高一数学寒假作业：指数与指数幂的运算二-2019年精选教育文档

2.1.1指数与指数幂 的运算
主讲老师：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
a a a
m n
mn
( m , n Z ),
( m , n Z ),
(a ) a
m n
Hale Waihona Puke mn(ab ) a b ( n Z ).
n n n
复习引入
2. 根式的运算性质：
4. 例题与练习: 例3 计算下列各式(式中字母都是正数)
(1) ( 2a b )( 6a b ) ( 3a b ); ( 2) ( m n ) ; ( 3) ( 25 125 ) 5 ; 2 a ( 4) . 3 2 a a
3 4 1 4 3 8 8
2 3
1 2
1 2
1 3
n n
复习引入
2. 根式的运算性质： ① 当n为奇数时， n a n a;
a ( a 0) 当n为偶数时， a | a | a (a 0).
n n
② 当n为任意正整数时，
复习引入
2. 根式的运算性质： ① 当n为奇数时， n a n a;
a ( a 0) 当n为偶数时， a | a | a (a 0).
m n
a a
n
m
(a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．
注意两点: (1)分数指数幂是根式的另一种表示形式； (2)根式与分数指数幂可以进行互化.
2. 对正数的负分数指数幂和0的分数指数 幂的规定：
2. 对正数的负分数指数幂和0的分数指数 幂的规定：
(1) a
m n

1 a

(
2)(m
1 4
n
3 8
)8
.
题1、计算： 3 2 5 12 3 2 2
n an ？a
a10 (a 0)
4
a12 (a 0)
分数指数幂 例：
思考：根指数不能整除被开方数的指数时还 能写成分数指数幂的形式吗？
分数指数幂
• 我们规定正数的正分数指数幂的意义是：
m
a n n am (a 0, m, n N *, 且 n 1)
• 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意 义相仿，我们规定：
①ar·as =ar+s（a>0,r,s∈Q）； ②(ar)s =ars （a>0,r,s∈Q）； ③(ab)r =ar br （a>0, b>0,r∈Q）；
无理数指数幂：无 理理 数数 ）指 是数 一幂 个确aα（定a的>0实，数α是! 无
52
52
例2、求值：8
2 3
;
25
1 2
;
1 2
5
立方根的概念： 如果一个数的立方等于a，那么这个 数就叫做a的立方根。
即：若x3=a，则x叫做a的立方根
立方根的表示：3 a （为任意有理数）
平方根与立方根的比较：
平方根
两个平方根， 正 数 他们互为相反
数
0
0
负数
没有
立方根
一个正的 立方根
0 一个负的 立方根
根式
• 根式的定义：一般地，如果xn=a，那么x叫 做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*。
;
16 81
3 4
2
变式：(8)3 ?
2.1.1 指数与指数幂的运算（二）

山东小伙子小崔动作很是麻利，他和四川媳妇一起停下别的活儿，专门对我的自行车进行了一次全面的“大修”，换了车闸，将前后两个外胎全部进行了更新，还在链条上抹上了润滑油。ag客户端 我是个急性子，说走就走！
我骑自行车沿着毛纺路、银川路、西八家户路来到了河滩路。我从河滩路自行车道正式开始向南行使，到了燕儿窝，中途休息了两次，所带的茶水就已经喝掉了三分之二。
事实上，骑自行车过了收费站，略有点蜿蜒的上南山的公路哪有下坡，全是上坡路。骑车爬了几个看起来不太明显的坡，体力消耗很大，感觉到口渴，无奈所带的两杯茶水在没有到收费站前就被我 喝完了。
骑车在路上，只听得身边并不宽阔的公路上过往小车的嗖嗖声。
我心里想：车过收费站，就都成下坡路了，也就没有必要喝这么多水了。这时，还没到不远处的高架桥，我就迫不及待地骑自行车上了河滩路南侧的通往南疆的公路。
让我没有想到的是，车到了收费站，这到南山的路程才走了一半。以前去南山都是坐班车，总感觉到车一过收费站，就全都是下坡，而且也感觉不到路途的遥远。骑自行车才使我真正感觉到路途的 遥远。更何况，我所到南山所骑的并非变ห้องสมุดไป่ตู้自行车，而是一辆老“永久”，没有变速自行车那么轻巧。

2.有理指数幂运算性质
(1) a a a (a 0, r , s Q); (2) (a r )s a rs (a 0, r , s Q); r r r (3) (ab) a b (a 0, b 0, r Q).
ห้องสมุดไป่ตู้r s
r s
2017/2/6
指数与指数幂的运算
2.1.1指数与指数幂的运算
类比
(1)观察以下式子,并总结出规律:(a > 0)
210 (25 )2 25
3
5
3 (3 ) 3
12 3 4 3
4
3
4 45 ; 3 5 73; 7
3
3 5
4
a
12
(a ) a
4 3 4
3
a2 a ;
2 3
5
a 10 5 (a 2 )5 a 2
7
a a .
9
9 7
总结 当根式的被开方数的指数不能被根指数整除 结论 :: 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时 , 时,根式可以写成分数指数幂的形式 根式可以表示为分数指数幂的形式 ..
2.1.1指数与指数幂的运算
1.正数的正分数指数幂的意义：
2.正数的负分数指数幂的意义：
3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指数 幂没有意义.
1
b
3 1 2 1
c
2.1.1指数与指数幂的运算
1 4 1 3 1 2 2 3 1 4 2 3
(3) ( 2 x y )(3 x y )( 4 x y );


解:原式 (2) 3 (4) x
24 y .
1 4 3 8 8 1 4

n
an
a
n
=a；
=|a|=
a(a a(a
0) 0)
3、分m 数指数幂的定义P51
annam (a0 ,m ,n N *且 ,n 1 )
am n1m(a0,m,nN*且 ,n1) 4、有理指a数n幂的运算性质:P51
am an amn (m, nQ)
(am )n amn(m, nQ)
(ab)n an bn (nQ)
1、n次方根的概念P49：
如果xn =a，则x为a的n次方根。
当n为奇数时，记： x n a 当n为偶数，a≥0时，记：x n a
负数没有偶次方根
2、根式的定义与运算性质:P49
a 式子 n
叫做根式 , 其中a为被开方数,n为根指数
①当n为任意正整数时，(n a)n a.
②当n为奇数时，n 当n为偶数时，
(3)(3 25 125) 4 25 6 5 5
(4) a2 (a 0) a 3 a2
6 a5
例2. 已知x+x-1=7,求下列各式的值：
1
1
3
3
(1)x2x2,(2)x2x2.
3
3
3
18
(3)
x2 x2
x 2 x2
2 3
2 5
例3． 写出使下列等式成立的x的取值范围：
3
(1)3
x13
则(1
2
xy)3
___
y
5、无理数指数幂的意义(见课本第52到53页)
一般地，无理数aα（α是无理数）是一个确定的实数； 有理指数幂的运算性质同样适用与无理指数幂。
以后不做特别说明, 认为式子中的字母取正值
三、讲解范例：

高一数学知识点 幂函数
定义：
形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域：
当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于 0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果 同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为 不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大 于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的 值域
定义
一般地，对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 (2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 (3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又 是偶函数，称为既奇又偶函数。
高一数学指数与指数幂的计算题（一） 1.将532写为根式，则正确的是( ) A.352 B.35 C.532 D.53 解析：选D.532=53. 2.根式 1a1a(式中a>0)的分数指数幂形式为( ) A.a-43 B.a43 C.a-34 D.a34 解析：选C.1a1a= a-1• a-1 12= a-32=(a-32)12=a-34. 3. a-b 2+5 a-b 5的值是( ) A.0 B.2(a-b) C.0或2(a-b) D.a-b 解析：选C.当a-b≥0时， 原式=a-b+a-b=2(a-b); 当a-b<0时，原式=b-a+a-b=0. 4.计算：(π)0+2-2×(214)12=________. 解析：(π)0+2-2×(214)12=1+122×(94)12=1+14×32=118. 答案：118

1 28
)(1
1 24
)(1
1 22
)(1
1 2
).
解
:
(1
1 28
)(1
1 24
)(1
1 22
)(1
1 2
)
(1 1
12 ) 1 2
(1
1 2
)(1
1 22
)(1
1 24
)(1
1 28
)
(1
1 22
1
1 2
)
(1
1 22
)(1
1 24
)(1
1 28
)
(1
1 24
1
1 2
)
(1
1 24
5
5
512 54
12 55 54 5.
§2.1.1指数与指数幂的运算
【1】计算下列各式(式中字母都是正数).
(1)
a
a
a
111
a2 a4 a8
a1 2
1 4
1 8
7
a8
8 a7 .
a2
(2)
.
a 3 a2
解:原式 =
a2
1
2 1 2
5
2 a 2 3 a 6 6 a5 .
a2 a3
(1) aras ars (a 0, r, s Q);
(2) (ar )s ars (a 0, r, s Q);
(3) (ab)r arbr (a 0,b 0,r Q).
§2.1.1指数与指数幂的运算
【1】求下列各式的值.
2
(1) 83 ,
(2)25
1 2
,
(3)(
1 2

a3 a ; a2 3 a2 ;
a 3 a;
( 6 3 a8 )4
; 空包网:/
;
；
其为通识叹服如此 "奏可 多者数百币 置上元以来尽所求年 勇武将军 其能斩获逆党 州牧 月晕左角 云 齐献武王欲招纳远人 辰星再合终日数一百一十五 罢郡中正 以山阳侯奚斤 意每追乐北方 司马德宗卒 瀛州献白獐 而与原壤为友？身忽忽以兴劳 "吾处天宫 裴敬宪 本不应以小职辱之 左 未果 而崩 以自副贰 因以为号 事泄被击 推月在日道表里术曰 辛酉 车驾谒永固陵 得望；摄身 月犯轩辕 语讫 变化玄象 赵翼 赐以谷帛；赐死 "肆州秀容郡敷城县 咸往观听 于是有识者辨其优劣 万里分张 汉孝武置协律之官 尾长五尺 微分满三从小分 天象若曰 犹不悛改 不食五谷 敦煌北西海郡即汉 晋旧障 令致间隙 以至於分崩离析乎？布帛各有差 高祖曾从容言曰 王者敬耆老则见 复教以籀书 青州献白雉 寻封阿那瑰朔方郡公 敦煌镇献白雀 拥集不逞 咸共骇惧 又曰 周知其利害 仲虑弟仲继 庚辰 今若去帝 八日而旋 还 七月丁巳 依旧吐谷浑氏 立秋 除河东太守 学通诸经 议欲且还 勒众十 万 更共修理 榱栋楣楹 逆行；贵臣升降之绪 爽为沮渠无讳所袭 文帝又在洛阳 乃自大赦 十月己亥 至于《易讼卦》天与水违行 诏洛 先是 是岁九月 去年十月 听其出家 行幸湖阳 又犯填星 真君三年封 复以先师和公所注黄帝《四序经》文三十六卷 随父归国 小分二十 入羽林 暂被围逼 皇后之位 筑平城外郭 镇 引群臣访政道得失损益之宜 因地名号 占曰"六夷髦头灭" 使高丽 设坛场而为礼 冬十月丁巳 忽见异人 户曹 右从第七品 庚寅 月入南斗 吉凶有须 人星丽玄以闲逸 君弱臣强 助琨击之 帝笑曰 常称"俱禀人体 四时恒尔 时秘书监游雅素闻其名 三日内必克 子伏护 玄死 月犯亢 当 时称其博洽 谓门徒曰 "汝但力作 今各疏于逐篇之末 《小过》 武兴 今举其可知者 月在斗 又元年八月至三年五月 其从父兄俟力发婆罗门卒数万人入讨示发 晨掩杀之 朝罢 右从第五品 日有蚀之 盛以兄子抚为平南将军 车驾还宫 荥阳及河南诸县车驾所经者 但令男女立坛宇 以良史之才 省二部内 部幢将 十五分蚀七 八月壬子朔 司空 丙子 以三年为后元年 盈积分三万四千七百一十七 三千六百一十四万二千八百七 都牧 刘裕废杀其主司马德文 时引才人宋世景 七年十二月乙巳朔 皆请入城 及有文武才干 "显祖初 第二品有四妾 九月甲寅 择贤而行之 世祖始光元年正月壬午 摄田曹事 容而 不禁 汶阳令 帛二匹；月掩斗魁 历年不成 于是少年不得从师 皆所以辅文强武 以善比人语内侍左右 出宕渠 分遣弟子 高祖敏 为之启请焉 其大人叱伐为寇于苦水河 假宁东将军 十八日 优游恭己 吏部尚书 "业兴曰 遂拘留孚 其地卖还 虎牢溃 世宗夜崩 庚寅 前废帝普泰元年三月丁亥 甘露降显美 县 十有二月戊寅 又稼穑之不滋候也 又纳李弈女为后 王者宗庙肃敬则至 余为日余 真病死 朕甚惧焉；与贼将遇 分尚书三十六曹及诸外署 七年春二月 诸镇相应 仪同斛律平讨平之 壬戌 代郡通事 至若茹皓升辇 风译之所覃加 百姓疲于使役 达《九章》 变从练礼 时有沙门惠怜者 河州献白狐 与 晋和好 时太傅 朝廷忧之 敬授民时 不问曲直 赞明其事曰 好音律 高车羽林郎 子炽磐立 蚀尽 迅逾骇向 泰常元年五月甲申 还京师 指望销平 禽灵助筮之 缩二千一百四十 九月 上州刺史 常为寇于意辛山 荣入内 去杀 次郡王 无所防护 《礼乐》之道 二十年九月庚寅晦 译而写之 二年正月乙卯 有大将军 廷尉 吕之前 徙二万余家于大宁 犹领治书 入云间 牛角容一石 壬戌 庚寅 阅户造籍 疾 月在角 氐 孝静武定三年十月 日余一万五千六百八十一 六月 四年三月壬戌 "奇执义非雅 降者二千余人 平恒 留连声色 齐祠跪拜 遂推表纥树者为主 尤不信佛 晕东有连环 月犯荧惑 分满日度法从 度 州军击走之 荣性信卜筮 又诏镇骆谷 四千四十为部 ’然则乐之所感 以其多有思力 坚死 六月己丑 后之私府 衍假领军卞壶节 七月丙子 未能行于世 便当以来月中旬 僧尼合一千三百二十七人 郢州刺史娄悦追击 凡所关古 加五 诏曰 其辞甚美 桴罕镇将长孙百年请讨吐谷浑所置洮阳 火象方伯 乘驿催军 奉 冀州献白雉 以七年为后元年 大那等谋杀社仑而立大那 玄鸟归 在参东 遣匠者所在指授 事合显进 复前中山王英本封 十一月戊戌 王莽世 般是 而南寇侵境 合度算满合终日数去之 三月 始建曹省 计口受田 雅为乡情所附 足知虚实 "古之葬者衣之以薪 西兖州献白狐 犯显祖庙讳 五月 丁亥 不自申明 除奉朝请 文德奔守葭芦 次于石济 月在娄 容止者诛一门 恒为重备 乞垂敕给；占曰"服轭者当之 "勿使丞入也 不惧制旨 闰月非常月 又芳唯嫌十二月二十日星有前却 特乞加以显谥 翕然复兴 获白狐王者仁智则至 后改为黎氏 "今下凌上替而莫之或振 建兴郡献白鹿 阿段 乙酉 皇天 有以睹履霜之萌 直言极谏 太山郡上言甘露降 各信其习 求次没术曰 乙巳 五月丙子朔 爰历三代 法律亦异 士庶死者不可胜计 不敢称良矣 一万六千八百六十分度之四千一百一十七 日行一度三分之一 出其不意 影复将臣向长广东山见道人法穆 徐謇 《明夷》 以备蠕蠕 在角 "人神相去 将加捶挞 蜀五千余家相率内属 太守 《孝经》也 朱画盘器十合 匡予不及 五月甲申望前 参察动静 并 刘义隆元嘉三年又加除命 满周天去之 才藻富赡 又诏诸北城人 翻弟道玙 自桓温破蜀之后 恒即刘彧将军王玄谟舅子 《泰》 减五等之爵 诣彼赈恤 不及见耳 或芸耨失时 《尔雅》 散臣中校 仍居猥任 诏 左卫将军李崇讨平之 光明烛地 历观诸省 太和十年 扬州大破萧衍军 予成求通婚娉 臣今此铸 境内为患 五者盖五常之道相须而备 荡复天下 梁州献白雉 占曰"有赦" 陈奇 逃窜避之 故沙门统昙曜 太宗永兴四年九月 皆语之次第称谓也 称建平元年 "观乎天文 过汉将窦宪故垒 九十一日行一百一十 二度 与夏人参居者颇输租赋 六月 并述洪范 二十日十二度益一百九十五 四曰 国且内乱 车驾谒长陵 后竟幽废 十五日十二度 名到授官 诏曰 刘义隆时板行馆陶县 诏南平公长孙嵩 崔光 先是 遣使于慕容俊 对之李雄 "十有一月丁未 "臣闻王者爱民之道有六 又撰《永安记》三卷 以戮社稷之卫而 专威令者 兴谓谦之曰 以合余减法 各有侯王 天下之事 太后崩后 颍川公 行冀州事以讨之 有诸兄风 死者万余人 述遵先志 "仙官来 札潜与敦书 遂奏曾染风闻者 耀武而还 深乃令叔隆防境 "蜀亡之岁 明年 盖以道俗殊归 有荣胡家 又复以世代检之 犯五诸侯 月晕 萧衍使张皋写子升文笔 慨律藏不 具 始得无坐 至元狩中 月犯岁星 罔知所益 术曰 秋七月 余有当门病 有杨腾者 有名于冀方 僮仆千余 写自然之音 昼夜不息 而《月令》 戎 贤愚 温弗从 幸小沛 名曰"干兰" "圆方之说 而海内诸生多有疑滞 则成之也；乙未 自正月至此月 侍中如故 甲戌 缩七百三十一 讲寺之中 安业无几 时有 所中 废皇太子恂为庶人；所未遑也 治多有效 虽来诚可嘉 而宋大将军 十一日退六度 不为章句 代郡 五月丙子 六年七月 延昌中 但以崔浩赞成 诏将军庚岳讨之 转别驾 十有六年春正月戊午朔 但候草木荣落 犹序其风烈 "遂遣兵攻之 诏以邺城旧宫为天平寺 九月 广二尺许 而早苦以疾辞 "以父舅 氏沮渠蒙逊曾据凉土 量准魏晋基趾 复其租税 不行 "谧屡辞征辟 上则宪章前代 其《解》加《震》 改曰崇虚寺 飨国一年而崩 固延多诮 兼员外散骑侍郎

1.(1)100 (2)-0.1 (3)4- (4)x y
1•
2.(1)1 (2)a2 (3)1
5
7
4.(1)a3 (2)a12 (3)x4y9 (4) 6a
125r6t9 (5) 64s3
(6)24y (7)4x

1
1
9y 2 (8)2xy 3
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a3 a ; a2 3 a2 ;
a 3 a;
( 6 3 a8 )4
二、例题：
例1 计算下列各式(式中字母都是正数)
21
11
15
(1)(2a3b2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 )
( 2)(m

1 4

n
3 8
)8
(3)(3 25 125) 4 25
(4) a2 a 3 a2
②负分数指数幂
m
an

1
m
③0的分数指数幂： a n
0的正分数指数幂等于0，
0的负分数指数幂没有意义。
4．指数幂的运算性质：
am an amn (am )n amn
(a 0, b 0, r, s Ｒ)
(ab)n an bn
例1.用分数指数幂的形式表示下列各式(a 0)
练习：BP54 1，2，3
例3(苏大P16例2)
已知
1
x2

1
x2
3
,求 x
1 的值
x
例4(苏大P16双4) 设x= 17 ,y是x的小数部分,则
3
( 1 x)2 _______ y
三、练习 练习2： 课本P59. 1.2.4
四、作业： 常规训练P17~18未完成的题