用最小公倍数巧算例2、某加油站有二位员工，从今年l月1日起规定：员工甲每工作3天后休息1天，员工乙每工作5天后休息2天，当遇到二人都休息时，必须另聘一位临时工，则今年共有多少天要聘1个时工人？【解析】甲每到4的倍数就休息，而乙每到7的倍数和比7的倍数少一天都休息．因为4和7的最小公倍数是28，因为今年是平年，所以在28的倍数休息的日子时；365÷28≈15（天），而在比7的倍数少一天休息时，甲乙第一次重逢的日子是第二十天，以后每隔28天就共同休息一天，365-20=345（天），345÷28≈12（天）所以甲乙两人共同休息的天数是15+12+1=28（天）例3、一个植树小组原计划在96米长的一段土地上每隔4米栽一棵树，并且已经挖好坑。

后来改为每隔6米栽一棵树。

求重新挖树坑时可以少挖几个？（希望杯考题）【解析】这一段地全长96米，从一端每隔4米挖一个坑，一共要挖树坑：96÷4+1=25（个）后来，改为每隔6米栽一棵树，原来挖的坑有的正好赶在6米一棵的坑位上，可不重新挖。

由于4和6的最小公倍数是12，所以从第一个坑开始，每隔12米的那个坑不必挖。

96米中有8个12米，有8个坑是已挖好的，再加上已挖好的第一个坑，一共有9个坑不必重新挖。

96÷12+1=9（个）答：。

重新挖树坑时可以少挖9个。

考点三：最小公倍数综合例1、有一些画片，如果平均分给3个同学，还余1张；如果平均分给5个同学，还余3张；如果平均分给4个同学，则少2张．这些画片至少有多少张？【解析】由于平均分给3个同学，还余1张则这个数减1是3的倍数；如果平均分给5个同学，还余3张则这个数减3是5的倍数；如果平均分给4个同学，则少2张则这个数加2是4的倍数．因此，我们可从3，4，5的最小公倍数入手来分析一下，3，4，5的最小公倍数为3×4×6×=60．由于是求最小，我们可从减开始，如果平均分给4个同学，则少2张，60-2=58，58÷3=19…1，58÷5=11…3，所以这个数最小为58．解：根据题意可知，这个数减1是3的倍数，减3是5的倍数，加2是4的倍数．3，4，5的最小公倍数为3×4×6×=60．60-2=58，58÷3=19…1，58÷5=11…3，所以这个数最小为58．例2、有一位天文观察家，他观察一颗行星靠近地球的情况是有规律的，只要是年份数除以10余数是5，且被3、5、7、9除时，没有余数，从公元00年到公元2000年时，星球飞近多少次？【解析】因为3、5、7、9的最小公倍数是：5×7×9=315，所以2000以内，3、5、7、9的公倍数有：315、630、945、1260、1575、1890；其中630、1260、1890是10的倍数，不符合题意；所以公元315年、945年、1575年行星靠近地球，即共有3次．答：从公元00年到公元2000年时，星球飞近3次．实战演练➢课堂狙击一、填空题1、30以内3的倍数有（），4的倍数有（），3和4的公倍数有（），最小公倍数是（）。

【解析】（3、6、9、12、15、18、21、24、27、30 ），（4、8、12、16、20、24、28 ），（12、24），（12）2、在12、15、36、64、450、950六个数中，是3的倍数有（），是5的倍数的有（），是2的倍数的有（）；是2和5的公倍数的有（），是2和3的公倍数的有（），是3和5的公倍数的有（）；同时是2、3和5的公倍数的数是（）。

【解析】（12、15、36、450），（15、450、950），（12、36、64、450、950），（450、950），（12、36、450），（15、450），（450）3、用0、3、5、7四个数组成一个同时是2和5的倍数的四位数，最大是（），最小是（）。

【解析】（7530），（3570）4、要使601□既是2的倍数，又是3的倍数，那么□里可以填（）。

【解析】（2、5、8）5、写出每组数的最小公倍数8和1051和35和457和1991和79和1【解析】40，51，20，57，91，96、一个汽车站内有两路公共汽车．甲路汽车每隔4分钟发出一辆，乙路汽车每隔6分钟发出一辆，至少每隔多少分钟，两路汽车会同时发车？【解析】4和6的最小公倍数为12，如果每天两车首发为同一时间的话，则两车至少每隔12分钟会同时发车。

7、一排路灯，原来每两盏之间的距离是30米，现在改用50米，如果起点的一盏路灯不动，至少再隔多少米又有一盏不必移动？【解析】因为30和50的最小公倍数是150，所以至少再隔150米又有一盏不必移动；答：至少再隔150米又有一盏不必移动．8、有一批水果，总数在1000个以内。

如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。

这批水果共有多少个？【解析】根据题意可知，这批水果再增加2个后，每24个装一箱，每28个装一箱或每32个装一箱都能装整箱数，也就是说，只要把这批水果增加2个，就正好是24、28和32的公倍数。

我们可以先求出24、28和32的最小公倍数672，再根据“总数在1000以内”确定水果总数。

[24，28，32]=672672－2=670（个）即：这批水果共有670个。

➢课后反击1、一个数最小的倍数与它最大的因数相等。

（）2、两个质数的最小公倍数是它们的乘积。

（）【解析】√，√二、选择题3、a 是一个质数，则a的倍数有（）个A、1个B、2个C、无数个4、如果b是一个整数，那么2b一定是（）A、合数B、偶数C、素数【解析】C，B三、解答题5、甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。

甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。

有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？【解析】从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会，相隔的天数应该是3、4、5的最小公倍数。

因为3、4、5的最小公倍数是60,所以至少再过60天他们三人又在图书馆相会。

6、两个数的最大公约数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？【解析】9和90或18和45。

7、一块砖长20厘米，宽12厘米，厚6厘米。

要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块？【解析】把若干个长方体叠成正方体，它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。

现在要求长方体砖块最少，它的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数，求出正方体棱长后，再根据正方体与长方体体积之间的关系就能求出长方体砖的块数。

答案：150块8、甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一地点同时同方向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？【解析】甲跑一圈需要600÷3=200秒，乙跑一圈需要600÷4=150秒，丙跑一圈需要600÷2=300秒。

要使三人再次从出发点一齐出发，经过的时间一定是200、150和300的最小公倍数。

200、150和300的最小公倍数是600，所以，经过600秒后三人又同时从出发点出发。

重点回顾1、倍数和最小公倍数的概念，最小公倍数的求法；2、利用最小公倍数解决实际问题。

名师点拨1、解答与公因数或公倍的应用题，关键是先求出最大公因数或最小公倍数，然后按题意解答要求的问题。