【精编】2019年北京市高考数学模拟考试理科试卷及解析

2019北京卷理科数学一、单选题1．已知复数z =2+i ，则z z ⋅=A B C ．3D ．5【答案】D 【解析】∵z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-=故选D.2．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】运行第一次，=1k ，2212312s ⨯==⨯-，运行第二次，2k =，2222322s ⨯==⨯-，运行第三次，3k =，2222322s ⨯==⨯-，结束循环，输出=2s ，故选B .3．已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点（1,0）到直线l 的距离是A ．15B ．25C ．45D ．65【答案】D 【解析】直线l 的普通方程为()()41320x y ---=,即4320x y -+=,点()1,0到直线l 的距离65d ==,故选D.4．已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B 【解析】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =,故选B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.5．若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为A ．−7B ．1C ．5D ．7【答案】C 【解析】由题意1,11yy x y -≤⎧⎨-≤≤-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3,3z x y y z x =+=-,当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时,z 取最大值5.故选C.6．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m 1的星的亮度为E 2（k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10–10.1【答案】D 【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令2 1.45m =-，126.7m =-，()1212221g(1.4526.7)10.155E m m E =-=-+=，10.110.112211010E EE E -=⋅=，故选D.7．设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵A ､B ､C 三点不共线,∴|AB +AC|>|BC|⇔|AB +AC |>|AB -AC|⇔|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇔•AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC|”的充分必要条件,故选C.8．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A ．①B ．②C ．①②D ．①②③【答案】C 【解析】由221x y x y +=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y+++,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点.结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -,四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.二、填空题9．函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________．【答案】 2π.【解析】函数()2sin 2f x x ==142cos x -,周期为2π【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________．【答案】0.-10.【解析】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得322,3a a =-=-,公差321d a a =-=,5320a a d =+=,由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-.11．某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【答案】40.【解析】在正方体中还原该几何体，如图所示几何体的体积V=43-12（2+4）×2×4=4012．已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.正确；（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.不正确，有可能m在平面α内；（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l与α斜交、l∥α.13．设函数f（x）=e x+a e−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．【答案】-1;(],0-∞.【解析】若函数()xxf x e ae -=+为奇函数,则()()(),xx x x f x f x eae e ae ---=-+=-+，()()1 0x x a e e -++=对任意的x 恒成立.若函数()xxf x e ae -=+是R 上的增函数,则()' 0xxf x e ae-=-≥恒成立,2,0x a e a ≤≤.即实数a 的取值范围是(],0-∞14．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】130.15.【解析】（1）x =10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付（60+80）-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y ＜元时，李明得到的金额为y ×80%，符合要求.120y ≥元时，有（y -x ）×80%≥y ×70%成立，即8（y -x ）≥7y ，x ≤8y ，即x ≤（8y）min =15元.所以x 的最大值为15.三、解答题15．在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-．（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin （B –C ）的值．【答案】(Ⅰ)375a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩；(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)由题意可得：2221cos 2223a c b B ac b c a ⎧+-==-⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪⎩，解得：375a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩.(Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得：3sin 2B ==，结合正弦定理sin sin b c B C =可得：sin 53sin 14c B C b ==，很明显角C为锐角，故11cos 14C ==，故()sin sin cos cos sin B C B C B C -=-=16．如图，在四棱锥P –ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，PA =AD =CD =2，BC =3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求二面角F–AE–P 的余弦值；（Ⅲ）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF内，说明理由．【解析】(Ⅰ)由于PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，则PA ⊥CD ，由题意可知AD ⊥CD ，且PA ∩AD =A ，由线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面PAD .(Ⅱ)以点A 为坐标原点，平面ABCD 内与AD 垂直的直线为x 轴，AD ,AP 方向为y 轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，易知：()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,2,0A P C D ，由13PF PC = 可得点F 的坐标为224,,333F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由12PE PD =可得()0,1,1E ，设平面AEF 的法向量为：(),,m x y z =，则()()()224224,,,,0333333,,0,1,10m AF x y z x y z m AE x y z y z ⎧⎛⎫⋅=⋅=++=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩，据此可得平面AEF 的一个法向量为：()1,1,1m =- ，很明显平面AEP 的一个法向量为()1,0,0n =，cos ,3m n m n m n⋅<>==⨯，二面角F -AE -P 的平面角为锐角，故二面角F -AE -P的余弦值为3.(Ⅲ)易知()()0,0,2,2,1,0P B -，由23PG PB = 可得422,,333G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则422,,333AG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，注意到平面AEF 的一个法向量为：()1,1,1m =-，其0m AG ⋅=且点A 在平面AEF 内，故直线AG 在平面AEF 内.17．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：交付金额（元）支付方式（0,1000]（1000,2000]大于2000仅使用A 18人9人3人仅使用B10人14人1人（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【解析】(Ⅰ)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：1003025540---=人，则：该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率4021005p ==.(Ⅱ)由题意可知，仅使用A 支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占35，金额大于1000的人数占25，仅使用B 支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占25，金额大于1000的人数占35，且X 可能的取值为0,1,2.()32605525p X ==⨯=，()22321315525p X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()32625525p X ==⨯=，X 的分布列为：X12()p X 6251325625其数学期望：()61360121252525E X =⨯+⨯+⨯=.(Ⅲ)我们不认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.理由如下：随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率。

绝密★启用前 6月7日15:00-17:002019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）总分：150分考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。

4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。

第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（2019北京卷·理）已知复数2iz=+，则z z⋅=（）A.3B.5C.3D.5【解析】因为2iz z⋅=+⋅-=.故选D.z=+，所以2iz=-，所以(2i)(2i)5【答案】D2.（2019北京卷·理）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A.1B.2C.3D.4【解析】1,1k s ==；第一次循环：2s =，判断3,2k k <=；第二次循环：2s =，判断3,3k k <=；第三次循环：2s =，判断3k =.故输出2，故选B. 【答案】B3.（2019北京卷·理）已知直线l 的参数方程为13,24x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点(1,0)到直线l 的距离是（ ）A.15B.25C.45D.65【解析】由题意可知直线l 的普通方程为4320x y -+=，由点到直线的距离公式可得点(1,0)到直线l的距离65d ==.故选D. 【答案】D4.（2019北京卷·理）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，则（ ）A.222a b =B.2234a b =C.2a b =D.34a b =【解析】因为椭圆的离心率为12c e a ==，所以224a c =.又222a b c =+，所以2234a b =.故选B. 【答案】B5.（2019北京卷·理）若x ，y 满足||1x y ≤-，且1y ≥-，则3x y +的最大值为（ ）A.7-B.1C.5D.7【解析】由||1x y ≤-，且1y ≥-，得10,10,1.x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3z x y =+，则3y x z =-+，作直线0:3l y x =-，并进行平移.显然当0l 经过点(2,1)A -时，z 取得最大值，max 3215z =⨯-=.故选C. 【答案】C6.（2019北京卷·理）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足12125lg2E m m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =．已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A.10.110B.10.1C.lg10.1D.10.110-【解析】由题意知，126.7m =-，2 1.45m =-，代入所给公式得1251.45(26.7)lg 2EE ---=，所以12lg10.1E E =，所以10.11210EE =.故选A. 【答案】A7.（2019北京卷·理）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】因为设点A ，B ，C 不共线，由向量加法的三角形法则，可知BC AC AB =-，所以||||AB AC BC +>等价于||||AB AC AC AB +>-，因模为正，故不等号两边平方得22222||||cos 2||||cos AB AC AB AC AC AB AC AB θθ++⋅⋅>+-⋅⋅（θ为AB 与AC 的夹角），整理得4||||cos 0AB AC θ⋅⋅>，故cos 0θ>，即θ为锐角.又以上推理过程可逆，所以“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的充分必要条件.故选C. 【答案】C8.（2019北京卷·理）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（ ）A.①B.②C.①②D.①②③【解析】由221||x y x y +=+，当0x =时，1y =±；当0y =时，1x =±；当1y =时，01x =±，.故曲线C 恰好经过6个整点：(0,1)A ，(0,1)B -，(1,0)C ，(1,1)D ，(1,0)E -，(1,1)F -，所以①正确.由基本不等式，当0y >时，22221||1||12x y x y x y xy ++=+=+≤+，所以222x y +≤222x y +≤②正确.如图，由①知矩形CDFE 的面积为2，△BCE 的面积为1，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误.故选C. 【答案】C第Ⅱ卷二、填空题：本题共6小题，每小题5分。

2019年高考数学(理)模拟试题(三)含答案及解析2019年高考数学（理）模拟试题（三）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z满足(1-i)z=2+i，则z的共轭复数在复平面内对应的点在（）A。

第一象限B。

第二象限C。

第三象限D。

第四象限2.设集合M={x|x<36}，N={2,4,6,8}，则M∩N=（）A。

{2,4}B。

{2,4,6}C。

{2,6}D。

{2,4,6,8}3.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）A。

1/4B。

1/3C。

1/2D。

2/34.将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A。

42种B。

48种C。

54种D。

60种5.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（）A。

32π/3B。

64π/3C。

32πD。

64π/26.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后入称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，AC=BC，则△ABC的欧拉线方程为（）A。

2x+y-3=0B。

2x-y+3=0C。

x-2y-3=0D。

x-2y+3=07.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A。

2019年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）第一部分（选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)（A（B（C ）3（D ）5 （2）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（3）已知直线l 的参数方程为x =1+3t y =2+4tìíî （t 为参数），则点（1，0） 到直线l 的距离是（A ）15（B）2 5（C）4 5（D）6 5（4）已知椭圆2x2a +2y2b=1（a>b>0）的离心率为12，则（A）a2=2b2.（B）3a2=4b2.（C）a=2b（D）3a=4b（5）若x,y满足的最大值为（A）-7 （B）1（C）5 （D）7（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。

两颗星的星等与亮度满足m2-m1=52lgE1E2，其中星等为m k的星的亮度为E k（k=1,2）。

已知太阳的星等为-26.7，天狼星的星等为-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A）1010.1（B）10.1（C）lg10.1（D）10-10.1（7）设点A,B,C不共线，则“与的夹角是锐角”是“的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:x2+y2=1+x y就是其中之一（如图）。

给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2;③曲线C所围城的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（A）①（B）②（C）①②（D）①②③第二部分(非选择题共10分)二、填空题共6小题,每小题5分，共30分。

(9) 函数f(x)=sin22x的最小正周期是________。

北京市一模统一考试高三数学（理科）本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2{|02},{|1}A x x B x x =≤≤=>，则AB = （ ）A.{|01}x x ≤≤B.{|0x x >或1}x <-C. {|12}x x <≤D.{|02}x x <≤2.复数21i i =+（ ） A.1i + B ．1i - C. 1i -+D ．1i --3.已知两条直线,a b 和平面α，若,a b b α⊥⊄，则“a α⊥”是“//b α”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为 （ ） AC.25.执行如图所示的程序框图,若输出的a 的值为15，则判断框应填写 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5（4题图）2013201420151季度 2季度 3季度 4季度 1季度 2季度 3季度 4季度 1季度2013年 2014年 2015年年份增长率/%6.已知等比数列{}n a 的公比1q ≠，则下面说法中不正确．．．的是 （ ） A.2{}n n a a ++是等比数列 B.对于k *∈N ，1k >，112k k k a a a -++≠C ．对于n *∈N ，都有20n n a a +>D ．若21a a >，则对于任意n *∈N ，都有1n n a a +> 7.如图是近三年某市生产总值增速（累计，%）的折线统计图，据该市统计局初步核算，2015年一季度全市生产总值为1552.38亿元，与去年同一时期相比增长12.9%（如图，折线图中其它数据类同）．根据统计图得出正确判断是 （ ） A ．近三年该市生产总值为负增长 B. 近三年该市生产总值为正增长 C ．该市生产总值2013年到2014年 为负增长，2014年到2015年为正增长 D.以上A 、B 、C 的判断都不正确8.已知偶函数()f x ，奇函数()g x 的图像分别如图（1）、图（2）所示，方程(())0f g x =，(())0g f x =的实根的个数分别为,a b ，则a b += （ ）A ．3B ．7C ．10D ．14）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某校高一学雷锋志愿小组共有8人，其中一班、二班、三班、四班各2人，现在从中任选3人，要求每班至多选1人，不同的选取方法的种数为 .（图2）x10. 2022年冬奥会高山滑雪项目将在延庆小海坨山举行。

2019年北京市首师大附中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若（1﹣2i）z＝5i（i是虚数单位），则|z|的值为（）A．3B．5C．D．2．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a6＝3，则a4+a8＝（）A．有最小值6B．有最大值6C．有最大值9D．有最小值3 3．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为（）A．5B．12C．25D．504．（5分）已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为．其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）A．B．C．8cm2D．4cm25．（5分）已知平面区域，夹在两条斜率为的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为m．若点P（x，y）∈Ω，则z＝mx﹣y的最小值为（）A．B．3C．D．66．（5分）如图，平面四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD＝2，点E在对角线AC上，AC＝4，AE＝1，则的值为（）A．17B．13C．5D．17．（5分）某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）某公司有4家直营店a，b，c，d，现需将6箱货物运送至直营店进行销售，各直营店出售该货物以往所得利润统计如下表所示．根据此表，该公司获得最大总利润的运送方式有（）A．1种B．2种C．3种D．4种二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上．9．（5分）若展开式中的二项式系数和为64，则n等于，该展开式中的常数项为．10．（5分）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且|PF1|•|PF2|的最大值的取值范围是[2c2，3c2]，其中，则椭圆m的离心率e的取值范围是．11．（5分）在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是．12．（5分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型＝﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②＝99+17.5t．利用这两个模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值分别为，；并且可以判断利用模型得到的预测值更可靠．13．（5分）对于函数y＝f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y＝f（x）为k倍值函数．若f（x）＝lnx+x是k倍值函数，则实数k 的取值范围是．14．（5分）定义：对于数列{x n}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有（x n+1﹣p）（x n﹣p）＜0成立，那么我们称数列{x n}为“p﹣摆动数列”①若a n＝2n﹣1，b n＝q n（﹣1＜q＜0），n∈N*，则数列{a n}“p﹣摆动数列”，{b n}“p﹣摆动数列”（回答是或不是）；②已知“p﹣摆动数列”{c n}满足c n+1＝，c1＝1．则常数p的值为；三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）＝sin（﹣2x）﹣2sin（x﹣）cos（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）已知x1，x2是函数y＝f（x）﹣的两个零点，求|x1﹣x2|的最小值．16．（14分）空气质量按照空气质量指数大小分为七档（五级），相对应空气质量的七个类别，指数越大，说明污染的情况越严重，对人体危害越大．现统计邵阳市市区2016年10月至11月连续60天的空气质量指数，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求这60天中属轻度污染的天数；（2）求这60天空气质量指数的平均值；（3）一般地，当空气质量为轻度污染或轻度污染以上时才会出现雾霾天气，且此时出现雾霾天气的概率为，请根据统计数据，求在未来2天里，邵阳市恰有1天出现雾霾天气的概率．17．（13分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA1、A1B1上，且AE＝，A1F＝，CE⊥EF．（Ⅰ）证明：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．18．（13分）圆x2+y2＝2与x轴交于F1、F2两点，P为圆上一点．椭圆＝1（a＞b ＞0）以F1、F2为焦点且过点P．（Ⅰ）当P点坐标为（x0，）（x0＞0）时，求x0的值及椭圆方程；（Ⅱ）若直线1与（Ⅰ）中所求的椭圆交于A、B不同的两点，且点C（0，﹣1），||＝||，求直线l在y轴上截距b的取值范围．19．（14分）已知函数f（x）＝e x[x3﹣2x2+（a+4）x﹣2a﹣4]，其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）若函数f（x）的图象在x＝0处的切线与直线x+y＝0垂直，求a的值；（2）关于x的不等式f（x）＜﹣e x在（﹣∞，2）上恒成立，求a的取值范围；（3）讨论函数f（x）极值点的个数．20．（13分）已知集合A1，A2，…，A n为集合U的n个非空子集，这n个集合满足：①从中任取m个集合都有≠U成立；②从中任取m+1个集合都有＝U成立．（Ⅰ）若U＝{1，2，3}，n＝3，m＝1，写出满足题意的一组集合A1，A2，A3；（Ⅱ）若n＝4，m＝2，写出满足题意的一组集合A1，A2，A3，A4以及集合U；（Ⅲ）若n＝10，m＝3，求集合U中的元素个数的最小值．2019年北京市首师大附中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若（1﹣2i）z＝5i（i是虚数单位），则|z|的值为（）A．3B．5C．D．【分析】直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可．【解答】解：（1﹣2i）z＝5i（i是虚数单位），可得|（1﹣2i）||z|＝|5i|，解得|z|＝．故选：D．【点评】本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力．2．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a6＝3，则a4+a8＝（）A．有最小值6B．有最大值6C．有最大值9D．有最小值3【分析】由题意设出等比数列的公比，把a4、a8用a6和公比表示，然后利用基本不等式求得答案．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），∵a6＝3，∴，∴a4+a8＝．当且仅当q＝1时上式等号成立．故选：A．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了利用不等式求最值，是基础题．3．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为（）A．5B．12C．25D．50【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝2，n＝4，v＝1，i＝3，满足进行循环的条件i＞0，v＝5，i＝2，满足进行循环的条件i＞0，v＝12，i＝1，满足进行循环的条件i＞0，v＝25，i＝0不满足进行循环的条件i＞0，退出循环，输出v的值为：25故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答，属于基础题．4．（5分）已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为．其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）A．B．C．8cm2D．4cm2【分析】由已知可求出正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，故左视图是长方形，长为，宽为2，由此能求出左视图的面积．【解答】解：设正六棱柱的底面边长和侧棱长均为a，则体积V＝Sh＝6×＝，解得a＝2，故左视图是长方形，长为，宽为2，面积为×2＝故选：A．【点评】本题考查三视图与直观图的关系，正确判断几何体的形状是解题的关键．5．（5分）已知平面区域，夹在两条斜率为的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为m．若点P（x，y）∈Ω，则z＝mx﹣y的最小值为（）A．B．3C．D．6【分析】由约束条件作出可行域，结合题意求出m，利用目标函数的几何意义，求解即可．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，∵平面区域Ω夹在两条斜率为﹣的平行直线之间，且两条平行直线间的最短距离为m，则m＝＝．令z＝mx﹣y＝x﹣y，则y＝x﹣z，由图可知，当直线y＝x﹣z过B（2，3）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为：＝．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．6．（5分）如图，平面四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD＝2，点E在对角线AC上，AC＝4，AE＝1，则的值为（）A．17B．13C．5D．1【分析】利用余弦定理求出BE，cos∠BEC，再根据二倍角公式得出cos∠BED，从而可计算出结论．【解答】解：由题意可知CE＝3，∠BCE＝60°，∴EB＝，∴cos∠BEC＝，∴cos∠BED＝2cos2∠BEC﹣1＝．∴．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查余弦定理的应用，属于中档题．7．（5分）某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出基本事件总数n＝（+）＝720，再求出甲、乙都被选中且列队服务时不相邻包含的基本事件个数m＝＝120，由此能求出甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率．【解答】解：从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加，且列队服务，基本事件总数n＝（+）＝720，甲、乙都被选中且列队服务时不相邻包含的基本事件个数m＝＝120，甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率p＝＝．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．8．（5分）某公司有4家直营店a，b，c，d，现需将6箱货物运送至直营店进行销售，各直营店出售该货物以往所得利润统计如下表所示．根据此表，该公司获得最大总利润的运送方式有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【分析】结合获利表格，通过6箱货物的分配方法，求解最大获利，推出结果．【解答】解：6箱货物的分配方法有：6，0，0，0；5，1，0，0；4，2，0，0；3，3，0，0；4，1，1，0；2，2，2，0；3，2，1，0；1，1，2，2；1，1，1，3类型．而6，0，0，0；5，1，0，0；4，2，0，0；3，3，0，0；4，1，1，0；2，2，2，0；类型中获利的最大值不超过：16．a，b，c，d；总获利分配货物：1 2 2 1 4+4+5+4＝17．1 3 1 1 4+7+2+4＝17．2 3 0 1 6+7+0+4＝17．该公司获得最大总利润的运送方式有：3种．故选：C．【点评】本题考查排列组合的实际应用，分析表格与题意是解题的关键，难度比较大．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上．9．（5分）若展开式中的二项式系数和为64，则n等于6，该展开式中的常数项为15．【分析】由题意可得得2n＝64，求得n＝6．在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．【解答】解：由展开式中的二项式系数和为64，可得2n＝64，∴n＝6．由于＝，展开式的通项公式为T r+1＝•x12﹣2r•x﹣r＝•x12﹣3r，令12﹣3r＝0，r＝4，故该展开式中的常数项为＝＝15，故答案为6，15．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．10．（5分）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且|PF1|•|PF2|的最大值的取值范围是[2c2，3c2]，其中，则椭圆m的离心率e的取值范围是．【分析】根据题意，|PF1|•|PF2|的最大值为a2，则由题意知2c2≤a2≤3c2，由此能够导出椭圆m的离心率e的取值范围．【解答】解：∵|PF1|•|PF2|＝（a+ex）（a﹣ex）＝a2﹣e2x2≤a2，∴|PF1|•|PF2|的最大值为a2，∴由题意知2c2≤a2≤3c2，∴，∴．故椭圆m的离心率e的取值范围．答案：【点评】|PF1|•|PF2|的最大值＝a2是正确解题的关键．11．（5分）在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是ρsinθ＝﹣2．【分析】如图所示，在Rt△OPQ中，利用直角三角形的边角关系及诱导公式化简求解即可．【解答】解：如图所示在Rt△OPQ中，ρ＝＝，可化为ρsinθ＝﹣2．过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是ρsinθ＝﹣2．故答案为：ρsinθ＝﹣2．【点评】本题考查极坐标系的应用，熟练掌握直角三角形的边角关系及诱导公式是解题的关键．12．（5分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型＝﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②＝99+17.5t．利用这两个模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值分别为226.1（亿元），256.5 （亿元）；并且可以判断利用模型②得到的预测值更可靠．【分析】根据两个模型分别求出2018年的预测值，然后对比2016年的预测值，进行比较即可确定两个模型的预测值的可靠性．【解答】解（1）①y＝﹣3.04+13.5×19＝226.1（亿元）．②y＝99+17.5×9＝256.5 （亿元）．（2）当年份为2016，对于模型①：t＝17，y＝﹣3.04+13.5×17＝199.1 （亿元），对于模型②：t＝7，y＝99+17.5×7＝221.5 （亿元），所以②的准确度较高，①偏差较大，所以选择②得到的预测值更可靠．故答案为：226.1（亿元）；256.5 （亿元）．【点评】本题主要考查线性回归方程的应用，结合条件求出对应的预测值是解决本题的关键．13．（5分）对于函数y＝f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y＝f（x）为k倍值函数．若f（x）＝lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（1，1+）．【分析】由于f（x）在定义域{x|x＞0} 内为单调增函数，利用导数求得g（x）的极大值为：g（e）＝1+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于1，因此当1＜k＜1+时，直线y＝k与曲线y＝g（x）的图象有两个交点，满足条件，从而求得k的取值范围．【解答】解：∵f（x）＝lnx+x，定义域为{x|x＞0}，f（x）在定义域为单调增函数，因此有：f（a）＝ka，f（b）＝kb，即：lna+a＝ka，lnb+b＝kb，即a，b为方程lnx+x＝kx的两个不同根．∴k＝1+，令1+＝g（x），令g'（x）＝＝0，可得极大值点x＝e，故g（x）的极大值为：g（e）＝1+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于1，因此当1＜k＜1+时，直线y＝k与曲线y＝g（x）的图象有两个交点，方程k＝1+有两个解．故所求的k的取值范围为（1，1+），故答案为（1，1+）．【点评】本题主要考查利用导数求函数的值的方法，体现了转化的数学思想，属于基础题．14．（5分）定义：对于数列{x n}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有（x n+1﹣p）（x n﹣p）＜0成立，那么我们称数列{x n}为“p﹣摆动数列”①若a n＝2n﹣1，b n＝q n（﹣1＜q＜0），n∈N*，则数列{a n}不是“p﹣摆动数列”，{b n}是“p﹣摆动数列”（回答是或不是）；②已知“p﹣摆动数列”{c n}满足c n+1＝，c1＝1．则常数p的值为；【分析】（1）由{a n}是关于n的递增数列，可知不满足定义，由b n＝q n（﹣1＜q＜0）可知正负交替出现，易求出p的值；（2）先对n取特殊值确定p的取值范围，再根据对任意的正整数n都成立，求出p的值．【解答】（1）由a n＝2n﹣1知道{a n}是递增数列，故不存在满足定义的p，又因为b n＝q n（﹣1＜q＜0）可知b n正负数值交替出现，故p＝0时满足定义．（2）因为数列{c n}是“p﹣摆动数列”，故n＝1时有（x2﹣p）（x1﹣p）＜0，可求得，又因为使对任意正整数n，总有（c n+1﹣p）（c n﹣p）＜0成立，即有（c n+2﹣p）（c n+1﹣p）＜0成立，则（c n+2﹣p）（c n﹣p）＞0，＞p，所以c1＞p，c3＞p，…，c2n﹣1同理c2＜p，c4＜p，…，c2n＜p，，即，解得，即，所以c2n＜p＜c2n﹣1同理，解得，即，综上，．故答案为：不是；是；．【点评】本题属于新定义型问题，综合考查数列、不等式的知识，难度较大．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）＝sin（﹣2x）﹣2sin（x﹣）cos（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）已知x1，x2是函数y＝f（x）﹣的两个零点，求|x1﹣x2|的最小值．【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式以及三角函数的倍角公式，辅助角公式进行化简，结合周期公式，以及函数的单调性进行求解即可．（Ⅱ）根据零点求出sin（2x﹣）＝的根，利用作差法进行求解即可，【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝sin（﹣2x）＝sin cos2x﹣cos sin2x﹣2sin（x﹣）cos（x+π﹣）＝cos2x+sin2x+2sin（x﹣）cos（x﹣）＝cos2x+sin2x+sin（2x﹣）＝cos2x+sin2x﹣cos2x＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），则函数f（x）的最小正周期T＝＝π，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）x1，x2是函数y＝f（x）﹣的两个零点，∴由y＝f（x）﹣＝0得f（x）＝，则由sin（2x﹣）＝得2x1﹣＝2k1π+①，2x2﹣＝2k2π+，②，则②﹣①得2（x2﹣x1）＝2（k2﹣k1）π+，即（x2﹣x1）＝（k2﹣k1）π+，则|x1﹣x2|＝|（k2﹣k1）π+|，k1，k2∈Z，则当k1＝k2时，|x1﹣x2|取得最小值，最小值为|x1﹣x2|＝．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行化简，以及利用三角函数值的关系是解决本题的关键．16．（14分）空气质量按照空气质量指数大小分为七档（五级），相对应空气质量的七个类别，指数越大，说明污染的情况越严重，对人体危害越大．现统计邵阳市市区2016年10月至11月连续60天的空气质量指数，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求这60天中属轻度污染的天数；（2）求这60天空气质量指数的平均值；（3）一般地，当空气质量为轻度污染或轻度污染以上时才会出现雾霾天气，且此时出现雾霾天气的概率为，请根据统计数据，求在未来2天里，邵阳市恰有1天出现雾霾天气的概率．【分析】（1）（2）根据频率分布直方图，计算即可；（3）求出空气质量为轻度污染或轻度污染以上的概率P1，得到出现雾霾概率，从而求出邵阳市恰有1天出现雾霾天气的概率．【解答】解：（1）依题意知，轻度污染即空气质量指数在151﹣200之间，共有0.003×50×60＝9天．（2）由直方图知60天空气质量指数的平均值为．（3）空气质量为轻度污染或轻度污染以上的概率P1＝0.15+0.05＝0.2，∴出现雾霾概率为，∴未来2天里，恰有1天为雾霾天气的概率．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了相互独立事件的概率的计算问题，是中档题．17．（13分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA1、A1B1上，且AE＝，A1F＝，CE⊥EF．（Ⅰ）证明：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．【分析】（I）取AB的中点D，连结CD，DF，DE．计算DE，EF，DF，利用勾股定理的逆定理得出DE⊥EF，由三线合一得CD⊥AB，故而CD⊥平面ABB1A1，从而平面ABB1A1⊥平面ABC；（II）以C为原点建立空间直角坐标系，求出和平面CEF的法向量，则直线AC1与平面CEF所成角的正弦值等于|cos＜＞|．【解答】证明：（I）取AB的中点D，连结CD，DF，DE．∵AC＝BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB．∵侧面ABB1A1是边长为2的正方形，AE＝，A1F＝．∴A1E＝，EF＝＝，DE＝＝，DF＝＝，∴EF2+DE2＝DF2，∴DE⊥EF，又CE⊥EF，CE∩DE＝E，CE⊂平面CDE，DE⊂平面CDE，∴EF⊥平面CDE，又CD⊂平面CDE，∴CD⊥EF，又CD⊥AB，AB⊂平面ABB1A1，EF⊂平面ABB1A1，AB，EF为相交直线，∴CD⊥平面ABB1A1，又CD⊂平面ABC，∴平面ABB1A1⊥平面ABC．（II）∵平面ABB1A1⊥平面ABC，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC．∵CA⊥CB，AB＝2，∴AC＝BC＝．以C为原点，以CA，CB，CC1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（，0，0），C（0，0，0），C1（0，0，2），E（，0，），F（，，2）．∴＝（﹣，0，2），＝（，0，），＝（，，2）．设平面CEF的法向量为＝（x，y，z），则，∴，令z＝4，得＝（﹣，﹣9，4）．∴＝10，||＝6，||＝．∴sin＜＞＝＝．∴直线AC1与平面CEF所成角的正弦值为．【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题．18．（13分）圆x2+y2＝2与x轴交于F1、F2两点，P为圆上一点．椭圆＝1（a＞b ＞0）以F1、F2为焦点且过点P．（Ⅰ）当P点坐标为（x0，）（x0＞0）时，求x0的值及椭圆方程；（Ⅱ）若直线1与（Ⅰ）中所求的椭圆交于A、B不同的两点，且点C（0，﹣1），||＝||，求直线l在y轴上截距b的取值范围．【分析】（Ⅰ）由圆与x轴的交点为（，0）得椭圆的焦距2c＝2，从而椭圆方程化为+＝1，①将P（）代入圆，能求出，从而P（，），由此能求出b2＝1，进而能求出椭圆方程．（Ⅱ）由||＝||，得点C在线段AB的中垂线上，当k＝0时，l与椭圆交于两点都满足题意，从而b∈（﹣1，1），当k≠0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），中点M（x′，y′），由，得（）x2+2kbx+b2﹣1＝0，由，得3k2﹣b2+1＞0，再利用点差法能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）由圆与x轴的交点为（，0）得椭圆的焦距2c＝2，∴a2﹣b2＝2，∴a2＝2+b2，∴椭圆方程化为+＝1，①将P（）代入圆，得，∴，∴P（，）代入①式，得+＝1，解得b2＝1，∴椭圆方程为．（Ⅱ）由||＝||，得点C应该在线段AB的中垂线上，当k＝0时，l与椭圆交于两点都满足题意，∴b∈（﹣1，1），当k≠0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），中点M（x′，y′），由，消y得（）x2+2kbx+b2﹣1＝0，由，得3k2﹣b2+1＞0，②由，作差，得（x1+x2）（x1﹣x2）+（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，由，及＝k，得x′+3ky′＝0，③∵MC⊥AB，∴x′+k（y′+1）＝0，④由③④得，代入y′＝kx′+b中，得k2＝，⑤将⑤式代入②式，得0＜b＜2，由⑤得2b﹣1＞0，∴b＞，∴b的取值范围是（）．综上，当k＝0时，直线l在y轴上的截距的取值范围是（﹣1，1），当k≠0时，直线l在y轴上的截距的取值范围是（）．【点评】本题考查实数值、椭圆方程、纵截距的取值范围的求法，考查椭圆、直线方程、点差法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．19．（14分）已知函数f（x）＝e x[x3﹣2x2+（a+4）x﹣2a﹣4]，其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）若函数f（x）的图象在x＝0处的切线与直线x+y＝0垂直，求a的值；（2）关于x的不等式f（x）＜﹣e x在（﹣∞，2）上恒成立，求a的取值范围；（3）讨论函数f（x）极值点的个数．【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得a的值；（2）由题意可得x3﹣2x2+4x﹣＜a（x﹣2），令x﹣2＝t（t＜0），运用参数分离和构造g（t），求得单调性，可得a的范围；（3）求出函数的导数，令h（x）＝x3﹣x2+ax﹣a，由h（x）＝0，即为a（x﹣1）＝x2﹣x3，运用参数分离，求得令m＝x﹣1，可得h（m）＝，求得h （m）的单调区间，可得a的范围，即有f（x）的极值点的个数．【解答】解：（1）函数f（x）＝e x[x3﹣2x2+（a+4）x﹣2a﹣4]的导数为f′（x）＝e x•（x3﹣x2+ax﹣a），图象在x＝0处的切线斜率为﹣a，切线与直线x+y＝0垂直，可得﹣a＝1，解得a＝﹣1；（2）关于x的不等式f（x）＜﹣e x在（﹣∞，2）上恒成立，即为x3﹣2x2+（a+4）x﹣2a﹣＜0在x＜2恒成立．即有x3﹣2x2+4x﹣＜a（2﹣x），令x﹣2＝t（t＜0），可得﹣a＜，令g（t）＝，t＜0，g′（t）＝＝＜0，即g（t）在t＜0递减，可得g（t）＞0，可得﹣a≤0，即a的取值范围是[0，+∞）；（3）由f（x）的导数为f′（x）＝e x•（x3﹣x2+ax﹣a），令h（x）＝x3﹣x2+ax﹣a，由h（x）＝0，即为a（x﹣1）＝x2﹣x3，若x＝1时，方程不成立；若x≠1时，a＝，令m＝x﹣1，可得h（m）＝＝＝，h′（m）＝，当m＞0即x＞1时，h（m）递减，m＜﹣1时，h（m）递增，﹣1＜m＜0时，h（m）递减．则当a＝0时，f′（x）＝x2（x﹣1），显然x＞3，f（x）递增，x＜0或0＜x＜3时，f（x）递减，即有x＝3为极值点；当a＞0时，a＝h（m）有一个解，f（x）有一个极值点；当a＜0时，a＝h（m）有三个解，f（x）有三个极值点．综上可得，a＝0时，f（x）有一个极值点；a＞0时，f（x）有一个极值点；a＜0时，f（x）有三个极值点．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意运用导数的几何意义和两直线垂直的条件，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查函数的极值点的个数，注意运用分类讨论的思想方法，属于难题．20．（13分）已知集合A1，A2，…，A n为集合U的n个非空子集，这n个集合满足：①从中任取m个集合都有≠U成立；②从中任取m+1个集合都有＝U成立．（Ⅰ）若U＝{1，2，3}，n＝3，m＝1，写出满足题意的一组集合A1，A2，A3；（Ⅱ）若n＝4，m＝2，写出满足题意的一组集合A1，A2，A3，A4以及集合U；（Ⅲ）若n＝10，m＝3，求集合U中的元素个数的最小值．【分析】（Ⅰ）由U＝{1，2，3}，n＝3，m＝1，能求出满足题意的一组集合A1，A2，A3．（Ⅱ）由n＝4，m＝2，能出满足题意的一组集合A1，A2，A3，A4和集合U．（Ⅲ）由n＝10，m＝3，得集合U中的元素个数的最小值为120个．先证明若{i1，i2，i3}≠{j1，j2，j3}，则，，B j≠B i，则A1，A2，…，A10的3个集合的并集共计有＝120个．把集合U中120个元素与A1，A2，…，A10的3个集合的并集B i＝建立一一对应关系，从而集合U中元素个数大于等于120．【解答】解：（Ⅰ）∵集合A1，A2，…，A n为集合U的n个非空子集，这n个集合满足：①从中任取m个集合都有A i1∪A i2∪…∪A im≠U成立，②从中任取m+1个集合都有＝U成立．U＝{1，2，3}，n＝3，m＝1，∴满足题意的一组集合A1＝{2，3}，A2＝{2，3，6}，A3＝{1，3，5}．（Ⅱ）∵n＝4，m＝2，∴满足题意的一组集合A1＝{4，5，6}，A2＝{2，3，6}，A3＝{1，3，5}，A4＝{1，2，4}，集合U＝{1，2，3，4，5，6}．（Ⅲ）∵n＝10，m＝3，∴集合U中的元素个数的最小值为120个．下面先证明若{i1，i2，i3}≠{j1，j2，j3}，则，，B j≠B i，反证法：假设B j＝B i，设i1∉{j1，j2，j3}，由假设B i＝B j≠∪，设D j＝∁U B j，设x∈D j，则x是，，中都没有的元素，x∉B j，∵，，，四个子集的并集为U，∴⊂B i＝B j与x∉B j矛盾，∴假设不正确，若{i1，i2，i3}≠{j1，j2，j3}，且，，B j≠B i成立，则A1，A2，…，A10的3个集合的并集共计有＝120个．把集合U中120个元素与A1，A2，…，A10的3个集合的并集B i＝建立一一对应关系，∴集合U中元素个数大于等于120，下面我们构造一个有120个元素的集合U：把与B i＝（i＝1，2，…，120）对应的元素放在异于，的集合中，∴对于任意一个3个集合的并集，它们都不含与B i对应的元素，∴B i≠U，同时，对于任意的4个集合设为的并集，则由上面的原则与，，对应的元素在集合中，即对于任意的4个集合的并集为全集U ．【点评】本题考查集合的求法，考查集合中最少的元素个数的判断与证明，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．。

北京专家2019届高考模拟试卷（三)理科数学参考答案1.A 【解析】12(12)(34)5101234252555i i i i z i i -----====--+，||z ∴==. 2.B 【解析】集合{}12A x R x x =∈≤>或,{}12B x R x x =∈<>或,{}12U B x R x =∈≤≤ð,所以(){}1U A B =I ð,故选B.3.A 【解析】若1sin 2α=，由(0,)απ∈，故6πα=或56πα=，故“1sin 2α= ”是“6απ= ”的必要不充分条件，故选A.4.D 【解析】设等比数列{}n a 的公比是q ,因为51a =,则41a q =,6a q =,依题意,得1524q q +=?,即22520q q -+=,解得2q =或12q =,因为{}n a 递增，所以2q =，则2754a a q =?,故选D.5.C 【解析】如图所示,抛物线C 的焦点(0,1)F ,过F 作直线l 的垂线,垂足为H ,线段FH 与C 的交点,即为点P ,由抛物线的定义,点P 到准线m 的距离即为PF ,所以最小值为点F 到直线l 的距离FH =,故选C. 6.C 【解析】由22+3AP BP CP 0uu u r uu r uu r +=得2(2)30DP CP +=uu u r uu r,其中，点D 是AB 边的中点,所以点P 是在CD 上，且43CP DP uu r uu u r =，△APC 与△APD 共高,于是△APD 的面积是34S ,故△APB 的面积是32S ，故选C. 7.D 【解析】令sin cos ()x x xf x x-=,由()()f x f x -=-,则()f x 的图象关于原点成中心对称,排斥选项A,当0x +®时,()f x ??,排斥B,C,由sin cos 0x x x -=,知存在1(,)42x p p Î，使得1()0f x =,还存在25(,)4x p p Î，使得2()0f x =，符合上述条件是选项D.8.B 【解析】设事件A:函数()b f x ax x =+在区间轾上不单调的事件,样本空间01(,)01a a b b 禳ì<?镲?W =眄?<?镲?î铪,因为函数()f x在纟çç棼上递减,在÷+?÷上递增,所以(,)A a b 禳镲=蜽<睚镲铪11(,)32b a b a 禳ì镲?=蜽<<眄?ï镲î铪,因此,11111223()112A P A 骣琪??琪桫===W ,故选B. 9.A 【解析】易知2A =,2sin 1j =,由“五点法”知2p j p <<,则56p j =,且332p pw j ?=,得2w =,所以5()2sin 26f x x p骣琪=+琪桫,5()2sin 226g x x 骣骣p p 琪琪=-+琪琪桫桫2sin 26x p 骣琪=-琪桫, 因为5612x pp -＃,则22263x p p p -??,递减满足22263x p p p ??,即5312xpp＃,故选A. 10.C 【解析】因为()2201F A F B λλ=<<uuu r uuu r，所以点A 在2F B 之间，由2F A 垂直于1l ，得2,,==F A b OA a 又||||3||+=OA OB AB ，222||||||-=OB OA AB ，得3||4=AB a ，设2,∠=AOF α则2∠=π-AOB α，()22tan 3tan 2tan 21tan 4π-=-=-=--αααα，带入tan =b a α得3=ba， 所以224354F A b F B b a λ===+uuu r uuu r .故选C. 11.B 【解析】取AB 的中点为M ,设1O 是△ABC 的外心,过点1O 作平面ABC 的垂线1OO,13CO =因为O 为CD 中点,则三棱锥D ABC -的高12DH OO =,又2133D ABC V DH三棱锥-=?得2DH =,所以11OO =，故Q 球O 的半径2R OC ==，表面积为2416R p p =故选B.12.A 【解析】由函数ln 1()e x x x f x x +=+，得21l n ()e xx xf x x-'=-，当(0,1)x ∈时，10,ln 0x x ->->，所以()0f x '>，当(1,)x ∈+∞时，10,ln 0x x -<-<，所以()0f x '<，故()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，又因为222221122211ln 1111()0,(1)101e ee e e ef e f e e e ++=+=-<=+>，当0x >时，()0f x >，所以，方程()()22()2()1[()1][()1]0f x mf x m f x m f x m -+-=---+=恰好有3个不相等的实根，需要满足：101110m e m ⎧<+<+⎪⎨⎪-<⎩，解得1(1,)e m ∈-，故选A.二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.1或3【解析】由题意，221:()8C x y a +-=圆心为1(0,)C a ,半径为,222:()2C x a y -+=圆心为2(,0)C a ，圆心距d ==，由两圆只有一个公共点，故12d r r =+或121d r r a =-⇒=或3a =. 14.72ln 212-【解析】联立22,,4y x x y ì=ïïíï=ïî得2x =,2223112172ln 2ln 241212ABC x S dx x x x 骣骣琪琪=-=-=-琪琪桫桫ò曲边△.F 到平面ECM 的距离为h ,由图知点F 到平面ECM 的距离等于点B 到平面ECM 的距离,作BH 垂直于CM 于H ,在三角形BCM中，解得BH，所以h =.由cos cos cos cos A B C B C +和诱导公式,得()cos cos cos cos B C B C B C -++,得sin sin cos B C B C ,又sin 0B >,所以tan C ,0C p <<,得3C p=,由三角形面积公式,得)()2123sin 232242428ABCa bS ab C a b 骣+琪==Ｗ=琪桫△,此时236,23,a b a b ì+=ïí=ïî 得32a =,1b =, 由余弦定理,得2229371424c a b ab =+-=+-=, 又因为CD 是边AB 上中线,由平行四边形的性质,得 ()()2222913222142CD c a b 骣琪+=+=+=琪桫,所以21944CD =,所以CD =. 三、解答题（共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.【解析】(I)当1n =时,1116a S ==;若2n ³(*n N Î)时,22710n S n n =-+-,21(1)27(1)10n S n n -=--+--,1228n n n a S S n -=-=-+,显然,当1n =时,12128a ??,故数列{}n a 的通项公式是16,1228,2n n a n n ì=ï=í-+?ïî……6分(II)**,114(),15()n n na n n N a a n n N ì＃?ï=íï-澄î, ……8分 若114n ＃(*n N Î)时,12n T a a =++…n a +12a a =++…n a +22710n S n n ==-+-;….9分 若15n ³(*n N Î)时,21414271410172T =-+?=,于是201214151620()T a a a a a a =+++-+++1214121415202()()a a a a a a a a =+++-++++++214=. …………12分18.【解析】（I ）由题意，甲公司平均月薪的估计值=0.25+0.47+0.39+0.111=7.6()x ⨯⨯⨯⨯甲千元 甲公司平均月薪的估计值=0.13+0.25+0.37+0.29+0.1511+0.0513=7.5()x ⨯⨯⨯⨯⨯⨯乙千元 因为x x <乙甲，故从平均月薪收入更高的角度，应选择甲公司. ………………4分(注：本题也可以从其它统计数据特征进行分析，只要利用统计思想分析合理，都视为正确.) （II ）设甲公司有1n 人，则113000.31000n n =⇒=（人） 设乙公司有2n 人，则224000.22000n n =⇒=（人） 两公司月薪不低于10000元的总人数为10000.120000.2500⨯+⨯=（人） 故月薪不低于1000元频率为500130006=.………………8分 (Ⅲ)分 6.734 6.635k =>，故有99%的把握认为就业意愿与年龄结构有关. ………………12分19.【解析】(I)∵E 是BC 的中点,∴ 12BE BC =,∵ 12AD BC =,∴ AD BE = ,又 ∵AD ∥BC (即AD ∥BE ),∴ 四边形ABED 是平行四边形, ∴ ED ∥BA ,又 ∵ ED Ë平面PBA ,BA Ì平面PBA ,∴ ED ∥平面PBA ,又 ∵点E ，F 分别是棱BC ，PC 的中点，∴EF ∥BP ,又 ∵EF Ë平面PBA ,BP Ì平面PBA ,∴EF ∥平面PBA ,∵ED ,EF 是平面FED 内两相交直线, ∴平面PAB ∥平面FED .………6分(II)∵点P 在平面ABCD 内的射影H 是AB 的中点,∴PH ^平面ABCD ,即得PH AB ^ ,由12AD CD BC ==,E 是BC 的中点,90BCD??,易得2AB =,1HE BH AH ===,HE AB ^,建立如图空间直角坐标系H xyz -,则()0,0,0H ,()1,0,0B ,()0,1,0E ,()1,0,0A -,()1,2,0C -,()2,1,0D -,()0,0,1P ,11(,1,)22F -,……7分因为平面CEF 与坐标轴既不平行又不垂直,所以平面CEF 的一个法向量可设(),,1x y =n ,因为11(,0,)22EF uu u r =-,(1,1,0)EC =-uu ur ,于是0,0EF EC n n uu u ruu u r ì?ïíï?î,即100x x y ì-+=ïí-+=ïî,得11x y ì=ïí=ïî,即(1,1,1)n =,因为平面EFD ^y 轴,所以平面EFD 的一个法向量(0,1,0)m =,………10分 设二面角C EF D --的平面角为q (02pq <<), cos q ×=n m n m分),故二面角C EF D --………12分 20.【解析】(Ι)由题意得122226c b c a ⎧⋅⋅=⎪⎨⎪+=⎩，又由222a b c =+，解得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故椭圆E 的方程为22143x y +=；………….5分 (Ⅱ)由题意直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为1x my =+，1122(,),(,)A x y B x y ，则22(,)D x y -，直线AD 与直线BC 的交点记为T ，由对称性可知T 点必在x 轴上，设(0,)T t ，联立221143x my x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690m y my ++-=，122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩，(*) ………….8分 直线AD 的方程为121112()y y y y x x x x +-=--，令0y =得()112112y x x x x y y --=++，………….10分 ()()112112211221122112121212(1)(1)21y x x x y y x y x y my y my y my y x y y y y y y y y --++++++∴====+++++，带入(*)式得2292341434m m m ⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭+=+，故直线AD 与直线BC 的交点过定点，定点坐标为(4,0).…12分 21.【解析】(I) 当32a =时,2()3ln f x x x x =-+,其定义域为(0,)+?, 1(21)(1)()23x x f x x x x--¢=-+=,当10,(1,)2x 骣琪??琪桫时,()0f x ¢>,所以()f x 的递增区间是10,2骣琪琪桫和()1,+?;当1,12x 骣琪Î琪桫时,()0f x ¢<,所以()f x 在1,12骣琪琪桫上递减, 因此,()f x 的极大值点是12x =,极小值点是1x =.………4分(II)2221()x ax f x x-+¢=,依题意, 设m ,n (m n <)是方程22210x ax -+=不同的两正根,依根与系数关系,得m n a +=,12mn =,又m n <,于是12m ?1n <?,当112x 轹êÎê滕时,11max ()()()f x f x f m ?;当2x úÎú棼时,22min()()()f x f x f n ?,………6分所以()()()G a f m f n =-2()()2()ln m m n m n a m n nm=-+-++ 2()()2()()ln(2)m n m n m n m n m =-+--++2()()ln(2)m n m n m =--++2221ln(2)4m m m =-+,令22m t =(112t ?),………8分 于是1()()ln 22t G a g t t t ==-+,()()22211110222t g t t t t -¢=--+=-<,所以()g t ()g t 在1,02轹÷ê÷ê滕上递减,1(1)()()2g g t g <?,即30()ln 24g t <?, 故()G a 的取值范围是30,ln 24纟ç-úçú棼.………12分22.【解析】（I）由2cos ,12sin x y q q ìïíï=+î分别得2cos x q -……①,12sin y q -=,……②由①、②得曲线C的普通方程为22((1)4x y -+-=,………2分由2cos 203pr q 骣琪++=琪桫得,cos sin 20r q q -+=(3分),由极直互化公式cos ,sin x yr q r q ì=ïí=ïî, 得曲线l的直角坐标方程为20x -+=；………5分（II）设圆心C ,设l 与C 相交于点A ,B ,当PC l ^,且点P 在¼AmB 上时,点P 到l 的距离最大， 此时,射线CP 对应的最小正角为300q =?(8分),2cos3001P x ?,12sin3001P y =+?-故点点P的直角坐标为(1-.………10分23.【解析】（I ）令()()4h x f x =+,于是2,1,1()34,1,216,2x x h x x xx x ìï+<-ïïï=+-＃íïïï->ïî(1分)不等式()40f x +?等价于 1,20x x ì<-ïí+?ïî或11,2340x x ì-＃ïíï+?î或1,260x x ì>ïíï-?î,………2分 即得,21x -?-或112x -＃或162x <?, 亦即,26x-＃,故原不等式()40f x +?的解集为{}26x R x ∈-≤≤.………5分 （II ）2,1,1()3,1,212,2x x f x x x x x ìï-<-ïïï=-＃íïïï->ïî(6分),所以()f x 在1,2纟ç-?úçú棼上递增,在1,2轹÷+?ê÷ê滕上递减,所以max 13()22f x f 骣琪==琪桫, 存在0x R Î,使得()2052m m f x +?成立,所以2max53()22m m f x +?, 所以22530m m +-?,解得132m -＃, 故m 的取值范围是13,2轾-犏犏臌. ………10分。

2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)2019年北京市高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z=i（1+i），则|z|等于（）A。

2B。

√2C。

1D。

2√22.在方程r=2cosθ+3sinθ（θ为参数）所表示的曲线上的点是（）A。

(2.-7)B。

(3.1)C。

(1.5)D。

(2.1)3.设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=2(a2+a3)，则Sn=（）A。

5anB。

6anC。

7anD。

14an4.将函数y=sin2x的图象向左平移π/4个单位后得到函数y=g(x)的图象。

则函数g(x)的一个增区间是（）A。

(π/4.3π/4)B。

(3π/4.5π/4)C。

(5π/4.7π/4)D。

(7π/4.9π/4)5.使“a>b”成立的一个充分不必要条件是（）A。

a>b+1B。

a>b-1C。

a^2>b^2D。

a^3>b^36.下列函数：①y=-|x|；②y=(x-1)^3；③y=log2(x-1)；④y=-6.在x中，在(1.+∞)上是增函数且不存在零点的函数的序号是（）A。

①④B。

②③C。

②④D。

①③④7.某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（）A。

6B。

8C。

10D。

128.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A。

336B。

510C。

1326D。

3603二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.在(1-x)^5的展开式中，x^2的系数为______（用数字作答）。

答案：1010.已知向量a=(1.b)。

b=(-2.-1)，且向量a+b的模长为√10.则实数x=______。

电池购销合同合同编号：_____________甲方（购方）：_____________地址：_____________联系人：_____________电话：_____________乙方（销方）：_____________地址：_____________联系人：_____________电话：_____________鉴于甲方希望购买乙方提供的电池产品，乙方愿意根据以下条款和条件供应该产品，双方达成如下合同：1. 产品描述与规格乙方同意出售以下电池产品给甲方，产品的具体描述、规格、数量、单价和总价如下：产品名称 | 型号/规格 | 数量 | 单价 | 总价-- | - | - | - |（电池产品描述） | （型号/规格） | （数量） | （单价） | （总价）2. 质量保证乙方保证所提供的电池产品符合相关质量标准，并在交付之日起___个月内对任何由于制造缺陷引起的问题提供免费更换或维修服务。

3. 交付乙方应在合同签订后的___个工作日内将产品交付给甲方。

交付地点为甲方指定的下述地址：_____________4. 付款条件甲方应在合同签订之日起___个工作日内，通过银行转账的方式向乙方支付合同总价的___%作为预付款，余款在产品交付并验收合格后的___个工作日内支付。

5. 运输与保险乙方负责产品的运输，并承担运输过程中的风险。

乙方还应为产品投保运输险，保险费用包含在产品价格中。

6. 验收甲方应在收到产品后___个工作日内完成验收。

如产品符合合同规定的规格和质量要求，甲方应签发验收合格证书给乙方。

7. 违约责任如一方违反合同条款，违约方应承担违约责任，并赔偿对方因此遭受的直接损失。

8. 争议解决双方因执行本合同而发生的任何争议，应首先通过友好协商解决。

如协商不成，任何一方均可向乙方所在地人民法院提起诉讼。

9. 其他本合同一式两份，甲乙双方各执一份。

本合同自双方授权代表签字盖章之日起生效。

甲方代表（签字）：_____________日期：_____________乙方代表（签字）：_____________日期：_____________（注：以上合同仅为示例，具体条款需根据实际情况调整，并建议在签订前由法律专业人士审核。