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人教版初中数学八年级下册《勾股定理》教案一. 教材分析人教版初中数学八年级下册《勾股定理》是学生在学习了平面几何基本概念和性质、三角形的知识后，进一步研究直角三角形的一个重要性质。
本节课通过探究勾股定理，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，为后续学习勾股定理的运用和解决实际问题打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的观察、操作、推理能力。
但勾股定理的证明较为抽象，需要学生能够克服困难，积极思考，理解并掌握证明过程。
三. 教学目标1.了解勾股定理的定义和证明过程。
2.能够运用勾股定理解决直角三角形的相关问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
4.激发学生对数学的兴趣，培养合作探究的精神。
四. 教学重难点1.教学重点：勾股定理的定义和证明过程。
2.教学难点：勾股定理的证明过程和运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作探究法、讲解法、实践操作法等，引导学生主动参与，积极思考，培养学生的创新精神和实践能力。
六. 教学准备1.教具：直角三角形、尺子、三角板、多媒体设备。
2.学具：学生用书、练习册、文具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示古代数学家赵爽的《勾股定理图》，引导学生观察、思考，提出问题：“为什么说这是一个直角三角形？它的两条直角边的边长是多少？”2.呈现（10分钟）教师引导学生观察、操作，发现直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
教师呈现勾股定理的表述：“在一个直角三角形中，斜边和直角边的平方和等于斜边的平方。
”3.操练（10分钟）教师学生进行小组合作，运用勾股定理计算直角三角形的边长。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）教师通过多媒体展示一系列直角三角形的问题，引导学生运用勾股定理解决问题。
学生独立思考，教师选取部分学生进行讲解。
5.拓展（10分钟）教师引导学生思考：“勾股定理在其他领域的应用有哪些？”学生分组讨论，分享自己的看法。
初中数学教学案例18.1勾股定理（第一课时）教学目标知识技能数学思考解决问题情感态度教学重点教学难点教具教学过程教学流程教师活动学生活动设计意图情景引人[活动1]讲述资料故事提出问题1：数学家大会为什么用该图做会徽呢?它有什么特殊的含义吗？教师作补充说明：这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”．问题2：你听说过“勾股定理”吗？教师关注：学生对“赵爽弦图”及勾股定理的历史是否感兴趣.引人课题18.1《勾股定理》（板书课题）[活动2]学生观察图片发表见解．生1.会徽是很具有代表性的东西，比如2008年体育奥运会的会徽是五环旗.生2.我在其他的资料里见过这个图案.生3.课本面上也有这样的图案.（同学们积极踊跃的发言,学习积极性很高）学生当听到是“赵爽弦图”时，好奇之心更加强烈，学习热情很高.对“勾股定理”表示不从现实生活中提出“赵爽弦图”，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生学习热情，同时为探索勾股定理提供背景材料．探究新知A BC你知道他是通过什么途径找到怎样的三边关系的吗？问题1.你能发现S A、S B 、S C之间的关系吗？问题2.等腰直角三角形的三边a、b、c之间有什么关系？出示幻灯片3169254913否也有这样的性质呢？在本次活动中，教师重点关注：(1)教师参与小组活动，指导、倾听学生交流．针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形C的面积.理解观察图片后结合课本上的内容，学生很快就发现这一关系式SA+ SB=SCa2 + b2 = c2纷纷举手回答，并总结：等腰直角三角形的两条的平方问题是思维的起点，通过问题激发学生好奇心和主动学习的欲望．为学生提供参与数学活动的时间和组内交流(2)幻灯片展示答案(3)引导学生将三个正方形面积的关系转化为直角三角形三条边之间的关系，并用自己的语言叙述出来：[活动3] 实践验证早在公元3世纪，我国数学家赵爽就用赵爽弦图验证了“勾股定理”幻灯片展示赵爽弦图教师详细介绍赵爽弦图的拼割过程.问题：.你能利用手中的材料通过其他的拼法验证勾股定理吗？试试看，你能拼几种在独立探究的基础上，学生分组（前后位四人一组）合作交流.用不同的方法得出大正方形C的面积生1：把C“补” 成边长为7的正方形面积的一半.生2：将正方形C分“割”成若干个直角边为整数的三角形当答案不同、意见有分歧时，所有同学都在积极思考，大胆发言，各抒己见，直到探求出正确结果.学生总结命题：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方空间，让学生积极动手，发挥学生的主体作用，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高．，得出猜想实践验证在本次活动中，教师重点关注：（1）学生能否进行合理的拼图．对不同层次的学生有针对性地给予分析、帮助；（2）学生能否用语言准确的表达自己的观点．勾股定理（毕达哥拉斯定理）（板书）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
新人教版八年级下册数学第十七章 勾股定理教案勾股定理（一）一、教学目标1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
二、教学重点、难点1．重点：勾股定理的内容及证明。
2．难点：勾股定理的证明。
三、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。
我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。
这个事实可以说明勾股定理的重大意义。
尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ， 那么 。
四、合作探究：方法1：已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正AB4×21ab ＋（b －a ）2=c 2，化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。
这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
方法2:已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=4×21ab ＋c 2 右边S=（a+b ）2 左边和右边面积相等，即4×21ab ＋c 2=（a+b ）2 化简可证。
五、课堂小结六、作业 P28页习题第1题七、教学反思勾股定理（二）一、教学目标1．会用勾股定理进行简单的计算。
2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。
二、重点、难点1．重点：勾股定理的简单计算。
2．难点：勾股定理的灵活运用。
三、课堂引入复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。
学习勾股定理重在应用。
四、合作探究问题（1）在长方形ABCD 中AB 、BC 、AC 大小关系？（2）一个门框的尺寸如图1所示．①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？ ②若薄木板长3米，宽1.5米呢？③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？b b b cccc a a a a bb b b a ac c a C2例：如图2，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．①求梯子的底端B距墙角O多少米？②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C.算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．O五、课堂小结六、作业 P28页习题第2、5题七、教学反思勾股定理（三）一、教学目标1．会用勾股定理解决较综合的问题。
2．树立数形结合的思想。
二、重点、难点1．重点：勾股定理的综合应用。
2．难点：勾股定理的综合应用。
三、课堂引入复习勾股定理的内容。
本节课探究勾股定理的综合应用。
四、合作探究：分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。
如图，已知OA=OB，(1)说出数轴上点A所表示的数。
图17.2-2（2）在数轴上作出8对应的点？AO 1B变式训练：在数轴上画出表示22,13--的点。
五、课堂小结六、作业 P28页习题第6题七、教学反思勾股定理的逆定理（一）一、教学目标1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
二、重点、难点1．重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。
2．难点：勾股定理的逆定理的证明。
三、课堂引入创设情境：⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。
四、合作交流：1、如图17.2-2，若△ABC 的三边长a 、b 、c 满足222c b a=+，试证明△ABC 是直角三角形，请简要地写出证明过程．分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。
⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。
⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。
⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A 1B 1=c ，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。
⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。
充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。
证明略。
2、.此定理与勾股定理之间有怎样的关系？ （1）什么叫互为逆命题。
（2）什么叫互为逆定理。
（3）任何一个命题都有 _____，但任何一个定理未必都有 __ 3.说出下列命题的逆命题。
这些命题的逆命题成立吗？ （1） 两直线平行，内错角相等；（2） 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； （3） 全等三角形的对应角相等；（4） 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。
⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。
解略。
例1：判断由线段a 、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形： （1）17,8,15===c b a ； （2）15,14,13===c b a ． （3）25,24,7===c b a ； （4）5.2,2,5.1===c b a ；五、课堂小结六、作业 P34页习题第1题七、教学反思勾股定理的逆定理（二）一、教学目标1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
二、重点、难点1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
三、课堂引入创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。
四、自学展示:已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。
求：四边形ABCD 的面积。
归纳：求不规则图形的面积时，要把不规则图形分析：⑴作DE ∥AB ，连结BD ，则可以证明△ABD ≌△EDB （ASA ）；⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；⑶在△DEC 中，3、4、5勾股数，△DEC 为直角三角形，DE ⊥BC ；⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。
五、合作探究例2 “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 分析：⑴了解方位角，及方位名词；⑵依题意画出图形；⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24， QR=30；⑷因为242+182=302，PQ 2+PR 2=QR 2，根据勾股定理 的逆定理，知∠QPR=90°；⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。
六、课堂小结让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。
七、作业 P34页习题第3题八、教学反思EAB CD E勾股定理复习（一）教学目标1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.2.勾股定理的应用.3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形. 重点：掌握勾股定理及其逆定理.难点：理解勾股定理及其逆定理的应用. 一、复习回顾在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：1.勾股定理：(1)直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有： 这就是勾股定理．(2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据．22222222,,b a c a c b b c a +=-=-=,2222,a c b b c a -=-=．勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理． 2.勾股定理逆定理“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a 2+b 2=c 2)，先构造一个直角边为a,b 的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS ”证明两个三角形全等，证明定理成立. 3.勾股定理的作用：(1）已知直角三角形的两边，求第三边；(2）在数轴上作出表示n （n 为正整数）的点．勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．(3)三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，若222c b a =+，则三角形是直角三角形；若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；若2<+c b a 22，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．二、合作交流：例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?例2：如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．例3：.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长例4：.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E21EDCBA四、学习检测：1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A ．7，24，25B ．321，421，521 C ．3，4，5 D ．4，721，821 2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A ．1倍 B ．2倍 C ．3倍 D ．4倍 3.直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为（ ）A ．6cmB ．8．5cmC ．1330cmD ．1360cm4.在△ABC 中，三条边的长分别为a ，b ，c ，a ＝n 2－1，b ＝2n ，c ＝n 2+1(n ＞1，且n 为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角5．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）A ．50cmB ．100cmC ．140cmD ．80cm6．等腰△ABC 的面积为12cm 2，底上的高AD ＝3cm ，则它的周长为 ． 7．等边△ABC 的高为3cm ，以AB 为边的正方形面积为 ．8．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm ，则它的面积是 。
