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合情推理和演绎推理》

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第十七章 推理与证明

★知识网络★

第1讲 合情推理和演绎推理

★知识梳理★

1.推理

根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理.

从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论.

2、合情推理:

根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。

合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：

（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理

（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

3.演绎推理:

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。

★重难点突破★

重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系 推理与证明 推理

证明 合情推理

演绎推理 归纳

类比

直接证明

间接证明 数学归纳法

综合法

分析法

反证法 难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律

重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明

1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性

问题1：观察：715211；5.516.5211； 33193211；….对于任意正实数,ab，试写出使211ab成立的一个条件可以是 ____.

点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22ba

2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征

问题2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A、B两点，则当AB与抛物线的对称轴垂直时，AB的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 ．

点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一直线与椭圆交于A、B两点，则当AB与椭圆的长轴垂直时，AB的长度最短（222||abAB）

3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理

问题3：定义[x]为不超过x的最大整数，则[-2.1]=

点拨：“大前提”是在],(x找最大整数，所以[-2.1]=-3

★热点考点题型探析★

考点1 合情推理

题型1 用归纳推理发现规律

[例1 ] 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。

23135sin75sin15sin020202；23150sin90sin30sin020202；23165sin105sin45sin020202；23180sin120sin60sin020202

【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性”

[解析]猜想：23)60(sinsin)60(sin02202

证明：左边=2002200)60sincos60cos(sinsin)60sincos60cos(sin

=23)cos(sin2322=右边

【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型

（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）

[例2 ] (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂

巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂

巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图 有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以

()fn表示第n幅图的蜂巢总数.则(4)f=_____;()fn=___________.

【解题思路】找出)1()(nfnf的关系式

[解析],1261)3(,61)2(,1)1(fff37181261)4(f

133)1(6181261)(2nnnnf

【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系

【新题导练】

1. (2008佛山二模文、理)对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：

2213 23135 241357

3235 337911 3413151719

根据上述分解规律，则2513579, 若3*()mmN的分解中最小的数是73，则m的值为___ .

[解析]3m的分解中，最小的数依次为3，7，13，…，12mm，…，

由7312mm得9m

2. (2010惠州调研二理)函数()fx由下表定义：

若05a，1()nnafa，0,1,2,n，则2007a 4 ．

[解析]50a ，21a，12a，43a，,54a，nnaa4，432007aa

点评：本题为循环型

3. (2010深圳调研)图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含()fn个“福娃迎迎”，则(5)f ；()(1)fnfn ．（答案用数字或n的解析式表示）

[解析])1(4)1()(,41)5(nnfnff

4. (2008揭阳一模)

设010211()cos,()'(),()'(),,()'()nnfxxfxfxfxfxfxfx,,nN

则2008()fx=（ ）

A. sinx B. cosx C. sinx D. cosx x 2 5 3 1 4

()fx 1 2 3 4 5 [解析]xxfcos)(0，xxfsin)(1，xxfcos)(2，xxfsin)(3，xxfcos)(4，)()(4xfxfnn，2008()fx=xxfcos)(0

题型2 用类比推理猜想新的命题

[例1 ] (2010韶关调研)已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.

【解题思路】从方法的类比入手

[解析]原问题的解法为等面积法，即hrarahS3121321，类比问题的解法应为等体积法， hrSrShV4131431即正四面体的内切球的半径是高41

【名师指引】（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比

（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等

[例2 ] 在ABC中,若090C,则1coscos22BA,用类比的方法,猜想三棱锥的类似性质,并证明你的猜想

【解题思路】考虑两条直角边互相垂直如何类比到空间以及两条直角边与斜边所成的角如何类比到空间

[解析]由平面类比到空间,有如下猜想:“在三棱锥ABCP中，三个侧面PCAPBCPAB,,两两垂直，且与底面所成的角分别为,,，则1coscoscos222”

证明：设P在平面ABC的射影为O，延长CO交AB于M，记hPO

由PBPCPAPC,得PABPC面，从而PMPC，又PMC

PChPCOsincos，PAhcos，PBhcos

hPAPCPCPBPBPAPCPBPAVABCP)cos21cos21cos21(3161

1)coscoscos(hPBPAPC即1coscoscos222

【名师指引】（1）找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积，平面上的角对应空间角等等；（2）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等

【新题导练】

5. (2010深圳二模文)现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为

．

[解析]解法的类比（特殊化），易得两个正方体重叠部分的体积为83a

6. (2010梅州一模)已知ABC的三边长为cba,,，内切圆半径为r（用的面积表示ABCSABC），则ABCS)(21cbar；类比这一结论有：若三棱锥BCDA的内切球半径为R，则三棱锥体积BCDAV

[解析] 1(3ABCABDACDBCDRSSSS

7. (2008届广东省东莞市高三理科数学高考模拟题（二）)

在平面直角坐标系中，直线一般方程为0CByAx，圆心在),(00yx的圆的一般方程为22020)()(ryyxx；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为________________,球心在),,(000zyx的球的一般方程为_______________________.

[解析] 0AxByCzD；2222000()()()xxyyzzr

8. 对于一元二次方程，有以下正确命题：如果系数111,,cba和222,,cba都是非零实数，方程01121cxbxa和02222cxbxa在复数集上的解集分别是A和B，则“212121ccbbaa”是“BA”的充分必要条件．

试对两个一元二次不等式的解集写出类似的结果，并加以证明．

解：（3）如果系数111,,cba和222,,cba都是非零实数，不等式01121cxbxa和02222cxbxa的解集分别是A和B，则“212121ccbbaa”是“BA”的既不充分也不必要条件．可以举反例加以说明．

9.已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，那么这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差．

类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义： ；

已知数列na是等和数列，且21a，公和为5，那么18a的值为____________．这个数列的前n项和nS的计算公式为_____________________________________．

[解析]在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；318a；nS为偶数为奇数nnynn,25,215

考点2 演绎推理

题型:利用“三段论”进行推理

[例1 ] （07启东中学模拟）某校对文明班的评选设计了edcba,,,,五个方面的多元评价指标，

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合情推理与演绎推理复习题

合情推理与演绎推理复习题

合情推理与演绎推理复习题

1.把正整数按一定的规则

排成了如图所示的三角形数表．设aij(i， 1

j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往 2 4

下数第i行、从左往右数第j个数，如 3 5 7

a42＝8.若aij＝2 009，则i与j的和为 6 8 10 12

( ) 9 11 13 15 17

A．105 B．106 14 16 18 20 22 24

C．107 D．108

2．已知：f(x)＝x1－x，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(n>1且n∈N*)，则f3(x)的表达式为____________，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为_______________________．

3．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：

22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7

23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19

根据上述分解规律，则52＝________，若m3(m∈N*)的分解中最小的数是21，则m的值为__________________．

4．已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝32，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝32.

通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题_________________________.

5.下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是 ( )

A．三角形 B．梯形 C．平行四边形 D．矩形

6．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S＝12r(a＋b＋c)，根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V＝_______________________________.

初中数学合情推理与演绎推理的教学

初中数学合情推理与演绎推理的教学

课程名称 初中数学合情推理与演绎推理的教学

学习重点

三天来我每天都抽出大量的时间来学习四位老师关于在初中教学中合情推理与演绎推理讲座受益匪浅，现将重要知识点总结如下：

1、合情推理的概念以及如何培养起学生合情推理的思维习惯。（3小时）

合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括经验和实践的结果），以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。

要培养学生的合情推理能力要做到以下四个方面

首先让学生认真审题（观察具体问题）；其次是让学生展开联想：（可以向自己提出一系列问题：见过与其类似的问题吗？比如图形类似？条件类似？结论类似；再次，通过自身探究或合作交流（如：将问题特殊化，寻找类似结论或类似方法——归纳、类比猜想；最后，让学生自己得到问题结论并加以证明。

2、演绎推理的概念以及如何培养起学生演绎推理的思维习惯。（4小时）

演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。

要培养学生的演绎推理能力要做到以下三个方面

首先要求学生要有扎实的基础，这是我们进行演绎推理必须具备的要素。就数学来讲，要熟练掌握书本知识，要熟练到随口而出的地步。

其次要培养起学生的逻辑推理的能力。让学生掌握推理的基本方法和基本步骤在此基础上逐步引导学生逐步掌握演绎推理。

其次，就是通过具有代表性和典型性的例题让学生自己动手，让他们熟练掌握演绎推理的的步骤和上下连贯性。

学习心得 通过本次培训学习我有如下心得体会：在数学学习中合情推理与演绎推理的是基本的思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。归纳、类比是合情推理常用的思维方法。在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结论的正确性必须通过演绎推理或逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论。

合情推理与演绎推理学案

合情推理与演绎推理学案

实用标准文案

精彩文档 0(1,2,,)iain2.1 合情推理与演绎推理

姓名 班级

【学习目标】

（1）结合已学过的数学实例，了解归纳推理、合情推理的含义，通过生活中的实例和已学过的教学的案例，体会演绎推理的重要性；

（2）能利用归纳、类比进行简单的推理，体会并认识合情推理、演绎推理在数学发现中的作用。掌握推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理。

【教学重点】能利用归纳、类比、演绎的方法进行简单的推理。

【教学难点】用归纳和类比进行推理，作出猜想；分析证明过程中包含的“三段论”形式。

【教学过程】

问题一：归纳推理

一、创设情境

1．哥德巴赫猜想：哥德巴赫观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3,

18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 1000=29+971，, ……猜测：任一不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。

2. 费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F，121215F，2222117F，32321257F，4242165537F的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：任何形如122nF （Nn）的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，发现5252142949672976416700417F不是素数，从而推翻费马猜想.

3. 四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明。

合情推理与演绎推理

合情推理与演绎推理

合情推理与演绎推理知识梳理

1．推理

根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理．推理一般分为合情推理与演绎推理两类．

2．合情推理

归纳推理 类比推理

定义 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理

特点 由部分到整体、由个别到一般的推理 由特殊到特殊的推理

一般

步骤 (1)通过观察个别情况发现某些相同性质；

(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想) (1)找出两类事物之间的相似性或一致性；

(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)

3．演绎推理

(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理；

(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；

(3)模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

“三段论”

的结构 ①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理：对特殊情况做出的判断

“三段论”

的表示 ④大前提——M是P；

⑤小前提——S是M；

⑥结论——S是P

4．重要结论

（1）合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．

（2）合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理．