高中数学必修4-三角函数的图像与性质

三角函数的图像和性质

课

题 三角函数的图像和性质

学情分析 三角函数的图象与性质是三角函数的重要内容，学生刚刚刚学到，对好多概念还

不很清晰，理解也不够透彻，须要刚好加强巩固。

教学目标与

考点分析 1．驾驭三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用；

2．驾驭三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用．

教学重点 三角函数图象与性质的应用是本节课的重点。

教学方法 导入法、讲授法、归纳总结法

基础梳理

1．“五点法”描图

(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为

(0,0)，)1,2(，(π，0)，)1,23(，(2π，0)．

(2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为

(0,1)，)0,2(，(π，－1)，)0,23(，(2π，1)．

2．三角函数的图象和性质

函数

性质 y＝sin x y＝cos x y＝tan x

定义域 R R {x|x≠kπ＋π2，k∈Z}

图象

值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)

对称中心：

(kπ，0)(k∈Z) 对称轴：x＝kπ(k∈Z)

对称中心：

Zkk)0,2(

无对称轴

对称中心：

Zkk)0,2(

周期 2π 2π π

单调性 单调增区间

Zkkk]22,22[；

单调减区间

Zkkk]232,22[ 单调增区间

[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；

单调减区间

[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 单调增区间

Zkkk)2,2(

奇偶性 奇 偶 奇

两条性质

(1)周期性

函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.

(2)奇偶性

三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos

ωx＋b的形式．

三种方法

求三角函数值域(最值)的方法：

(1)利用sin x、cos x的有界性；

(2)形式困难的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，依据正弦函数单调性写出函数的值域； (3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．

双基自测

1．函数)3cos(xy，x∈R( )．

A．是奇函数

B．是偶函数

C．既不是奇函数也不是偶函数

D．既是奇函数又是偶函数

2．函数)4tan(xy的定义域为( )．

A．},4|{Zkkxx B．},42|{Zkkxx

C．},4|{Zkkxx D．},42|{Zkkxx

3．)4sin(xy的图象的一个对称中心是( )．

A．(－π，0) B．)0,43(

C．)0,23( D．)0,2(

4．函数f(x)＝cos)62(x的最小正周期为________．

考向一 三角函数的周期

【例1】►求下列函数的周期：

(1))23sin(xy；(2))63tan(xy

考向二 三角函数的定义域与值域

(1)求三角函数的定义域事实上是解简洁的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：

①形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；

②形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

【例2】►(1)求函数y＝lg sin 2x＋9－x2的定义域．

(2)求函数y＝cos2x＋sin x)4|(|x的最大值与最小值．

【训练2】 (1)求函数y＝sin x－cos x的定义域；

(2))1cos2lg(sin)4tan(xxxy 的定义域

(3)已知)(xf的定义域为]1,0[，求)(cosxf的定义域.

考向三 三角函数的单调性

求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的单调区间时，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数． 【例3】►求下列函数的单调递增区间．

(1))23cos(xy，(2))324sin(21xy，(3))33tan(xy.

【训练3】 函数f(x)＝sin)32(x的单调减区间为______．

考向四 三角函数的对称性

正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并留意数形结合思想的应用．

【例4】►(1)函数y＝cos)32(x图象的对称轴方程可能是( )．

A．x＝－π6 B．x＝－π12 C．x＝π6 D．x＝π12

(2)若0＜α＜π2，)42sin()(xxg是偶函数，则α的值为________．

【训练4】 (1)函数y＝2sin(3x＋φ))2|(|的一条对称轴为x＝π12，则φ＝________.

(2)函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.

难点突破——利用三角函数的性质求解参数问题

含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以娴熟驾驭三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．

【示例】► 已知函数f(x)＝sin)3(x(ω＞0)的单调递增区间为]12,125[kk(k∈Z)，单调递减区间为]127,12[kk(k∈Z)，则ω的值为________．

练一练：

1、已知函数)33sin()(xxf

（1）推断函数的奇偶性；（2）推断函数的对称性．

2、设函数)0)(2sin()(xxf的图象的一条对称轴是直线8x，则______．

课后练习：

三角函数的图象与性质·练习题

一、选择题

(1)下列各命题中正确的是 [

]

(2)下列四个命题中，正确的是 [ ]

A．函数y=ctgx在整个定义域内是减函数 B．y=sinx和y=cosx在其次象限都是增函数

C．函数y=cos(-x)的单调递减区间是(2kπ-π，2kπ)(k∈Z)

(3)下列命题中，不正确的是 [ ]

D．函数y=sin|x|是周期函数

(4)下列函数中，非奇非偶的函数是 [ ]

(5)给出下列命题：

①函数y=-1-4sinx-sin2x的最大值是2

②函数f(x)=a+bcosx(a∈R且b∈R-)的最大值是a-b

以上命题中正确命题的个数是 [ ] A．1

B．2

C．3

D．4

[ ]

A．sinα＜cosα＜tgα

B．cosα＞tgα＞sinα

C．sinα＞tgα＞cosα

D．tgα＞sinα＞cosα

(7)设x为其次象限角，则必有 [ ]

[ ]

二、填空题

(9)函数y=sinx+sin|x|的值域是______．

的值是______．

(11)设函数f(x)=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位，所得到的图象为C，又设图象C1与C关于原点对称，那么C1所对应的函数是______．

(12)给出下列命题：

①存在实数α，使sinαcosα=1

⑤若α，β是第一象限角，α>β则tgα＞tgβ

其中正确命题的序号是______．

三、解答题

(14)已知函数y=cos2x+asinx-a2+2a+5有最大值2，试求实数a的值．

答案与提示

一、

(1)B (2)D (3)D (4)B (5)D (6)D (7)A (8)D

提示

(2)y=ctgx在(kπ，kπ+π)(k∈Z)内是单调递减函数．

y=cos(-x)=cosx在[2kπ-π，2kπ](k∈Z)上是增函数，而在[2kπ，2kπ+π]上是减函数．

(3)可画出y=sin |x|图象验证它不是周期函数或利用定义证之．

(5)①=-y(sinx+2)2+3 sinx=-1时，ymax=2

②当cosx=-1时，f(x)max=a-b