合情推理与演绎推理

合情推理与演绎推理复习题

1.把正整数按一定的规则

排成了如图所示的三角形数表．设aij(i， 1

j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往 2 4

下数第i行、从左往右数第j个数，如 3 5 7

a42＝8.若aij＝2 009，则i与j的和为 6 8 10 12

( ) 9 11 13 15 17

A．105 B．106 14 16 18 20 22 24

C．107 D．108

2．已知：f(x)＝x1－x，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(n>1且n∈N*)，则f3(x)的表达式为____________，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为_______________________．

3．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：

22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7

23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19

根据上述分解规律，则52＝________，若m3(m∈N*)的分解中最小的数是21，则m的值为__________________．

4．已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝32，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝32.

通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题_________________________.

5.下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是 ( )

A．三角形 B．梯形 C．平行四边形 D．矩形

6．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S＝12r(a＋b＋c)，根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V＝_______________________________.

实用标准文案

精彩文档 0(1,2,,)iain2.1 合情推理与演绎推理

姓名 班级

【学习目标】

（1）结合已学过的数学实例，了解归纳推理、合情推理的含义，通过生活中的实例和已学过的教学的案例，体会演绎推理的重要性；

（2）能利用归纳、类比进行简单的推理，体会并认识合情推理、演绎推理在数学发现中的作用。掌握推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理。

【教学重点】能利用归纳、类比、演绎的方法进行简单的推理。

【教学难点】用归纳和类比进行推理，作出猜想；分析证明过程中包含的“三段论”形式。

【教学过程】

问题一：归纳推理

一、创设情境

1．哥德巴赫猜想：哥德巴赫观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3,

18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 1000=29+971，, ……猜测：任一不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。

2. 费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F，121215F，2222117F，32321257F，4242165537F的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：任何形如122nF （Nn）的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，发现5252142949672976416700417F不是素数，从而推翻费马猜想.

3. 四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明。

让“合情推理”和“演绎推理”比翼齐飞

中图分类号：G688.2文献标识码：A文章编号：ISSN1672-2051（2020）12-004-01

东北师大史宁中教授认为:“数学的核心素养”有三:抽象、推理与模型。"推理贯穿着学生数学学习的始终,是学生思维的确证与表征。数学推理的基本模式有两种:一种是合情推理,另一种是演绎推理。《义务教育数学课程标准(2011年版)》明确指出:“让学生经历观察,实验、猜想、证明等数学活动,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。”可见,在小学阶段的学习中,学生的合情推理和演绎推理是相互交织在一起的,它们相辅相成,相得益彰。

数学推理形式主要有类比、归纳(完全归纳和不完全归纳)和演绎推理等。在小学数学教学中,教师要容忍学生推理过程中的“不严格的清楚”,引导学生逐步从推理合乎情理发展提升为推理合乎逻辑。

一、以“合情推理”为核心，奠定推理能力的基础

“合情推理”有助于发现,它应该是小学生主要的推理方式。著名数学家波利亚说，“数学要教证明，更要教猜想”。由于小学生处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，并且以形象思维为主，因此小学阶段的推理应当以“合情”推理为核心,为学生推理能力的发展奠基。教学中,教师可以引导学生进行归纳性、类比性猜想。

比如教学“比的基本性质”时，教师首先引导学生复习“商不变的规律”“小数的性质”以及“分数的基本性质”，并引导学生沟通它们之间的联系,学生深度体验到它们内在本质的一致性。不仅如此,教师还引导学生复习“除法算式”“分数”“比"之间的联系与区别,这样学生的认知被充分地激活。有学生迅速“类比””,认为既然除法中有商不变的规律、分数中有分数的基本性质,那么比中也一定存在着基本性质,并用他们自己的语言对“比的基本性质”展开了表述。学生通过数学知识本质的类比，形成了合情合理的数学猜想。通过多元验证，证实了他们的猜想。

二、以“演绎推理”为辅助，推动推理能力的发展

1．合情推理

(1)归纳推理

①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．

②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．

(2)类比推理

①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．

②特点：由特殊到特殊的推理．

(3)合情推理

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．

2．演绎推理

(1)演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( × )

(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( √ )

(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( × ) (4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( √ )

(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N*)．( × )

(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( ×

)

1．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于( )

A．28 B．76

C．123 D．199

答案 C