顺义区高一期末数学试卷
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考试时间：120分钟 满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 已知函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$，则$f(x)$的零点个数为：
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个
2. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于直线$x+y=1$的对称点为：
A. (1,2) B. (2,1) C. (1,0) D. (0,1)
3. 若复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面内的几何意义是：
A. 位于实轴上 B. 位于虚轴上 C. 位于单位圆上 D. 位于实轴和虚轴的交点处
4. 下列命题中正确的是：
A. 对于任意的实数$x$，$x^2 \geq 0$
B. 对于任意的实数$x$，$x^3 \geq 0$
C. 对于任意的实数$x$，$x^4 \geq 0$
D. 对于任意的实数$x$，$x^5 \geq 0$
5. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1 + a_5 = 10$，$a_3 +
a_4 = 14$，则数列的公差$d$为：
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 在三角形ABC中，$\angle A = 60^\circ$，$\angle B = 45^\circ$，$\angle
C = 75^\circ$，若$BC = 2$，则$AB$的长度为：
A. $\sqrt{6}$ B. $\sqrt{2}$ C. 2 D. $\sqrt{3}$
7. 函数$f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2}$的定义域为：
A. $\{x | x \neq 2\}$ B. $\{x | x > 2\}$ C. $\{x | x < 2\}$ D. $\{x
| x \neq 0\}$
8. 下列函数中，在定义域内是增函数的是： A. $f(x) = -x^2 + 2x$ B. $f(x) = x^2 - 2x$ C. $f(x) = 2x - x^2$ D.
$f(x) = x^2 + 2x$
9. 若直线$y = kx + b$经过点$(1,3)$和$(2,5)$，则$k$的值为：
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 已知函数$f(x) = \log_2(x-1)$，则$f(x)$的值域为：
A. $(-\infty, 0]$ B. $[0, +\infty)$ C. $[1, +\infty)$ D. $(-\infty,
1)$
二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
11. 若$a$，$b$，$c$是等差数列，且$a + b + c = 9$，$b = 3$，则$c$的值为______。
12. 函数$f(x) = \sqrt{x^2 - 4}$的定义域为______。
13. 若复数$z$满足$|z-1| = |z+1|$，则$z$的实部为______。
14. 在三角形ABC中，$\angle A = 30^\circ$，$\angle B = 75^\circ$，$\angle C = 75^\circ$，则$\sin A : \sin B : \sin C =______$。
15. 若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1 + a_5 = 10$，$a_3 +
a_4 = 14$，则$S_5 =______$。
16. 函数$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1}$的极值点为______。
17. 直线$y = 2x - 3$与圆$x^2 + y^2 = 9$的交点个数是______。
18. 若复数$z = a + bi$（其中$a$，$b$是实数），则$|z|^2 =______$。
19. 在三角形ABC中，$\angle A = 60^\circ$，$\angle B = 45^\circ$，$\angle C = 75^\circ$，若$BC = 2$，则$AC$的长度为______。
20. 若函数$f(x) = \log_2(x-1)$，则$f(f(3)) =______$。
三、解答题（本大题共3小题，共50分）
21. （本小题满分20分）已知函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$，求：
（1）$f(x)$的导数$f'(x)$； （2）$f(x)$的单调区间和极值。
22. （本小题满分20分）在平面直角坐标系中，已知点A(2,3)，点B在直线$y =
x + 1$上，且$AB$的中点为C(3,2)，求点B的坐标。
23. （本小题满分10分）已知函数$f(x) = \log_2(x-1)$，求函数$f(x)$的值域。
