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高中数学-三角函数公式总结一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，正弦：ry =αsin 余弦：rx =αcos 正切：xy=αtan 二、同角三角函数的基本关系式商数关系：αααcos sin tan =，平方关系：1cos sin 22=+αα三、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。
⑵απ+2、απ-2、απ+23、απ-23的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。
公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2k π＋α）＝sin α（k ∈Z ）cos （2k π＋α）＝cos α（k ∈Z ）tan （2k π＋α）＝tan α（k ∈Z ）公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin （π＋α）＝－sin αcos （π＋α）＝－cos αtan （π＋α）＝tan α公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin （－α）＝－sin αcos （－α）＝cos αtan （－α）＝－tan α公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin （π－α）＝sin αcos （π－α）＝－cos αtan （π－α）＝－tan α公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin （2π－α）＝－sin αcos （2π－α）＝cos αtan （2π－α）＝－tan α微生筑梦公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin （π/2＋α）＝cos αsin （π/2－α）＝cos αcos （π/2＋α）＝－sin αcos （π/2－α）＝sin αtan （π/2＋α）＝－cot αtan （π/2－α）＝cot αsin （3π/2＋α）＝－cos αsin （3π/2－α）＝－cos αcos （3π/2＋α）＝sin αcos （3π/2－α）＝－sin αtan （3π/2＋α）＝－cot αtan （3π/2－α）＝cot α四、和角公式和差角公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-五、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -=六、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a 其中：角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，22sin b a b +=ϕ，22cos b a a +=ϕ，ab=ϕtan 。
1.2.2同角三角函数的基本关系三维目标：一. 知识与技能：理解并掌握同角三角函数的基本关系式平方关系：1cos sin 22=+αα；商数关系：αααcos sin tan =，准确使用同角三角函数的基本关系式实行三角函数的求值；二. 过程与方法：通过提出问题，从而对特殊角的三角函数值的计算观察，找出规律，并利用几何画板软件用大量的实验数据说明这个规律的普遍存有性，进而尝试用三角函数的定义给出证明，最终得到同角三角函数的两个基本关系式；这表达了由特殊到一般的认知规律，由感性理解升华到理性思考的数学过程；完全符合提出问题、分析问题、解决问题的科学方法的要求；三. 情感、态度与价值观：通过本节内容的学习探究，让学生体会到发现数学、感知数学、研究数学、利用数学并处理数学问题的愉悦；培养学生科学地研究问题的习惯，融会贯通前后数学知识的水平，进一步挖掘知识、感受数学的内在美.教学重点：同角三角函数的基本关系式的发现、推导及其应用。
教学难点：已知一个三角函数值（但不知角的范围）求出其它三角函数值（结果不惟一时的分类讨论）。
教学过程：一、知识回顾：1．任意角的三角函数的定义： 比值ry 叫做α的正弦, 记作：r y =αsin ；比值r x叫做α的余弦, 记作：r x=αcos ； 比值x y叫做α的正切, 记作：x y=αtan 。
2．已知角的象限确定三角函数值的符号及三角函数的定义域.二、问题情境：当角α确定后，α的正弦、余弦、正切值也随之确定了，他们之间究竟有何关系呢？三、学生活动：1.求值：（1）22sin 30cos 30+= （2）22sin 45cos 45+=（3）22sin 60cos 60+= （4）22sin 90cos 90+=你能猜想出αsin 与αcos 之间的关系吗？2.求值：（1） sin 6cos 6ππ= ,tan 6π= （2）sin 4cos 4ππ= ，tan 4π=（3） sin 3cos 3ππ= ，tan 3π= （4）3sin43cos 4ππ= ，3tan 4π=你能猜想出sin α，cos α与αtan 之间的关系吗？四、数学建构：1.猜想：1cos sin 22=+αα，α=ααtan cos sin 。
1.2.2 同角三角函数的基本关系学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.知识点 同角三角函数的基本关系式 思考1 计算下列式子的值： (1)sin 230°＋cos 230°； (2)sin 245°＋cos 245°； (3)sin 290°＋cos 290°.由此你能得出什么结论？尝试证明它. 答案 3个式子的值均为1.由此可猜想：对于任意角α，有sin 2α＋cos 2α＝1，下面用三角函数的定义证明：设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则由三角函数的定义，得sin α＝y ，cos α＝x .∴sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2＝|OP |2＝1.思考2 由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？答案 ∵tan α＝y x ，∴tan α＝sin αcos α.梳理 (1)同角三角函数的基本关系式 ①平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.②商数关系：tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π2，k ∈Z ).(2)同角三角函数基本关系式的变形 ①sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式 sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α. ②tan α＝sin αcos α的变形公式sin α＝cos αtan α；cos α＝sin αtan α.类型一 利用同角三角函数的关系式求值命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值例1 若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值为( )A.125B.－125C.512D.－512 答案 D解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D.反思与感悟 同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负.跟踪训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.解 由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α.①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值 例2 已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值.解 ∵cos α＝－817<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角. (1)当α是第二象限角时，则 sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.(2)当α是第三象限角时，则sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.反思与感悟 利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解. 跟踪训练2 已知cos α＝－513，求13sin α＋5tan α的值.解 方法一 ∵cos α＝－513<0， ∴α是第二或第三象限角. (1)若α是第二象限角， 则sin α＝1－cos 2α ＝1－(－513)2＝1213，tan α＝sin αcos α＝1213－513＝－125，故13sin α＋5tan α＝13×1213＋5×(－125)＝0.(2)若α是第三象限角， 则sin α＝－1－cos 2α＝－ 1－(－513)2＝－1213，tan α＝sin αcos α＝－1213－513＝125，故13sin α＋5tan α＝13×(－1213)＋5×125＝0.综上可知，13sin α＋5tan α＝0. 方法二 ∵tan α＝sin αcos α，∴13sin α＋5tan α＝13sin α(1＋513·1cos α)＝13sin α[1＋513×(－135)]＝0.类型二 利用同角三角函数关系化简 例3 已知α是第三象限角，化简： 1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.解 原式＝ (1＋sin α)(1＋sin α)(1＋sin α)(1－sin α)－(1－sin α)(1－sin α)(1＋sin α)(1－sin α)＝(1＋sin α)21－sin 2α－ (1－sin α)21－sin 2α＝1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|.。
1.2.2 同角三角函数的基本关系问题导学一、利用三角函数基本关系式求值活动与探究1已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．迁移与应用已知cos α＝1213-，α∈(π，2π)，则tan α＝( )A．125B．512C．512- D．125-同角三角函数的基本关系式揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求是一解还是两解，同时应体会方程思想的运用．活动与探究2已知tan α＝－2，求下列各式的值：(1)4sin2cos5cos3sinαααα-+；(2)14sin2α＋25cos2α.迁移与应用已知α是第三象限角，4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝1，则tan α＝( )A．－1或2 B．12C．1 D．2方法一利用已知条件将sin α全部化为cos α，从而得到各式的值，可以说是运用了“减少变量”的思想．而方法二是将关于sin α，cos α的齐次式(所谓关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次)分子分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，根据已知条件再解决所求问题就简单得多．同时，要注意“1”的代换，如“1＝sin2α＋cos2α”“1＝πtan4”等．二、三角函数式的化简活动与探究3化简下列各式：(2)sin2αtan α＋2sin αcos α＋2costanαα.迁移与应用已知tan θ＋1tanθ＝3，求tan2θ＋(sin θ－cos θ)2＋21tanθ的值．化简三角函数式常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．三、三角恒等式的证明 活动与探究4求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2. 迁移与应用求证：2212sin 2cos 21tan 2cos 2sin 21tan 2x x xx x x--=-+.证明三角恒等式的原则是由繁到简，常用的方法有： (1)从一边开始，证明它等于另一边； (2)证明左右两边都等于同一个式子；(3)变更论证．采用左右相减、化除为乘等方法，转化成与原结论等价的命题形式． 当堂检测1．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于( ) A ．513 B ．513- C ．512 D ．512-2．已知tan α＝12-，则222sin cos sin cos αααα-的值是( )A ．43B ．3C ．－43D ．－3 3．若角α的值等于( ) A ．2 B ．－2 C ． 2 4．已知α∈3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭，tan α＝2，则cos α＝__________. 5．若sin α＝5，则sin 4α－cos 4α＝__________.课前预习导学 【预习导引】sin 2α＋cos 2α＝1 sin αcos α＝tan α(cos α≠0)预习交流 提示：除了掌握两个基本公式外，还要熟练掌握其等价形式： sin 2α＋cos 2α＝1⇔sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α；tan α＝sin αcos α⇔sin α＝tan α·cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z ； (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α． 课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：解答本题可由商数关系和平方关系，构建sin α，cos α的方程组求解．解：由tan α＝sin αcos α＝43得sin α＝43cos α．①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925．∵α在第三象限，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45．迁移与应用 1．B 解析：∵cos α＝－1213＜0，α∈(π，2π)，则α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2， ∴sin α＜0．又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＝1－cos 2α＝25169．∴sin α＝－513．∴tan α＝sin αcos α＝512．活动与探究2 思路分析：解答本题可结合商数关系和平方关系，将正切化为弦函数求解或将弦函数化为正切函数求解．解：方法一：由tan α＝－2，得sin α＝－2cos α． (1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝－8cos α－2cos α5cos α－6cos α＝10． (2)14sin 2α＋25cos 2α＝14sin 2α＋25cos 2αsin 2α＋cos 2α＝cos 2α＋25cos 2α4cos 2α＋cos 2α＝725． 方法二：∵tan α＝－2，∴cos α≠0． (1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝4tan α－25＋3tan α ＝4×(－2)－25＋3×(－2)＝10． (2)14sin 2α＋25cos 2α＝14sin 2α＋25cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝14tan 2α＋25tan 2α＋1＝725． 迁移与应用 D 解析：由4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝1可得4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1． 分子，分母同时除以cos 2α，得4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝1，解得tan α＝－1或tan α＝2．又∵α是第三象限角，∴tan α＞0．∴tan α＝2．活动与探究3 思路分析：(1)中含有根号，运用弦函数平方关系将被开方式化为平方形式去根号；(2)观察式子中有正切，从而利用切化弦的思路进行变形．解：(1)原式＝sin 2130°－2sin 130°cos 130°＋cos 2130°sin 130°＋cos 2130°＝|sin 130°－cos 130°|sin 130°＋|cos 130°|＝sin 130°－cos 130°sin 130°－cos 130°＝1． (2)原式＝sin 2α·sin αcos α＋2sin αcos α＋cos 2α·cos αsin α＝sin 4α＋2sin 2αcos 2α＋cos 4αcos αsin α＝(sin 2α＋cos 2α)2sin αcos α＝1sin αcos α．迁移与应用 解：由已知得sin θcos θ＋cos θsin θ＝3，∴sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝3．∴sin θcos θ＝13． ∴原式＝⎝⎛⎭⎪⎫tan θ＋1tan θ2－2＋(1－2sin θcos θ)＝32－2＋1－23＝223． 活动与探究4 思路分析：将右边展开，利用平方关系，提出公因式整理证明．证明：右边＝[(1－sin α)＋cos α]2＝(1－sin α)2＋cos 2α＋2cos α(1－sin α)＝1－2sin α＋sin 2α＋cos 2α＋2cos α(1－sin α) ＝2－2sin α＋2cos α(1－sin α) ＝2(1－sin α)(1＋cos α)＝左边， 所以原式成立． 迁移与应用 证明：左边＝cos 22x ＋sin 22x －2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x＝(cos 2x －sin 2x )2(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x ) ＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x ＝右边， 所以原式成立． 【当堂检测】1．B 解析：∵α是第四象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝－513．2．A 解析：原式＝2tan αtan 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－1＝43．3．C 解析：∵α是第二象限角， ∴sin α＞0，cos α＜0．∴sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α＝sin α|cos α|＋|sin α|cos α ＝－tan α＋tan α＝0．4．－55 解析：∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2， ∴cos α＜0，sin αcos α＝2．又sin 2α＋cos 2α＝1，∴5cos 2α＝1，∴cos α＝－55．5．－35 解析：sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35．。
