2023届高考数学复习：精选好题专项(三角函数与解三角形解答题)练习(附答案)

第二篇 专题一 第2讲

一、选择题

1．已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于( A )

A．53 B．23

C．13 D．59

【解析】由3cos 2α－8cos α＝5，

得3(2cos2α－1)－8cosα＝5，

即3cos2α－4cosα－4＝0，

解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去).

又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，

所以sin α＝1－cos2α＝1－－232＝53.

2．若sinα＝－35，且a∈π，3π2，则1－tan α21＋tan α2＝( D )

A．12 B．－12

C．2

D．－2

【解析】sin α＝－35，可得2sin α2cos α2sin2α2＋cos2α2＝－35，

所以2tanα2tan2α2＋1＝－35，

解得tanα2＝－3或tan α2＝－13，

又a∈π，3π2，∴α2∈π2，3π4，

∴tan α2＝－3，

故1－tan α21＋tan α2＝1－(－3)1＋(－3)＝－2.

故选D. 3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b＝2，且2a cos B－a cos C＝c cos A＋a－b，则△ABC面积的最大值是( B )

A．32 B．3

C．2 D．5

【解析】由正弦定理得：2sin A cos B－sin A cos C＝sin C cos A＋sin A－sin B，

所以2sin A cos B＝sin (A＋C)＋sin A－sin B＝sin A，

又由0＜A＜π，可得sin A＞0，

则有cos B＝12，

又0＜B＜π，则sin B＝32，

由余弦定理得：cos B＝a2＋c2－b22ac＝12，

所以a2＋c2＝ac＋4≥2ac，所以ac≤4(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，

则S△ABC＝12ac sin B≤12×4×32＝3，

2024届新高考数学复习：专项（解三角形的综合运用大题）历年好题练习

1．[2023ꞏ新课标Ⅰ卷]已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B.

(1)求sin A；

(2)设AB＝5，求AB边上的高．

2．△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinB sin C.

(1)求A；

(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．

3.[2023ꞏ新课标Ⅱ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为3 ，D为BC的中点，且AD＝1.

(1)若∠ADC＝π3 ，求tan B；

(2)若b2＋c2＝8，求b，c.

4．[2022ꞏ新高考Ⅰ卷，18]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A

1＋sin A

＝sin 2B

1＋cos 2B .

(1)若C＝2π3 ，求B；

(2)求a2＋b2

c2 的最小值．

5.[2023ꞏ全国乙卷(理)]在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.

(1)求sin ∠ABC；

(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．

6．[2023ꞏ河北石家庄模拟]在①cos C

＝21

7 ，②a sin C＝c cos 

A－π

6 ，这两个条件中

任选一个，补充在下面问题中的横线处，并完成解答．

问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝π

3 ，D是边BC上一点，BD

＝5，AD＝7，且________，试判断CD和BD的大小关系________．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sinB sin C.

(1)求A；

(2)若2 a＋b＝2c，求sin C．

8．[2022ꞏ全国乙卷(理)，17]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin

2023届新高考数学二轮复习：专题（三角函数的范围与最值）提分练习

【总结】

一、三角函数()sin()fxAx

中

的大小及取值范围

1、任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍，即()

2T

kkZ；

2、任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍，即()

2T

kkZ；

3、任意对称轴与对称中心之间的距离为1

4周期加半周期的整数倍，即()

42TT

kkZ；

4、()sin()fxAx

在区间(,)ab内单调

2T

ba„且

()

22kabkk



Z剟?

5、()sin()fxAx

在区间(,)ab内不单调(,)ab内至少有一条对称轴，

2akb



剟()kZ

6、()sin()fxAx

在区间(,)ab内没有零点

2T

ba„且

(1)()kabkk

Z剟?

7、()sin()fxAx

在区间(,)ab内有n个零点(1)

()

(1)()kak

k

knbkn











Z„

„．

二、三角形范围与最值问题

1、坐标法：把动点转为为轨迹方程

2、几何法

3、引入角度，将边转化为角的关系

4、最值问题的求解，常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基

本不等式法．要根据已知条件灵活选择方法求解．

【典型例题】

例1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC󰀀中，7

cos

25A

，ABC󰀀

的内切圆的面积为16

，

则边BC长度的最小值为（

）

A．16 B．24 C．25 D．36

例2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin()fxx



，其中0

，||,

24





为()fx

的零点：且()

4fxf







恒成立，()fx在,

1224







区间上有最小值无最大值，则

的最大

值是（

）

A．11 B．13 C．15 D．17

例3．（2023ꞏ高一课时练习）如图，直角ABC

1

高考数学复习专题训练—三角函数与解三角形解答题

1.(2021·山东滨州期中)已知向量a=(cos x,sin x),b=(4√3sin x,4sin x),若f(x)=a·(a+b).

(1)求f(x)的单调递减区间;

(2)求f(x)在区间[0,π2]上的最值.

2.

(2021·北京丰台区模拟)如图,△ABC中,∠B=45°,N是AC边的中点,点M在AB边上,且MN⊥AC,BC=√6,MN=√3.

(1)求∠A;

(2)求BM.

3.

(2021·山东潍坊二模)如图,D为△ABC中BC边上一点,∠B=60°,AB=4,AC=4√3.给出如下三种数值方案:

①AD=√5;②AD=√15;③AD=2√7.

判断上述三种方案所对应的△ABD的个数,并求△ABD唯一时,BD的长.

4.(2021·海南海口月考)在△ABC中,已知a,b,c分别是角A,B,C的对边,bcos C+ccos B=4,B=π4.请再在下列三个条件:①(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3asin B;②b=4√2;③√3csin B=bcos C中,任意选择一个,添加到题目的条件中,求△ABC的面积.

2

5.

(2021·辽宁大连一模)如图,有一底部不可到达的建筑物,A为建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具:测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).

(1)请你利用准备好的工具(可不全使用),设计一种测量建筑物高度AB的方法,并给出测量报告;

注:测量报告中包括你使用的工具,测量方法的文字说明与图形说明,所使用的字母和符号均需要解释说明,并给出你最后的计算公式.

(2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量,并将计算结果汇报给老师,发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差,请你针对误差情况进行说明.

6.(2021·湖北武汉3月质检)在△ABC中,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=2π3,b=√6.