2020年中考数学复习：《二次函数之面积问题》专题训练(解析版)

《二次函数之面积问题》专题训练

1．如图，抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；

（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B，C重合），则是否

存在一点P，使△BPC的面积最大？若存在，请求出△BPC的最大面积；若不存在，试说明理由．

解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，

∴﹣＝3，解得：a＝﹣

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4

当y＝0时，解得：x＝﹣2或6，

故点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）；

（2）当x＝0时，y＝4，则点C的坐标为（0，4）；

由点B、C的坐标得，设直线BC的解析式为y＝﹣x+4；

假设存在，设点P 的坐标为（x，﹣x2+x+4），

过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E，则点D的坐标为（x，﹣x+4），如图所示．

PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x

∴S△PBC＝S△PDC+S△PDB＝PD×OE+DP×EP＝8×（﹣x2+2x）＝﹣（x﹣4）2+16；

∵﹣1＜0

∴当x＝4时，△PBC的面积最大，最大面积是16．

2．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，6），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当C为抛物线顶点的时候，求△BCE的面积；

（3）是否存在这样的点P，使△BCE的面积有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由．

解：（1）将点A、B的代入抛物线表达式得：，解得：，

故抛物线的表达式为：y＝2x2﹣8x+6；

（2）函数的对称轴为：x＝2，则点C（2，﹣2）， 当x＝2时，y＝x+2＝4，点E（﹣2，0），

则PC＝6，

△BCE的面积＝PC（xB﹣xE）＝6×6＝18；

（3）存在，理由：

设点P（x，x+2），点C（x，2x2﹣8x+6）

S△BCE＝PC（xB﹣xE）＝×（x+2﹣2x2+8x﹣6）×6＝﹣6x2+27x﹣12，

∵﹣6＜0，故S△BCE有最大值，当x＝时，S△BCE最大值为：．

3．如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长；

（3）点F在抛物线上运动，是否存在点F，使△BFC的面积为6，如果存在，求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），

则c＝3，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝2，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）函数的对称轴为：x＝1，则点D（1，4），

则BE＝2，DE＝4，

BD＝＝2；

（3）存在，理由：

△BFC的面积＝×BC×|yF|＝2|yF|＝6，

解得：yF＝±3，

故：﹣x2+2x+3＝±3，

解得：x＝0或2或1，

故点F的坐标为：（0，3）或（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）；

4．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点B（6，0），C（﹣2，0），与y轴交于点A．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，连结PA、PB．设△PAB的面积为S，点P的横坐标为m．

①试求S关于m的函数关系式；

②请说明当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

③过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣6）（x+2）＝a（x2﹣4x﹣12），

故﹣12a＝6，解得：a＝﹣，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6；

（2）①过点P作x轴的垂线交AB于点D，

由点A（0，6）、B的坐标可得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+6，

设点P（m，﹣m2+2m+6），则点D（m，﹣m+6），

S＝×PD×OB＝3PD＝3（﹣m2+2m+6+m﹣6）＝﹣m2+9m＝﹣（m﹣3）2+，

②S＝﹣m2+9m，

∵﹣＜0，故S有最大值，此时m＝3；

③△PDE为等腰直角三角形，

则PE＝PD，

点P（m，﹣m2+2m+6），

函数的对称轴为：x＝2，则点E的横坐标为：4﹣m，

则PE＝|2m﹣4|，

即﹣m2+2m+6+m﹣6＝|2m﹣4|，

解得：m＝4或﹣2或5+或5﹣（舍去﹣2和5+）

故点P的坐标为：（4，6）或（5﹣，﹣5）．

5．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0）、B（3，0）点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）在直线l上确定一点P，使△PAC的周长最小，求出点P的坐标；

（3）若点D是抛物线上一动点，当S△ABC＝3S△ABD时，请直接写出点D的坐标．

解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），

即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）点A的对称点为点B，连接BC交函数对称轴于点P，则点P为所求，

将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：

直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，

当x＝1时，y＝2，

故点P（1，2）；

（3）S△ABC＝3S△ABD，则|yD|＝yC＝1，即yD＝±1，

故﹣x2+2x+3＝±1，

解得：x＝1或1， 故点D的坐标为：（1，1）或（1﹣，1）或（1+，﹣1）或（1﹣，﹣1）．

6．如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）若点Q是对称轴上一动点，当OQ+BQ最小时，求点Q的坐标．

（3）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

解：（1）抛物线经过两点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，则抛物线与x轴另外一个交点坐标为：（1，0），

则抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，

个抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）设点H是点O关于对称轴的对称点，则H（﹣2，0），

连接HB交对称轴于点Q，则点Q为所求，

则点BH的表达式为：y＝x+3，

当x＝﹣1时，y＝，故点Q（﹣1，）；

（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H，

直线AB的表达式为：y＝x+3， 设点P（x，﹣x2﹣2x+3），则点H（x，x+3），

则S△PAB＝PH×OA＝（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝﹣x2﹣x，

∵＜0，∴S△PAB有最大值，此时x＝，

点P（﹣，）．

7．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）设点M是直线l上的一个动点，当点M到点A，点C的距离之和最短时，求点M的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点N，使S△ABN＝S△ABC，若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．

解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），

即﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，

故抛物线的函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3．

（2）点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接BC交函数的对称轴于点M，则点M为所求，

将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得： 直线BC的表达式为：y＝x﹣3，

当x＝1时，y＝﹣3，故点M（1，﹣2）．

（3）S△ABN＝S△ABC，则|yN|＝|yC|＝±4，

则x2﹣2x﹣3＝±4，

解得：x＝1或1±2，

故点N的坐标为：（1，﹣4）或（1+2，4）或（1﹣2，4）．

8．如图，已知直线y＝x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．

（1）求抛物线解析式；

（2）点C（m，0）是x轴上异于A、O点的一点，过点C作x轴的垂线交AB于点D，交抛物线于点E．

①当点E在直线AB上方的抛物线上时，连接AE、BE，求S△ABE的最大值；

②当DE＝AD时，求m的值．

解：（1）直线y＝x+4交x轴于点A，交y轴于点B，则点A、B的坐标分别为：（﹣4，0）、（0，4），

则c＝4，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝﹣3，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣3x+4；

（2）C（m，0），则点E、D的坐标分别为：（m，﹣m2﹣3m+4）、（m，m+4），

则DE＝|（﹣m2﹣3m+4）﹣（m+4）|＝|﹣m2﹣4m|，

①S△ABE＝×ED×OA＝2ED＝﹣2m2﹣8m，

∵﹣2＜0，∴S△ABE有最大值8；

②AD＝AC＝|（m+4）|，