高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.2 充要条件课时提升作业1 新人教A版选修1-1(2021

高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.2 充要条件课时提升作业1 新人教A版选修1-1

- 1 - 高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.2 充要条件课时提升作业1 新人教A版选修1-1

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高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.2 充要条件课时提升作业1 新人教A版选修1-1

- 2 - 充要条件

(25分钟 60分）

一、选择题（每小题5分,共25分）

1。（2015·安徽高考）设p：1〈x<2,q：2x>1，则p是q成立的 （ )

A。充分不必要条件

B.必要不充分条件

C。充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.由q:2x>20⇒x〉0可知：由p能推出q，但由q不能得出p，所以p是q成立的充分不必要条件。

2。(2015·绵阳高二检测）“a=2”是“直线(a2—a）x+y—1=0和2x+y+1=0互相平行”的 ( )

A。充要条件

B.必要不充分条件

C.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选C。若a=2，则2x+y-1=0和2x+y+1=0互相平行，是充分条件；若直线（a2-a）x+y—1=0和2x+y+1=0互相平行，则a=2或a=-1,不是必要条件，故选C。

【补偿训练】（2015·杭州高二检测)“a=-1"是“l1：x+ay+6=0与l2：(3—a)x+2（a-1)y+6=0平行（l1与l2不重合）”的__________条件（填“充分”“必要"“充要”“既不充分也不必要”）.

【解析】若直线l1：x+ay+6=0与l2:（3—a)x+2（a-1)y+6=0平行，则需满足

1×2(a—1)—a×（3—a)=0，化简整理得a2-a-2=0,解得a=-1或a=2,经验证得当a=—1时两直线平行,当a=2时,两直线重合，故“a=-1”是“l1：x+ay+6=0与l2：(3-a)x+2(a—1）y+6=0平行"的充要条件. 高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.2 充要条件课时提升作业1 新人教A版选修1-1

- 3 - 答案：充要

3.（2015·北京高考）设a,b是非零向量，“a·b=|a|｜b|”是“a∥b”的 （ )

A。充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.由a·b=｜a|｜b｜得cos=1,

【补偿训练】已知a∈R，则“a>2”是“a2〉2a”成立的 ( ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】选A。a〉2可以推出a2>2a，a2>2a可以推出a〉2或a<0，不一定推出a>2，“a〉2"是“a2〉2a”的充分不必要条件.

4。（2015·陕西高考)“sinα=cosα”是“cos 2α=0”的（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D。既不充分也不必要条件

【解析】选A.方法一：由cos2α=0得cos2α-sin2α

=（cosα+sinα）(cosα-sinα)=0，

得sinα=cosα或sinα=-cosα。

所以sinα=cosα⇒cos 2α=0，

即“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件。 高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.2 充要条件课时提升作业1 新人教A版选修1-1

- 4 - 方法二：由sinα=cosα,得sin=0，即α—=kπ，α=kπ+，

k∈Z.

而cos 2α=0，得2α=kπ+,α=+，k∈Z.

所以sinα=cosα⇒cos2α=0，即“sinα=cosα"是

“cos2α=0”的充分不必要条件。

5。（2015·中山高二检测)若m>0且m≠1，n〉0，则“logmn<0”是“(m—1）(n—1）

〈0”的 （ )

A。充分不必要条件 B。必要不充分条件

C.充要条件 D。既不充分也不必要条件

【解析】选C.由logmn〈0知,

当m>1时，0〈n<1,此时(m—1)(n-1）〈0成立,

当0〈m〈1时，n〉1,此时（m-1）(n—1)<0成立，

所以logmn〈0是(m-1）(n-1）<0的充分条件；

反之，因为m>0且m≠1，n〉0，

所以当(m—1)(n—1）<0时，

或

此时总有logmn<0,

所以，logmn<0是（m—1）（n—1）〈0的必要条件.

综上,选C。

二、填空题（每小题5分，共15分）

6.设p,r都是q的充分条件，s是q的充分必要条件，t是s的必要条件,t是r的充分条件，高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.2 充要条件课时提升作业1 新人教A版选修1-1

- 5 - 那么p是t的____________条件，r是t的__________条件.

【解析】由题意可画出图形,如图所示。

由图形可以看出p是t的充分条件，r是t的充要条件.

答案：充分 充要

【补偿训练】(2013·哈尔滨高二检测)设甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件,丁是丙的必要不充分条件,则丁是甲的 （ ）

A。充分不必要条件 B。必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】选B。由题意，甲⇒乙，而乙甲，丙⇔乙,丙⇒丁，而丁⇒/丙，可见甲⇒丁,而丁⇒/甲，故丁是甲的必要不充分条件。

7.直线x+y+m=0与圆（x-1）2+(y-1）2=2相切的充要条件是__________.

【解析】因为直线x+y+m=0与圆（x—1)2+(y—1)2=2相切,所以圆心（1,1）到直线x+y+m=0的距离等于,所以=，即｜m+2|=2解得m=-4或0.

当m=-4或0时，直线与圆相切.

答案:m=-4或0

8。(2015·杭州高二检测）设m∈N*，一元二次方程x2—4x+m=0有整数根的充要条件是m=________.

【解题指南】先将根用m表示，再用整数等有关概念分析验证。 高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.2 充要条件课时提升作业1 新人教A版选修1-1

- 6 - 【解析】x==2±，因为x是整数，即2±为整数,所以为整数，且m≤4,又m∈N＊，取m=1，2，3，4。验证可得m=3，4符合题意,所以m=3，4时可以推出一元二次方程x2-4x+m=0有整数根.

答案：3或4

三、解答题（每小题10分，共20分）

9。(2015·威海高二检测)已知p：-4〈x-a〈4,q:（x—2)（x—3)<0，且q是p的充分而不必要条件，试求a的取值范围.

【解析】设q，p表示的范围为集合A，B，

则A=(2，3），B=(a—4,a+4）.

由于q是p的充分而不必要条件，则有AB，

即或解得-1≤a≤6.

10。求证：关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2。

【证明】充分性：因为m≥2,所以Δ=m2-4≥0。

所以x2+mx+1=0有实根，两根设为x1，x2，

由根与系数的关系，知x1x2=1〉0，

所以x1与x2同号，

又x1+x2=-m≤-2<0,所以x1,x2同为负实根。

必要性:因为x2+mx+1=0有两个负实根x1和x2,

所以故m≥2，

综上,m≥2是x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件.

【补偿训练】(2014·衡水高二检测）求证：关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一根为1的充要高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.2 充要条件课时提升作业1 新人教A版选修1-1

- 7 - 条件是a+b=—（c+d).

【证明】充分性：因为a+b=—(c+d)，

所以a+b+c+d=0。

所以a×13+b×12+c×1+d=0成立,

故x=1是方程ax3+bx2+cx+d=0的一个根.

必要性：关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一个根为1，所以a+b+c+d=0，

所以a+b=-(c+d）成立。综上得证.

（20分钟 40分）

一、选择题（每小题5分，共10分）

1。（2015·四川高考）设a,b都是不等于1的正数,则“3a>3b〉3”是“loga3〈logb3”的 ( ）

A。充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D。既不充分也不必要条件

【解析】选B。由3a>3b〉3，知a〉b〉1，

所以log3a〉log3b>0，

所以<,

即loga3

所以“3a〉3b〉3”是“loga3

但是取a=,b=3也满足loga3〈logb3，不符合a>b〉1,

所以“3a>3b>3”是“loga3〈logb3"的不必要条件。

2.（2015·湖北高考)l1,l2表示空间中的两条直线,若p：l1，l2是异面直线, 高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.2 充要条件课时提升作业1 新人教A版选修1-1

- 8 - q：l1，l2不相交,则 （ )

A。p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B。p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C.p是q的充分必要条件

D。p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

【解析】选A。若p:l1，l2是异面直线，由异面直线的定义知，l1，l2不相交,所以命题q：l1，l2不相交成立,即p是q的充分条件，反过来，若q:l1，l2不相交,则l1,l2可能平行，也可能异面，所以不能推出l1，l2是异面直线,即p不是q的必要条件。

二、填空题（每小题5分,共10分）

3。给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的______条件.

【解析】“直线l与平面α内无数条直线都垂直”中的“无数条直线”是“一组平行直线”时，不能推出线面垂直;由“直线l与平面α垂直”可以推出“直线l与平面α内无数条直线都垂直”。

答案：必要不充分

【延伸探究】本题条件中的两处“垂直"都变为“平行",则结论如何?

【解析】当直线l⊂α时，不能推出l∥α,不是充分条件；由“直线l与平面α平行”可以推出“直线l与平面α内无数条直线都平行”，所以是必要不充分条件。

4.(2015·长沙高二检测)若“0〈x<1”是“（x—a)［x—（a+2)]≤0”的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是__________。

【解析】令A=｛x|0〈x〈1｝，B={x｜(x—a）［x—（a+2）］≤0}={x｜a≤x≤a+2｝，

由题意可得AB,所以

解得—1≤a≤0。