专题三+三角函数与解三角形课件-2024届高考数学二轮复习

解三角形应用举例

主标题：解三角形应用举例

副标题：为学生详细的分析解三角形应用举例的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：距离测量，高度测量，仰角，俯角，方位角，方向角

难度：3

重要程度：5

考点剖析：

能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

命题方向：

1．测量距离问题是高考的常考内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题．

2．高考对此类问题的考查常有以下两个命题角度：

(1)测量问题；

(2)行程问题．

规律总结：

个步骤——解三角形应用题的一般步骤

种情形——解三角形应用题的两种情形

(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．

(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．

个注意点——解三角形应用题应注意的问题

(1)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程．

(2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．

知 识 梳 理

1．距离的测量

背景 可测元素 图形 目标及解法

两点均可到达 a，b，α 求AB：AB＝a2＋b2－2abcos α

只有一点可到达 b，α，β 求AB：(1)α＋β＋B＝π；(2)ABsin β＝bsin B

两点都不可到达 a，α，β，γ，θ 求AB：(1)△ACD中，用正弦定理求AC；

(2)△BCD中，用正弦定理求BC；

(3)△ABC中，用余弦定理求AB

2.高度的测量

背景 可测元素 图形 目标及解法

底部可到达 a，α 求AB：AB＝atan_α

底部不可到达 a，α，β 求AB：(1)在△ACD中用正弦定理求AD；(2)AB＝ADsin_β

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缘份让你看到我在这里 三角函数与解三角形

热点一 解三角形

高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合应用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.

【例1】(满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为a23sin A.

(1)求sin Bsin C；

(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长.

教材探源 本题第(1)问源于教材必修5P20B组1且相似度极高，本题第(2)问在第(1)问的基础上进行拓展，考查正弦定理、余弦定理的应用.

由正弦定理得sin2A＝32sin Bsin Csin2A，4分 (得分点3)

因为sin A≠0，所以sin Bsin C＝23.5分 (得分点4)

(2)由(1)得sin Bsin C＝23，cos Bcos C＝16.

因为A＋B＋C＝π，

所以cos A＝cos(π－B－C)＝－cos(B＋C)

＝sin Bsin C－cos Bcos C＝12，7分 (得分点5)

又A∈(0，π)，所以A＝π3，sin A＝32，cos A＝12，8分 (得分点6)

由余弦定理得a2＝b2＋c2－bc＝9， ①9分 (得分点7)

由正弦定理得b＝asin A·sin B，c＝asin A·sin C， 缘份让你看到我在这里

缘份让你看到我在这里 所以bc＝a2sin2A·sin Bsin C＝8， ②10分 (得分点8)

由①②得：b＋c＝33，11分 (得分点9)

所以a＋b＋c＝3＋33，即△ABC周长为3＋33.12分 (得分点10)

得分要点

2013东北师大附中高考第二轮复习 ：

专题三《三角函数（上）》

【考点梳理】

一、考试内容

1.角的概念的推广，弧度制，0°～360°间的角和任意角的三角函数。同角三角函数的基本关系。诱导公式。已知三角函数的值求角。

2.用单位圆中的线段表示三角函数值。正弦函数的图像和性质。余弦函数的图像和性质。函数y=Asin(ωx+)的图像。正切函数、余切函数的图像和性质。

3.两角和与差的三角函数。二倍角的正弦、余弦、正切。半角的正弦、余弦、正切。三角函数的积化和差与和差化积。

4.余弦定理、正弦定理。利用余弦定理、正弦定理解斜三角形。

5.反正弦函数、反余弦函数、反正切函数与反余切函数。

6.最简单的三角方程的解法。

二、考试要求

1.理解弧度制的意义，并能正确地进行弧度和角度的换算。

2.掌握任意角的三角函数的定义，三角函数的符号，三角函数的性质，同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义。会求函数y= Asin(ωx+)的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角代数式的周期。能运用上述三角公式化简三角函数，求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式。

3.了解正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图像的画法，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y= Asin(ωx+)的简图，并能解决与正弦曲线有关的实际问题。

4.能推导并掌握两角和、两角差、二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式。

5.了解三角函数的积化和差与和差化积公式，不要求记忆。

6.能正确地运用上述公式化简三角函数，求某些角的三角函数值，证明较简单的三

角恒等式以及解决一些简单的实际问题。

7.掌握余弦定理、正弦定理及其推导过程，并能运用它们解斜三角形。

8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。

9.掌握最简单的三角方程的解法。

第2讲 解三角形

1.(2018·全国Ⅱ卷,文7)在△ABC中,cos =,BC=1,AC=5,则AB等于( A ) (A)4 (B) (C) (D)2

解析:因为cos =,

所以cos C=2cos2-1=2×2-1=-.

在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos

C=52+12-2×5×1×-=32,

所以AB==4.故选A.

2.(2018·全国Ⅲ卷,文11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为,则C等于( C ) (A) (B) (C) (D)

解析:因为S=absin C== =abcos C,

所以sin C=cos C,即tan C=1.

因为C∈(0,π),所以C=.故选C.

3.(2017·全国Ⅰ卷,文11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C等于( B ) (A) (B) (C) (D)

解析:△ABC中,A+B+C=π,

sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C).

因为sin B+sin A(sin C-cos C)=0,

所以sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,

sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,

cos Asin C+sin Asin C=0,

因为sin C>0,

所以sin A+cos A=0.

所以tan A=-1,

又因为A∈(0,π),所以A=, 由正弦定理得=, 所以=,sin C=,C为锐角,

所以C=,故选B.

4.(2017·全国Ⅱ卷,文16)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B= .

解析:因为2bcos B=acos C+ccos A,