数值方法在材料力学中的应用

２０１０年２月　第２６卷第２期　江苏教育学院学报（自然科学）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉａｎｇｓｕ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）　Ｆｅｂ．．２０１０　Ｖｏ１．２６　Ｎｏ．２　

数值模拟技术在材料力学课程教学中的应用　

李一帆　杨民献　

（河南科技大学建筑工程学院工程力学系，河南洛阳４７１　００３）　

［摘要］　本文在分析材料力学课程教学现状的基础上，提出了将数值模拟方法引入到材料力学教学中来，将　材料力学的教学与数值模拟技术紧密结合在一起，使材料力学教学中难以讲解清楚的现象直观地展现在学生面前，同　时提高了学生力学分析的基本技能和计算机操作与软件应用的能力．　［关键词］　数值模拟；　材料力学；　实验教学　［中图分类号］０３ｌ６　［文献标识码］　Ａ　［文章编号］　１６７１—１６９６（２０１０）０２—００３３—０３　

一、材料力学课程教学现状　

材料力学课程对于力学类专业来说是学科基础　

课，对于机械类、建筑类和环境类等专业的专业来说　也是基础课程，在高级人才培养中具有重要地位．¨　

｜１前为了适应学生就业的需要，各学校相继增开了　

许多课程．对于诸如数学、力学等基础学科的教学课　

时量不断的压缩，有的学校压缩到７２个课时，有的　

学校甚至压缩到６Ｏ多个课时．另外，随着我国高等　

教育体制的深化改革以及招生规模的扩大，各院校　

的教学资源相对不足，使得一般院校由于底子薄、基　础差、经费紧张、实验室建设规模严重滞后于迅速扩　

大的学生规模，远远满足不了教学任务的需要．由于　材料力学实验课所需的实验设备价格昂贵，而且每　

次实验试件的消耗也较大，因此材料力学实验课的　

内容被大部分重要的实验内容删减或无法进行，导　

致学生缺乏动手操作的机会，这样必然严重影响材　

料力学的教学水平，从而影响其他专业课程的学习．　

二、创建数值模拟实验的必要性　

实验是材料力学教学的重要组成部份，它和理　论教学相辅相成．实验是力学理论的基础，理论也需　

高级材料计算技术在材料科学中的应用

材料是人类生产、生活中不可缺少的基础原料之一，材料的性质、应用极其广泛。材料科学是一门综合性学科，从原子、分子、晶体结构等微观角度研究材料性质，到从宏观角度探测材料的物理和化学性质，实施材料制备、表征、设计和应用。而高级材料计算技术则成为材料科学中的一个重要分支，具有广泛的应用前景。

高级材料计算技术的概念

高级材料计算技术是基于计算机软硬件的材料计算与设计技术。它采用原子、分子等微观模型，建立基于材料本征特性的物理、数学模型，利用数值方法求解材料行为、物理性质、电子结构和内部结构等问题。这些计算方法可以通过计算机模拟产生具有高精度和可靠性的计算结果, 以助力材料科学领域的研究。

高级材料计算技术的分类

高级材料计算技术是一个包括多个分支的计算方法。其中比较常见的主要有以下四种：

1. 第一性原理计算

第一性原理计算是通过量子力学基本原理计算材料性质的一种方法，其目的是建立从第一性原理到材料物性之间的关系。这种方法基于施罗丁格方程和密度泛函理论，在材料某个状态下，通过计算原子、分子、晶体的电子结构和动力学特征等，来预测一些材料中物理参数，例如: 劳厄尔因子、电子密度等。

2. 分子动力学模拟

分子动力学模拟是一种基于分子运动的方法。它将材料中的原子和分子视为小圆球，根据牛顿的力学原理，模拟构成材质现实运动情形. 通过这种方法，我们可以探究材料的热力学性质、动力学特性等，研究其物理性质。

3. 蒙特卡罗模拟

蒙特卡罗模拟的原理是基于随机取数法，通过产生符合已知随机分布函数的合适样本来模拟材料微观粒子的运动特性。它可以计算材料的平衡状态，阐述材料变化和材料之间跃迁行为，解决物理、化学问题中的大问题。

4. 有限元方法

有限元方法被广泛应用于模拟材料行为和性能的力学分析。该方法是基于材料的宏观形态展开对其进行试验各成分的数值模拟。应用有限元方法,需要将材料分割成有限的元素，然后计算单个元素的材料力学行为。有限元方法广泛应用于计算材料的弹性、塑性、破坏和温度响应，对材料的功能材料、机械材料等提供了基础实验.

Matlab在材料力学中的应用

MATLAB是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。

经过本学期的学习，我对matlab软件的应用有了初步了解。以下是我对matlab在工业生产中应用所举的一例子。在工业生产中，为研究某种材料应力与应变的关系，假设我们测得一组数据如下表：

应力σ 925 1125 1625 2125 2625 3125 3625

应变ε 0.11 0.16 0.35 0.48 0.61 0.71 0.85

如果假定应力与应变有如下关系（σ为应力值，ε为应变值）：

ε=a+blnσ

试计算a 、b 的值。

MATLAB 的表达形式如下：

x=[925,1125,1625,2125,2625,3125,3625];

y=[0.11,0.16,0.35,0.48,0.61,0.71,0.85];

plot(x,y,'o')

[p,resid1]=polyfit(x,y,2)

hold on xi=linspace(700,3700,3000);

yi=polyval(p,xi);

plot(xi,yi)

x0=[0.1,0.1];

fff=inline('a(1)+a(2)*log(x)','a','x');

[a,resid2]=lsqcurvefit(fff,x0,x,y)

plot(xi,fff(a,xi),'r')

执行程序得到图3，图中蓝色曲线为利用polyfit()函数得到的曲线，红色曲线为利用lsqcurvefit()函数得到的曲线；

数学分析在工程力学中的应用

工程力学作为一门研究物体机械运动和受力情况的学科，与数学分析有着紧密的联系。数学分析为工程力学提供了强大的理论工具和方法，使得我们能够更精确地描述和解决工程中的力学问题。

在工程力学中，静力学是研究物体在静止状态下的受力平衡问题。通过数学分析中的向量运算，我们可以准确地表示力的大小、方向和作用点。例如，对于一个处于平衡状态的物体，其所受的合力为零。利用向量的加法和分解，我们可以将各个力分解到不同的坐标轴上，然后列出相应的平衡方程，从而求解出未知的力的大小和方向。

在材料力学中，数学分析同样发挥着重要作用。比如，研究梁的弯曲问题时，需要用到微积分来描述梁的变形和内力分布。通过对梁的微元进行分析，建立起弯矩、剪力与梁的挠度之间的微分方程，再运用数学分析的方法求解这些方程，就能够得到梁在不同载荷作用下的变形和应力分布情况。

动力学是工程力学的另一个重要分支，主要研究物体的运动与受力之间的关系。数学分析中的导数和积分在动力学中有着广泛的应用。例如，加速度是速度对时间的导数，速度是位移对时间的导数。当已知物体的受力情况时，通过牛顿第二定律可以建立起运动方程，然后利用积分求解出物体的速度和位移随时间的变化规律。 在弹性力学中，数学分析的应用更加复杂和深入。弹性体的应力、应变关系通常用偏微分方程来描述。求解这些偏微分方程需要运用到高等数学中的多种方法，如分离变量法、傅里叶级数法等。通过求解这些方程，我们可以得到弹性体内部的应力和应变分布，从而为设计和分析工程结构提供重要的依据。

数学分析中的数值方法在工程力学中也有着重要的地位。由于实际工程问题往往非常复杂，难以通过解析方法得到精确解，这时就需要采用数值方法进行近似求解。有限元法就是一种常用的数值方法，它将连续的物体离散化为有限个单元，通过建立每个单元的力学方程，然后组合起来得到整个物体的力学模型。在有限元分析中，需要运用线性代数、数值积分等数学知识来求解大规模的方程组。