2014长宁嘉定二模数学试题(理科)

（上海版）2014届高三数学（第04期）名校试题分省分项汇编 专题10.圆锥曲线 理（含解析）一．基础题组1. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米．则水面升高1米后，水面宽是____________米（精确到01.0米）．2. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】经过点 (1, 0)A 且法向量为(2, 1)n =-的直线l 的方程是 ．3. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】方程22124x y m +=+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 取值范围是 ．4. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】已知抛物线220y x =焦点F恰好是双曲线22221x y a b-=的右焦点，且双曲线过点15(,3)4，则该双曲线的渐近线方程为________.5. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】设1F 、2F 是双曲线C ：12222=-by a x （0>a ，0>b ）的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 6||||21=+，且△21F PF 最小内角的大小为︒30，则双曲线C 的渐近线方程是…………………………………………………（ ）A ．02=±y xB ．02=±y xC ．02=±y xD ．02=±y x6. 【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】抛物线28y x=-的焦点与双曲线2221x y a-=的左焦点重合，则双曲线的两条渐近线的夹角为 .【答案】3π 【解析】7. 【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(0a b >>，参数ϕ的范围是02ϕπ≤<）的两个焦点为1F 、2F ，以12F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且124FF =，则a 等于 ．8. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】若曲线(,)0f x y =上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）．（A ）210x y +-= （B ）10x =（C ）2210x y x x +---= （D ）2310x xy -+=考点：方程与曲线，曲线的切线．9. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】设圆O 1和圆O 2是两个相离的定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹可能是 ①两条双曲线；②一条双曲线和一条直线；③一条双曲线和一个椭圆．以上命题正确的是--（ ）A ．① ③B ．② ③C ．① ②D ．① ② ③三．拔高题组1. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且椭圆Γ过点)1,3(．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设斜率为1的直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，以线段AB 为底边作等腰三角形PAB ，其中顶点P 的坐标为)2,3(-，求△PAB 的面积．【答案】（1）141222=+y x ；（2）92．所以24343-=-mm ，解得2=m ． …………………………………………（5分） 此时方程①变为0642=+x x ，解得)1,3(--A ，)2,0(B ，所以23||=AB ． 又)2,3(-P 到直线l ：02=+-y x 的距离2232|223|=+--=d ， ………（7分）所以△PAB 的面积29||21=⋅=d AB S ． ………………………………………（8分） 考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆相交的综合问题．2. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>> 经过点3(1,)2M ，且其右焦点与抛物线22:4C y x = 的焦点F 重合，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于,P Q两点． （1）求椭圆1C 的方程；（2）设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点(,0)N n，使得QP NP PQ NQ ⋅=⋅？ 若存在，求出n 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）过点0(4,0)P 且不垂直于x 轴的直线与椭圆交于,A B 两点，点B 关于x 轴的对称点为E ，试证明：直线AE 过定点．试题解析：（1）由题意，得：(1,0)F所以222291411a b a b ⎧⎪⎪+=⎨⎪-=⎪⎩ ， 解，得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，所以椭圆的方程为：22143x y += ；（1） 证明：设直线AB 的方程为：(4),(0)y k x k =-≠，代入22143x y +=，得： 2222(34)3264120k x k x k +-+-=，由2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=--+->，得：11(,)22k ∈- ， 设334444(,),(,),(,)A x y B x y E x y - ，则22343422326412,3434k k x x x x k k-+==++ ， 则直线AE 的方程为343334()y y y y x x x x +-=-- ，令0y = 得：343443344333343434(4)(4)(8)x x x y x y x k x x k x x y x y y y y k x x -+⋅-+⋅-=-⋅+==+++- 2222343423426412322424()34341328834k k x x x x k k k x x k-⋅-⋅⋅-+++===+--+ ， 所以直线AE 过定点(1,0) .考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系.3. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】如图，已知平面内一动点A到两个定点1F 、2F 的距离之和为4，线段12F F 的长为2c (0)c >. （1）求动点A 的轨迹Γ；（2）当c =过点1F 作直线l 与轨迹Γ交于A 、C 两点，且点A 在线段12F F 的上方，线段AC 的垂直平分线为m ①求12AF F ∆的面积的最大值；②轨迹Γ上是否存在除A 、C 外的两点S 、T 关于直线m 对称，请说明理由.【答案】（1）参考解析；（2【解析】试题解析：（1）当42c >即02c <<时，轨迹是以1F 、2F 为焦点的椭圆 3分当2c =时，轨迹是线段12F F 4分 当2c >时，轨迹不存在 5分2②结论：当12AC F F 时，显然存在除A 、C 外的两点S 、T 关于直线m 对称 11分 下证当AC 与12F F 不垂直时，不存在除A 、C 外的两点S 、T 关于直线m 对称 12分直线m的斜率为114k k-≠-，则假设不成立，故此时椭圆上不存在两点（除了点A 、点C 外）关于直线m 对称 16分 考点：1.点的轨迹问题.2.椭圆的性质.3.直线与椭圆的位置关系.3.对称性的应用. 4. 【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】如图，直线:l y kx b =+与抛物线22x py =（常数0p >）相交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，且21x x h -=（h 为定值），线段AB 的中点为D ，与直线l y kx b =+：平行的切线的切点为C （不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k 、b 表示出C 点、D 点的坐标，并证明CD 垂直于x 轴； （2）求C AB ∆的面积，证明C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC 、BC ，再作与AC 、BC 平行的切线，切点分别为E 、F ，小张马上写出了CE A ∆、CF B ∆的面积，由此小张求出了直线l 与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．【答案】（1）2(,)2pk C pk ，2(,)D pk pk b +，（2）316h p，（3）能. 【解析】试题分析：（1）因为D 点为直线与抛物线的交点A ，B 中点，所以求D 点坐标就根据直线方程与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理求解，即由222202y kx bx pkx pb x py =+⎧⇒--=⎨=⎩，得122x x pk +=，122x x pb ⋅=-，点2(,)D pk pk b +.因为C 点为切点，利用切线方程与抛物线方程联立方程组后的判别（本小题也可以求AB h=，切点到直线l的距离2d==，相应给分）5. 【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】已知点),(y x M 是平面直角坐标系上的一个动点，点M 到直线4=x 的距离等于点M 到点(1,0)D 的距离的2倍．记动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程； (2)斜率为21的直线l 与曲线C 交于B A 、两个不同点，若直线l 不过点)23,1(P ，设直线PB PA 、的斜率分别为PB PA k k 、，求PB PA k k +的数值；(3)试问：是否存在一个定圆N ，与以动点M 为圆心，以MD 为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由．设存在这个定圆N 与动圆M 内切，则圆心距MN 为两圆半径之差，从而MN 与两圆中的某个圆的半径之和或差为定值（定圆N 的半径），由于点D 是椭圆的右焦点，这时联想椭圆的定义，若N 是椭圆的左焦点，则就有24MN MD a +==是常数，故定圆是以(1,0)N -为圆心，4为半径的圆.6. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ，试求DP MN的取值范围．所以弦MN 的中点为22243(,)3434k k P k k-++.所以DP MN的取值范围是1(0,)4.考点：1.向量的数量积.2.椭圆的性质.3.等价转化的数学思想.4.运算能力.7. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】为了寻找马航MH370残骸,我国“雪龙号”科考船于2014年3月26日从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在港口北偏东β角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛A ，OA ===βαcos ,31tan 132.现指挥部需要紧急征调位于港口O 正东m 海里的B 处的补给船，速往小岛A 装上补给物资供给科考船．该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航线与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积S 最小时，这种补给方案最优.（1）求S 关于m 的函数关系式()S m ；（2）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？第21题图考点：解析法解应用题.8. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】设椭圆1Γ的中心和抛物线2Γ的顶点均为原点O ，1Γ、2Γ的焦点均在x 轴上，过2Γ的焦点F 作直线l ，与2Γ交于A 、B 两点，在1Γ、2Γ上各取两个点，将其坐标记录于下表中：（1）求1Γ，2Γ的标准方程；（2）若l 与1Γ交于C 、D 两点，0F 为1Γ的左焦点，求00F AB F CDS S △△的最小值；（3）点P Q 、是1Γ上的两点，且OP OQ ⊥，求证：2211OPOQ+为定值；反之，当2211OPOQ+为此定值时，OP OQ ⊥是否成立？请说明理由.试题解析：（1）()-2,0⎭在椭圆上，(()34-4，，在抛物线上， 2211,43x y ∴Γ+=： 2Γ：24.y x = …………………（4分）联立方程22143x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得222221212,4343P P k x y k k ==++； ……………（12分）9. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】已知椭圆2222(0)x y a a +=>的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．（1）求椭圆C 的方程； （2）已知直线)1(-=x k y 与椭圆C 交于A 、B 两点，试问，是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得对任意的k R ∈，MA MB ⋅为定值，若存在，求出M 点的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）14822=+y x ；（2）存在点11(,0)4M 使得MA MB ⋅为定值.。

2014年上海市长宁区、嘉定区高考数学二模试卷（理科）一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 已知i 为虚数单位，计算：3+i 2−i=________．2. 已知集合A ＝{−2, −1, 0, 1}，集合B ＝{x|x 2−1≤0, x ∈R}，则A ∩B ＝________．3. 函数y ＝(sinx +cosx)2的最小正周期是________．4. 在(x −1)(x +1)8的展开式中，x 5的系数是________．5. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为________．6. 在直角三角形ABC 中，∠C =90∘，AC =4，则AB →⋅AC →=________．7. 对于任意a ∈(0, 1)∪(1, +∞)，函数f(x)=|1−11log a (x −1)|的反函数f −1(x)的图象经过的定点的坐标是________． 8. 已知函数f(x)={x,0≤x ≤1√1−(x −1)2，1<x ≤2，将f(x)的图象与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，所得旋转体的体积为________．9. 已知点P(4, m)在曲线C:{x =4t 2y =4t ，（t 为参数）上，则P 到曲线C 的焦点F 的距离为________．10. 已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米．当水面升高1米后，水面宽度是________米．11. 设随机变量ξ的概率分布律如下表所示：其中a ，b ，c 成等差数列，若随机变量ξ的均值为43，则ξ的方差为________．12. 若不等式|x +a|≤2在x ∈[1, 2]时恒成立，则实数a 的取值范围是________． 13. 设f n (x)=sin(nπ2+x)(n ∈N ∗)，若△ABC 的内角A 满足f 1(A)+f 2(A)+...+f 2014(A)=0，则sinA +cosA =________．14. 定义函数f(x)={x ．{x}}，其中{x}表示不小于x 的最小整数，如{1.4)=2, {−2.3}=−2．当x ∈(0, n](n ∈N ∗)时，函数f(x)的值域为A n ，记集合A n 中元素的个数为a n ，则lim n →∞(1a 1+1a 2+...+1a n )=________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个选项正确，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案选项的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分． 15. 运行如图所示的程序框图，则输出的所有实数对(x, y)所对应的点都在函数（ ）A y=x+1的图象上B y=2x的图象上C y=2x的图象上D y=2x−1的图象上16. 下列说法正确的是（）A 命题“若x2=1，x=1”的否命题是“若x2=1，则x≠1”B “x=−1”是“x2−x−2= 0”的必要不充分条件C 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是真命题 D “tanx=1”是“x=π4”的充分不必要条件17. 设F1、F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|＝6a，∠PF1F2是△PF1F2的最小内角，且∠PF1F2＝30∘，则双曲线C的渐近线方程是（）A x±√2y＝0B √2x±y＝0C x±2y＝0D 2x±y＝018. 设函数y=f(x)的定义域为D，若对于任意x1、x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f(x1)+f(x2)=2b，则称点(a, b)为函数y=f(x)图象的对称中心．研究函数f(x)=x+ sinπx−3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f(12014)+f(22014)+...+f(40262014 )+f(40272014)的值为（）A 4027B −4027C 8054D −8054三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19. 在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB(p∈R)．且ac=14b2．（1）当p=54，b=1时，求a，c的值；（2）若角B为锐角，求p的取值范围．20. 在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，四边形ADPQ是直角梯形，AD⊥DP，CD⊥平面ADPQ，AB=AQ=12DP．（1）求证：PQ⊥平面DCQ；（2）求平面BCQ与平面ADPQ所成的锐二面角的大小．21. 已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为(2√2, 0)，且椭圆Γ过点(3, 1)．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设斜率为1的直线l与椭圆Γ交于不同两点A、B，以线段AB为底边作等腰三角形PAB，其中顶点P的坐标为(−3, 2)，求△PAB的面积．22. 设数列{a n}，{b n}，{c n}，已知a1=4，b1=3，c1=5，a n+1=a n，b n+1=a n+c n2，c n+1=a n+b n2(n∈N∗)．（1）求数列{c n−b n}的通项公式；（2）求证：对任意n∈N∗，b n+c n为定值；（3）设S n为数列{c n}的前n项和，若对任意n∈N∗，都有p•(S n−4n)∈[1, 3]，求实数p的取值范围．23. 设a是实数，函数f(x)=4x+|2x−a|(x∈R)．（1）求证：函数f(x)不是奇函数；（2）当a≤0时，求满足f(x)>a2的x的取值范围；（3）求函数y=f(x)的值域（用a表示）．2014年上海市长宁区、嘉定区高考数学二模试卷（理科）答案1. 1+i2. {−1, 0, 1}3. π4. 145. 86. 167. (1, 2)8. π9. 510. 4√211. 5912. [−3, 0]13. √214. 215. D16. C17. B18. D19. （1）解：由题设并利用正弦定理得{a +c =54ac =14故可知a ，c 为方程x 2−54x +14=0的两根，进而求得a =1，c =14或a =14，c =1（2）解：由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB =(a +c)2−2ac −2accosB =p 2b 2−12b 2cosB −12b 2， 即p 2=32+12cosB ，因为0<cosB <1，所以p 2∈(32, 2)，由题设知p ∈R ，所以√62<p <√2或−√2<p <−√62又由sinA +sinC =psinB 知，p 是正数 故√62<p <√2即为所求20. （1）证明：由已知，DA ，DP ，DC 两两垂直，以D 为原点，DA 、DP 、DC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．… 设A =a ，则D(0, 0, 0)，C(0, 0, a)，Q(a, a, 0)，P(0, 2a, 0)， ∴ DC →=(0, 0, a)，DQ →=(a, a, 0)，PQ →=(a, −a, 0)，… ∵ DC →⋅PQ →=0，DQ →⋅PQ →=0， ∴ DC ⊥PQ ，DQ ⊥PQ ，… ∴ PQ ⊥平面DCQ ．…（2）解：∵ DC ⊥平面ADPQ ，DC →=(0, 0, a)， ∴ 平面ADPQ 的一个法向量为n →=(0,0,1)，…点B 的坐标为(a, 0, a)，则QB →=(0,−a,a)，QC →=(−a,−a,a)，… 设平面BCQ 的一个法向量为m →=(x, y, z)，则m →⋅QB →=0，m →⋅QC →=0，∴ {−ay +az =0−ax −ay +az =0，取y =z =1，得m →=(0, 1, 1)，… …设平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角为θ， 则cosθ=|cos <m →，n →>|=√2=√22． … ∴ 平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小为π4．… 21. 解：（1）由已知得c =2√2，∵ 椭圆Γ过点(3, 1)，∴9a2+1b 2=1，∵ a 2−b 2=8，∴ 解得a 2=12，b 2=4， ∴ 椭圆Γ的方程为x 212+y 24=1． …（2）设l:y =x +b ， 代入x 212+y 24=1，得4x 2+6bx +3b 2−12=0，根据韦达定理x A +x B =−3b 2，x A x B =3b 2−124，∴ y A +y B =b2，设M 为AB 的中点，则M(−3b 4, b4)，AB 的中垂线的斜率k =−1，∴ AB 的中垂线：x +y +b2=0，将P(−3, 2)代入，得b =2， ∴ l:x −y +2=0，根据弦长公式可得AB =3√2，d =√2，∴ S △PAB =12×3√2√2=92． 22. 解：（1）因为a n+1=a n ，a 1=4，所以a n =4， 所以b n+1=a n +c n2=4+c n 2=c n 2+2，c n+1=a n +b n2=b n 2+2，c n+1−b n+1=12(b n −c n )=−12(c n −b n )，即数列{c n −b n }是首项为2，公比为−12的等比数列，所以c n −b n =2⋅(−12)n−1．（2）b n+1+c n+1=12(b n +c n )+4，因为b 1+c 1=8，所以b 2+c 2=8，b 3+c 3=8，猜测：b n +c n =8， 用数学归纳法证明：①当n =1时，b 1+c 1=8，结论成立；②假设当n =k 时结论成立，即b k +c k =8，那么当n =k +1时， b k+1+c k+1=12(b k +c k )+4=8，即n =k +1时结论也成立． 由①，②得，当n ∈N ⋅时，b n +c n =8恒成立，即b n +c n 恒为定值．（3）由（1）、（2）知{b n +c n =8c n −b n =2(−12)n−1，所以c n =4+2⋅(−12)n−1，所以S n =4n +1−(−12)n1−(−12)=4n +23[1−(−12)n ]，所以p(S n −4n)=2p 3[1−(−12)n ]，由p(S n −4n)∈[1, 3]得1≤2p 3[1−(−12)n ]≤3，因为1−(−12)n >0，所以11−(−12)n≤2p 3≤31−(−12)n，当n 为奇数时，11−(−12)n=11+(12)n随n 的增大而递增，且0<11−(−12)n <1，当n 为偶数时，11−(−12)n=11−(12)n随n 的增大而递减，且011−(−12)n>1，所以，11−(−12)n的最大值为43，31−(−12)n的最小值为2．由11−(−12)n≤2p 3≤31−(−12)n，得43≤2p 3≤2，解得2≤p ≤3，所以，所求实p 的取值范围是[2, 3]．23. （1）证明：假设f(x)是奇函数，那么对于一切x ∈R ，有f(−x)=−f(x)，从而f(−0)=−f(0)，即f(0)=0，但是f(0)=40+|20−a|=1+|1−a|≠0，矛盾． ∴ f(x)不是奇函数；（2）解：∵ 2x >0，4x >0，∴ 当a ≤0时，f(x)=4x +2x −a ，由f(x)>a 2，得4x +2x −a >a 2，即4x +2x −a(a +1)>0，(2x −a)(2x +a +1)>0， ∵ 2x −a >0，∴ 2x +a +1>0，即2x >−(a +1)．①当a +1≥0，即−1≤a ≤0时，2x >−(a +1)恒成立， 故x 的取值范围是(−∞, +∞)； ②当a +1<0，即a <−1时，由2x >−(a +1)，得x >log 2[−(a +1)]， 故x 的取值范围是(log 2[−(a +1)]，+∞)；（3）解：令t =2x ，则t >0，原函数变成y =t 2+|t −a|．①若a ≤0，则y =t 2+t −a 在t ∈(0, +∞)上是增函数，值域为(−a, +∞)． ②若a >0，则y ={t 2−t +a ，0<t ≤a t 2+t −a ，t >a，对于0<t ≤a ，有y =(t −12)2+a −14，当0<a <12时，y 是关于t 的减函数，y 的取值范围是[a 2, a)； 当a ≥12时，y min =a −14，当12≤a <1时，y 的取值范围是[a −14，a)，当a ≥1时，y 的取值范围是[a −14，a 2]．对于t >a ，有y =t 2+t −a =(t +12)2−a −14是关于t 的增函数， 其取值范围(a 2, +∞)．综上，当a ≤0时，函数y =f(x)的值域是(−a, +∞)； 当0<a <12时，函数y =f(x)的值域是[a 2, +∞)； 当a ≥12时，函数y =f(x)的值域是[a −14，+∞)．。

422468105CBA1.(2014崇明二模)如图，反比例函数的图像经过点A （–2，5）和点B （–5，p ），□ABCD 的顶点C 、D 分别在y 轴的负半轴、x 轴的正半轴上，二次函数的图像经过点A 、C 、D ．（1） 求直线AB 的表达式； （2） 求点C 、D 的坐标；（3）如果点E 在第四象限的二次函数图像上，且∠DCE ＝∠BDO ，求点E 的坐标．2.(宝山嘉定二模)在平面直角坐标系xOy 中（图10），抛物线n mx mx y +-=2（m 、n 为常数）和y 轴交于)32,0(A 、和x 轴交于B 、C 两点(点C 在点B 的左侧），且tan ∠ABC=3,如果将抛物线n mx mx y +-=2沿x 轴向右平移四个单位，点B 的对应点记为E .（1）求抛物线n mx mx y +-=2的对称轴及其解析式； （2）联结AE ，记平移后的抛物线的对称轴与AE 的 交点为D ，求点D 的坐标；（3）如果点F 在x 轴上，且△ABD 与△EFD 相似， 求EF 的长.AC BO yD Ex3.（2014奉贤二模）已知：如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线c bx x y ++-=243 交x 轴于A (4,0)、B (1,0)-两点，交y 轴于点C . （1）求抛物线的表达式和它的对称轴；（2）若点P 是线段OA 上一点（点P 不与点O 和点 A重合），点Q 是射线AC 上一点，且PQ PA =， 在x 轴上是否存在一点D ，使得ACD ∆与APQ ∆ 相似，如果存在，请求出点D 的坐标；如不存在， 请说明理由．4.（2014虹口二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线243y mx m =-与x 轴、y 轴分别交点A 、B ，点C 在线段AB 上，且2AOB AOC S S D D =. （1）求点C 的坐标（用含有m 的代数式表示）；（2）将△AOC 沿x 轴翻折，当点C 的对应点C ’恰好落在抛物线232183y x mx m =++上时，求该抛物线的表达式；（3）设点M 为（2）中所求抛物线上一点，当以A 、O 、C 、M 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标.11yxO5.（2014黄浦二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知顶点为P （0, 2）的二次函数图像与x 轴交于A 、B 两点， A 点坐标为（2, 0）.（1）求该二次函数的解析式，并写出点B 坐标；（2）点C 在该二次函数的图像上，且在第四象限，当△ABC 的面积为12时，求点C 坐标；（3）在（2）的条件下，点D 在y 轴上，且△APD 与△ABC 相似，求点D 坐标.6.（2014闵行二模）已知：如图，把两个全等的Rt △AOB 和Rt △COD 分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB 、OD 在x 轴上．已知点A （1，2），过A 、C 两点的直线分别交x 轴、y 轴于点E 、F ．抛物线2y ax bx c =++经过O 、A 、C 三点．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）点P 为线段OC 上一个动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点M ，交x 轴于点N，问是否存在这样的点P ，使得四边形ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（第24题图）7.(2014浦东二模)如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx x y ++=241与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），与y 轴交于点C (0，-3)，且OA =2OC ． （1）求这条抛物线的表达式及顶点M 的坐标； （2）求M AC ∠tan 的值；（3）如果点D 在这条抛物线的对称轴上，且∠CAD =45º，求点D 的坐标.8.(2014普陀二模)抛物线2y ax bx =+经过点A （4，0）、B （2，2），联结OB 、AB . (1) 求此抛物线的解析式；（5分）(2) 求证：△ABO 是等腰直角三角形；（4分）(3) 将△ABO 绕点O 按顺时针方向旋转135°得到△O 11A B ，写出边11A B 中点P 的坐标，并判断点P 是否在此抛物线上，说明理由. （3分）9.（2014杨浦二模）已知抛物线422--=ax ax y 与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，△ABC 的面积为12. （1）求抛物线的对称轴及表达式；（2）若点P 在x 轴上方的抛物线上，且tan ∠PAB =21，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，过C 作射线交线段AP 于点E ，使得tan ∠BCE =21，联结BE ，试问BE 与BC 是否垂直？请通过计算说明。

2014年长宁区二模数学（理科）2014.04.14一、填空题（每小题4分，满分56分）1、已知i 为虚数单位，计算32ii+-=_______. 2、已知集合{}21,01A =--，，，集合{}210,B x x x R =-≤∈，则A B = _______.3、函数2(sin cos )y x x =+的最小正周期是__________. 4、8(1)(1)x x -+展开式中含5x 项的系数是________.5、某校选修篮球课程的学生中，高一学生有30名，高二学生有40名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一学生中抽取了6人，则在高二学生中应抽取_______人.6、在直角ABC ∆中，=90C ∠，4AC =，则AB AC ⋅=_______.7、对于任意(0,1)(1,)a ∈+∞ .函数11()1log (1)a f x x -=-的反函数1()fx -的图像经过的定点坐标是________.8、已知函数,01()2x x f x x ≤≤⎧=<≤，将()f x 的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，所得旋转体的体积为_________.9、已知点(4,)P m 在曲线24,:4x t C y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数）上，则P 到曲线C 的焦点F 的距离为________.10、已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米.问水面升高1米后，水面宽是_______米（精确到0.01米）.11、设随机变量ξ的概率分布率如下表所示：其中,,a b c 成等差数列，若随机变量ξ的均值为3，则ξ的方差为________.12、若不等式2x a +≤在[]1,2x ∈时恒成立，则实数a 的取值范围是________. 13、设*()sin ()2n n f x x n N π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭，若三角形ABC 的内角A 满足122014()()()0f A f A f A +++= ，则sin cos A A +=_______.14、定义函数{}{}()f x x x =⋅，其中{}x 表示不小于x 的最小整数；如{}1.4=2，{}2.3=2--，当(]0,x n ∈（*n N ∈）时，函数()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则12111lim(++)n na a a →∞+ =________. 二、选择题（每小题5分，满分20分）15、运行如图所示的程序框图，输出的所有实数对（,x y ）所对应的点都在函数（ ）A 、1y x =+的图像上；B 、2y x =的图像上；C 、2xy =的图像上； D 、12x y -=的图像上.16、下列说法正确的是（ ）A 、命题“若21x =，则1x =”的否命题是“若21x =，则1x ≠”；B 、“1x =-”是“220x x --=”的必要不充分条件；C 、命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题；D 、“tan 1x =”是“4x π=”的充分不必要条件.17、设1F ，2F 是双曲线C：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F ∆的最小内角为30°，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A 、0x =B 0y ±=C 、20x y ±=D 、20x y ±=18、设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈，当122x x a +=时，恒有12()()2f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图像的对称中心，研究函数()sin 3f x x x π=+-的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到1()2004f +240264027()()()201420142014f f f +++ 的值为（ ） A 、4027 B 、-4027 C 、8054D 、-8054三、解答题（共5题，满分74分） 19、（本题共2小题，满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，已知sin sin sin (0)A C p B p +=⋅>，且214ac b =. （1）当54p =，1b =时，求,a c 的值； （2）若B 为锐角，求实数p 的取值范围. 20、（本题共2小题，满分14分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形PDAQ 是直角梯形，AD DP ⊥，CD PDAQ ⊥平面,12AB AQ DP ==. （1）求证：PQ DCQ ⊥平面；（2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小.21、（本题共2小题，满分14分）已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为()，且椭圆Γ过点()3,1.（1）求椭圆Γ的方程；（2）设斜率为1的直线l 与椭圆Γ交于不同两点A B 、，以线段AB 为底边作等腰∆PAD ，其中顶点P 的坐标为()3,2-，求PAB ∆的面积. 22、（本题共3小题，满分16分）设数列{}{}{},.n n n a b c ，已知111114,3,5,,2n n n n n a c a b c a a b +++=====，12n nn a b c ++=（*n N ∈）. （1）求数列{}n n c b -的通项公式； （2）求证：对任意*,n n n N b c ∈+为定值；（3）设n S 为数列{}n c 的前n 项和，若对任意*,n N ∈都有[](4)1,3n p S n ⋅-∈，求实数p 的取值范围.23、（本题共3小题，满分18分）设a 是实数，函数*()42()x x f x a x R =+-∈.（1）求证：函数()f x 不是奇函数；（2）当0a ≤时，求满足2()f x a >的x 的取值范围； （3）求函数()y f x =的值域（用a 表示）.AB CD QP。

2014年长宁、嘉定区高考数学（理科）二模卷考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知i 为虚数单位，计算：3i2i+=-___________． 2．已知集合}1,0,1,2{--=A ，集合2{10,}B x x x =-∈R ≤，则=B A I _______. 3．函数2)cos (sin x x y +=的最小正周期是_________． 4．8)1)(1(+-x x 展开式中含5x 项的系数是_________．5．某校选修篮球课程的学生中，高一学生有30名，高二学生有40名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一学生中抽取了6人，则在高二学生中应抽取__________人．6．在直角三角形ABC 中，︒=∠90C ，4=AC ，则=⋅__________． 7．对于任意),1()1,0(∞+∈Y a ，函数)1(log 111)(--=x x f a 的反函数)(1x f-的图像经过的定点的坐标是__________．8．已知函数,01,(),12,x x f x x ⎧=<≤≤≤将)(x f 的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，所得旋转体的体积为___________．9．已知点),4(m P 在曲线C ：⎩⎨⎧==ty t x 4,42（t 为参数）上，则P 到曲线C 的焦点F 的距离为____________．10．已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米．则水面升高1米后，水面宽是___________米（精确到01.0米）．11．设随机变量ξ的概率分布律如下表所示：x 012 )(x P =ξabc其中a ，b ，c 成等差数列，若随机变量ξ的的均值为3，则ξ的方差为___________． 12．若不等式||2x a +≤在]2,1[∈x 时恒成立，则实数a 的取值范围是__________．13．设⎪⎭⎫⎝⎛+=x n x f n 2πsin )(（*N ∈n ），若△ABC 的内角A 满足Λ++)()(21A f A f 0)(2014=+A f ，则=+A A cos sin ____________．14．定义函数}}{{)(x x x f ⋅=，其中}{x 表示不小于x 的最小整数，如2}4.1{=，2}3.2{-=-．当],0(n x ∈（*N ∈n ）时，函数)(x f 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→n n a a a 111lim 21Λ________________． 二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个选项正确，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案选项的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．运行如图所示的程序框图，则输出的所有实数对),(y x 所对应的点都在函数（ ） A ．1+=x y 的图像上 B ．x y 2=的图像上C ．xy 2=的图像上 D ．12-=x y 的图像上16．下列说法正确的是 （ ）A ．命题“若12=x ，则1=x ”的否命题是“若12=x ，则1≠x ”B ．“1-=x ”是“022=--x x ”的必要不充分条件C ．命题“若y x =，则y x sin sin =”的逆否命题是真命题D ．“1tan =x ”是“π4x =”的充分不必要条件 17．设1F 、2F 是双曲线C ：12222=-by a x （0>a ，0>b ）的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 6||||21=+，且△21F PF 最小内角的大小为︒30，则双曲线C 的渐近线方程是 （ ）A ．02=±y x B ．02=±y x C ．02=±y x D ．02=±y x18．设函数)(x f y =的定义域为D ，若对于任意1x 、D x ∈2，当a x x 221=+时，恒有b x f x f 2)()(21=+，则称点),(b a 为函数)(x f y =图像的对称中心．研究函数3sin )(-+=x x x f π的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛20144027201440262014220141f f f f Λ的值为 （ ）A ．4027B ．4027-C ．8054D ．8054- 三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分，本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知B p C A sin sin sin ⋅=+（R ∈p ），且241b ac =． （1）当45=p ，1=b 时，求a ，c 的值； （2）若B 为锐角，求实数p 的取值范围．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 21==． （1）求证：⊥PQ 平面DCQ ； （2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的 锐二面角的大小．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且椭圆Γ过点)1,3(．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设斜率为1的直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，以线段AB 为底边作等腰三角形PAB ，其中顶点P 的坐标为)2,3(-，求△PAB 的面积．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．设数列}{n a ，}{n b ，}{n c ，已知41=a ，31=b ，51=c ，n n a a =+1，21nn n c a b +=+，21n n n b a c +=+（*N ∈n ）． ABCD PQ（1）求数列}{n n b c -的通项公式；（2）求证：对任意*N ∈n ，n n c b +为定值；（3）设n S 为数列}{n c 的前n 项和，若对任意*N ∈n ，都有]3,1[)4(∈-⋅n S p n ，求实数p 的取值范围．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．设a 是实数，函数|2|4)(a x f xx-+=（R ∈x ）．（1）求证：函数)(x f 不是奇函数；（2）当0a ≤时，求满足2)(a x f >的x 的取值范围；（3）求函数)(x f y =的值域（用a 表示）．。

2014年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）（2）一、选择题（12×5分=60分）1．（5分）若复数z=+（a2+2a﹣15）i为实数，则实数a的值是（）A．3B．﹣5C．3或﹣5D．﹣3或5 2．（5分）某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误3．（5分）（+x）dx=（）A．ln2+B．ln2+C．ln2﹣D．ln2+34．（5分）已知a=1+，b=+，c=4，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a 5．（5分）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）6．（5分）已知f（x）=（2x+1）3﹣+3a，若f′（﹣1）=8，则f（﹣1）=（）A．4B．5C．﹣2D．﹣37．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．38．（5分）若函数f（x）=e﹣x+ax，x∈R有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（）A．a＜1B．0＜a＜1C．﹣1＜a＜0D．a＜﹣19．（5分）设0＜a＜b，且f（x）=，则下列大小关系式成立的是（）A．f （a）＜f （）＜f （）B．f （）＜f （b）＜f （）C．f （）＜f （）＜f （a）D．f （b）＜f （）＜f （）10．（5分）∫01（﹣x）dx=（）A．B．C．D．11．（5分）一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人以前进3步，然后再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向，以1步的距离为1个单位长度．令P（n）表示第n秒时机器人所在位置的坐标，且记P（0）=0，则下列结论中错误的是（）A．P（3）=3B．P（5）=1C．P（2003）＞P（2005）D．P（2003）＜P（2005）12．（5分）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算⊗：当m，n都为偶数或奇数时，m⊗n=m+n；当m，n中一个为奇数，另一个为偶数时，m⊗n=m•n．则在上述定义下，集合M={（x，y）|x⊗y=36，x∈N*，y∈N*}中元素的个数为（）A．48B．41C．40D．39二．填空题：（4×5分=20分）13．（5分）由曲线y=x2与x=y2所围成的曲边形的面积为．14．（5分）已知z，ω为复数，i为虚数单位，（1+3i）•z为纯虚数，ω=，且|ω|=5，则复数ω=．15．（5分）已知f（x）为一次函数，且f（x）=x+3f（t）dt，则f（x）=．16．（5分）图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是．三．解答题（17题10分，其他题每题12分，计70分）17．（10分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．18．（12分）请观察以下三个式子：①1×3=；②1×3+2×4=；③1×3+2×4+3×5=，归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明之．19．（12分）已知：函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R，（1）求：函数f（x）的单调区间和极值；（2）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求：实数a的取值范围；（3）当x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x﹣1）恒成立，求：实数k的取值范围．20．（12分）设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．（1）求y=f（x）的表达式；（2）若直线x=﹣t（0＜t＜1）把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．21．（12分）已知x=1是函数f（x）=（ax﹣2）e x的一个极值点．（a∈R）（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当x1，x2∈[0，2]时，证明：f（x1）﹣f（x2）≤e．22．（12分）已知函数f（x）=lnax﹣（a≠0）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，是否存在过点（1，﹣1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．2014年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）（2）参考答案与试题解析一、选择题（12&#215;5分=60分）1．（5分）若复数z=+（a2+2a﹣15）i为实数，则实数a的值是（）A．3B．﹣5C．3或﹣5D．﹣3或5【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】11：计算题．【分析】通过复数的虚部为0，即可求出实数a的值．【解答】解：因为复数为实数，所以a2+2a﹣15=0，解得a=3，或a=﹣5（舍去）．故选：A．【点评】本题考查复数的基本概念，基本知识的考查．2．（5分）某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【考点】F5：演绎推理．【专题】29：规律型．【分析】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，分析的其大前提，以及小前提，不难得到结论．【解答】解：∵大前提的形式：“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但是不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比．∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故选：C．【点评】本题考查演绎推理，主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．3．（5分）（+x）dx=（）A．ln2+B．ln2+C．ln2﹣D．ln2+3【考点】67：定积分、微积分基本定理．【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．【分析】由定积分运算公式，求出函数的f（x）=+x的一个原函数F（x）=lnx+，利用微积分基本定理即可得到所求积分的值．【解答】解：由积分运算法则，得（+x）dx=（lnx+）=（ln2+）﹣（ln1+）=ln2+故选：A．【点评】本题求一个定积分的值，着重考查了定积分计算公式和微积分基本定理等知识，属于基础题．4．（5分）已知a=1+，b=+，c=4，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【考点】72：不等式比较大小；7I：不等式的综合．【专题】35：转化思想．【分析】根据，则比较a，b，c的大小关系即可转化为比较2 ，2 ，2×4的大小关系即可．【解答】解：，∵∴∴∴a2＜b2＜c2∴a＜b＜c．故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，两个正的二次根式比较大小可以通过平方的方法进行，两个式子平方的值大的，对应的式子的值就大．5．（5分）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）【考点】62：导数及其几何意义；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立”转换成当x＞0时，f'（x）≥2恒成立，然后利用参变量分离的方法求出a的范围即可．【解答】解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立则当x＞0时，f'（x）≥2恒成立f'（x）=+x≥2在（0，+∞）上恒成立则a≥（2x﹣x2）max=1故选：D．【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与划归的数学思想，属于基础题．6．（5分）已知f（x）=（2x+1）3﹣+3a，若f′（﹣1）=8，则f（﹣1）=（）A．4B．5C．﹣2D．﹣3【考点】64：导数的加法与减法法则．【专题】11：计算题．【分析】先求出函数的导数，再把x=﹣1代入f′（x）的解析式得到f'（﹣1），再由f'（﹣1）=8，求得a的值，即可得到函数f（x）的解析式，从而求得f （﹣1）的值．【解答】解：已知，∴f′（x）=3（2x+1）2×2+，∵f'（﹣1）=8，∴3×2+2a=8，故有a=1，∴=，∴f（﹣1）=﹣1+2+3=4，故选：A．【点评】本题主要考查函数在某一点的导数的定义，求一个函数的导数的方法，属于基础题．7．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．3【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．【解答】解：设底面边长为a，则高h==，所以体积V=a2h=，设y=12a4﹣a6，则y′=48a3﹣3a5，当y取最值时，y′=48a3﹣3a5=0，解得a=0或a=4时，当a=4时，体积最大，此时h==2，故选：C．【点评】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法．是中档题．8．（5分）若函数f（x）=e﹣x+ax，x∈R有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（）A．a＜1B．0＜a＜1C．﹣1＜a＜0D．a＜﹣1【考点】52：函数零点的判定定理．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】令函数f（x）的导数为0，求出x=lna﹣1，由x＞0，解出a即可．【解答】解：∵f′（x）=a﹣e﹣x，令f′（x）=0，∴a=e﹣x，∴x=﹣lna=lna﹣1，∵x＞0，∴lna﹣1＞0，∴＞1，∴0＜a＜1，故选：B．【点评】本题考察了函数的零点问题，对数函数的性质，导数的应用，是一道基础题．9．（5分）设0＜a＜b，且f（x）=，则下列大小关系式成立的是（）A．f （a）＜f （）＜f （）B．f （）＜f （b）＜f （）C．f （）＜f （）＜f （a）D．f （b）＜f （）＜f （）【考点】3E：函数单调性的性质与判断；7F：基本不等式及其应用．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】明确f（x）=在（0，+∞）上是单调减函数，再由基本不等式明确b＞＞，利用函数的单调性定义来求解．【解答】解：∵0＜a＜b，∴b＞＞又∵f（x）=，∴f′（x）==＜0，∴f（x）=在（0，+∞）上是单调减函数，∴f （b）＜f （）＜f （）故选：D．【点评】本题主要考查指数函数的单调性和基本不等式．解答的关键是在比较大小时体现了函数思想．10．（5分）∫01（﹣x）dx=（）A．B．C．D．【考点】67：定积分、微积分基本定理．【专题】11：计算题．【分析】由积分的形式分析，求解它的值得分为两部分来求，∫01（﹣X）dx=∫01（）dx+∫01（﹣X）dx【解答】解：由题意，∫01（﹣X）dx=∫01（）dx+∫01（﹣X）dx∫01（）dx的大小相当于是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆的面积的，故其值为∫01（﹣x）dx=（﹣x2）|01=﹣所以，∫01（﹣X）dx=∫01（）dx+∫01（﹣X）dx=故选：D．【点评】本题考查求定积分，求解本题关键是根据定积分的运算性质将其值分为两部分来求，其中一部分要借用其几何意义求值，在求定积分时要注意灵活选用方法，求定积分的方法主要有两种，一种是几何法，借助相关的几何图形，一种是定义法，求出其原函数，本题两种方法都涉及到了．11．（5分）一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人以前进3步，然后再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向，以1步的距离为1个单位长度．令P（n）表示第n秒时机器人所在位置的坐标，且记P（0）=0，则下列结论中错误的是（）A．P（3）=3B．P（5）=1C．P（2003）＞P（2005）D．P（2003）＜P（2005）【考点】82：数列的函数特性；F4：进行简单的合情推理．【专题】11：计算题．【分析】按“前进3步后退2步”的步骤去算，发现机器人每5秒完成一个循环，解出对应的数值，再根据规律推导，就可得出正确选项【解答】解：根据题中的规律可得：P（0）=0，P（1）=1，P（2）=2，P（3）=3，P（4）=2，P（5）=1，…以此类推得：P（5k）=k （k为正整数）因此P（2003）=403，且P（2005）=401，所以P（2003）＞P（2005）故选：D．【点评】本题主要考查了数列的应用，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”，属于中档题．12．（5分）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算⊗：当m，n都为偶数或奇数时，m⊗n=m+n；当m，n中一个为奇数，另一个为偶数时，m⊗n=m•n．则在上述定义下，集合M={（x，y）|x⊗y=36，x∈N*，y∈N*}中元素的个数为（）A．48B．41C．40D．39【考点】12：元素与集合关系的判断．【专题】23：新定义．【分析】根据定义，x⊗y=36分两类进行考虑：x和y一奇一偶，则x•y=36；x 和y同奇偶，则x+y=36．由x、y∈N*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（x，y）的个数即可．【解答】解：x⊗y=36，x、y∈N*，若x和y一奇一偶，则xy=36，满足此条件的有1×36=3×12=4×9，故点（x，y）有6个；若x和y同奇偶，则x+y=36，满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=35+1，故点（x，y）有35个，∴满足条件的个数为6+35=41个．故选：B．【点评】本题为新定义问题，考查对新定义和集合的理解，正确理解新定义的含义是解决本题的关键．二．填空题：（4&#215;5分=20分）13．（5分）由曲线y=x2与x=y2所围成的曲边形的面积为．【考点】69：定积分的应用．【专题】11：计算题．【分析】由题意，可作出两个曲线y=x2与x=y2的图象，由图象知阴影部分即为所求的面积，本题可用积分求阴影部分的面积，先求出两曲线交点A的坐标，根据曲线确定出被积函数与积分区间[0，1]，计算出定积分的值，即可出面积曲线y2=x，y=x2所围成图形的面积．【解答】解：作出如图的图象…（2分）联立解得，…（5分）即点O（0，0），A（1，1）．故所求面积为：===…（10分）所以所围成图形的面积S=．故答案为：．【点评】本题考查了定积分在求面积中的应用，解题的关键是确定出被积函数与积分区间，熟练掌握积分的运算．14．（5分）已知z，ω为复数，i为虚数单位，（1+3i）•z为纯虚数，ω=，且|ω|=5，则复数ω=±（7﹣i）．【考点】A5：复数的运算；A8：复数的模．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得．又ω=，|ω|=，可得．即可得出a，b．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===，|ω|=，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±=±（7﹣i）．故答案为±（7﹣i）．【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．15．（5分）已知f（x）为一次函数，且f（x）=x+3f（t）dt，则f（x）=x ﹣．【考点】3U：一次函数的性质与图象；67：定积分、微积分基本定理．【专题】53：导数的综合应用．【分析】设f（x）=ax+b，根据积分公式，即可求出f（x）的表达式．【解答】解：∵f（x）为一次函数，且f（x）=x+3f（t）dt∴设f（x）=x+b，则f（x）=x+3f（t）dt=x+3（t+b）dt=x+3（）|=x+，∴=b，即b=，∴f（x）=x．故答案为：x【点评】本题主要考查积分的计算，利用待定系数法即可得到结论．比较基础．16．（5分）图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是91．【考点】F1：归纳推理．【专题】29：规律型．【分析】先分别观察给出正方体的个数为：1，1+5，1+5+9，…总结一般性的规律，将一般性的数列转化为特殊的数列再求解．【解答】解：分别观察正方体的个数为：1，1+5，1+5+9，…归纳可知，第n个叠放图形中共有n层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列所以∴s7=2×72﹣7=91故答案为：91【点评】本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析具体，观察，总结其内在联系，得到一般性的结论，若求解的项数较少，可一直推理出结果，若项数较多，则要得到一般求解方法，再求具体问题．三．解答题（17题10分，其他题每题12分，计70分）17．（10分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】（I）设出复数的代数形式，整理出z+2i和，根据两个都是实数虚部都等于0，得到复数的代数形式．（II）根据上一问做出的复数的结果，代入复数（z+ai）2，利用复数的加减和乘方运算，写出代数的标准形式，根据复数对应的点在第一象限，写出关于实部大于0和虚部大于0，解不等式组，得到结果．【解答】解：（Ⅰ）设复数z=a+bi（a，b∈R），由题意，z+2i=a+bi+2i=a+（b+2）i∈R，∴b+2=0，即b=﹣2．又，∴2b+a=0，即a=﹣2b=4．∴z=4﹣2i．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知z=4﹣2i，∵（z+ai）2=（4﹣2i+ai）2=[4+（a﹣2）i]2=16﹣（a﹣2）2+8（a﹣2）i对应的点在复平面的第一象限，∴解得a的取值范围为2＜a＜6．【点评】本题考查复数的加减乘除运算，考查复数的代数形式和几何意义，考查复数与复平面上点的对应，考查解决实际问题的能力，是一个综合题．18．（12分）请观察以下三个式子：①1×3=；②1×3+2×4=；③1×3+2×4+3×5=，归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明之．【考点】F1：归纳推理；RG：数学归纳法．【专题】55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】观察所给等式，注意等式的左边与右边的特征，得到猜想，然后利用数学归纳法的证明标准，验证n=1时成立，假设n=k是成立，证明n=k+1时等式也成立即可．【解答】解：由于所给的等式的左边，是两两自然数的积再求和的形式，右边是一个分式，分母是6，分子是三个自然数的积，注意自然数与序号之间的关系，所以，猜想：1×3+2×4+3×5+…+n（n+2）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）证明：（1）当n=1时，左边=3，右边=3，等式成立．（2）假设当n=k时，等式成立，即1×3+2×4+3×5+…+k（k+2）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）那么，当n=k+1时，1×3+2×4+3×5+…+k（k+2）+（k+1）（k+3）=+（k+1）（k+3）=（2k2+7k+6k+18）=（2k2+13k+18）=，就是说，当n=k+1时等式也成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）综上所述，对任何n∈N+都成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题考查数学归纳法的应用，归纳推理推出猜想是解题的关键，注意数学归纳法证明时，必须用上假设．属于中档题，19．（12分）已知：函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R，（1）求：函数f（x）的单调区间和极值；（2）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求：实数a的取值范围；（3）当x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x﹣1）恒成立，求：实数k的取值范围．【考点】53：函数的零点与方程根的关系；6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】11：计算题．【分析】（1）先求函数的导数，令导数等于0，求出极值点，再列表判断极值点左右两侧导数的正负，当左正右负时有极大值，当左负右正时有极小值，且在某区间导数大于0时，此区间为函数的增区间，在某区间导数小于0时，此区间为函数的减区间．（2）由（1）知函数f（x）的大致图象，然后将关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，转化为y=f（x）图象与直线y=a有3个不同交点，数形结合解决问题（3）先将f（x）≥k（x﹣1）恒成立，转化为k≤x2+x﹣5在（1，+∞）上恒成立，进而转化为求函数g（x）=x2+x﹣5在（1，+∞）上的值域即可【解答】解：（1）求函数f（x）=x3﹣6x+5的导数，得f'（x）=3（x2﹣2），令f'（x）=0，即3（x2﹣2）=0，解得，列表讨论f′（x）的符号，得xf'（x）+0﹣0+f（x）↗极大值↘极小值↗∴f（x）的单调递增区间是，，单调递减区间是，当x=﹣时，函数有极大值为5+4，当x=时，函数有极小值为5﹣4（2）由（1）的分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向如图：若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，即y=f（x）图象与直线y=a有3个不同交点，由图数形结合可得（3）f（x）≥k（x﹣1）即（x﹣1）（x2+x﹣5）≥k（x﹣1）．∵x＞1，∴k≤x2+x﹣5在（1，+∞）上恒成立，令，则g（x）在（1，+∞）上是增函数，∴g（x）＞g（1）=﹣3，∴k≤﹣3．【点评】本题考查了利用导数求函数单调区间和极值的方法，利用导数研究函数图象解决根的个数问题的方法，不等式恒成立问题的解法20．（12分）设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．（1）求y=f（x）的表达式；（2）若直线x=﹣t（0＜t＜1）把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；63：导数的运算；67：定积分、微积分基本定理．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）设f（x）=ax2+bx+c，根据f′（x）=2x+2求出a、b的值，再由方程f（x）=0有两个相等的实根，△=0，求得c的值，即可得到函数的解析式．（2）由题意可得（x2+2x+1）dx=（x2+2x+1）dx，即（x3+x2+x）=（x3+x2+x），化简得2（t﹣1）3=﹣1，由此求得t的值．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，又因为f′（x）=2x+2，∴a=1，b=2，∴f（x）=x2+2x+c．由于方程f（x）=0有两个相等的实根，∴△=4﹣4c=0，解得c=1，∴f（x）=x2+2x+1．（2）由题意可得（x2+2x+1）dx=（x2+2x+1）dx，即（x3+x2+x）=（x3+x2+x），即﹣t3+t2﹣t+=t3﹣t2+t，∴2t3﹣6t2+6t﹣1=0，即2（t﹣1）3=﹣1，∴t=1﹣．【点评】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，导数的运算，定积分的应用，属于中档题．21．（12分）已知x=1是函数f（x）=（ax﹣2）e x的一个极值点．（a∈R）（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当x1，x2∈[0，2]时，证明：f（x1）﹣f（x2）≤e．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．【分析】（I）先求出函数f（x）的导函数，然后根据在极值点处的导数等于0，建立等式关系，求出a即可；（II）确定函数f（x）在区间[0，2]上的最大值与最小值，从而f（x1）﹣f（x2）≤f max（x）﹣f min（x），由此可得到结论．【解答】（Ⅰ）解：已知f′（x）=（ax+a﹣2）e x，f'（1）=0，∴a=1．当a=1时，f′（x）=（x﹣1）e x，在x=1处取得极小值．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，f（x）=（x﹣2）e x，f′（x）=（x﹣1）e x．当x∈[0，1]时，f′（x）=（x﹣1）e x≤0，∴f（x）在区间[0，1]单调递减；当x∈（1，2]时，f′（x）=（x﹣1）e x＞0，∴f（x）在区间（1，2]单调递增．所以在区间[0，2]上，f（x）的最小值为f（1）=﹣e，又f（0）=﹣2，f（2）=0，所以在区间[0，2]上，f（x）的最大值为f（2）=0．对于x1，x2∈[0，2]，有f（x1）﹣f（x2）≤f max（x）﹣f min（x）．所以f（x1）﹣f（x2）≤0﹣（﹣e）=e．【点评】本题综合考查函数的极值以及利用导数研究函数的单调性，同时考查函数的最值的求解，是一道综合题．22．（12分）已知函数f（x）=lnax﹣（a≠0）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，是否存在过点（1，﹣1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求导数，利用导数的几何意义进行判断．【解答】解析：（1）由题意．…（1分）当a＞0时，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＞0，则x∈（a，+∞），f'（x）＜0，则x∈（0，a），此时函数在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，…（3分）当a＜0时，函数f（x）的定义域为（﹣∞，0），f'（x）＞0，则x∈（a，0），f'（x）＜0，则x∈（﹣∞，a），此时函数在（﹣∞，a）上是减函数，在（a，0）上是增函数．…（5分）（2）假设存在这样的切线，设其中一个切点T，∴切线方程：，将点T坐标代入得：，即，①设，则．令g'（x）=0，则x=1或x=2．…（8分）x（0，1）1（1，2）2（2，+∞）g'（x）+0﹣0+g（x）递增极大值递减极小值递增所以g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，g（x）在x=1处取得极大值g（1）=1，在x=2处取得极小值，所以g（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，即g（x）=0在[1，+∞）上无解．因为，g（1）=1＞0，g（x）在区间（0，1）上单调递增，根据零点定理，g（x）在区间（0，1）上有且仅有一个实数根，即方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．…（12分）【点评】本题主要考查利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握导数和函数单调性，极值之间的关系，考查学生的运算能力．。

上海市宝山区、嘉定区2014年中考二模数学试题（满分150分，考试时间100分钟） 同学们请注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一 律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．2-是2的(▲)（A ）相反数； （B ）倒数； （C ）绝对值； （D ）平方根.2．不等式组⎩⎨⎧≥->+125,523x x 的解在图1所示的数轴上表示为(▲)（A ） （B ） （C ） （D ）3．某运动队为了选拔“神枪手”，举行射击比赛，最后由甲、乙两名选手进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名选手的总成绩都是99.6环，甲的方差是0. 27，乙的方差是0. 18，则下列说法中，正确的是(▲)（A ）甲的成绩比乙的成绩稳定； （B ）乙的成绩比甲的成绩稳定； （C ）甲、乙两人成绩一样稳定； （D ）无法确定谁的成绩更稳定. 4．已知矩形的面积为20，则图2给出的四个图像中，能大致呈现矩形的长y 与宽x 之间的函数关系的是(▲)5．如果要证明平行四边形ABCD 为正方形，那么我们需要在四边形ABCD 是平行四边形的基础上，进一步证明(▲)（A ）AB =AD 且AC ⊥BD ； （B ）AB =AD 且AC =BD ；（C ）∠A =∠B 且AC =BD ； （D ）AC 和BD 互相垂直平分.6．如图3，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =6，BC=9，CD =4，DA =3，则分别以AB 、CD 为直径的⊙P与⊙Q 的位置关系是(▲)（A ）内切； （B ）相交； （C ）外切； （D ）外离. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7．计算)1(-x x 的结果是 ▲ .A BCD图3Ox y(A)Ox y(B)Oxy (C)Oxy(D)图2 图 18．分式x 2－1x ＋1的值为零，则x 的值为 ▲ .9．一元二次方程2x x =的解为 ▲ .10．如果关于x 的一元二次方程02)12(22=-+++-k x k x 有实数根，那么实数k 的取值范围是 ▲ .11．方程(x +3)2-x =0的解是 ▲ . 12．已知反比例函数xk y 1+=的图像在第二、四象限内，那么常数k 的取值范围是 ▲ . 13．合作交流是学习教学的重要方式之一，某校九年级六个班中，每个班合作学习小组的个数分别是：5、7、7、6、7、6，这组数据的众数是 ▲ . 14．定义：百位、十位、个位上的数字从左到右依次增大的三位数为“渐进数”，如589就是一个“渐进数”.如果由数字3,5,6组成的三位数中随机抽取一个三位数，那么这个数是“渐进数”的概率是 ▲ .15．如图4，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，CD AB =.如果2=AD ，23=BD ，︒=∠45DBC ，那么梯形ABCD 的面积为 ▲ .16．化简：()()AB CD AC BD ---u u u r u u u r u u u r u u u r= ▲ .17．如图5，已知BD 是⊙O 的直径，点A 、C 在⊙O 上， =，︒=∠60AOB ，则∠COD 的度数是 ▲ 度.18.如图6，E 为矩形ABCD 边BC 上自B 向C 移动的一个动点，AE EF ⊥交CD 边于F ，联结AF ，当△ABE 的面积恰好为△ECF 和△FDA 的面积之和时，量得2=AE ，1=EF ，那么矩形ABCD 的面积为 ▲ .三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：+--0)3(12π2131-⎪⎭⎫ ⎝⎛60tan -°.A B CD EF 图6ABC D 图4 图5A CD O20．（本题满分10分）解方程组： 22220,2 1.x y x xy y --=⎧⎨++=⎩②①21．（本题满分10分）在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法： （1）如图7，作直径AD ；（2）作半径OD 的垂直平分线，交⊙O 于B ，C 两点； （3）联结AB 、AC 、BC,那么△ABC 为所求的三角形. 请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC ，然后给出△ABC 是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由．22．（本题满分10分，每小题5分）如图8，在平面直角坐标系xOy 中，直线b kx y +=与x 轴交于点A （1,0），与y 轴交于点B（0,2）.（1）求直线AB 的表达式和线段AB 的长；（2）将OAB △绕点O 逆时针旋转︒90后，点A 落到点C 处， 点B 落到点D 处，求线段AB 上横坐标为a 的点E 在线段CD 上的对应点F 的坐标（用含a 的代数式表示）.23．（本题满分12分，每小题满分各6分)如图9，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠=∠90ABC DAB ， E 为CD 的中点，联结AE 并延长交BC 的延长线于F ； （1）联结BE ，求证EF BE =．（2）联结BD 交AE 于M ，当1=AD ，2=AB ， EM AM =时，求CD 的长．D图7图8A B CD F EM图9图12ADE 图112013学年第二学期宝山嘉定区联合模拟考试数学参考答案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. A ； 2.C ； 3. B ； 4. A ； 5. B ； 6. D. 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. x x -2； 8. 1； 9. 1,021==x x ； 10. 49-≥k ； 11. 2=x ； 12. 1-<k ；13. 7； 14. 61； 15. 9； 16. 0ρ； 17. 120； 18. 3.三、简答题（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=33132-+- ……………………8分=132-. ……………………2分 20．解：由方程②得0)1)(1(=-+++y x y x ……2分整合得 ⎩⎨⎧-=+=-122y x y x 或⎩⎨⎧=+=-122y x y x . ……2分解这个两个方程得 ⎩⎨⎧-==10y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==3134y x ，……（1+2）×2分（若学生用代入法，则22+=y x 可得2分. 代入并整理至01432=++y y 再得2分 解得31,12-=-=y y 再得2分，回代得解 ⎩⎨⎧-==10y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==3134y x 获最后2×2分）21.解：两位同学的方法正确. ……2分作出线段BC . ……2分(此处作图略) 连BO 、CO ∵BC 垂直平分OD∴直角△OEB 中. cos ∠BOE =21=OB OE ……1+1分 ∠BOE=60°由垂径定理得∠COE=∠BOE=60°………1+1分 由于AD 为直径. ∴120=∠=∠AOC AOB °……………1分 ∴CA BC AB ==. 即△ABC 为等边△……………………1分22.解（1）将点A （1,0），点B （0,2）代入直线b kx y +=.可求得,2-=k 2=b ……1+1分 ∴直线AB 的解析式为22+-=x y ， ………1分 线段AB =5)20()01(22=-+- ………2分（2）∵E 为线段AB 上横坐标a 的点，∴第一象限的E （a ，-2 a+2）…1分根据题意F 为E 绕点O 逆时针旋转︒90后的对应点第二象限的F 的坐标为（a a ,22+--）………………1+1分 ∴ 点F （a a ,22-）. ……………2分23.(1)∵ABCD 为直角梯形，∠A=∠B=90°，AD ∥BC∴∠DAE=∠CFE ∠ADE=∠FCE ………………1+1分 ∵E 为CD 的中点，∴DE=CE …………………1分 ∴△DAE ≅△CFE, ∴AE=FEAD=FC ………………1+1分 在直角三角形ABF 中BE= AE=FE …………………1分 (2) ∵AM=EM ，AE=FE ， ∴AM=31FM ……………1分 ∵AD ∥BC ， ∴FM AM BF AD ==31……………1分 过D 作DH ⊥BF 于H ， 易证ABHD 为矩形，…1分 ∵AD=BH ， ∴AD=CH ， …………………1分 在直角三角形CDH 中，CH=AD=1，DH=AB=2，…1分 CD=22CH DH +=5 …………………1分24．（1）易知抛物线n mx mx y +-=2的对称轴为直线212=--=m m x …………1分 将)32,0(A 代入抛物线n mx mx y +-=2得：32=n …………1分依题意tan ∠ABC=3,易得)0,2(B …………1分将)0,2(B 代入可得抛物线的表达式为32332++-=x x y …………1分（注：若学生求出3-=m ，即可得分.）（2）)0,2(B 向右平移四个单位后的对应点E 的坐标为（6，0）.……1分 向右平移四个单位后的新抛物线的对称轴为直线X=29…………1分 将)32,0(A 、E （6，0）代入直线b kx y +=得直线A E 的表达式为3233+-=x y ， …………1分 交点D 的坐标D （29，23） …………1分（3）易证∠BAE=∠AEB=30° …………1分若△ADB ∽△EDF ， 则有ADEDAB EF =…………1分 EF=34431=•， …………1分 若△ADB ∽△EFD ， 则有ABEDAD EF =EF=49， …………1分25，底角B 满足cosB=54， ∴BC=10×5×2=16. …………1分 ∵EF∥AC， ∴BCBEAC EF =. …………1分 BD =x ，EF =y ， DE =3∴)3(85+=x y . （0≤x ≤13）. …………1+1分 （2）依题意易得在三角形FBE 中， FB=FE=)3(85+x . …………1分若∠FDB 为直角时有BD=DE. ∴3=x …………1分BB又∵cosB=54， ∴FD=4934343=⨯=BD . …………1分 ∴三角形BDF 的面积为82734921=⨯⨯. …………1分若∠BFD 为直角时，BF=EF=)3(85+x =x 54 ∴775=x …………1分∴三角形BDF 的面积为491350537755477521=⨯⨯⨯⨯ …………1分(3) 平行四边形. 面积为813．…………………………………………2+2分。

2014年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）（1）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每题4分．1．（4分）方程log2x+=1的解是．2．（4分）已知函数f（x）=，则f﹣1（4）．3．（4分）若实数x，y满足|xy|=1，则x2+4y2的最小值为．4．（4分）设（1+2i）=3﹣4i（i为虚数单位），则|z|=．5．（4分）已知x∈R，则+arccos的值为．6．（4分）﹣1+3﹣9+27﹣…﹣310+311除以5的余数是．7．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心，则过点A、M、N的平面截正方体的截面面积为．8．（4分）等差数列{a n}的前n项和为S n，则=．9．（4分）某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为a n（n∈N*），等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数157772128963211219243216320545321152660482496则等级为50级需要的天数a50=．10．（4分）若关于x的方程sin2x+cos2x=k在区间[0，]上有两个不同的实数解，则k的取值范围为．11．（4分）已知直线l：ρ=交极轴于A点，过极点O作l的垂线，垂足为C，现将线段CA绕极点O旋转，则在旋转过程中线段CA所扫过的面积为．12．（4分）给定平面上四点O，A，B，C满足OA=4，OB=3，OC=2，=3，则△ABC面积的最大值为．13．（4分）对于非空实数集A，定义A*={z|对任意x∈A，z≥x}．设非空实数集C⊆D⊊（﹣∞，1]．现给出以下命题：（1）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有D*⊆C*；（2）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有C*∩D≠∅；（3）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有C∩D*=∅；（4）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必存在常数a，使得对任意的b ∈C*，恒有a+b∈D*．以上命题正确的是．14．（4分）已知当|x|＜时，有=1﹣2x+4x2﹣…+（﹣2x）n+…，根据以上信息，若对任意|x|＜，都有=a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，则a10=．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分．15．（5分）集合A={x|＜0}，B={x|（x﹣a）（x﹣b）＜0}，若“a=﹣2”是“A ∩B≠∅”的充分条件，则b的取值范围是（）A．b＜﹣1B．b＞﹣1C．b≥﹣1D．﹣1＜b＜2 16．（5分）函数f1（x）=，f2（x）=，…，f n+1（x）=，…，则函数f2014（x）是（）A．奇函数但不是偶函数B．偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数17．（5分）若α、β∈[﹣，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下面结论正确的是（）A．α＞βB．α+β＞0C．α＜βD．α2＞β2 18．（5分）设B、C是定点，且均不在平面α上，动点A在平面α上，且sin∠ABC=，则点A的轨迹为（）A．圆或椭圆B．抛物线或双曲线C．椭圆或双曲线D．以上均有可能三、解答题（本大题共5小题，满分74分）19．（12分）如图，设S﹣ABCD是一个高为3的四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，顶点S在底面上的射影是正方形ABCD的中心．K是棱SC的中点．试求直线AK与平面SBC所成角的大小．20．（14分）对于函数f（x），若在定义域存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知二次函数f（x）=ax2+2bx﹣4a（a，b∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设f（x）=2x+m是定义在[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．21．（14分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率；（2）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．22．（16分）已知抛物线y2=4x．（1）若圆心在抛物线y2=4x上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线x+1=0相切，求所有的圆都经过的定点坐标；（2）抛物线y2=4x的焦点为F，若过F点的直线与抛物线相交于M，N两点，若=﹣4，求直线MN的斜率；（3）（理）若过x正半轴上Q（t，0）点的直线与该抛物线交于M，N两点，P 为抛物线上异于M，N的任意一点，记PM，QP，PN连线的斜率为k PM，k QP，k PN，试求满足k PM，k QP，k PN成等差数列的充要条件．23．（18分）设等差数列{a n}的公差为d，且a1，d∈N*．若设M1是从a1开始的前t1项数列的和，即M1=a1+…+（1≤t1，t1∈N*），M2=at1+1+at1+2+…+at2（1＜t2∈N*），如此下去，其中数列{M i}是从第t i﹣1+1（t0=0）开始到第t i（1＜t i）项为止的数列的和，即M i=at i﹣1+1+…+at i（1≤t i，t i∈N*）．（1）若数列a n=n（1≤n≤13，n∈N*），试找出一组满足条件的M1，M2，M3，使得：M22=M1M3；（2）试证明对于数列a n=n（n∈N*），一定可通过适当的划分，使所得的数列{M n}中的各数都为平方数；（3）若等差数列{a n}中a1=1，d=2．试探索该数列中是否存在无穷整数数列{t n}，（1≤t1＜t2＜t3＜…＜t n），n∈N*，使得{M n}为等比数列，如存在，就求出数列{M n}；如不存在，则说明理由．2014年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每题4分．1．（4分）方程log2x+=1的解是1．【考点】4H：对数的运算性质．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】利用对数的运算法则和换底公式即可解出．【解答】解：原方程可化为log2x+log2（x+1）=1，∴log2x（x+1）=1，∴x（x+1）=2，又x＞0，解得x=1．因此方程的解为x=1．故答案为：x=1．【点评】本题考查了对数方程的解法、对数的运算法则和换底公式，属于基础题．2．（4分）已知函数f（x）=，则f﹣1（4）1．【考点】4R：反函数；O1：二阶矩阵．【专题】17：选作题；5R：矩阵和变换．【分析】先求出函数，令3x+1=4，可得x．【解答】解：函数f（x）==3x+1，令3x+1=4，可得x=1故答案为：1．【点评】本题考查二阶矩阵，考查学生的计算能力，比较基础．3．（4分）若实数x，y满足|xy|=1，则x2+4y2的最小值为4．【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵x2+4y2≥=4|xy|=4，当且仅当|x|=2|y|=时取等号，∴x2+4y2的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．4．（4分）设（1+2i）=3﹣4i（i为虚数单位），则|z|=．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】复数方程两边直接求模，即可得到复数z的模．【解答】解：∵（1+2i）=3﹣4i，∴|1+2i|||=|3﹣4i|=5，∵∴|z|=5，∴|z|=．故答案为：【点评】本题是基础题，考查复数的模的求法，复数方程的灵活运应，考查计算能力．5．（4分）已知x∈R，则+arccos的值为0．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件，建立不等式组即可得到结论．【解答】解：要使函数有意义，则，即，∴x（x+1）=0，∴原式=0+arccos1=0，故答案为：0．【点评】本题主要考查函数值和函数定义域的求法，比较基础．6．（4分）﹣1+3﹣9+27﹣…﹣310+311除以5的余数是3．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】所给的式子即（﹣1+3）11=2048=2045+3，显然它除以5的余数为3．【解答】解：∵﹣1+3﹣9+27﹣…﹣310+311=（﹣1+3）11=2048=2045+3，它除以5的余数显然为3，故答案为：3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，整除的有关知识，属于中档题．7．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心，则过点A、M、N的平面截正方体的截面面积为．【考点】L2：棱柱的结构特征．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】过点A、M、N的平面截正方体的截面即为平面AB1C，进而根据边长为a的等边三角形面积为得到答案．【解答】解：如图所示：过点A、M、N的平面截正方体的截面即为平面AB1C，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，故等边△AB1C的边长为，故面积S==，故答案为：【点评】本题考查的知识点是棱柱的结构特征，其中分析出过点A、M、N的平面截正方体的截面即为平面AB1C，是解答的关键．8．（4分）等差数列{a n}的前n项和为S n，则=2．【考点】8E：数列的求和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】先求出S n=n（），再由“”型极限的计算公式能求出的值．【解答】解：∵S n=na1+=n（），∴===2．故答案为：2．【点评】本题考查极限值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．9．（4分）某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为a n（n∈N*），等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数157772128963211219243216320545321152660482496则等级为50级需要的天数a50=2700．【考点】81：数列的概念及简单表示法；F1：归纳推理．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由表格可知：a n=5+7+…+（2n+3），利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由表格可知：a n=5+7+…+（2n+3）==n（n+4），∴a50=50×54=2700．故答案为：2700．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式、归纳推理等基础知识与基本技能方法，属于基础题．10．（4分）若关于x的方程sin2x+cos2x=k在区间[0，]上有两个不同的实数解，则k的取值范围为[1，）．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】构造辅助函数f（x）=sin2x+cos2x，g（x）=k，求出f（x）在[0，]上的值域并作出图象，由两函数的图象有两个不同交点求得k的取值范围．【解答】解：令f（x）=sin2x+cos2x，g（x）=k，则f（x）=sin2x+cos2x=．∵x∈[0，]，∴，∴，函数f（x）=在[0，]内的图象如图所示：∴要使方程sin2x+cos2x=k在区间[0，]上有两个不同的实数解，则函数f（x）与g（x）的图象有两个不同的交点，则k的取值范围为[1，）．故答案为：[1，）．【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，考查了三角函数最值的求法，训练了数学转化思想方法和数形结合的解题思想解题思想方法，是中档题．11．（4分）已知直线l：ρ=交极轴于A点，过极点O作l的垂线，垂足为C，现将线段CA绕极点O旋转，则在旋转过程中线段CA所扫过的面积为．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】17：选作题；5S：坐标系和参数方程．【分析】直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出OA，OC的长度，利用将线段CA绕极点O旋转，则在旋转过程中线段CA所扫过的面积为两个扇形面积的差，即可得出结论．【解答】解：∵直线l：ρ=交极轴于A点，∴A（1，0），x﹣y﹣=0，过极点O作l的垂线，垂足为C，则OC=，将线段CA绕极点O旋转，则在旋转过程中线段CA所扫过的面积为两个扇形面积的差，即•π（1﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查直线的极坐标方程化为直角坐标方程，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．12．（4分）给定平面上四点O，A，B，C满足OA=4，OB=3，OC=2，=3，则△ABC面积的最大值为．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】先利用向量的数量积公式，求出∠BOC=60°，利用余弦定理求出BC，由等面积可得O到BC的距离，即可求出△ABC面积的最大值．【解答】解：∵OB=3，OC=2，=3，∴∠BOC=60°，∴BC==，设O到BC的距离为h，则由等面积可得，∴h=，∴△ABC面积的最大值为••（+4）=．故答案为：．【点评】本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，求出BC，O到BC的距离是关键．13．（4分）对于非空实数集A，定义A*={z|对任意x∈A，z≥x}．设非空实数集C⊆D⊊（﹣∞，1]．现给出以下命题：（1）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有D*⊆C*；（2）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有C*∩D≠∅；（3）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有C∩D*=∅；（4）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必存在常数a，使得对任意的b ∈C*，恒有a+b∈D*．以上命题正确的是（1）（4）．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】5J：集合；5L：简易逻辑．【分析】由A*={z|∀x∈A，z≥x}．可知：数集A*是数集A的所有上界组成的集合．进而可通过举例否定②③，对于①④还需要利用集合间的关系去证明．【解答】解：由A*={z|∀x∈A，z≥x}．可知：数集A*是数集A的所有上界组成的集合．（1）分别用A max、A min表示集合A的所有元素（数）的最大值、最小值．由C⊆D及A*的定义可知：C max≤C*min，D max≤D*min，C*min≤D max，∴C*min≤D*min，∴必有D*⊆C*．故（1）正确．（2）若设C=（﹣∞，1）=D，满足C⊆D，而C*={1}，此时C*∩D=∅，故（2）不正确．（3）若设C=（﹣∞，0），D=（﹣∞，1），满足C⊆D，而D*=（0，1），此时C ∩D*=（0，1）≠∅，故（3）不正确．（4）由（1）可知：对于C⊆D，必有D*⊆C*；取a=D*min﹣C*min，则对于任意的b∈C*，必恒有a+b∈D*．故（4）正确，故答案为：（1）（4）．【点评】本题考查了新定义，理解数集A*是数集A的所有上界组成的集合及集合间的关系是解决问题的关键．14．（4分）已知当|x|＜时，有=1﹣2x+4x2﹣…+（﹣2x）n+…，根据以上信息，若对任意|x|＜，都有=a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，则a10=﹣455．【考点】F3：类比推理．【专题】5M：推理和证明．【分析】对照已知，可得当|x|＜时，有=1+x3+x6+x9+…+（x3）n+…，要求a10即为x10的系数，然后根据分类计数原理，即可得答案．【解答】解：∵当|x|＜时，有=1﹣2x+4x2﹣…+（﹣2x）n+…，①∴当|x|＜时，有=1+x3+x6+x9+…+（x3）n+…，②又对任意|x|＜，都有=a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，∴a10即为x10的系数，可取①中的（﹣2x）9，②中的1，或①中（﹣2x）6，②中的x3，或①中的（﹣2x）3，②中的x6，或①中的1，②中的x9，∴a10=（﹣2）9+（﹣2）6+（﹣2）3+1=﹣455，故答案为：﹣455．【点评】本题考查类比推理的思想方法，考查形式上的类比，同时考查分类计数原理，注意不重不漏．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分．15．（5分）集合A={x|＜0}，B={x|（x﹣a）（x﹣b）＜0}，若“a=﹣2”是“A ∩B≠∅”的充分条件，则b的取值范围是（）A．b＜﹣1B．b＞﹣1C．b≥﹣1D．﹣1＜b＜2【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；7E：其他不等式的解法．【专题】5J：集合．【分析】求出集合A，B的元素，利用“a=﹣2”是“A∩B≠∅”的充分条件即可得到结论．【解答】解：A={x|＜0}={x|﹣1＜x＜2}，当a=﹣2时，方程（x﹣a）（x﹣b）=0的两个根分别为﹣2和b，∵﹣2＜﹣1，∴若“a=﹣2”是“A∩B≠∅”的充分条件，则b＞﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件的应用，利用不等式的性质求出集合A，B是解决本题的关键．16．（5分）函数f1（x）=，f2（x）=，…，f n+1（x）=，…，则函数f2014（x）是（）A．奇函数但不是偶函数B．偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数【考点】RG：数学归纳法．【专题】15：综合题；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】先判断f n（x）不可能是偶函数，再用数学归纳法证明f n（x）是奇函数，即可得出结论．【解答】解：当x＜0时，f1（x）=＜0，f2（x）=＜0，…，f n+1（x）=＜0，…，同理，x＞0时，函数值均大于0，∴f n（x）不可能是偶函数，∵f1（x）=是奇函数，假设f k（x）是奇函数，则f k+1（﹣x）===﹣f k+1（x），∴f k+1（x）是奇函数，从而f n（x）是奇函数，故选：A．【点评】本题考查数学归纳法，考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（5分）若α、β∈[﹣，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下面结论正确的是（）A．α＞βB．α+β＞0C．α＜βD．α2＞β2【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；H5：正弦函数的单调性．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】观察本题的形式，当角的取值范围是时，角与其正弦值符号是相同的，故αsinα与βsinβ皆为正，αsinα﹣βsinβ＞0可以得出|α|＞|β|，故可以确定结论．【解答】解：y=xsinx是偶函数且在（0，）上递增，∵，∴αsinα，βsinβ皆为非负数，∵αsinα﹣βsinβ＞0，∴αsinα＞βsinβ∴|α|＞|β|，∴α2＞β2故选：D．【点评】本题考查函数值的符号，要根据三角函数的定义来判定三角函数的符号再由相关的不等式得出角的大小来，判断上有一定的思维难度．18．（5分）设B、C是定点，且均不在平面α上，动点A在平面α上，且sin∠ABC=，则点A的轨迹为（）A．圆或椭圆B．抛物线或双曲线C．椭圆或双曲线D．以上均有可能【考点】J3：轨迹方程．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】以BC为轴线，B为顶点作圆锥面，使圆锥面的顶角为60°，则圆锥面上的任意一点与B连线，都能满足∠ABC=30°，用平面α截圆锥所得的交线即为点A的轨迹．【解答】解：以BC为轴线，B为顶点，顶角是60°（半顶角是30°），则A就是这个锥面与平面α的交线．如果平面α只与圆锥面一面相交，如图（1），（1）那么A的轨迹是圆或椭圆或抛物线；如果A与圆锥面两侧都相交（圆锥面两侧指以B为顶点向上的圆锥和向下的圆锥，就像沙漏的形状），如图（2），则轨迹是双曲线．∴点A的轨迹为圆或椭圆或抛物线或双曲线．故选：D．【点评】本题考查轨迹方程，考查学生的空间想象能力和思维能力，正确作出图形是解答此题的关键，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，满分74分）19．（12分）如图，设S﹣ABCD是一个高为3的四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，顶点S在底面上的射影是正方形ABCD的中心．K是棱SC的中点．试求直线AK与平面SBC所成角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题；5G：空间角．【分析】法1：设AK与平面SBC所成角为θ，利用余弦定理求出AK，利用等面积求出A到平面SBC的距离，即可求直线AK与平面SBC所成角的大小．法2：AC∩BD=O，以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间坐标系．求出平面SBC的一个法向量，，利用向量的夹角公式，可求直线AK与平面SBC所成角的大小．【解答】解：（理）法1：设AK与平面SBC所成角为θ．因为，…（2分）所以．所以．…（4分）所以．所以．…（6分）因为，…（8分）所以，…（10分）因此…（11分）则…（12分）解法2：AC∩BD=O，以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间坐标系．则．…（4分）所以．…（6分）设是平面SBC的一个法向量，易求得．…（8分）设θ为AK与平面SBC所成的角，因为．…（10分）所以：．…（11分）所以…（12分）【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查等体积，考查向量方法的运用，确定向量的坐标是关键．20．（14分）对于函数f（x），若在定义域存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知二次函数f（x）=ax2+2bx﹣4a（a，b∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设f（x）=2x+m是定义在[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】23：新定义．【分析】（1）根据“局部奇函数”的定义，只要判断条件f（﹣x）=﹣f（x）是否成立即可得到结论．（2）根据“局部奇函数”的定义，解方程f（﹣x）=﹣f（x），即可得到结论．【解答】解：（1）f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（﹣x）+f（x）=0有解．即f（x）+f（﹣x）=0⇒2a（x2﹣4）=0，有解x=±2，∴f（x）为“局部奇函数”．（2）当f（x）=2x+m时，f（x）+f（﹣x）=0可转化为2x+2﹣x+2m=0，∵f（x）的定义域为[﹣1，1]，∴方程2x+2﹣x+2m=0在[﹣1，1]上有解，令，则．∵在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，∴，∴，即．【点评】本题主要考查新定义的应用，利用新定义，建立方程关系，然后利用函数性质进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力．21．（14分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率；（2）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】12：应用题；5I：概率与统计．【分析】（1）1名顾客摸球2次停止摸奖的情况有，基本事件的个数为，然后代入等可能事件的概率公式可求（2）随机变量X的所有取值为0，10，20，30，40，分别求出X取各个值时的概率即可求解随机变量X的分布列及期望．【解答】解：（1）设“1名顾客摸球2次停止摸奖”为事件A，则P（A）==，…（4分）故1名顾客摸球2次停止摸奖的概率．（2）随机变量X的所有取值为0，10，20，30，40．P（X=0）=，P（X=10）==，P（X=20）==，P（X=30）==，P（X=40）==…（9分）所以，随机变量X的分布列为：X010203040P…（12分）．…（14分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，注意概率知识和排列组合知识的灵活运用．22．（16分）已知抛物线y2=4x．（1）若圆心在抛物线y2=4x上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线x+1=0相切，求所有的圆都经过的定点坐标；（2）抛物线y2=4x的焦点为F，若过F点的直线与抛物线相交于M，N两点，若=﹣4，求直线MN的斜率；（3）（理）若过x正半轴上Q（t，0）点的直线与该抛物线交于M，N两点，P 为抛物线上异于M，N的任意一点，记PM，QP，PN连线的斜率为k PM，k QP，k PN，试求满足k PM，k QP，k PN成等差数列的充要条件．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）首先由抛物线的方程可得直线x=﹣1即为抛物线的准线方程，再结合抛物线的定义得到动圆一定过抛物线的焦点，进而得到答案；（2）设AB方程是x=my+1代入到y2=4x，求出y2=±1，故有m=±，即可求直线MN的斜率；（3）设直线MN的方程为x=ky+t，代入y2=4x，利用等差数列的性质，可得，即可得出结论．【解答】解：（1）设动圆的圆心到直线x+1=0的距离为r，因为动圆圆心在抛物线y2=4x上，且抛物线的准线方程为x=﹣1，所以动圆圆心到直线x=﹣1的距离与到焦点（1，0）的距离相等，所以点（1，0）一定在动圆上，即动圆必过定点（1，0）．（2）由题意得到F（1，0），则设AB方程是x=my+1代入到y2=4x，得y2﹣4my ﹣4=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4．因为=﹣4，得到（x1﹣1，y1）=﹣4（x2﹣1，y2），所以有y1=﹣4y2代入到上面得到y2=±1，故有m=±，所以直线MN的斜率为±；（3）（理）设直线MN的方程为x=ky+t，代入y2=4x，得：y2﹣4ky﹣4t=0，则y1+y2=4k，y1y2=﹣4t，…（11分）若，即有，即：由此得：，因为，所以k=0…（15分）所以当直线MN的方程为x=t时，也就是k PM+k PN=2k PQ成立的充要条件是直线MN与x轴相垂直．…（16分）【点评】本题考查抛物线的定义，以及抛物线的有关性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，正确联立方程是关键．23．（18分）设等差数列{a n}的公差为d，且a1，d∈N*．若设M1是从a1开始的前t1项数列的和，即M1=a1+…+（1≤t1，t1∈N*），M2=at1+1+at1+2+…+at2（1＜t2∈N*），如此下去，其中数列{M i}是从第t i﹣1+1（t0=0）开始到第t i（1＜t i）项为止的数列的和，即M i=at i﹣1+1+…+at i（1≤t i，t i∈N*）．（1）若数列a n=n（1≤n≤13，n∈N*），试找出一组满足条件的M1，M2，M3，使得：M22=M1M3；（2）试证明对于数列a n=n（n∈N*），一定可通过适当的划分，使所得的数列{M n}中的各数都为平方数；（3）若等差数列{a n}中a1=1，d=2．试探索该数列中是否存在无穷整数数列{t n}，（1≤t1＜t2＜t3＜…＜t n），n∈N*，使得{M n}为等比数列，如存在，就求出数列{M n}；如不存在，则说明理由．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】15：综合题；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）利用定义，可以找出一组满足条件的M1，M2，M3，使得：M22=M1M3；（2）先证明第二段可取3个数，t2=1+3=4；再证明第三段可取9个数，即，由此即可得出结论；（3）利用反证法进行证明即可．【解答】（1）解：由题意，M1=1，M2=2+3+4=9，M3=5+6+…+13=81；…（4分）（2）证明：记t1=1，即M1=1，又由2+3+4=9=32，，∴第二段可取3个数，t2=1+3=4；再由5+6+…+13=81=34，即，因此第三段可取9个数，即，依次下去，一般地：，…（6分）∴，…（8分）…（9分）则．由此得证．…（11分）（3）解：不存在．令，则假设存在符合题意的等差数列，则{M n}的公比必为大于1的整数，（∵，因此q＞1），即此时，注意到，…（14分）要使成立，则1+q+q2必为完全平方数，…（16分）但q2＜1+q+q2＜（q+1）2，矛盾．因此不存在符合题意的等差数列{M n}．…（18分）【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，考查新定义，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．。

2014年宝山、嘉定区初三数学二模卷数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）同学们请注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一 律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．2-是2的(▲)（A ）相反数； （B ）倒数； （C ）绝对值； （D ）平方根. 2．不等式组⎩⎨⎧≥->+125,523x x 的解在图1所示的数轴上表示为(▲)（A ） （B ） （C ） （D ）3．某运动队为了选拔“神枪手”，举行射击比赛，最后由甲、乙两名选手进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名选手的总成绩都是99.6环，甲的方差是0. 27，乙的方差是0. 18，则下列说法中，正确的是(▲) （A ）甲的成绩比乙的成绩稳定； （B ）乙的成绩比甲的成绩稳定； （C ）甲、乙两人成绩一样稳定； （D ）无法确定谁的成绩更稳定. 4．已知矩形的面积为20，则图2给出的四个图像中，能大致呈现矩形的长y 与宽x 之间的函数关系的是(▲)5．如果要证明平行四边形ABCD 为正方形，那么我们需要在四边形ABCD 是平行四边形的基础上，进一步证明(▲)（A ）AB =AD且AC⊥BD ； （B ）AB =AD 且AC =BD ； （C ）∠A =∠B 且AC =BD ； （D ）AC 和BD 互相垂直平分.6．如图3，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =6，BC=9，CD =4，DA =3，则分别以AB 、CD为直径的⊙P 与⊙Q 的位置关系是(▲)（A ）内切； （B ）相交； （C ）外切； （D ）外离. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】A BCD图3(A)(B)(C)(D)图2 图 17．计算)1(-x x 的结果是 ▲ .8．分式x 2－1x ＋1的值为零，则x 的值为 ▲ .9．一元二次方程2x x =的解为 ▲ .10．如果关于x 的一元二次方程02)12(22=-+++-k x k x 有实数根，那么实数k 的取值范围是 ▲ .11．方程(x +3)2-x =0的解是 ▲ . 12．已知反比例函数xk y 1+=的图像在第二、四象限内，那么常数k 的取值范围是 ▲ . 13．合作交流是学习教学的重要方式之一，某校九年级六个班中，每个班合作学习小组的个数分别是：5、7、7、6、7、6，这组数据的众数是 ▲ . 14．定义：百位、十位、个位上的数字从左到右依次增大的三位数为“渐进数”，如589就是一个“渐进数”.如果由数字3,5,6组成的三位数中随机抽取一个三位数，那么这个数是“渐进数”的概率是 ▲ .15．如图4，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，CD AB =.如果2=AD ，23=BD ，︒=∠45DBC ，那么梯形ABCD 的面积为 ▲ .16．化简：()()AB CD AC BD ---= ▲ .17．如图5，已知BD 是⊙O 的直径，点A 、C 在⊙O 上，=，︒=∠60AOB ，则∠COD 的度数是 ▲ 度.18.如图6，E 为矩形ABCD 边BC 上自B 向C 移动的一个动点，AE EF ⊥交CD 边于F ，联结AF ，当△ABE 的面积恰好为△ECF 和△FDA 的面积之和时，量得2=AE ，1=EF ，那么矩形ABCD 的面积为 ▲ . 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：+--0)3(12π2131-⎪⎭⎫ ⎝⎛60tan -°.20．（本题满分10分）A B C D E F 图6 A B D 图4 图5解方程组： 22220,2 1.x y x xy y --=⎧⎨++=⎩②①21．（本题满分10分）在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法： （1）如图7，作直径AD ；（2）作半径OD 的垂直平分线，交⊙O 于B ，C 两点； （3）联结AB 、AC 、BC,那么△ABC 为所求的三角形. 请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC ，然后给出△ABC 是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由． 22．（本题满分10分，每小题5分）如图8，在平面直角坐标系xOy 中，直线b kx y +=与x 轴交于点A （1,0），与y 轴交于点B （0,2）.（1）求直线AB 的表达式和线段AB 的长；（2）将OAB △绕点O 逆时针旋转︒90后，点A 落到点C 处， 点B 落到点D 处，求线段AB 上横坐标为a 的点E 在线段CD 上的对应点F 的坐标（用含a 的代数式表示）.23．（本题满分12分，每小题满分各6分)如图9，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠=∠90ABC DAB ， E 为CD 的中点，联结AE 并延长交BC 的延长线于F ； （1）联结BE ，求证EF BE =．（2）联结BD 交AE 于M ，当1=AD ，2=AB ， EM AM =时，求CD 的长．图7A B CD F EM图9ABDEFMN 图12ABC备用图AB DE F图112013学年第二学期宝山嘉定区联合模拟考试数学参考答案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. A ； 2.C ； 3. B ； 4. A ； 5. B ； 6. D. 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. x x -2； 8. 1； 9. 1,021==x x ； 10. 49-≥k ； 11. 2=x ； 12. 1-<k ；13. 7； 14. 61； 15. 9； 16. 0 ； 17. 120； 18. 3.三、简答题（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=33132-+- ……………………8分 =132-. ……………………2分 20．解：由方程②得0)1)(1(=-+++y x y x ……2分整合得 ⎩⎨⎧-=+=-122y x y x 或⎩⎨⎧=+=-122y x y x . ……2分解这个两个方程得 ⎩⎨⎧-==10y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==3134y x ，……（1+2）×2分（若学生用代入法，则22+=y x 可得2分. 代入并整理至01432=++y y 再得2分解得31,12-=-=y y 再得2分，回代得解 ⎩⎨⎧-==10y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==3134y x 获最后2×2分）21.解：两位同学的方法正确. ……2分作出线段BC . ……2分(此处作图略) 连BO 、CO ∵BC 垂直平分OD∴直角△O EB 中. cos ∠B O E =21=OB OE ……1+1分 ∠B O E=60°由垂径定理得∠C O E=∠B O E=60°………1+1分 由于AD 为直径. ∴120=∠=∠AOC AOB °……………1分 ∴CA BC AB ==. 即△ABC 为等边△……………………1分22.解（1）将点A （1,0），点B （0,2）代入直线b kx y +=.可求得,2-=k 2=b ……1+1分 ∴直线AB 的解析式为22+-=x y ， ………1分 线段AB =5)20()01(22=-+- ………2分（2）∵E 为线段AB 上横坐标a 的点，∴第一象限的E （a ，-2 a+2）…1分根据题意F 为E 绕点O 逆时针旋转︒90后的对应点第二象限的F 的坐标为（a a ,22+--）………………1+1分 ∴ 点F （a a ,22-）. ……………2分23.(1)∵ABCD 为直角梯形，∠A=∠B=90°，AD ∥BC∴∠DAE=∠CFE ∠ADE=∠FCE ………………1+1分 ∵E 为CD 的中点，∴DE =CE …………………1分 ∴△DAE ≅△CFE, ∴AE=FEAD=FC ………………1+1分 在直角三角形ABF 中BE= AE=FE …………………1分 (2) ∵AM=EM ，AE=FE ， ∴AM =31FM ……………1分 ∵AD ∥BC ， ∴FM AM BF AD ==31……………1分 过D 作DH ⊥BF 于H ， 易证ABHD 为矩形，…1分 ∵AD=BH ， ∴AD=CH ， …………………1分 在直角三角形CDH 中，CH=AD=1，DH=AB=2，…1分 CD=22CHDH +=5 …………………1分24．（1）易知抛物线n mx mx y +-=2的对称轴为直线212=--=m m x …………1分 将)32,0(A 代入抛物线n mx mx y +-=2得：32=n …………1分依题意tan ∠ABC=3,易得)0,2(B …………1分将)0,2(B 代入可得抛物线的表达式为32332++-=x x y …………1分（注：若学生求出3-=m ，即可得分.）（2）)0,2(B 向右平移四个单位后的对应点E 的坐标为（6，0）.……1分 向右平移四个单位后的新抛物线的对称轴为直线X=29…………1分 将)32,0(A 、E （6，0）代入直线b kx y +=得直线A E 的表达式为3233+-=x y ， …………1分 交点D 的坐标D （29，23） …………1分（3）易证∠BAE=∠AEB=30° …………1分若△ADB ∽△EDF ， 则有ADEDAB EF =…………1分 EF=34431=∙， …………1分 若△ADB ∽△EFD ， 则有ABEDAD EF =EF=49， …………1分25，底角B 满足cos B =54， ∴BC=10×5×2=16. …………1分∵EF ∥AC ， ∴BCBEAC EF =. …………1分 BD =x ，EF =y ， DE =3∴)3(85+=x y . （0≤x ≤13）. …………1+1分（2）依题意易得在三角形FBE 中， FB=FE=)3(85+x . …………1分若∠FDB 为直角时有BD=DE . ∴3=x …………1分BB又∵cos B =54， ∴FD=4934343=⨯=BD . …………1分 ∴三角形BDF 的面积为82734921=⨯⨯. …………1分若∠BFD 为直角时，BF=EF=)3(85+x =x 54 ∴775=x …………1分∴三角形BDF 的面积为491350537755477521=⨯⨯⨯⨯ …………1分(3) 平行四边形. 面积为813．…………………………………………2+2分。