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2012年山西省高考联合模拟训练二数学试题（理）答案一、选择题（1）A （2）D （3）D （4）A （5）B （6）B（7）D （8）D （9）C （10）A （11）D （12）C二、填空题 (13) 4π (14) 8 （15） 4 （16） ① ③ 三、解答题（17）解：（1）由*120(2,)n n n a S S n n -+⋅=≥∈N ，得1120n n n n S S S S ---+⋅=， 所以*1112(2,)n n n n S S --=≥∈N 故{1nS }是等差数列． （4分） (2)由(1)知, 12n n S =，所以12n S n =。
111(2)22(1)n n n a S S n n n -=-=-≥- 所以1,(1),21,(2).2(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩ （9分） 112(1)[](2)2(1)n b n n n n n=-⋅-=≥- 所以221111(2)(1)1n b n n n n n n=<=-≥-- 2223b b ++…2n b +1111223<-+-+…111111n n n+-=-<- （12分） （18）（1）∵AD // BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ ．∵∠ADC =90° ∴∠AQB =90° 即QB ⊥AD ．又∵平面PAD ⊥平面ABCD 且平面PAD ∩平面ABCD=AD ，∴BQ ⊥平面PAD ．∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． （4分）（2）∵PA =PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ ⊥AD ．∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD=AD ，∴PQ ⊥平面ABCD ．如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC 的法向量为(0,0,1)n =；(0,0,0)Q，P ，B，(C -．设(,,)M x y z，则(,,PM x y z =，(1,)MC x y z =----，∵PM tMC =，∴(1))(x t x y t y z t z =--⎧⎪=⎨⎪-=-⎩）， ∴111t x t y t z t⎧=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩ （8分） 在平面MBQ中，QB =，(1t QM t =-+， （10分） ∴ 平面MBQ 法向量为(3,0,)m t =．∵二面角M-BQ-C 为30°，cos3023n mn m ︒⋅===+， ∴ 3t =． （12分）19 1.（1）8 (2) 0.44 (3)6 (4) 0.12 （4分）2.由(1)得p=o.4①该同学恰好答满4题而获一等奖，即前3道题中刚好答对1道，第4道题也能够答对才获得一等奖，则有1728.04.04.06.0213=⨯⨯⨯C （6分）②答对2题就终止答题，并获得一等奖，所以该同学答题个数为2、3、4. 即432、、=X16.0)2(4.02===X P 408.04.06.04.0)3(6.0312=+⨯⨯⨯==C X P432.04.0)4(6.0213=⨯==C X P （10分） 分布列为：（12分）20．解：（1）直线x y 22=与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个交点的坐标为（c ,c 22）,(c , -c 22) （1分） a b c 222=∴ 222c a ac -=, e=22 （4分） (2) 由已知得 2a=22 2=∴a代入椭圆C 的方程得：解得 1,1a b c === ∴所求椭圆的方程为1222=+y x（5分） 由题意知l 的斜率存在且不为零，设l 方程为2(0)x my m =+≠ ①，将①代入1222=+y x ，整理得22(2)420m y my +++=，由0>∆得2 2.m >（7分） 设),(11y x E ，),(22y x F ，则1221224222my y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ ②（8分） 由已知， 12OBE OBF S S ∆∆=， 则||1||2BEBF =由此可知，2BF BE =，即212y y =（9分） 代入②得，12212432222my m y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去1y 得222221629(2)2m m m ⋅=++ 解得，2187m =，满足2 2.m >即7m =±（11分） 所以，所求直线l的方程为71407140x x --=+-=或.（12分） 21, 解：（1）f '(x)=(2x+a)e x -－(x 2+ax+a)e x -=－e x - [x 2+(a －2)x] （2分）令f '(x)=0 解得x=0或x=2－a ①当a=2时，f '(x)≤ 0,此时无极值②当0＜2－a ，即a ＜2时f '(x)和f(x)的变化如图表：③当0＞2－a,即a ＞2时, f '(x)和f(x)的变化如图表2此时应有f(2-a)=0,即[(2-a)2+a(2-a)+a]e 2-a =0,而e2-a ≠0,所以必有(2-a)2+a(2-a)+a=0,a=4＞2,综上所述,当a=0或a=4时, f(x)的极小值为0. (6分)(2)∵f(x)=(x 2+ax+a)ex-, f '(x)= －ex- [x 2+(a －2)x],∴方程f(x)+ f '(x)=2xe x-+x2-可以化为aex-=x2-进而化为x2-e x=a.构造函数ϕ(x)=x2-e x(x ≠0),求导可得ϕ'(x)=e x(x-2)x3-.由ϕ'(x) ＞0得x＜0或x ＞2;由ϕ'(x) ＜0得0＜x ＜2,从而ϕ(x)在区间(－,∞0)和(2, +∞)上单调递增,在区间(0,2)上单调递减,当x=2时,函数ϕ(x)取得极小值42e ,并且结合函数图像可知:当∣x ∣无限趋近于0时, ϕ(x) ＞0并且取值无限增大,其图像向上无限接近y 轴,(此时y 轴是渐近线);当x ＜0并且无限减小时, ϕ(x) ＞0并且取值无限减小,其图像在x 轴上方并向左无限接近x 轴,但永远也达不到x 轴(此时x 轴是渐近线);当x ＞2并无限增大时, ϕ(x) ＞0并且取值也无限增大,其图像在第一象限内向右上方延伸(如图所示),因此当a ≤0时,原方程无实数根;当0＜a ＜42e 时,原方程只有一个实数根;当a=42e 时,原方程有两个不等的实数根;当a ＞42e 时原方程有三个不等的实数根. (12分)22.（22. (1)∵AD ∥ BC∴AB=DC ∠EDC=∠BCD （2分） 又PC ⊙O 与相切 ∴ ∠ECD=∠DBC∴ △CDE ∽ △BCD ∴DCDEBC DC =∴CD 2=DE ∙BC 即 AB 2=DE ∙.BC （5分）（2）由 (1)知49622===BC AB DE ∵ △PDE ∽△PBC 94==∴BC DE PB PD ∵PB- PD=9 ∴536=PD 581=PB222554581536=⨯=⋅=∴PB PD PC554=∴PC （10分） 23．(1)消去参数ϑ得圆C 的普通方程为9)1()3(22=-+-y X (2分) 由0)6cos(=+πϑρ 得0sin 21cos 23=-θρθρ 直线L 的直角坐标方程03=-y x (5分) (2) 圆心(1,3)到L 的距离d11)3(13322=+-⨯=d (7分)设圆心截直线L 所得弦长m22222=-=d r m24=m (10分)。
北京市2012届高考数学理科仿真模拟卷2一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．在复平面内，复数121iz i-=+对应的点位于 (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限(D) 第四象限2．下列四个命题中，假命题为(A) x ∀∈R ，20x > (B) x ∀∈R ，2310x x ++> (C) x ∃∈R ，lg 0x >(D) x ∃∈R ，122x =3．已知a >0且a ≠1，函数log a y x =，xy a =，y x a =+在同一坐标系中的图象可能是(A)(B)(C)(D)4．参数方程2cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩，，为参数和极坐标方程4sin ρθ=所表示的图形分别是(A) 圆和直线 (B) 直线和直线 (C) 椭圆和直线 (D) 椭圆和圆 5．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数的个数是(A) 120 (B) 84 (C) 60 (D) 48 6．已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能是(A) 441sin()555y x =+ (B) 31sin(2)25y x =+(C) 441sin()555y x =-(D) 41sin(2)55y x =+本题就是考查正弦函数的图象变换。
最好采用排除法。
考查的关键是A ，ω，φ每一个字母的意义。
7．已知直线l ：0Ax By C ++=(A ，B 不全为0)，两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，若1122()()0Ax By C Ax By C ++++>，且1122Ax By C Ax By C ++>++，则(A) 直线l 与直线P 1P 2不相交(B) 直线l 与线段P 2 P 1的延长线相交 (C) 直线l 与线段P 1 P 2的延长线相交(D) 直线l 与线段P 1P 2相交本题就是考查线性规划问题。
2012年河北省普通高考模拟考试理科数学答案一、选择题：ABCDC ，CABBA ，BD二、填空题：13，2-；14，221n n S n =+-；15，412-π；16，20π． 三、解答题： 17．【解析】：（Ⅰ）由正弦定理得：(2)cos cos a c B b C -=⇒(2sin sin )cos sin cos A C B B C -= ……………2分即：2sin cos sin cos cos sin sin()sin A B C B C B B C A =+=+= ………4分 在ABC ∆中，0sin 0A A π<<∴≠1cos ,023B B B ππ∴=<<∴=又，． …………………………6分（Ⅱ）由余弦定理得：222122cos 60()3a c ac a c ac =+-=+- ……………..8分 则8ac = ……………..10分11sin 8222ABC S ac B ∆∴==⋅⋅= ……………..12分 18．【解析】：取AB 中点H ，则由PA ＝PB ，得PH ⊥AB ，又平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PA B ∩平面ABCD=AB ，所以PH ⊥平面ABCD ．以H 为原点，建立空间直角坐标系H －xyz （如图）．则(1,0,0),(1,0,0),(A B D C P -- ………..2分（I）证明：∵(1,2,3),(2,PD AC =-=-,………..4分∴(0PD AC ⋅=⋅-=， ∴PD AC ⊥，即PD ⊥AC. ………..6分(II) 假设在棱PA 上存在一点E ，不妨设AE =λAP (01)λ<<，则点E 的坐标为(1)λ-， ………..8分 ∴(2,0,3),(2,2,0)BE BD λλ=-= 设(,,)n x y z =是平面EBD 的法向量，则n BE n BD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩00n BE n BD ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩(2)00200x y z x y z λ⎧-+⋅=⎪⇒⎨++⋅=⎪⎩z x y ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩，不妨取x =EBD的一个法向量2(3,)n λλ-=--． (10)分又面ABD 的法向量可以是HP =(0,0,，要使二面角E-BD-A 的大小等于45°，则0(cos 45|cos ,|(HP nHP n HP n ⋅=<>==⋅可解得12λ=，即AE =12AP 故在棱PA 上存在点E ，当12AE AP =时，使得二面角E-BD-A 的大小等于45°．……..12分19.【解析】 （Ⅰ）中位数1761781772+==cm. ………..2分 （Ⅱ）根据茎叶图，有“合格”12人，“不合格”18人，用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是61305=， 所以选中的“合格”有26112=⨯人， ………..4分 “不合格”有36118=⨯人． ………..6分 （Ⅲ）依题意，X 的取值为0,1,2．则28212C 2814(=0)C 6633===P X ，1148212C C 3216(1)C 6633====P X ，24212C 63(2)C 6633====P X ．因此，X 的分布列如下：………..10分14163222012333333333∴=⨯+⨯+⨯==EX ． ………..12分 备注：一个概率1分，表格1分，共4分20．【解析】（Ⅰ）由题意：一条切线方程为：2x =，设另一条切线方程为：4(2)y k x -=- ..2分2=，解得：34k =，此时切线方程为：3542y x =+ 切线方程与圆方程联立得：68,55x y =-=，则直线AB 的方程为22=+y x ……….4分 令0=x ，解得1=y ，∴1=b ；令0y =,得2x =,∴2=a故所求椭圆方程为1422=+y x ……….6分（Ⅱ）联立221.4y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩整理得()08384122=+++kx x k ，令),(11y x P ，),(22y x Q ，则2214138k k x x +-=+，221418k x x +=， 0)41(32)38(22>+-=∆k k ，即：0122>-k ………..8分原点到直线l的距离为=d ………..10分12|||PQ x x =-，∴121|2OPQS PQ d x x ∆=⋅=-===1=≤当且仅当k =OPQ ∆面积的最大值为1. ………..12分21．【解析】： （Ⅰ）1()xf x e x a =+-，21'()()xf x e x a =--，21'(0)1f a=-． 当12a =时，'(0)3f =-．又(0)1f =-． ………..2分 则()f x 在0x =处的切线方程为31y x =--． ………..4分 （Ⅱ）函数()f x 的定义域为(,)(,)a a -∞+∞．当(,)x a ∈+∞时，10,0xe x a >>-，所以1()0x f x e x a=+>-． 即()f x 在区间(,)a +∞上没有零点． ………..6分当(,)x a ∈-∞时，1()1()x xe x af x e x a x a-+=+=--， 令()()1xg x e x a =-+． ………7分 只要讨论()g x 的零点即可．'()(1)xg x e x a =-+，'(1)0g a -=． 当(,1)x a ∈-∞-时，'()0g x <，()g x 是减函数； 当(1,)x a a ∈-时，'()0g x >，()g x 是增函数． 所以()g x 在区间(,)a -∞最小值为1(1)1a g a e--=-． ………..9分显然，当1a =时，(1)0g a -=，所以1x a =-是()f x 的唯一的零点；当1a <时，1(1)10a g a e --=->，所以()f x 没有零点；当1a >时，1(1)10a g a e --=-<，所以()f x 有两个零点． ………..12分22．【解析】：（Ⅰ）证明：连接AD ，在ADB EFB ∆∆和中BD BE BA BF ⋅=⋅BD BFBA BE∴= ………..2分 又DBA EBF ∠=∠ADB ∴∆∽EFB ∆ ………..4分 则90EFB ADB ∠=∠=EF FB ∴⊥ ………..5分 (Ⅱ)在ADB ∆中，90ADB ADE ∠=∠= 又90EFB ∠=∴E F A D 、、、四点共圆； ………..7分DFB AEB ∴∠=∠ ………..9分 又AB 是⊙O 的直径，则90ACB ∠=，∴90DFB DBC AEB DBC ∠+∠=∠+∠= ………..10分23．【解析】：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为2240x x y -+=． ………..2分将2212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入上式并整理得2120t -+=．解得t =T的坐标为． ………..4分其极坐标为(2,)3π………5分（Ⅱ）设直线l '的方程为(1),0y k x kx y k =--+=即． ………..7分由（Ⅰ）得曲线C 是以(2,0)为圆心的圆，且圆心到直线l '=0k =，或k =直线l '的方程为y =y =． ………..9分其极坐标方程为sin 3πρθθ==()R ρ∈．…………………………10分24．【解析】：（Ⅰ）22,3()1|3|4,3122,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩………..4分则当[3,1]x ∈-时，)(x f 为常函数. ………..5分 （Ⅱ）由（1）得函数()f x 的最小值为4， ………..8分Ba . …..10分则实数a的取值范围为4。
广东省2012届高三下学期高考模拟仿真试题（四）理科数学广东省2012届高三下学期高考模拟仿真试题 (四)理科数学一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.如图，U是全集，M，N，S是U的子集，则图中阴影部分所示的集合是( A ) A．(?UM∩?UN)∩S B．(?U(M∩N))∩S C．(?UN∩?US)∪M D．(?UM∩?US)∪N 解析：由韦恩图可知，阴影部分所表示的是M与N的并集的补集与S的交集，故选A.2.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z＝(1＋ai)i为“等部复数”则实数a的值为( A )A．－1 B．0 C．1 D．2解析：复数z＝(1＋ai)i＝－a＋i，由题设得a＝－1.选A.－－3.已知函数f(x)＝1＋logax(a>0，且a≠1)，f1(x)是f(x)的反函数．若f1(x)的图象过点(3,4)，则a等于( D )3A.2 B.3 C.3 D．2解析：反函数图象过点(3,4)，则原函数图象过点(4,3)，有3＝1＋loga4，得a＝2.选D. 14.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an＝( D )nA．1＋n＋lnn B．2＋(n－1)lnn C．2＋nlnn D．2＋lnn3n解析：an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋?＋(an－an－1)＝2＋ln2＋ln＋?＋ln ＝2＋lnn.2n－1选D.5.已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的命题个数是( C )①α∥β，m?α，n?β，则m∥n; ②若m?α，n?α，且m∥β，n∥β，则α∥β；③若α⊥β，m?α，则m⊥β；④若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α A．3 B．2 C．1 D．0 解析：只有④正确，故选C.x1＋y16.已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则的值为( B )x2＋y22255A. B．－ C. D．－ 3366解析：由a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉知，cos〈a，b〉＝－1，x1y1x1＋y122即a与b反向，所以a＝－b，所以＝＝＝－.3x2y2x2＋y23第 1 页共 9 页7.如图P，Q，R，S为海上的四个小岛，现在要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案有( C )A．8种 B．12种 C．16种 D．20种解析：第一类：从一个岛出发向其它三岛各建一桥，共有C14＝4种方法；第二类：一个岛最多建设两座桥，例如：P—Q—R—S，S—R—Q—P，这样的两个排列A44对应一种建桥方法，因此有＝12种方法；2根据分类计数原理知道共有4＋12＝16种方法．选C. 8.给出下列3个命题：①函数y＝f(1－x)的图象与函数y＝f(1＋x)的图象关于直线x＝1对称；②若奇函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则y＝f(x)的周期为2a；③已知集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，则以A为定义域，以B为值域的函数有8个．在上述3个命题中，所有不正确命题的序号是( A ) ．．．A．①②③ B．①② C．①③ D．②③解析：①是错的．如f(x)＝x2时，y＝(x－1)2与y＝(x＋1)2的图象不关于直线x＝1对称；π②是错的．如y＝sinx是奇函数，图象关于x＝对称，但y＝sinx的周期不是π；③是错的．以2A为定义域，以B为值域的函数只有6个．二、填空题(本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．) (一)必做题(9～13题)9.下图是一个算法的流程图，若输入a＝－1，b＝2，则最后输出的结果是x0(b≠0)的程序框图，若输入a＝－1，b＝2，可得输出x0)，则焦点是F(－，0)．2因为点A(－3，n)在抛物线上，且|AF|＝5，n＝6p??故?，解得p＝4，故抛物线方程为y2＝－8x. p22???－3＋2?＋n＝512.抛掷两个骰子，当至少有一个5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在30次试验中成功次数η的期望和方差为别是50200， .(前空3分，后空2分) 327445解析：η～B(30，p)，其中p＝1－×＝，66955054200所以Eη＝30×＝，Dη＝30××＝.93992713.如图，已知平面α∥平面β，线段PQ、PF、QC分别交平面α于A、B、C 点，交平面β于D、F、E点，PA＝9，AD＝12，DQ＝16，△ABC的面积是72，则△DEF的面积为 96 .解析：平面α∥平面β，所以AB∥DF，AC∥DE，所以∠CAB＝∠EDF.PA＋AD7在△PDF中，AB∥DF，DF＝AB＝AB，PA34同理DE＝AC.714所以S△DEF＝DF·DEsin∠EDF＝S△ABC＝96.23 (二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题．) 14.(坐标系与参数方程选做题)?x＝t＋t过点P(－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线?1y＝t－?t的长为 217 .第 3 页共 9 页1相交于A、B两点，则线段AB?解析：直线的参数方程为?1y＝?2s化为x2－y2＝4.x＝－3＋3s2?(s为参数)，曲线?1y＝t－?t1x＝t＋t(t为参数)可以将直线的参数方程代入上式，得s2－63s＋10＝0.设A、B对应的参数分别为s1，s2，所以s1＋s2＝63，s1s2＝10. 所以|AB|＝|s1－s2|＝?s1＋s2?2－4s1s2＝217.15.(几何证明选讲选做题)如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC 相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，则PA的长为153. 2解析：因为DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，所以EC＝9. 因为CE∶BE＝3∶2，所以BE＝6.DEEC由DE2＝EF·EC，得＝，又∠DEF＝∠DEC，所以△DEF∽△CED，EFDE所以∠ECD＝∠EDF，又∠APE＝∠ECD，所以∠APE＝∠EDF， AEEF所以△APE∽△FDE，所以＝，所以CE·EB＝AE·DE＝EF·EP，EPDE27所以9×6＝4×EP，解得EP＝.21545所以PB＝PE－BE＝，PC＝PE＋EC＝.221545153由切割线定理得：PA2＝PB·PC，所以PA2＝×，所以PA＝. 222三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)16.(本小题满分12分)11ππ1已知函数f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin(＋φ)(0。
C 三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数9．B9、C1[2012·湖北卷] 函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．79. C [解析] 令f (x )＝0，得x ＝0或cos x 2＝0，由x ∈[]0，4，得x 2∈[]0，16.因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋k π＝0()k ∈Z ，故方程cos x 2＝0中x 2的解只能取x 2＝π2，3π2，5π2，7π2，9π2∈[]0，16.所以零点个数为6.故选C.C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式7．C2[2012·辽宁卷] 已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )A ．－1B ．－22C.22 D ．17．A [解析] 本小题主要考查同角三角函数基本关系的应用．解题的突破口为灵活应用同角三角函数基本关系．∵sin α－cos α＝2⇒()sin α－cos α2＝2⇒1－2sin αcos α＝2⇒sin αcos α＝－12⇒sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－12⇒tan αtan 2α＋1＝－12⇒tan α＝－1.故答案选A.17．C2、C5、C6[2012·福建卷] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；(2)sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；(3)sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；(4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；(5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)请从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 17．解：解法一：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 解法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α) ＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.18．C5、C2、C3[2012·重庆卷] 设f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6sin ωx －cos(2ωx ＋π)，其中ω＞0. (1)求函数y ＝f (x )的值域；(2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－3π2，π2上为增函数，求ω的最大值． 18．解：(1)f (x )＝4⎝⎛⎭⎫32cos ωx ＋12sin ωx sin ωx ＋cos2ωx＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin2ωx ＋1.因－1≤sin2ωx ≤1，所以函数y ＝f (x )的值域为[1－3，1＋3]．(2)因y ＝sin x 在每个闭区间⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上为增函数，故f (x )＝3sin2ωx ＋1(ω＞0)在每个闭区间⎣⎡⎦⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω(k ∈Z )上为增函数．依题意知⎣⎡⎦⎤－3π2，π2⊆⎣⎡⎦⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω对某个k ∈Z 成立，此时必有k ＝0，于是 ⎩⎨⎧－3π2≥－π4ω，π2≤π4ω，解得ω≤16，故ω的最大值为16.C3 三角函数的图象与性质16．C3、C5[2012·广东卷] 已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．16．解：(1)由2πω＝10π得ω＝15.(2)∵－65＝f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝2cos ⎝⎛⎭⎫15⎝⎛⎭⎫5α＋53π＋π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－2sin α， 1617＝f ⎝⎛⎭⎫5β－56π＝2cos ⎝⎛⎭⎫15⎝⎛⎭⎫5β－56π＋π6＝2cos β， ∴sin α＝35，cos β＝817.∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45， sin β＝1－cos 2β＝1－⎝⎛⎭⎫8172＝1517.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.15．C3、K3[2012·湖南卷] 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图1－5所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．(1)若φ＝π6，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，332，则ω＝________；(2)若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为________．15．(1)3 (2) π4[解析] 考查三角函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象与解析式，结合导数和几何概型，在陈题上有了不少的创新．作为填空题，第二问可在第一问的特殊情况下求解．(1)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)求导得，f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)，把φ＝π6和点⎝⎛⎭⎫0，332代入得ωcos ⎝⎛⎭⎫0＋π6＝332解得ω＝3.(2)取特殊情况，在(1)的条件下，导函数f ′(x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6，求得A ⎝⎛⎭⎫π9，0， B ⎝⎛⎭⎫5π18，－3，C ⎝⎛⎭⎫4π9，0，故△ABC 的面积为S △ABC ＝12×3π9×3＝π2，曲线段与x 轴所围成的区域的面积S ＝－⎪⎪f (x ) 4π9π9＝－sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫3π9＋π6＝2，所以该点在△ABC 内的概率为P ＝S △ABC S ＝π4.15．C3、C4、C5[2012·北京卷] 已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间．15．解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．因为f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin2x －cos2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π－π8，k π和⎝⎛⎦⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )． 17．F3、C3[2012·山东卷] 已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝⎝⎛⎭⎫3A cos x ，A2cos2x (A >0)，函数f (x )＝m·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域．17．解：(1)f (x )＝m ·n＝3A sin x cos x ＋A2cos2x＝A ⎝⎛⎭⎫32sin2x ＋12cos2x＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为A >0，由题意知，A ＝6.(2)由(1)f (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象； 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3的图象．因此，g (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π24， 所以4x ＋π3∈⎣⎡⎤π3，7π6. 故g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域为[－3,6]．16．C3、C4[2012·陕西卷] 函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．16．解：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2，∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin2x －π6＋1.(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋1＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝12， ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，故α＝π3.3．C3、N2[2012·上海卷] 函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 cos x sin x －1的值域是________．3.⎣⎡⎦⎤－52，－32 [解析] 考查二阶矩阵和三角函数的值域，以矩阵为载体，实为考查三角函数的值域，易错点是三角函数的化简．f (x )＝－2－sin x cos x ＝－2－12sin2x ，又－1≤sin2x ≤1，所以f (x )＝－2－12sin2x 的值域为⎣⎡⎦⎤－52，－32.18．C5、C2、C3[2012·重庆卷] 设f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6sin ωx －cos(2ωx ＋π)，其中ω＞0. (1)求函数y ＝f (x )的值域；(2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－3π2，π2上为增函数，求ω的最大值． 18．解：(1)f (x )＝4⎝⎛⎭⎫32cos ωx ＋12sin ωx sin ωx ＋cos2ωx＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin2ωx ＋1.因－1≤sin2ωx ≤1，所以函数y ＝f (x )的值域为[1－3，1＋3]．(2)因y ＝sin x 在每个闭区间⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上为增函数，故f (x )＝3sin2ωx ＋1(ω＞0)在每个闭区间⎣⎡⎦⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω(k ∈Z )上为增函数．依题意知⎣⎡⎦⎤－3π2，π2⊆⎣⎡⎦⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω对某个k ∈Z 成立，此时必有k ＝0，于是 ⎩⎨⎧－3π2≥－π4ω，π2≤π4ω，解得ω≤16，故ω的最大值为16.C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质16．C3、C4[2012·陕西卷] 函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．16．解：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2，∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin2x －π6＋1.(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋1＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝12， ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，故α＝π3.16．C4、C5、C6、C7[2012·安徽卷] 设函数f (x )＝22cos2x ＋π4＋sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )．求g (x )在区间[－π，0]上的解析式．16．解：(1)f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x ＝22⎝⎛⎭⎫cos2x cos π4－sin2x sin π4＋1－cos2x 2 ＝12－12sin2x . 故f (x )的最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )＝12sin2x ，故 ①当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0时，x ＋π2∈⎣⎡⎦⎤0，π2.由于对任意x ∈R ，g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )，从而 g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝12sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝12sin(π＋2x )＝－12sin2x . ②当x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎡⎭⎫0，π2，从而 g (x )＝g (x ＋π)＝12sin[2(x ＋π)]＝12sin2x .综合①②得g (x )在[－π，0]上的解析式为g (x )＝⎩⎨⎧12sin2x ，x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π2，－12sin2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0.15．C3、C4、C5[2012·北京卷] 已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间．15．解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．因为f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin2x －cos2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π－π8，k π和⎝⎛⎦⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )． 14．C4[2012·全国卷] 当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝________.14.5π6[解析] 本小题主要考查利用三角函数的两角和与差公式变形求最值，解题的突破口为化为振幅式并注意定义域．函数可化为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，由x ∈[0,2π)得x －π3∈⎣⎡⎭⎫－π3，5π3，∴x －π3＝π2时，即x ＝5π6时，函数有最大值2，故填5π6.17．C4、C6、C7、F3[2012·湖北卷] 已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx ,23cos ωx )．设函数f (x )＝a·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围．17．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π6＝±1， 所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π4，0，得f ⎝⎛⎭⎫π4＝0， 即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2. 故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2，由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6≤1，得－1－2≤2sin 53x －π6－2≤2－ 2. 故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－2]．9．C4[2012·课标全国卷] 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2] 9．A [解析] 因为当ω＝1时，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上是单调递减的，故排除B ，C 项；当ω＝2时，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上不是单调递减的， 故排除D 项．故选A.4．C4[2012·浙江卷] 把函数y ＝cos2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )图1－14．A [解析] 本题主要考查三角函数的图象与性质，以及三角函数图象的平移问题．考查函数图象变换方法和技巧．把函数y ＝cos2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数y ＝cos2⎝⎛⎭⎫12x ＋1＝cos x ＋1的图象；然后向左平移1个单位长度得到函数y ＝cos(x ＋1)＋1的图象；再向下平移1个单位长度得到函数y ＝cos(x ＋1)＋1－1＝cos(x ＋1)的图象；结合各选项中的图象可知其图象为选项A 中的图象，故应选A.C5 两角和与差的正弦、余弦、正切5．C5、C7[2012·重庆卷] 设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 5．A [解析] 因为tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，所以tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.17．C8、C5[2012·课标全国卷] 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .17．解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.18．C5、C2、C3[2012·重庆卷] 设f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6sin ωx －cos(2ωx ＋π)，其中ω＞0. (1)求函数y ＝f (x )的值域；(2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－3π2，π2上为增函数，求ω的最大值． 18．解：(1)f (x )＝4⎝⎛⎭⎫32cos ωx ＋12sin ωx sin ωx ＋cos2ωx＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin2ωx ＋1.因－1≤sin2ωx ≤1，所以函数y ＝f (x )的值域为[1－3，1＋3]．(2)因y ＝sin x 在每个闭区间⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上为增函数，故f (x )＝3sin2ωx ＋1(ω＞0)在每个闭区间⎣⎡⎦⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω(k ∈Z )上为增函数．依题意知⎣⎡⎦⎤－3π2，π2⊆⎣⎡⎦⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω对某个k ∈Z 成立，此时必有k ＝0，于是 ⎩⎨⎧－3π2≥－π4ω，π2≤π4ω，解得ω≤16，故ω的最大值为16.16．C3、C5[2012·广东卷] 已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．16．解：(1)由2πω＝10π得ω＝15.(2)∵－65＝f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝2cos ⎝⎛⎭⎫15⎝⎛⎭⎫5α＋53π＋π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－2sin α， 1617＝f ⎝⎛⎭⎫5β－56π＝ 2cos ⎝⎛⎭⎫15⎝⎛⎭⎫5β－56π＋π6＝2cos β，∴sin α＝35，cos β＝817.∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45， sin β＝1－cos 2β＝1－⎝⎛⎭⎫8172＝1517.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.8．F2、C5[2012·安徽卷] 在平面直角坐标系中，点O (0,0)，P (6,8)，将向量OP →绕点O按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A ．(－72，－2)B ．(－72，2)C ．(－46，－2)D ．(－46，2)8．A [解析] 本题考查三角函数的和角公式，点的坐标．设∠POx ＝α，因为P ()6，8，所以OP →＝(10cos α，10sin α)⇒cos α＝35，sin α＝45，则OQ →＝⎝⎛⎭⎫10cos ⎝⎛⎭⎫θ＋3π4，10cos ⎝⎛⎭⎫θ＋3π4＝(－72，－2)．故答案为A. 16．C4、C5、C6、C7[2012·安徽卷] 设函数f (x )＝22cos2x ＋π4＋sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )．求g (x )在区间[－π，0]上的解析式．16．解：(1)f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x ＝22⎝⎛⎭⎫cos2x cos π4－sin2x sin π4＋1－cos2x 2 ＝12－12sin2x . 故f (x )的最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )＝12sin2x ，故 ①当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0时，x ＋π2∈⎣⎡⎦⎤0，π2.由于对任意x ∈R ，g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )，从而 g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝12sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝12sin(π＋2x )＝－12sin2x . ②当x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎡⎭⎫0，π2，从而 g (x )＝g (x ＋π)＝12sin[2(x ＋π)]＝12sin2x .综合①②得g (x )在[－π，0]上的解析式为g (x )＝⎩⎨⎧12sin2x ，x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π2，－12sin2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0.15．C3、C4、C5[2012·北京卷] 已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间．15．解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．因为f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin2x －cos2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π－π8，k π和⎝⎛⎦⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )． 17．C2、C5、C6[2012·福建卷] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； (2)sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；(3)sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；(4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；(5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)请从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 17．解：解法一：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 解法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α) ＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.C6 二倍角公式11．C6[2012·江苏卷] 设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________．11.17250[解析] 本题考查三角函数求值问题．解题突破口为寻找已知角和所求角之间的整体关系．由条件得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，从而sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425，cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2×1625－1＝725， 从而sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π4＝2425×22－725×22＝17250. 7．C6[2012·全国卷] 已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α＝( )A ．－53B ．－59 C.59 D.537．A [解析] 本小题主要考查三角函数中和角公式与二倍角公式的运用，解题的突破口为原式两边平方后转化为二倍角结构及任何情况下均要考虑“符号看象限”．由sin α＋cos α＝33及α为第二象限角有2k π＋π2<α<2k π＋3π4(k ∈Z )，∴4k π＋π<2α<4k π＋3π2(k ∈Z )．原式两边平方得2sin αcos α＝sin2α＝－23，∴cos2α＝－53，故选A. 16．C4、C5、C6、C7[2012·安徽卷] 设函数f (x )＝22cos2x ＋π4＋sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )．求g (x )在区间[－π，0]上的解析式．16．解：(1)f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x ＝22⎝⎛⎭⎫cos2x cos π4－sin2x sin π4＋1－cos2x 2 ＝12－12sin2x . 故f (x )的最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )＝12sin2x ，故 ①当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0时，x ＋π2∈⎣⎡⎦⎤0，π2.由于对任意x ∈R ，g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )，从而 g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝12sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝12sin(π＋2x )＝－12sin2x . ②当x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎡⎭⎫0，π2，从而 g (x )＝g (x ＋π)＝12sin[2(x ＋π)]＝12sin2x .综合①②得g (x )在[－π，0]上的解析式为g (x )＝⎩⎨⎧12sin2x ，x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π2，－12sin2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0.17．C2、C5、C6[2012·福建卷] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；(2)sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；(3)sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；(4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；(5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)请从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 17．解：解法一：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 解法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α) ＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.17．C4、C6、C7、F3[2012·湖北卷] 已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx ,23cos ωx )．设函数f (x )＝a·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围．17．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π6＝±1， 所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π4，0，得f ⎝⎛⎭⎫π4＝0， 即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2. 故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2，由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6≤1，得－1－2≤2sin 53x －π6－2≤2－ 2. 故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－2]．7．C6[2012·山东卷] 若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin2θ＝378，则sin θ＝( ) A.35 B.45 C.74 D.347．D [解析] 本题考查三角函数的二倍角公式，考查运算求解能力，中档题．法一：∵θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin2θ＝378， ∴cos2θ＝－1－⎝⎛⎭⎫3782＝1－2sin 2θ，解之得 sin θ＝34.法二：联立⎩⎪⎨⎪⎧2sin θcos θ＝378，sin 2θ＋cos 2θ＝1，解之得sin θ＝34.C7 三角函数的求值、化简与证明6．C7[2012·湖南卷] 函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2,2] B ．[－3，3]C ．[－1,1] D.⎣⎡⎦⎤－32，326．B [解析] 考查三角函数化简求值，关键是三角函数的化简，三角公式的识记．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，所以函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为[－3，3]，故选B. 16．C4、C5、C6、C7[2012·安徽卷] 设函数f (x )＝22cos2x ＋π4＋sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )．求g (x )在区间[－π，0]上的解析式．16．解：(1)f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x ＝22⎝⎛⎭⎫cos2x cos π4－sin2x sin π4＋1－cos2x 2 ＝12－12sin2x . 故f (x )的最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )＝12sin2x ，故 ①当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0时，x ＋π2∈⎣⎡⎦⎤0，π2.由于对任意x ∈R ，g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )，从而 g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝12sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝12sin(π＋2x )＝－12sin2x . ②当x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎡⎭⎫0，π2，从而 g (x )＝g (x ＋π)＝12sin[2(x ＋π)]＝12sin2x .综合①②得g (x )在[－π，0]上的解析式为g (x )＝⎩⎨⎧12sin2x ，x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π2，－12sin2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0.17．C4、C6、C7、F3[2012·湖北卷] 已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx ,23cos ωx )．设函数f (x )＝a·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围．17．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π6＝±1， 所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π4，0，得f ⎝⎛⎭⎫π4＝0， 即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2. 故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2，由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6≤1，得－1－2≤2sin 53x －π6－2≤2－ 2. 故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－2]．4．C7[2012·江西卷] 若tan θ＋1tan θ＝4，则sin2θ＝( )A.15B.14C.13D.124．D [解析] 考查同角三角函数的关系、二倍角公式，以及“1”的代换及弦切互化等方法．解题的突破口是通过“1”的代换，将整式转化为齐次分式，再通过同除以cos θ达到化切目的．∵tan θ＋1tan θ＝tan 2θ＋1tan θ＝4，∴sin2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝24＝12，故选D.5．C5、C7[2012·重庆卷] 设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 5．A [解析] 因为tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，所以tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.C8 解三角形13．C8[2012·重庆卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.13.145 [解析] 因为cos A ＝35，cos B ＝513，所以sin A ＝45，sin B ＝1213，因为sin C ＝sin[180°－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665，由正弦定理知c sin C ＝bsin B，即c 5665＝31213，解得c ＝145. 4．C8[2012·四川卷] 如图1－1所示，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC 、ED ，则sin ∠CED ＝(A.31010B.1010C.510D.5154．B [解析] 法一：由已知，∠CED ＝∠BED －∠BEC ＝45°－∠BEC ，而结合图形可知tan ∠BEC ＝12，∴tan ∠CED ＝tan(45°－∠BEC )＝1－121＋12＝13，∴sin ∠CED ＝1010.法二：由已知，利用勾股定理可得DE ＝2，CE ＝5，又CD ＝1，利用余弦定理得：cos ∠CED ＝2＋5－12×2×5＝31010，∴sin ∠CED ＝1010.法三：同法二，得DE ＝2，CE ＝5，又CD ＝1，有S △CED ＝12CD ·AD ＝12，又S △CED ＝12CE ·ED sin ∠CED ＝102sin ∠CED ，对比得sin ∠CED ＝1010.16．C8[2012·上海卷] 在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定16．C [解析] 考查正弦定理和判断三角形的形状，考查考生的转化思想，关键是利用正弦定理，把角转化边，再利用边之间的关系，判断三角形的形状．由正弦定理可把不等式转化为a 2＋b 2<c 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，所以三角形为钝角三角形．故选C.17．C8[2012·江西卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．17．解：(1)证明：由b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理，得 sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A ， sin B ⎝⎛⎭⎫22sin C ＋22cos C －sin C ⎝⎛⎭⎫22sin B ＋22cos B ＝22.整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1， 即sin(B －C )＝1，由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π2.(2)由(1)知B －C ＝π2，又B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.17．C8[2012·辽宁卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .角A ，B ，C 成等差数列．(1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值．17．解：(1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°，所以cos B ＝12.(2)(解法一)由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ，所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34.(解法二)由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－ac2ac，解得a ＝c ，所以A ＝C ＝B ＝60°，故sin A sin C ＝34.17．C8[2012·全国卷] △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .17．解：由B ＝π－(A ＋C )，得cos B ＝－cos(A ＋C )．于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ，由已知得sin A sin C ＝12.①由a ＝2c 及正弦定理得， sin A ＝2sin C ，②由①、②得sin 2C ＝14，于是sin C ＝－12(舍去)或sin C ＝12.又a ＝2c ，所以C ＝π6.11．C8[2012·北京卷] 在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.11．4 [解析] 本题考查余弦定理和解三角形等基础知识，考查对数据的运算能力．cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－14，可得cos B ＝4＋(c －b )(c ＋b )4c ＝－14，4＋7(c －b )c ＝－1,8c －7b ＋4＝0，结合b ＋c ＝7，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，c ＝3，答案为4.11．C8[2012·湖北卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.11.2π3[解析] 由已知条件(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，化简得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12.又C 是三角形的内角，则C ∈()0，π，所以C ＝2π3.15．C8、F3[2012·浙江卷] 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC→＝________.15．－16 [解析] 本题主要考查平面几何的性质、平面向量的线性运算与数量积．法一：AB →·AC →＝(MB →－MA →)·(MC →－MA →)＝MB →·MC →－MB →·MA →－MA →·MC →＋MA →2＝5×5×cos180°－5×3×cos ∠BMA －3×5×cos ∠AMC ＋32＝－16，故应填－16.法二：特例法：假设△ABC 是以AB 、AC 为腰的等腰三角形，如图，AM ＝3，BC ＝10，AB ＝AC ＝34，cos ∠BAC ＝34＋34－1002×34＝－817，AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos∠BAC ＝－16.[点评] 对平面向量进行正确的线性分解是解决本题的关键，同时注意向量的夹角之间的关系与应用．18．C8、C9[2012·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C . (1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．18．解：(1)因为0＜A ＜π，cos A ＝23，得sin A ＝1－cos 2A ＝53.又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C＝53cos C ＋23sin C ， 所以tan C ＝ 5. (2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16，于是sin B ＝5cos C ＝56.由a ＝2及正弦定理a sin A ＝csin C，得c ＝ 3.设△ABC 的面积为S ，则 S ＝12ac sin B ＝52. 7．C8、F3[2012·湖南卷] 在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝( ) A. 3 B.7 C ．2 2 D.237．A [解析] 考查向量的数量积运算和解三角形，主要是余弦定理的运用，是此题的关键．由AB →·BC →＝1可得2||BC cos(180°－B )＝1，即2|BC |cos B ＝－1，又由三角形的余弦定理可得32＝||BC 2＋22－2×2||BC cos B ，把2||BC cos B ＝－1代入，解得9＝||BC 2＋4＋2，即||BC ＝3，故选A.9．C8、C9[2012·陕西卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12 D ．－129．C [解析] 本小题主要考查余弦定理和不等式的知识，解题的突破口为利用余弦定理写出cos C 的表达式，然后用基本不等式去计算即可．cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12.故选C.17．C8、C5[2012·课标全国卷] 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .17．解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.15．A2、C8、E6、E9[2012·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①若ab >c 2，则C <π3；②若a ＋b >2c ，则C <π3；③若a 3＋b 3＝c 3，则C <π2；④若(a ＋b )c <2ab ，则C >π2；⑤若(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，则C >π3.15．①②③ [解析] 本题考查命题真假的判断，正、余弦定理，不等式的性质，基本不等式等．对于①，由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C <ab 得2cos C ＋1>a 2＋b 2ab ＝b a ＋a b ≥2，则cos C >12，因为0<C <π，所以C <π3，故①正确；对于②，由4c 2＝4a 2＋4b 2－8ab cos C <a 2＋b 2＋2ab 得ab ()8cos C ＋2>3()a 2＋b 2即8cos C ＋2>3⎝⎛⎭⎫a b ＋b a ≥6，则cos C >12，因为0<C <π，所以C <π3，故②正确； 对于③，a 3＋b 3＝c 3可变为⎝⎛⎭⎫a c 3＋⎝⎛⎭⎫b c 3＝1，可得0<a c <1,0<b c <1，所以1＝⎝⎛⎭⎫a c 3＋⎝⎛⎭⎫b c 3<⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2，所以c 2<a 2＋b 2，故C <π2，故③正确；对于④，()a ＋b c <2ab 可变为2×1c >1a ＋1b ≥2ab，可得ab >c ，所以ab >c 2，因为a 2＋b 2≥2ab >ab >c 2，所以C <π2，④错误；对于⑤，()a 2＋b 2c 2<2a 2b 2可变为1a 2＋1b 2<2c 2，即1c 2>1ab ，所以c 2<ab ≤a 2＋b 22，所以cos C >a 2＋b 222ab ≥12，所以C <π3，故⑤错误．故答案为①②③.13．C8[2012·福建卷] 已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．13．－24 [解析] 根据题意设三角形的三边分别是：22a 、a 、2a ，最大角所对的边是2a ，根据大边对大角定理结合余弦定理得：cos α＝a 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2－(2a )22×22a ×a＝－24，所以最大角的余弦值是－24.6．C8[2012·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725 C ．±725 D.24256．A [解析] 本题考查三角函数的倍角公式及正弦、余弦定理，考查运算求解能力，中档题．由正弦定理得8sin B ＝5sin C ，∵C ＝2B ，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝2⎝⎛⎭⎫452－1＝725.C9 单元综合15．C9[2012·天津卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2 cos 2x －1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 15．解：(1)f (x )＝sin2x ·cos π3＋cos2x ·sin π3＋sin2x ·cos π3－cos2x ·sin π3＋cos2x ＝sin2x ＋cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π8，π4上是减函数，又f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1. 18．C9[2012·四川卷] 函数f (x )＝6cos 2ωx2＋3sin ωx －3(ω＞0)在一个周期内的图象如图1－5所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．(1)求ω的值及函数f (x )的值域；(2)若f (x 0)＝835，且x 0∈⎝⎛⎭⎫－103，23，求f (x 0＋1)的值． 18．解： (1)由已知可得，f (x )＝3cos ωx ＋3sin ωx ＝23sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋ π3. 又正三角形ABC 的高为23，从而BC ＝4.所以函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4.函数f (x )的值域为[－23，23]．(2)因为f (x 0)＝835，由(1)有f (x 0)＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 04＋π3＝835，即sin ⎝⎛⎭⎫πx 04＋π3＝45. 由x 0∈⎝⎛⎭⎫－103，23，知πx 04＋π3∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. 所以cos ⎝⎛⎭⎫πx 04＋π3＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35. 故f (x 0＋1)＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 04＋π4＋π3＝23sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫πx 04＋π3＋π4 ＝23⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫πx 04＋π3cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫πx 04＋π3sin π4 ＝23⎝⎛⎭⎫45×22＋35×22＝765.15．C9[2012·江苏卷] 在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →. (1)求证：tan B ＝3tan A ；(2)若cos C ＝55，求A 的值．15．解：(1)证明：因为AB →·AC →＝3BA →·BC →， 所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ， 即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ，由正弦定理知AC sin B ＝BCsin A，从而sin B cos A ＝3sin A cos B ，又因为0<A <π，0<B <π，所以cos A >0，cos B >0， 所以tan B ＝3tan A .(2)因为cos C ＝55，0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝255，从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2，亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2，由(1)得4tan A 1－3tan 2A＝－2，解得tan A ＝1或－13，。
山东省潍坊市2012年高考下学期5月份仿真模拟数学（理）试题本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、演算步骤或推证过程．第I 卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2M x x 30=-≤，则下列关系式正确的是 A.0M ∈B.0M ∉C.0M ⊆D.3M ∈2.设i 是虚数单位，则()()321i 1i -+是A.1i -B.1i -+C.1+ID.1i --3.下列命题中，真命题的个数有 ①21x R,x x 04∀∈-+≥；②2x R,x 2x 20∃∈++<；③函数x y 2-=是单调递减函数. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4.如右图，一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视 图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其 体积是B.3D.835.已知椭机变量X 服从正态分布N （4，1），且()P 3x 50.6826≤≤=，则()P X 3=< A.0.0912 B.0.3413 C.0.3174D.0.15876.若()()()()8280128x 1a a 1x a 1x a 1x ,-=+++++⋅⋅⋅++则6a = A.112B.28C.28-D.112-7.函数()()xx a a y a 0a 1x a-∙=≠-且>的图象可以是8.把函数()y sin x x R =∈的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为 A.y sin 2x ,x R 3π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭B.1y sin x ,x R 26π⎛⎫=-∈⎪⎝⎭C.y sin 2x ,x R 3π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭D.1y sin x ,x R 26π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭9.如果执行如图所示的程序框图，输入n 6,m 4==，那么输出p 等于A.720B.120C.240D.36010.已知点F ，A 分别是椭圆)(2222x y 1a a b +=>b >0的左焦点、右顶点，B （0,b ）满足0=FB AB uu r uu u rg ，则椭圆的离心率等于11. 甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁12.对于函数()f x ，若存在区间[]M a,b =（其中a ＜b ），使得(){}y y f x ,x M M =∈=，则称区间M 为函数()f x 的一个“稳定区间”.给出下列4个函数：①()()2f x x 1=-；②()x f x 21=-；③()f x cos x 2π=；④()x f x e =.其中存在“稳定区间”的函数有A.①③B.①②③C.①②③④D.第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.已知二次函数()2f x ax 4bx 1=-+，点()a,b 是区域x y 80,y x 0,y 0+-≤⎧⎪⎨⎪⎩>>内的随机点，则函数()y f x =在区间[)1,+∞上是增函数的概率为_______.14.设F 1、F 2分别为双曲线()2222x y 1a a b-=>0,b >0的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为________.15.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b （b ＞a ）以及实数()x 0x <<1确定实际销售价格()c a x b a =+-.这里，x 被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得()c a -是()b c -和()b a -的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于_____. 16.给出的下列四个命题中：①命题“2x R,x 13x ∃∈+>”的否定是“2x R,x 13x ∀∈+≤”；②“m 2=-”是“直线()m 2x my 10+++=与直线()()m 2x m 2y 30-++-=相互垂直”的充分不必要条件；③设圆()2222x y Dx Ey F 0D E 4F 0++++=+->与坐标轴有4个交点，分别为()()()()1212A x ,0,B x ,0,C 0,y ,D 0,y ，则1212x x y y 0-=；④关于x 的不等式x 1x 3m ++-≥的解集为R ，则m 4.≤ 其中所有真命题的序号是________.三、解答题：本大题共6小题，共74分.17.（本小题满分12分）已知向量()1a s i n x ,13c o s x ,2⎫=-=-⎪⎭，函数()()f x a b a 2.=+⋅-（1）求函数()f x 的最小正周期T ；（II ）已知a 、b 、c 分别为△ABC 内角A 、B 、C 的对边，其中A 为锐角，a 4==且()f A 1=，求A ，b 和△ABC 的面积S.18.（本小题满分12分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛. （I ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（II ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望. 19.（本小题满分12分）在三棱锥P-ABC 中，△PAC 和△PBC的等边三角形，AB=2，O 是AB 中点. （I ）在棱PA 上求一点M ，使得OM//平面PBC ； （II ）求证：平面PAB ⊥平面ABC ； （III ）求二面角P-BC-A 的余弦值.20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，12a 4,a 6==，且()n 1n n 1a 4a 3a n 2+-=-≥ （1）设n n 1n b a a +=-，求数列{}n b 成等比数列，求m 的值及{}n c 的前n 项和.21.（本小题满分12分）已知椭圆中心在坐标原点焦点在x ，它的一个顶点为抛物线2x 4y =的焦点. （I ）求椭圆方程；（II ）若直线y x 1=-与抛物线相切于点A ，求以A 为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程；（III ）若斜率为1的直线交椭圆于M 、N 两点，求△OMN 面积的最大值（O 为坐标原点）.22.（本小题满分14分）函数()()12e f x p x 2ln x,g x ;p R.x x⎛⎫=--=∈ ⎪⎝⎭ （I ）若()f x 在x 2=处取得极值，求p 的值；（II ）若()f x 在其定义域内为单调函数求p 的取值范围；（III ）若在［1,e ］上至少存在一点0x ，使得()()00f x g x >成立，求p 的取值范围.潍坊市2012年普通高考理科数学仿真试题答案。
2012年河北省普通高考模拟考试理科数学答案一、选择题：ABCDC，CABBA，BD二、填空题：13，2-；14，221nnS n=+-；15，412-π；16，20π．三、解答题：17．【解析】：（Ⅰ）由正弦定理得：(2)cos cosa c Bb C-=⇒(2sin sin)cos sin cosA CB B C-=……………2分即：2sin cos sin cos cos sin sin()sinA B C B C B B C A=+=+=………4分在ABC∆中，0sin0A Aπ<<∴≠1cos,023B B Bππ∴=<<∴=又，．…………………………6分（Ⅱ）由余弦定理得：222122cos60()3a c ac a c ac=+-=+-……………..8分则8ac=……………..10分11sin822ABCS ac B∆∴==⋅=．……………..12分18．【解析】：取AB中点H，则由PA＝PB，得PH⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PA B∩平面ABCD=AB，所以PH⊥平面ABCD．以H为原点，建立空间直角坐标系H－xyz（如图）．则(1,0,0),(1,0,0),(1(1A B D C P--………..2分（I）证明：∵(1(PD AC==-, ………..4分∴(1(0PD AC⋅=⋅-=，∴PD AC⊥，即PD⊥AC. ………..6分(II) 假设在棱PA上存在一点E，不妨设AE=λAP(01)λ<<，则点E的坐标为(1)λ-，………..8分∴(2),BE BDλ=-=设(,,)n x y z=是平面EBD的法向量，则n BEn BD⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n BEn BD⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩(2)00200x y zx y zλ⎧-+⋅+=⎪⇒⎨++⋅=⎪⎩z xy⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩，不妨取x=EBD的一个法向量2)nλλ-=-．………..10分又面ABD的法向量可以是HP=(0,0, ，要使二面角E-BD-A的大小等于45°，则0cos45|cos,|HP nHP nHP n⋅=<>==⋅可解得12λ=，即AE=12AP故在棱PA上存在点E，当12AEAP=时，使得二面角E-BD-A的大小等于45°．……..12分19.【解析】（Ⅰ）中位数1761781772+==cm. ………..2分 （Ⅱ）根据茎叶图，有“合格”12人，“不合格”18人，用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是61305=， 所以选中的“合格”有26112=⨯人， ………..4分 “不合格”有36118=⨯人． ………..6分 （Ⅲ）依题意，X 的取值为0,1,2．则28212C 2814(=0)C 6633===P X ，1148212C C 3216(1)C 6633====P X ，24212C 63(2)C 6633====P X ．因此，X 的分布列如下：………..10分14163222012333333333∴=⨯+⨯+⨯==EX ． ………..12分 备注：一个概率1分，表格1分，共4分20．【解析】（Ⅰ）由题意：一条切线方程为：2x =，设另一条切线方程为：4(2)y k x -=- ..2分2=，解得：34k =，此时切线方程为：3542y x =+ 切线方程与圆方程联立得：68,55x y =-=，则直线AB 的方程为22=+y x ……….4分 令0=x ，解得1=y ，∴1=b ；令0y =,得2x =,∴2=a故所求椭圆方程为1422=+y x ……….6分 （Ⅱ）联立221.4y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩整理得()08384122=+++kx x k ，令),(11y x P ，),(22y x Q ，则2214138k kx x +-=+，221418k x x +=， 0)41(32)38(22>+-=∆k k ，即：0122>-k ………..8分原点到直线l 的距离为=d ，………..10分12|||PQ x x =-，∴121|2OPQS PQ d x x ∆=⋅=-===1=≤当且仅当k =OPQ ∆面积的最大值为1. ………..12分21．【解析】： （Ⅰ）1()xf x e x a =+-，21'()()xf x e x a =--，21'(0)1f a =-．当12a =时，'(0)3f =-．又(0)1f =-． ………..2分 则()f x 在0x =处的切线方程为31y x =--． ………..4分 （Ⅱ）函数()f x 的定义域为(,)(,)a a -∞+∞ ．当(,)x a ∈+∞时，10,0xe x a >>-，所以1()0x f x e x a=+>-． 即()f x 在区间(,)a +∞上没有零点． ………..6分当(,)x a ∈-∞时，1()1()x xe x af x e x a x a-+=+=--， 令()()1xg x e x a =-+． ………7分 只要讨论()g x 的零点即可．'()(1)xg x e x a =-+，'(1)0g a -=． 当(,1)x a ∈-∞-时，'()0g x <，()g x 是减函数； 当(1,)x a a ∈-时，'()0g x >，()g x 是增函数． 所以()g x 在区间(,)a -∞最小值为1(1)1a g a e--=-． ………..9分显然，当1a =时，(1)0g a -=，所以1x a =-是()f x 的唯一的零点；当1a <时，1(1)10a g a e--=->，所以()f x 没有零点；当1a >时，1(1)10a g a e --=-<，所以()f x 有两个零点． ………..12分22．【解析】：（Ⅰ）证明：连接AD ，在ADB EFB ∆∆和中BD BE BA BF ⋅=⋅BD BFBA BE∴= ………..2分 又DBA EBF ∠=∠ADB ∴∆∽EFB ∆ ………..4分则90EFB ADB ∠=∠=EF FB ∴⊥ ………..5分 (Ⅱ)在ADB ∆中，90ADB ADE ∠=∠=又90EFB ∠=∴E F A D 、、、四点共圆； ………..7分DFB AEB ∴∠=∠ ………..9分 又AB 是⊙O 的直径，则90ACB ∠=，∴90DFB DBC AEB DBC ∠+∠=∠+∠=………..10分23．【解析】：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为2240x x y -+=． ………..2分将212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入上式并整理得2120t -+=．解得t =T的坐标为． ………..4分B其极坐标为(2,)3π………5分（Ⅱ）设直线l '的方程为(1),0y k x kx y k =--=即． ………..7分由（Ⅰ）得曲线C 是以(2,0)为圆心的圆，且圆心到直线l '=0k =，或k =直线l '的方程为y =y =． ………..9分其极坐标方程为sin 3πρθθ==()R ρ∈．…………………………10分24．【解析】：（Ⅰ）22,3()1|3|4,3122,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩………..4分则当[3,1]x ∈-时，)(x f 为常函数. ………..5分 （Ⅱ）由（1）得函数()f x 的最小值为4， ………..8分 则实数a 的取值范围为4a ≥. …..10分。
数学试卷（理）一、选择题(本题10小题，每小题5分，共50分。
每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。
) 1． 函数121xy =-的值域是（ ） A ．（-1,-∞） B.（-,∞0）⋃（0，+∞）C ．（-1，+∞） D.（-∞，-1）⋃（0，+∞） 2．已知平面向量(2,4),(2,2)a b ==-，若()c a a b b =+⋅，则c 等于 （ ）A ．B ．C ．D ．63．已知集合A ={i ，i 2，i 3，i 4}（i 为虚数单位），给出下面四个命题： ①若x ∈A ，y ∈A ，则x +y ∈A ；②若x ∈A ，y ∈A ，则x -y ∈A ；③若x ∈A ，y ∈A ，则xy ∈A ； ④若x ∈A ，y ∈A ，则y x∈A ．其中正确命题的个数是 （ ） (A) 1个 (B)2个(C)3个(D)4个4．设函数x x f a log )(=在)0,(-∞上单调递增，则)1(+a f 与)2(f 的大小关系（ ）A 、)2()1(f a f >+B 、)2()1(f a f =+C 、)2()1(f a f <+D 、不确定 5、如果O m b a <<<，那么下列关系中正确的是（ ） A 、coscos cosb m b b ma m a a m+-<<+- B 、cos cos cos b b m b m a a m a m -+<<-+ C 、coscos cos b m b b m a m a a m -+<<-+ D 、cos cos cos b m b m ba m a m a+-<<+- 6．下列命题中正确的是 ( ) A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限7．用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最大体积与最小体积的差是 （ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．98.如图所示的算法流程图中输出的最后一个数为55-，则判断框中的条件为 ( ) (A) 11?n < (B)11?n ≥(C)10?n < (D)10?n ≥9.已知()f x 在R 上是奇函数,且满足(2)(),f x f x +=-当(0,2)x ∈时，2()2f x x =,则(2011)f 等于 ( ) A. 2- B.2 C. -98 D. 9810． 12名工作人员（其中包括甲在的男性3名，女性9名）被平均分配到世博会组委会的3个不同的部门工作，则男性甲被分配到指定部门，其他2名男性被分配到其它不同部门的概率为 （ ）A ．1655 B ．32165 C ．16165D ．35511.直线12=+by ax 与圆122=+y x 相交于A,B 两点（其中b a ,是实数），且AOB ∆是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P ),(b a 与点)1,0(之间距离的最大值为（ ） A12+ B. 2 C. 2 D. 12-12．用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩当当，若{1,2}A =，2{||1|1}B x x ax =++=，且1A B *=,由a 的所有可能值构成的集合是S ，那么()C S 等于( )A ．4 B. 3 C ．2D ． 1二．填空题（每题5分，共20分）13．在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若1AB AC BA BC ⋅=⋅=，那么c = . 14．已知61(sin cos ),()a t t dt x axπ=+-⎰则的展开式中的常数项为 . 15.已知表中的对数值有且只有两个是错误的：请你指出这两个错误 ．（答案写成如lg20≠a ＋b －c 的形式）16.已知实数,x y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则22x xy y z xy -+=的取值围是________________．三．解答题（共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）已知点()()().cos ,sin 2,1,0,0,1θθC B A是否开始S =1n =1n =n +1S =S +(-1)n +1n 2输出S结束（Ⅰ）若BC AC =，求θtan 的值；（Ⅱ）若()21OA OB OC +⋅=，其中O 为坐标原点，求θ2sin 的值.18. （本小题满分12分）为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）;……;第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8.（Ⅰ）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）的人数； （Ⅱ）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；（Ⅲ）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率.19．（本小题满分12分） 如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都是2，M 是BC 的中点，P 是侧棱BB 1上一点，且A 1P ⊥B 1M ．（Ⅰ）试求A 1P 与平面APC 所成角的正弦； （Ⅱ）求点A 1到平面APC 的距离．20.已知A 、B 分别是直线x y 33=和x y 33-=上的两个动点，线段AB 的长为32，P 是AB 的中点．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点)0,1(Q 任意作直线l （与x 轴不垂直），设l 与（1）中轨迹C 交于M N 、两点，与y 轴交于R 点．若RM MQ λ=，RN NQ μ=，证明：λμ+为定值．21．（本题满分12分）已知函数)1ln()(2++-=x ax x x f （R a ∈）． （1）当2a =时，求函数)(x f 的极值点；（2）若函数)(x f 在区间)1,0(上恒有x x f >)(/，数a 的取值围；（3）已知01>c ，且'1()n n c f c +=),2,1( =n ，在（2）的条件下，证明数列{}n c 是单调递增数列．（注：请考生在第22,23两题中任选一题做答，写出必要解答过程，如果多做，则按所做的第一题计分，本小题满分10分） 22.选修4-1：几何证明选讲从⊙O 外一点P 引圆的两条切线PA ,PB 及一条割线PCD ，A 、B 为切点.求证：BDADBC AC =.23．选修4－5：不等式选讲已知函数()84f x x x =---．（1）作出函数()y f x =的图像； （2）解不等式842x x --->．理科数学卡一.选择题:本大题共12小题，每小题5分．1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13． 14． 15． 16．18．（满分12分） 19．（满分12分）理科数学试卷答案1．解析：思路一：“逆求”：12>+=y yx 得：y >0或y <-1，选D.思路二：112->-x ，“取倒数”要特别注意不等式两边同号，若-1<12-x <0,则121-x <-1；若12-x>0,则121-x >0,综上，选D.2. A 解析：()(2,4)(48)(2,2)(6,12)c a a b b c =+⋅∴=+-+•-=-，2(6)c ∴=-=.3．B 解析：{},1,,1,,1.1A i i i A A i A =--∈∈±∉，故①②错误，③④正确．4．A 解析：由题意知，01a <<，则112a <+<.x x f a log )(=在(0,)+∞上单调递减，(1)(2).f a f ∴+>5、A 解析：01b m b b m a m a a m -+<<<<-+，cos cos cosb m b b ma m a a m+-∴<<+-. 6．D 解析：当0=α时函数αx y =的图象是一条除原点外的直线，则A 错误；当0α<时，幂函数的图象不经过(0,0)，则B 错误；当0α<时，αx y =在定义域上不具有单调性，则C 错误；只有D 正确. 7．A 解析：由正视图、侧视图可知，体积最小时，底层有3个小正方体，上面有2个，共5个；体积最大时，底层有9个小正方体，上面有2个，共11个，故这个几何体的最大体积与最小体积的差是6.故选A.8．C 解析：222121234(1)n S n +=-+-+⋅⋅⋅+-，当10n =时，55.S =-则判断框中的条件为“10?n <”. 9.解析:42f x f x f x f x ++∴()=-()=()()是4T =的周期函数,2(2011)1112(4503-1)=()=-()=-2f f f f ∴=⨯-⨯=-.10.C 解析：根据题意可得：基本事件总数为4441284C C C ；“男性甲被分配到指定部门，其他2名男性被分配到其它不同部门”包含的基本事件个数为1233312963C A C C C，故所求概率为1233312963444128416165C A C C C C C C =. 11．A 解析：根据题意，令1111(,),(,)A x y B x y ，利用AOB ∆是直角三角形(O 是坐标原点)，直线与圆方程联立可求出,a b 满足的关系式为2212b a +=，再利用换元法可求出点P ),(b a 与点)1,0(之间距离的最大值为12+.12．B 解析：依题意知()1C B =或()3C B =，当()1C B =时，方程211x ax ++=恰有1个根，有2414a -=，得0a =；当()3C B =时，方程211x ax ++=恰有3个根，有2414a-=-，得22a =±a 的可能值有3个，故()3C S =. 1321,cos cos 1,AB AC BA BC bc A ac B ⋅=⋅=∴==sin cos sin cos ,B A A B ∴=()1sin 0,,,cos ,2A B A B a b a B c ∴-=∴=∴=∴=211, 2.2c c ∴=∴= 14．52-00(sin cos )(cos sin )2a t t dt t t ππ=+=-+=⎰， 6611()()2x x ax x ∴-=-，其常数项为33361()2C x x-=52-.15.解析：若lg32a b =-错误，则)2(29lg b a +=也错误，反之亦然，此时其他对数值都正确，但9lg 2416lg 5.1lg ≠-+=+b a ，b a +=∴23lg 、)2(29lg b a +=且c b a +-≠35.1lg ；若ca +=5lg 错误，则cb a --+=-+=15lg 3lg 16lg 也错误，c a +=∴5lg 正确；若c b a --+=16lg 错误，也能导出c a +=5lg 错误，c b a --+=∴16lg 正确，)1(3)3lg 6(lg 38lg c a --=-=∴正确，b a 2112lg +-≠∴.综上c b a +-≠35.1lg ，b a 2112lg +-≠.16．7[1,]3解析：221x xy y x y Z xy y x-+==+-，根据不等式组所围成的区域为ABC ∆，有图形可得01[,][,2]03OC OA y y k k x x -=∈=-，令y t x =，则111((,1))3Z t t t =+-∈,17(1)()33Z Z Z Z ∴≤≤≤≤即1.17．解：（Ⅰ）)cos ,sin 2(),1,0(),0,1(θθC B A ，(2sin 1,cos ),(2sin ,cos 1),AC BC θθθθ∴=-=-2222,(2sin 1)cos 4sin (cos 1),12sin cos ,cos 0,tan .2AC BC θθθθθθθθ=∴-+=+-∴=≠∴=（II ）)cos ,sin 2(),1,0(),0,1(θθ=== ，212(1,2),(2)1,2sin 2cos 1,sin cos ,213(sin cos ),sin 2.44OA OB OA OB OC θθθθθθθ∴+=+⋅=∴+=∴+=∴+=∴=-18.解:（Ⅰ）百米成绩在[16,17)的频率为0.32⨯1=0.320.32⨯1000=320∴估计该年段学生中百米成绩在[16,17)的人数为320人. 2分（Ⅱ）设图中从左到右前3个组的频率分别为3x ，8x ，19x 依题意，得 3x+8x+19x+0.32⨯1+0.08⨯1=1 ，∴x=0.02设调查中随机抽取了n 个学生的百米成绩，则n802.08=⨯ ∴n=50 ∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩. 6分（Ⅲ）百米成绩在第一组的学生数有3⨯0.02⨯1⨯50=3，记他们的成绩为a ，b ，c 百米成绩在第五组的学生数有0.08⨯1⨯50= 4，记他们的成绩为m ，n ，p ，q则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有{a,b},{a,c},{a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,c},{b,m},{b,n},{b,p},{b,q},{c,m},{c,n},{c,p},{c,q}, {m,n},{m,p},{m,q},{n,p},{n,q},{p,q}，共21个其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有{a,m},{a,n},{a,p},{a,q}，{b,m},{b,n},{b,p},{b,q}，{c,m},{c,n},{c,p},{c,q}，共12个， 所以P=742112=. 19．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A 1（2，0，0），B 1(1,3,0),(1,3,)P z ，13(,,2),(0,0,2),(2,0,2)2M C A ，由A 1P ⊥B 1M 知 110A P B M ⋅=，∴13131(1,3,)(,,2)20,,2222z z z -⋅--=-+=∴=即点P 的坐标为P 1(1,3,)2． （1）设平面APC 的法向量为n ＝（x ，y ，z ），由20,0,3(0,,).3230,0,2x n CA n z z x y z n CP =⎧⎧⋅=⎪⎪∴=⎨⎨+-=⋅=⎪⎪⎩⎩即 取z ＝ －1，则有n ＝3(0,,1)--，方向指向平面APC 的左下方，又11(1,3,)2PA =--，1118119cos ,119||177PA n PA n PA n ⋅<>===⋅⋅．设直线A 1P 与平面APC 所成角为α，则8119sin α=． （2）1117||134A P =++= ，设A 1到平面PAC 的距离为d ，则 11747||sin 1777d A P α==⋅==⨯. 20．解：（1）设),(y x P ，),(11y x A ，),(22y x B ． ∵P 是线段AB 的中点，∴12122,2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩∵A B 、分别是直线3y x =和3y x =-上的点，∴113y x =和223y x =-． ∴121223,23x x y y y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩又23AB =，∴12)()(221221=-+-y y x x ．∴22412123y x +=，∴动点P 的轨迹C 的方程为2219x y +=． （2）依题意，直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为(1)y k x =-．设),(33y x M 、),(44y x N 、),0(5y R ，则M N 、两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.19,)1(22y x x k y 消去y 并整理，得2222(19)18990k x k x k +-+-=，∴22439118k k x x +=+， ① 23429919k x x k-=+． ② ∵MQ RM λ=，∴[]),()0,1(),0(),(33533y x y y x -λ=-．即⎩⎨⎧λ-=--λ=.,)1(35333y y y x x ∴)1(33x x -λ=．∵l 与x 轴不垂直，∴13≠x ，∴331x x -=λ，同理441x x -=μ．∴443311x x x x -+-=μ+λ34343434()21()x x x x x x x x +-=-++．将①②代入上式可得49-=μ+λ．21．解：（1）当2=a 时，)1ln(2)(2++-=x x x x f ，则1122)(/++-=x x x f 1222+-=x x ，令0)(/=x f 得 22±=x ，又 1->x ，且),22()22,1(+∞--∈ x 时，0)(/>x f ，)22,22(-∈x 时，0)(/<x f ，所以，函数)(x f 的极大值点为22-=x ，极小值点为22=x . （2）因为112)(/++-=x a x x f ，由x x f >)(/得x x a x >++-112，即 11++<x x a ，)1(->x ,又1111111≥-+++=++=x x x x y （当且仅当0=x 时等号成立）， ∴ 1min =y ，∴ 1≤a .（3）①当1=n 时'21111()21c f c c a c ==-++211)1(211--+++=a c c ,又 01>c ,∴111>+c ，且1≤a ，函数xx y 12+=当),1(+∞∈x 时单调递增， ∴01211)1(2112≥->--+++=a a c c c ，又 111112++-=-c a c c c)1(11111+-+++=a c c 01)1(2≥-=+->a a ，∴ 12c c >，即当1=n 时结论成立. ②假设当)(+∈=N k k n 时，有k k c c >+1，且0>k c 则当1+=k n 时，'11()21k k k k c f c c a c +==-++211)1(2--+++=a c c k k , 又 0>k c ,∴11>+k c ，且1≤a ，∴01211)1(21≥->--+++=+a a c c c k k k ，111112++-=-++++k k k k c a c c c )1(11111+-+++=++a c c k k 01)1(2≥-=+->a a ，∴ 12++>k k c c ，即当1+=k n 时结论成立.由①，②知数列{}n c 是单调递增数列． 22．证明：⇒⎭⎬⎫∠=∠∠=∠APD CPA ADP CAP △CAP ∽△ADP DP APAD AC =⇒，① ⇒⎭⎬⎫∠=∠∠=∠BPD CPB BDP CBP △CBP ∽△BDP DP BPDB BC =⇒，② 又BP AP =，③ 由①②③知：BD BC AD AC =，故BDADBC AC =23.解析：（Ⅰ）4,4()212,48,4,8x f x x x x ≤⎧⎪=-+<≤⎨⎪->⎩其图像如下： （Ⅱ）不等式842x x --->，即()2f x >， 由2122x -+=得5x =．由函数()f x 图像可知，原不等式的解集为(5)-∞，．。
