最新人教版初二数学八年级上册 第十五章分式 全单元教案

第十五章 分 式

15.1 分 式

15.1.1 从分数到分式

◇教学目标◇

【知识与技能】

1.了解分式的概念,会判断一个代数式是否是分式;

2.能用分式表示简单问题中数量之间的关系,能解释简单分式的实际背景或几何意义.

【过程与方法】

能通过回忆分数的意义,类比地探索分式的意义及分式的值,渗透数学中的类比,分类等数学思想.

【情感、态度与价值观】

通过探索和合作交流,培养创新意识和合作精神.

◇教学重难点◇

【教学重点】

分式的概念,掌握分式有意义的条件.

【教学难点】 分式有、无意义的条件.

◇教学过程◇

一、情境导入

京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉,全长1462

km,是我国最繁忙的铁路干线之一.

如果货车的速度为a km/h,快速列车的速度是货车的2倍,那么

①货车从北京到上海需要多少时间?

②快速列车从北京到上海需要多少时间?

③已知从北京到上海快速列车比货车少用12小时,你能列出一个方程吗?

二、合作探究

探究点1 分式的概念

典例1 在式子,9x+中,分式的个数有( )

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

[解析] ,9x+这3个式子的分母中含有字母,因此是分式.其他式子分母中均不含有字母,是整式,而不是分式.

[答案] B

探究点2 分式有无意义的条件 典例2 如果分式有意义,那么x的取值范围是( )

A.x≠0 B.x=-1

C.x≠-1 D.x≠1

[解析] 根据分式有意义列不等式求解.由题意得2x+2≠0,解得x≠-1.

[答案] C

分式有意义的条件,应从以下两个方面理解:分式无意义⇔分母为零;分式有意义⇔分母不为零.

变式训练 要使分式有意义,则x的取值范围是( )

A.x= B.x> C.x< D.x≠

[答案] D

探究点3 分式的值

典例3 若分式的值为0,则x的值是( )

A.±3 B.-3 C.3 D.0

[解析] 分式的值等于零即分子等于零且分母不等于零.依题意,得x2-9=0且x+3≠0,解得x=3.

[答案] C

若分式的值为零,需同时具备两个条件:(1)分子为0;(2)分母不为0.这两个条件缺一不可.

典例4 若分式的值为正,则x的取值范围是( )

A.x> B.x>-

C.x≠0 D.x>-且x≠0

[解析] 分式的值为正则需要分子分母符号相同,而分母大于0,因此只要分子大于0即可.则2x+1>0,解得x>-.

[答案] B

【技巧点拨】分式的值为正时,分子分母同号;分式的值为负时,分式的分子分母异号,可列得不等式组,确定字母取值范围.

变式训练 如果分式的值为零,那么x等于( )

A.1 B.-1 C.0 D.±1

[答案] B

三、板书设计

从分数到分式

从分数到分式 ◇教学反思◇

本节的内容是分式的概念,分式的概念是学好全章的基础,是全章中的重点内容之一.借助对分数的认识学习分式的内容,是一种类比的认识方法,本章中常常用类比的方法得到分式的性质,在建立了分式概念之后,必须将分数、分式、整式三个概念之间的联系、区别进一步加以辨析.让学生在原有的知识基础上迅速迁移到新知上来,理解分式的概念.

15.1.2 分式的基本性质

第1课时 分式的基本性质

◇教学目标◇

【知识与技能】

掌握分式的基本性质,会运用分式的基本性质进行相关的分式变形.

【过程与方法】

经历类比分数的基本性质得到分式的基本性质,培养学生类比的推理能力.

【情感、态度与价值观】 通过鼓励学生进行探索和交流,培养学生的创新意识和合作精神.

◇教学重难点◇

【教学重点】

分式的基本性质的理解和掌握.

【教学难点】

分式基本性质的简单运用.

◇教学过程◇

一、情境导入

一列匀速行驶的火车,如果t h行驶s km,速度是多少?2t h行驶2s

km,速度是多少?3t h行驶3s km,速度是多少?nt h行驶ns km,速度是多少?

火车的速度可分别表示为km/h,km/h,km/h,km/h,这些速度相等吗?

二、合作探究

探究点1 分式的基本性质

典例1 根据变化完成式子的变形:.

[解析] 分子分母因式分解,得,分式有意义,则y≠0且x-y≠0,化简得,原式=. 变式训练 如果分式中的x,y都扩大为原来的4倍,那么下列说法中,正确的是( )

A.分式的值不变

B.分式的值扩大为原来的4倍

C.分式的值缩小为原来的

D.分式的值缩小为原来的

[解析] 根据分式的基本性质即可求出答案.原式=.

[答案]

B

变式训练 如果将分式中的字母x与y的值分别扩大为原来的10倍,那么这个分式的值( )

A.扩大为原来的10倍 B.扩大为原来的20倍

C.缩小为原来的 D.不改变

[答案] A

探究点2 分式变形

典例3 不改变分式的值,把分式的分子、分母各项系数都化为整数,得 .

[解析] 要想将分式分母各项系数都化为整数,可将分式分母同乘以10,即. [答案]

变式训练 不改变分式的值,将分式的分子、分母的各项系数都化为整数,则= .

[答案]

三、板书设计

分式的基本性质

分式的基本性质

◇教学反思◇

本节课在分式教学中占有重要的地位,它是约分、通分的依据.通过类比分数的基本性质得到分式的基本性质,提出问题,通过学生思考问题,鼓励学生在独立思考的基础上,积极地参与到对数学问题的讨论中来,勇于发表自己的观点,善于理解他人的见解,在交流中获益.充分体现了学生是学习的主人,培养了学生的语言表达能力和总结知识的能力.

第2课时 分式的约分

◇教学目标◇

【知识与技能】 了解分式约分的意义,能熟练的进行分式约分.

【过程与方法】

通过回忆分数的约分,类比地探索分式的约分,渗透数学中的类比、分类等数学思想.

【情感、态度与价值观】

培养学生的创新意识和合作精神.

◇教学重难点◇

【教学重点】

约分的依据和作用.

【教学难点】

将一个分式化成一个最简分式.

◇教学过程◇

一、情境导入

(1)对分数怎样化简?

(2)约去分子、分母的什么?

(3)“约去”的含义是什么?根据是什么?

(4)化简后的分数叫什么分数? (5)练习化简.

二、合作探究

探究点1 最简分式

典例1 下列分式中:,其中最简分式有( )

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

[解析] 这四个是最简分式.而.

[答案] C

最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式,不能再约分.判断的方法是把分子、分母分解因式,并且观察有无互为相反数的因式,这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分.

变式训练 下列分式是最简分式的是(

)

A. B.

C. D.

[答案] C

探究点2 约分

典例2 化简的结果为( ) A. B.

C. D.

[解析] 找出原式分子分母的公因式,约分即可得到结果.原式=.

[答案] B

【技巧点拨】约分时,首先分子分母因式分解,通过分解因式,把分子分母分解成乘积的形式,找出分子分母的公因式,约去公因式便得答案,约分的结果是最简分式或整式.

变式训练 约分:①;②.

[解析] ①.

②.

三、板书设计

分式的约分

分式的约分

◇教学反思◇

本节内容是分式的约分,要求学生明确约分的依据以及步骤,通过学习理解类比的数学思想,充分发挥小组的作用,通过独立练习后小组互助纠错,讨论逐步探究、归纳约分的步骤,体现学生是学习的主人,让学生把自己的思维过程充分暴露,共同整理得到提高.

第3课时 分式的通分

◇教学目标◇

【知识与技能】

了解分式通分的意义,能熟练地进行分式的通分.

【过程与方法】

经历探索分式的通分的过程,继续理解数学中的类比的数学思想.

【情感、态度与价值观】

通过鼓励加强学生小组间的探索和交流,培养合作意识.

◇教学重难点◇

【教学重点】

通分的依据和作用.

【教学难点】

找最简公分母.

◇教学过程◇

一、情境导入

我们学过分数的通分,你还记得吗? 计算:.

类似的,你能计算吗?

二、合作探究

探究点1 最简公分母

典例1 对分式进行通分,则它们的最简公分母为

.

[解析] 的最简公分母为6a2b3.

[答案] 6a2b3

最简公分母的定义:通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母.通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母,确定最简公分母的方法一定要掌握.

变式训练 将分式进行通分时,分母a2-9可因式分解为 ,分母9-3a可因式分解为 ,因此最简公分母是 .

[解析] ∵a2-9=(a+3)(a-3),9-3a=-3(a-3),∴分式的最简公分母为-3(a+3)·(a-3).

[答案] (a+3)(a-3);-3(a-3);-3(a+3)(a-3)