高中数学必修二第四章 4.2.2-4.2.3公开课教案课件教案课件
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4．2.2 圆与圆的位置关系
4．2.3 直线与圆的方程的应用
[学习目标] 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题.3.体会用代数方法处理几何问题的思想．
[知识链接]
1．判断直线与圆的位置关系的两种方法为代数法、几何法．
2．两圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含．
[预习导引]
1．圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1、r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|
(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
圆C1方程圆C2方程消元,一元二次方程 Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含
2．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”
要点一 与两圆相切有关的问题
例1 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋3y＝0相切于点M(3，－3)的圆的方程．
解 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则a－12＋b2＝r＋1，①
b＋3a－3＝3，②
|a＋3b|2＝r.③
联立①②③解得a＝4，b＝0，r＝2，或a＝0，b＝－43，r＝6，即所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36.
规律方法 两圆相切时常用的性质有：
(1)设两圆的圆心分别为O1、O2，半径分别为r1、r2，
则两圆相切 内切⇔|O1O2|＝|r1－r2|，外切⇔|O1O2|＝r1＋r2.
(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦)．
跟踪演练1 求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程．
解 设所求圆的圆心为P(a，b)，则
a－42＋b＋12＝1.①
(1)若两圆外切，则有a－22＋b＋12＝1＋2＝3，②
联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为
(x－5)2＋(y＋1)2＝1；
(2)若两圆内切，则有a－22＋b＋12＝|2－1|＝1，③
联立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圆的方程为 (x－3)2＋(y＋1)2＝1.
综上所述，所求圆的方程为
(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
要点二 与两圆相交有关的问题
例2 已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．
解 设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组 x2＋y2＋2x－6y＋1＝0， ①x2＋y2－4x＋2y－11＝0 ②的解，
①－②得：3x－4y＋6＝0.
∵A，B两点坐标都满足此方程，
∴3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．
易知圆C1的圆心(－1,3)，半径r1＝3.
又C1到直线AB的距离为d＝|－1×3－4×3＋6|32＋－42＝95.
∴|AB|＝2r21－d2＝232－952＝245.
即两圆的公共弦长为245.
规律方法 1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
2．公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
跟踪演练2 求过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点，且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
解 设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，
即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0.
圆心为－31＋λ，－3λ1＋λ，由题意得
－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，∴λ＝－7. ∴圆的方程是x2＋y2－x＋7y－32＝0.
要点三 直线与圆的方程的应用
例3 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70
km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
解 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，
则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，
港口所对应的点的坐标为(0,4)，
轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，
则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，
即4x＋7y－28＝0.
圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离
d＝|－28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d>r，
∴直线与圆外离，所以轮船不会受到台风的影响．
规律方法 解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面：
跟踪演练3 台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为( ) A．0.5小时 B．1小时 C．1.5小时 D．2小时
答案 B
解析 以台风中心A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则台风中心在直线y＝x上移动，又B(40,0)到y＝x的距离为d＝202，由|BE|＝|BF|＝30知|EF|＝20，即台风中心从E到F时，B城市处于危险区内，时间为t＝20千米20千米/时＝1小时．故选B.
1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为( )
A．外离 B．相交
C．外切 D．内切
答案 B
解析 圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r2＝2；1＝r2－r1<|O1O2|＝5
2．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为( )
A．(1,0)和(0,1) B．(1,0)和(0，－1)
C．(－1,0)和(0，－1) D．(－1,0)和(0,1)
答案 C
解析 由 x2＋y2＝1，x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，
解得 x＝0，y＝－1或 x＝－1，y＝0.
3．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为( )
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
答案 A
解析 直线AB的方程为：4x－4y＋1＝0，因此它的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y＝－(x－1)，即两圆连心线． 4．两圆x2＋y2＝r2与(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)外切，则r的值是( )
A.10 B.5 C．5 D.102
答案 D
解析 由题意可知3－02＋－1－02＝2r，
∴r＝102.
5．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，则直线AB的方程是________．
答案 x＋3y＝0
解析
x2＋y2＝10，x2＋y2－2x－6y＝10⇒2x＋6y＝0，
即x＋3y＝0.
1.判断圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种，其中几何法较简便易行、便于操作．
2．直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：
一、基础达标
1．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
答案 B
解析 两圆圆心坐标分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋1＝17.
∵3－2
2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于( )
A．21 B．19 C．9 D．－11
答案 C 解析 圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.
又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.
又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m，解得m＝9.
3．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( )
A．1.4米 B．3.5米 C．3.6米 D．2米
答案 B
解析 建立如图所示的平面直角坐标系．如图设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)，
半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62把A(0.8，h－3.6)．代入得0.82＋h2＝3.62.
∴h＝40.77≈3.5(米)．
4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．(x－5)2＋(y－7)2＝25
B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y－7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
答案 D
解析 设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则x－52＋y＋72＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则x－52＋y＋72＝4－1，
∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.
5．圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4相切，则m的值为________．
答案 －5，－2，－1,2
解析 圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径长为3，圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径长为2.当C1、C2外切时有－2－m2＋m＋12＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5；当C1、C2内切时有－2－m2＋m＋12＝3－2，即m2＋3m＋2＝0解得m＝－1或m＝－2.
6．两圆x2＋y2－x＋y－2＝0和x2＋y2＝5的公共弦长为
________.
