排队论之简单排队系统

5.2.4 无限源的简单排队系统所谓无限源的简单排队系统是指顾客的来源是无限的，输入过程是简单流，服务时间是负指数分布的排队系统。

本节我们讨论一些典型的简单排队系统。

1.//1/M M ∞排队系统//1/M M ∞排队系统是单服务台等待制排队模型,可描述为：假设顾客以Poisson 过程（具有速率λ）到达单服务员服务台，即相继到达时间间隔为独立的指数型随机变量，具有均值1λ，若服务员空闲，则直接接受服务，否则，顾客排队等待，服务完毕则该顾客离开系统，下一个排队中的顾客（若有）接受服务。

相继服务时间假定是独立的指数型随机变量，具有均值μ。

两个M 指的是相继到达的间隔时间和服务时间服从负指数分布，1指的是系统中只有一个服务台，∞指的是容量为无穷大，而且到达过程与服务过程是彼此独立的。

为分析之，我们首先确定极限概率0,1,2,n p n •••=，，为此，假定有无穷多房间，标号为 0,1,2,•••，并假设我们指导某人进入房间n （当有n 个顾客在系统中），则其状态转移框图如图5.8所示。

图5.8 //1/M M ∞排队系统状态转移速率框图由此，我们有状态 离开速率＝进入速率0 01p p λμ=,1n n ≥ ()11n n n p p p λμλμ-++=+解方程组，容易得到00,1,2,ii p p i λμ•••⎛⎫== ⎪⎝⎭，再根据0011()1n n n n p p p λμλμ∞∞=====-∑∑得到：01p λμ=-，()(1),1nn p n λλμμ=-≥ 令/ρλμ=，则ρ称为系统的交通强度（traffic intensity ）。

值得注意的是这里要求1ρ<，因为若1ρ>，则0n p =，且系统中的人数随着时间的推移逐渐增多直至无穷，因此对大多数单服务排队系统，我们都假定1ρ<。

于是，在统计平衡的条件下（1ρ<），平均队长为,1,1j j L jp λρρμλρ∞====<--∑（5-52）由于a λλ=，根据式（5-2）、（5-3）以及上式，可得： 平均逗留时间为：1,1LW ρλμλ==<- （5-53） 平均等待时间为：1[],1()(1)Q W W E S W λρρμμμλμρ=-=-==<-- （5-54）平均等待队长为：22,1()1Q Q L W λρλρμμλρ===<-- （5-55）另外，根据队长分布易知，01ρρ=-也是系统空闲的概率，而ρ正是系统繁忙的概率。

显然，ρ越大，系统越繁忙。

队长()N t 由0变成1的时刻忙期即开始，此后()N t 第一次又变回0时忙期就结束。

由简单流与负指数分布的性质，显见忙期的长度与忙期的起点无关。

可以证明，闲期的期望值为1λ，令忙期平均长度为b ， 则在统计平衡下，有：平均忙期：平均闲期＝(1)ρρ-：，因此平均忙期长度为：111b ρμλρ⎧<⎪-=⎨⎪∞≥⎩，， （5-56）一个忙期中所服务的平均顾客数为1111b ρρμρ⎧<⎪-⋅=⎨⎪∞≥⎩，， （5-57） 不难看出，在忙期内相继输出的间隔时间是独立、同参数(0)μ>的随机变量，即为参数μ的Poisson 流。

但是，当系统空闲后，从开始空闲时刻起，到下一个顾客服务完毕离去时之间的间隔时间显然不与服务时间同分布。

下面简要推导一下//1/M M ∞排队系统的输出过程特征。

令n T +表示第n 个顾客服务完毕的离去时刻，则1n n T T +++-表示离去的间隔时间，1n ≥，于是，对0t ≥，11{}{0}{|0}n n n n n n P T T t P N P T T t N ++++++++->==⋅->=1{1}{|1}n n n n P N P T T t N ++++++≥⋅->≥ 1!ˆ{0}{}n n n P N P S t τ+++==⋅+> 1{1}{},n n P N P S t +++≥⋅>其中1ˆn τ+表示剩余到达间隔时间，与1n S +（服务时间间隔）独立，而n N +表示第n 个离去顾客服务完毕离开系统时的队长。

由于11,lim {0}01,n n P N ρρρ+→∞-<⎧==⎨≥⎩，，而1!ˆ{}n n P S t τ+++>＝t t e e λμμλμλμλ-----（根据两独立随机变量和的分布计算公式计算），所以1{}(1)t t t n n P T T t e e e λμμμλρρμλμλ++---+⎡⎤->=--+⎢⎥--⎣⎦（5-58） 此式表示在统计平衡下，相继输出的间隔时间服从参数(0)λ>的负指数分布。

例5.5 某通信团电话维修站，有1个维修技师，每天工作10小时。

待维修电话的到来服从Poisson 分布，每天平均有90部电话到来，维修时间服从指数分布，平均速率为10μ=部/小时。

试求排队等待维修的平均电话数；等待维修电话的多于2部的概率；如果使等待维修的电话数平均为2部，维修速率应提高多少？解：这是一个//1/M M ∞模型已知9λ=，10μ=，则0.9λρμ== ① 28.11Q L ρρ==- ② 20121()1(1)(1)(1)0.729p p p ρρρρρ-++=------=③ 9929Q L λλμλμμμ==-=---，解得：12.29μ= 所以，接待速率应提高：10 2.29μ-=。

例5.6 假设顾客以Poisson 速率为每12分钟1人到达，服务时间是指数型的且服务速率是每8分钟服务1个人，L 和W 分别是多少？解：因为112λ=（人／分），18μ=（人／分），我们得到： 2L =，24W =因此，系统中顾客的平均个数为2，顾客在系统中平均花费的时间是24分钟。

现假设到达速率提高20％到110λ=，重新计算L 和W 得到 4L =，40W =因此，到达速率20％的增加导致系统中平均顾客数增加了1倍。

事实上，从式（5-52）和式（5-53）可以清楚看到，当λμ趋于1时，λμ的一个微小的增加都会导致L 和W 大的增加。

例5.7 战时，集团军通信团的通信设备以指数速率每小时6台损坏，有一个维修技师，其维修速率是指数速率每小时8台，设备损坏而没有得到及时维修造成的损失是每台设备每小时100次通话，问：由于损坏的设备引起的平均通话损失率是多少？解：该问题是一个//1/M M ∞排队模型，其中6λ=，8μ=。

则 平均通话损失率＝每台设备每小时100次⨯损坏设备的平均数 而损坏设备的平均数就是L3L λμλ==-因此，平均通话损失率等于每小时300次。

2. ///M M c ∞排队系统///M M c ∞排队系统是一种多服务等待制系统,指的是：有(1)c c ≥个服务台独立地并行服务。

当顾客到达时，若有空闲服务台便立刻接受服务，若没有空闲的服务台，则排队等待，直到有空闲的服务台时再接受服务。

假定顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数(0)λ>的负指数分布，每个服务台服务时间独立、服从相同参数(0)μ>的负指数分布，系统容量为无穷大，而且到达与服务是彼此独立的。

设()N t 表示系统中的顾客数，则{()0}N t ≥，是无限状态{0,1,2,}E •••=上的生灭过程，其参数为10,1,i i i i c i c c i μλλμμ•••≤<⎧===⎨≤<∞⎩，，；， （5-59） 其分布{}()()()0,1,2,n p t P N t n n •••===的平稳状态分布记为0,1,2,n p n •••=，，则与无限源生灭过程分析类似，考虑有c 个服务台，对任一状态，在统计平衡下，其平衡方程为：状态 离开速率＝进入速率0 01p p λμ=1 ()1022p p p λμλμ+=+2 ()21323p p p λμλμ+=+。

1c - ()12(1)c c c c p p c p λμλμ--+-=+c ()11c c c c p p c p λμλμ-++=+。

1n c ≥+()11n n n c p p c p λμλμ-++=+。

若记λρμ=，c c λρμ=，则当1c ρ<时，解上述平衡方程组，可得： 00111,!1,!jj j j c p j c j p p j c c c ρρ-⎧≤≤-⎪⎪=⎨⎪≥⎪⋅⎩， ， （5-60） 再由概率分布的要求：01n n p ∞==∑，解得上式中的1100!!()j c c j c p j c c ρρρ--=⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦∑。

由于系统中有c 个服务台，所以顾客到达时需要等待的概率为,111j c c j cc p p p c λρρμ∞====<-∑ （5-61）其中，0!cc p p c ρ=。

式（5-61）称为Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。

在统计平衡下，等待队长Q L 显然有分布{0}{}1,2,cQ j Q c k j P L p P L k p k •••+======∑，， （5-62）所以当c p 时，有01()()!j Q j j c j cj cL j c p j c p c c ρ∞∞-===-=-⋅∑∑0()!ccj cj cp j c c ρρ∞-==-∑021()|!(1)c cj c cx c j c p x p c ρρρρρ∞=='==⋅-∑ （5-63） 又令c L 表示系统平衡时，正在被服务的顾客数，则{}0,1,2,,1{}c k c jj cP L k p k c P L c p•••∞====-==∑，； （5-64）所以正在接受服务的顾客的平均数C L 为：10[]c c c j j j j cL E L jp c p -∞====+∑∑100101(1)!(1)!c j cj c j j p p j c ρρρ-∞===+--∑∑1{1}(1)(1)!cjj c cp p c ρρρ∞=-=-+--∑10{1}(1)(1)!cc j j cc p p p c ρρρ∞-==--+--∑ρ=（5-65）上式表明，平均在忙的服务台的个数与服务台个数c 无关。

平均队长L 为21(1)cQ c c c c L L L p ρρρρ=+=+⋅<-， （5-66）可以验证，c →∞时，即化为系统//M M ∞结果（讨论略），1c =时即化为//1/M M ∞的有关结果。

对多服务台系统，Little’s 公式依然成立，即有： 平均等待时间为2,(1)Q cQ c c L W p ρλρλ=⋅=- （5-67） 而平均逗留时间为1Q LW W μλ=+=（5-68）和//1/M M ∞类似，若令T 表示平衡下相继离去的间隔时间，可以证明其分布函数为{}10t P T t e t λ-≤=-≥，这表明在统计平衡下相继离去的间隔时间服从参数(0)λ>的负指数分布。