【K12教育学习资料】高中数学第三章直线与方程3.2.1直线的点斜式方程练习无答案新人教A版必修2

3.2.1 直线的点斜式方程[课时作业][A 组 基础巩固]1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( )A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1解析：由点斜式可知直线过(－1，－2)，斜率为－1.答案：C2．直线y －2＝－3(x ＋1)的倾斜角及在y 轴上的截距分别为( )A ．60°，2B ．120°，2－ 3C ．60°，2－ 3D ．120°，2 解析：该直线的斜率为－3，当x ＝0时，y ＝2－3，故其倾斜角为120°，在y 轴上的截距为2－ 3.答案：B3．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：直线x －2y －2＝0的斜率为12，又所求直线过点(1,0)，故由点斜式方程可得，所求直线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 答案：A4．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )A ．y ＝12x ＋4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4 解析：直线y ＝2x ＋1的斜率为2，∴与其垂直的直线的斜率是－12，∴直线的斜截式方程为y ＝－12x ＋4，故选D.答案：D5．经过点(－1,1)，斜率是直线y ＝22x －2的斜率的2倍的直线方程是( ) A ．x ＝－1 B ．y ＝1C ．y －1＝2(x ＋1)D ．y －1＝22(x ＋1) 解析：由方程知，已知直线的斜率为22， ∴所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y －1＝2(x ＋1)．答案：C6．直线l 经过点(－2,2)，且与直线y ＝x ＋6在y 轴上有相等的截距，则直线l 的方程为________．解析：设直线l 的方程为y ＝kx ＋6，将点(－2,2)代入，得2＝－2k ＋6，解得k ＝2，∴直线l 的方程为y ＝2x ＋6.答案：y ＝2x ＋67．将直线y ＝x ＋3－1绕它上面一点(1，3)沿逆时针方向旋转15°，得到的直线方程是________．解析：由y ＝x ＋3－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°，沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°，∴所求直线的斜率为 3.又∵直线过点(1，3)，∴有y －3＝3(x －1)，即y ＝3x .答案：y ＝3x8．设a ∈R ，如果直线l 1：y ＝－a 2x ＋12与直线l 2：y ＝－1a ＋1x －4a ＋1平行，那么a ＝________. 解析：由l 1∥l 2得－a 2＝－1a ＋1且12≠－4a ＋1，解得a ＝－2或a ＝1. 答案：－2或19．求倾斜角为直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程．(1)经过点(－4,1)；(2)在y 轴上的截距为－10.解析：直线y ＝－3x ＋1的斜率为－3，可知此直线的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率k ＝ 3.(1)由于直线过点(－4,1)，由直线的点斜式方程得y －1＝3(x ＋4)， 即为3x －y ＋1＋43＝0.(2)由于直线在y 轴上的截距为－10，由直线的斜截式方程得y ＝3x －10， 即为3x －y －10＝0.10．已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成的三角形的面积为3，求l 的方程． 解析：设直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，当x ＝0时，y ＝b ；当y ＝0时，x ＝－6b .由已知，得12·|b |·|－6b |＝3，即6b 2＝6.所以b ＝±1.故所求直线的方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1. [B 组 能力提升]1．直线y ＝mx －3m ＋2(m ∈R)必过定点( )A ．(3,2)B ．(－3,2)C ．(－3，－2)D ．(3，－2)解析：由y ＝mx －3m ＋2得y －2＝m (x －3)，所以直线一定过(3,2)点．答案：A2．直线y ＝ax －1a的图象可能是( )解析：当a ＞0时，－1a＜0，图象如图①， 当a ＜0时，－1a＞0，图象如图②.答案：B 3．已知直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变化时，所有直线恒过定点________．解析：把kx －y ＋1－3k ＝0化为y －1＝k (x －3)，所以直线恒过(3,1)．答案：(3,1)4．直线y ＝12x ＋k 与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k 的取值范围是________．解析：令x ＝0，得y ＝k .令y ＝0，得x ＝－2k .所以12|k |·|－2k |≥1，即k 2≥1. 所以k ≤－1或k ≥1.答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)5．光线自点M (2,3)射到y 轴的点N (0,1)后被y 轴反射，求反射光线的方程．解析：如图，入射光线经过点M 、N ，其斜率k ＝3－12－0＝1，∴倾斜角为45°，即∠MNP ＝45°，由物理学知识得∠M ′NP ＝45°，即反射光线的倾斜角为135°，其斜率为－1，∵点N (0,1)在反射光线上，∴反射光线的方程为y －1＝(－1)(x －0)，即y ＝－x ＋1.。

第三章 3.2 3.2.1一、选择题1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 [答案] C[解析] 直线方程y ＋2＝－x －1可化为y －(－2)＝－[x －(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.2．直线y －3＝－32(x ＋4)的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则有( )A ．k ＝－32，b ＝3B ．k ＝－32，b ＝－2C ．k ＝－32，b ＝－3D ．k ＝－23，b ＝－3[答案] C[解析] 原方程可化为y ＝－32x －3，故k ＝－32，b ＝－3.3．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4，的直线的斜截式方程为( ) A ．y ＝12x ＋4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4[答案] D4．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(2－a )x ＋1互相平行，则a 等于( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 [答案] B[解析] 根据两条直线的方程可以看出它们的斜率分别是k 1＝a ，k 2＝2－a .两直线平行，则有k 1＝k 2.所以a ＝2－a ，解得a ＝1.5．方程y ＝ax ＋1a表示的直线可能是( )[答案] B[解析] 直线y ＝ax ＋1a 的斜率是a ，在y 轴上的截距是1a .当a >0时，斜率a >0，在y 轴上的截距是1a >0，则直线y ＝ax ＋1a 过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a <0时，斜率a <0，在y 轴上的截距是1a <0，则直线y ＝ax ＋1a过第二、三、四象限，仅有选项B 符合．6．(2013～2014·合肥高一检测)下列四个结论： ①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线；②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为π2，则其方程为x ＝x 1；③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程为y ＝x 1； ④所有直线都有点斜式和斜截式方程． 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] B[解析] ①④不正确，②③正确，故选B . 二、填空题7．已知直线l 1过点P (2,1)且与直线l 2：y ＝x ＋1垂直，则l 1的点斜式方程为________． [答案] y －1＝－(x －2)[解析] 设l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2， ∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1. 又k 2＝1，∴k 1＝－1.∴l 1的点斜式方程为y －1＝－(x －2)．8．已知点(1，－4)和(－1,0)是直线y ＝kx ＋b 上的两点，则k ＝________，b ＝________. [答案] －2 －2[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－4＝k ＋b ，0＝－k ＋b ，解得k ＝－2，b ＝－2.9．(2013～2014·山东师大附中)设直线l 的倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的斜率角为12，且与y 轴的交点到x 轴的距离是3，则直线l 的方程是________．[答案] y ＝3x ±3[解析] 因为已知直线的倾斜角是120°，所以直线l 的倾斜角是60°，又直线l 在y 轴上的截距b ＝±3，所以直线l 的方程为y ＝3x ±3.三、解答题10．已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．[解析] 由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2. 又∵l ∥l 1，∴l 的斜率k ＝k 1＝－2. 由题意知l 2在y 轴上的截距为－2， ∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，∴由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.11．已知△ABC 的三个顶点分别是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，试求BC 边上的高所在直线的点斜式方程．[分析] BC 边上的高与边BC 垂直，由此求得BC 边上的高所在直线的斜率，从而由点斜式得直线方程．[解析] 设BC 边上的高为AD ，则BC ⊥AD ， ∴k BC k AD ＝－1.∴2＋30－3k AD ＝－1，解得k AD ＝35.∴BC 边上的高所在直线的点斜式方程是y －0＝35(x ＋5)．即y ＝35x ＋3.12．已知直线y＝－33x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的大小的5倍，分别求满足下列条件的直线l的方程．(1)过点P(3，－4)；(2)在x轴上截距为－2；(3)在y轴上截距为3.[解析]直线y＝－33x＋5的斜率k＝tanα＝－33，∴α＝150°，故所求直线l的倾斜角为30°，斜率k′＝33.(1)过点P(3，－4)，由点斜式方程得：y＋4＝33(x－3)，∴y＝33x－3－4.(2)在x轴截距为－2，即直线l过点(－2,0)，由点斜式方程得：y－0＝33(x＋2)，∴y＝33x＋233.(3)在y轴上截距为3，由斜截式方程得y＝33x＋3.。

直线的点斜式方程3.2.2 直线的两点式方程一、直线的点斜式方程 1．直线的点斜式方程的定义已知直线l 经过点000(,)P x y ，且斜率为k ，则直线l 的方程为. 这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的，简称.当直线l 的倾斜角为0°时(如图1)，tan 00=,即k =0,这时直线l 与x 轴平行或重合，l 的方程就是00y y -=,或0y y =.当直线l 的倾斜角为90°时(如图2)，直线没有斜率，这时直线l 与y 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.因为这时l 上每一点的横坐标都等于0x ，所以它的方程是00x x -=,或0x x =.深度剖析（1）当直线的斜率存在时，才能用直线的点斜式方程.（2）当k 取任意实数时，方程00()y y k x x -=-表示过定点00(,)x y 的无数条直线.2．直线的点斜式方程的推导如图，设点(,)P x y 是直线l 上不同于点000(,)P x y 的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得y y k x x -=- (1),即00()y y k x x -=- (2).注意方程(1)与方程(2)的差异：点0P 的坐标不满足方程(1)，但满足方程(2)，因此，点0P 不在方程(1)表示的图形上，而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称为直线l 的方程.上述过程可以证明直线上每个点的坐标都是方程(2)的解.对上面的过程逆推，可以证明以方程(2)的解为坐标的点都在直线l 上，所以这个方程就是过点0P ,斜率为k 的直线l 的方程. 二、直线的斜截式方程 1．直线的斜截式方程的定义我们把直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的.如果直线l 的斜率为k ，且在y 轴上的截距为b ，则方程为(0)y b k x -=-，即叫做直线的，简称.当b =0时，y kx =表示过原点的直线；当k =0且b ≠0时，y b =表示与x 轴平行的直线；当k =0且b =0时，0y =表示与x 轴重合的直线.深度剖析（1）纵截距不是距离，它是直线与y 轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、零或负数. 纵截距也可能不存在，比如当直线与y 轴平行时.（2）由于有些直线没有斜率，即有些直线在y 轴上没有截距，所以并非所有直线都可以用斜截式表示.2．直线的斜截式方程的推导已知直线l 在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，求直线l 的方程.这个问题相当于给出了直线上一点(0,)b及直线的斜率k ，求直线的方程，是点斜式方程的一种特殊情况，代入点斜式方程可得(0)y b k x -=-,即y kx b =+. 三、直线的两点式方程 1．直线的两点式方程的定义已知直线l 过两点111222(,),(,)P x y P x y ,当1212,x x y y ≠≠时，直线l 的方程为.这个方程是由直线l 上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式. 2．直线的两点式方程的推导已知直线l 过两点111222(,),(,)P x y P x y (其中1212,x x y y ≠≠)，此时直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的.当12x x ≠时，所求直线的斜率2121y y k x x -=-.任取12,P P 中的一点，例如取111(,)P x y ，由点斜式方程，得211121()y y y y x x x x --=--,当12y y ≠时，可写为112121y y x x y y x x --=--.四、直线的截距式方程1．直线的截距式方程的定义已知直线l 过点(,0)A a ，(0,)B b (0,0a b ≠≠)，则由直线的两点式方程可以得到直线l 的方程为___________.我们把直线l 与x 轴的交点的横坐标a 叫做直线在x 轴上的_____________，此时直线在y 轴上的截距是___________.这个方程由直线l 在两个坐标轴上的截距a 和b 确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式. 2．直线的截距式方程的推导已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，如图，其中0,0a b ≠≠.将两点(,0)A a ,(0,)B b 的坐标代入两点式，得000y x a b a --=--,即1x ya b+=. 五、中点坐标公式若点12,P P 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，且线段12P P 的中点M 的坐标为(,)x y ,则____________________x y =⎧⎨=⎩.此公式为线段12P P 的中点坐标公式. 六、直线系方程 1．过定点的直线系方程当直线过定点000(,)P x y 时，我们可设直线方程为00()y y k x x -=-.由此方程可知，k 取不同的值时，它就表示不同的直线，且每一条直线都经过定点000(,)P x y ,当k 取遍所允许的每一个值后，这个方程就表示经过定点0P 的许多直线，所以把这个方程叫做过定点0P 的直线系方程.由于过点000(,)P x y 与x 轴垂直的直线不能被00()y y k x x -=-表示，因此直线系00()y y k x x -=- (k ∈R )中没有直线0x x =. 2．平行直线系方程在斜截式方程(0)y kx b k =+≠中，若k 一定，而b 可变动，方程表示斜率为k 的一束平行线，这些直线构成的集合我们称之为平行直线系.K 知识参考答案：一、00()y y k x x -=- 点斜式方程 点斜式 二、截距 y kx b =+斜截式方程 斜截式三、112121y y x x y y x x --=-- 四、1x ya b+=截距 b 五、122x x +122y y +K —重点直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，根据直线方程判定两直线的平行与垂直K —难点直线系问题、直线方程的综合应用K —易错忽略直线重合的情形或直线方程成立的条件致错、忽略直线方程的局限性致错1．直线的点斜式方程用点斜式求直线的方程，确定直线的斜率和其上一个点的坐标后即可求解. 【例1】已知点(3,3)A 和直线l ：3542y x =-.求： （1）过点A 且与直线l 平行的直线方程； （2）过点A 且与直线l 垂直的直线方程.【例2】已知在第一象限的△ABC 中,A (1,1),B (5,1),且∠CAB =60°,∠CBA =45°,求边AB ,AC 和BC 所在直线的点斜式方程.【解析】由A (1,1),B (5,1)可知边AB 所在直线的斜率为0,故边AB 所在直线的方程为y -1=0. 由AB ∥x 轴,且△ABC 在第一象限，知边AC 所在直线的斜率k AC =tan 60°=,边BC 所在直线的斜率k BC =tan(180°-45°)=-1,所以,边AC 所在直线的方程为y -1=(x -1),边BC 所在直线的方程为y -1=-(x -5).2．直线的斜截式方程根据斜率和截距的几何意义判断k ，b 的正负时，（1）0k >直线呈上升趋势；0k <直线呈下降趋势；0k =直线呈水平状态.（2）0b >直线与y 轴的交点在x 轴上方；0b <直线与y 轴的交点在x 轴下方；0b =直线过原点. 【例3】已知直线l 与直线y =-2x+3的斜率相同,且在y 轴上的截距为5,求直线l 的斜截式方程,并画出图形.【解析】因为直线l 与直线y =-2x+3的斜率相同,所以直线l 的斜率为-2. 又直线l 在y 轴上的截距为5,所以直线l 的斜截式方程为y =-2x+5. 在直线l 上取一点(1,3),作出图形如图所示.【名师点评】直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情形. 【例4】已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直线l 的方程.3．直线的两点式方程已知直线上两点的坐标求解直线方程，可直接将两点的坐标代入直线的两点式方程，化简即得.代入点的坐标时注意横纵坐标的对应关系.若点的坐标中含有参数，需注意当直线平行于坐标轴或与坐标轴重合时，不能用两点式求解.【例5】已知三角形的三个顶点Α(－4，0)，B (0，－3)，C (－2，1)，求： (1)BC 边所在的直线的方程； (2)BC 边上中线所在的直线的方程.4．直线的截距式方程（1）由已知条件确定横、纵截距.（2）若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为零，则代入公式1x ya b+=中，可得所求的直线方程．（3）如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件时，采用截距式求直线方程时一定要注意考虑“零截距”的情况. 【例6】已知直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程．【解析】设直线的方程为1x ya b+=，则，①又直线过点，∴341a b-+=，② 由①②得93a b =⎧⎨=⎩或416a b =-⎧⎨=⎩. ∴直线的方程为193x y +=或1416x y+=-，即或．5．中点坐标公式的应用（1）利用中点坐标公式可求以任意已知两点为端点的线段的中点坐标.（2）从中点坐标公式可以看出线段12P P 中点的横坐标只与12,P P 的横坐标有关，中点的纵坐标只与12,P P 的纵坐标有关. 【例7】已知7(3,),(1,2),(3,1)2M A B ，则过点M 和线段AB 的中点的直线方程为 A ．425x y +=B ．425x y -= C ．25x y +=D ．25x y -= 【答案】B【解析】由题意可知线段AB 的中点坐标为1321(,)22++，即3(2,)2.故所求直线方程为732372322y x --=--，整理，得4250x y --=，故选B. 6．直线过定点问题本题考查了直线过定点的问题，实际上就是考查直线方程的点斜式，同时要利用数形结合的思想解题. 若直线存在斜率，则可以把直线方程化为点斜式00()y y k x x -=-的形式，无论直线的斜率k 取何值时，直线都过定点00(,)x y .【例8】已知直线:21l y kx k =++. （1）求证：直线l 过一个定点；（2）当33x -<<时，直线上的点都在x 轴上方，某某数k 的取值X 围．【解析】（1）由21y kx k =++，得1(2)y k x -=+．由直线方程的点斜式可知，直线过定点(2,1)-．（2）设函数()21f x kx k =++，显然其图象是一条直线(如图)，若使33x -<<时，直线上的点都在x 轴上方，需满足(3)0(3)0f f -≥⎧⎨≥⎩,即32103210k k k k -++≥⎧⎨++≥⎩,解得115k -≤≤. 所以实数k 的取值X 围是115k -≤≤. 7．直线的平移规律直线y kx b =+上下(或沿y 轴)平移(0)m m >个单位长度，得y kx b m =+±(上加下减)；直线y kx b =+左右(或沿x 轴)平移(0)m m >个单位长度，得()y k x m b =±+(左加右减).【例9】已知直线1:23l y x =-，将直线1l 向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得到直线2l ，则直线2l 的方程为. 【答案】27y x =+【解析】根据直线的平移规律，可得直线2l 的方程为2(4)32y x =+-+，即27y x =+. 8．点斜式和斜截式的实际应用由直线的斜截式方程与一次函数的表达式的关系，利用一次函数的图象和性质求出直线方程，可以解决实际问题.9．忽略了直线重合的情形致错【例11】已知直线12:60,:(2)320l x my l m x y m ++=-++=，当12l l ∥时，求m 的值. 【错解】∵2l 的斜率223m k -=-，12l l ∥，∴1l 的斜率1k 也一定存在， 由1l 的方程得11k m =-,由12k k =,得213m m--=-, 解得3m =或1m =-. ∴m 的值为3或1-.【错因分析】忽略了直线重合的情况，从而导致错误.【误区警示】当两直线的斜率存在时，两直线平行的等价条件是斜率相等且纵截距不相等，做题时容易忽略纵截距不相等，从而导致错解. 10．忽略直线方程的局限性致错【例12】求经过点(2,3)P ，并且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程. 【错解】设直线方程为1x y a a +=,将2,3x y ==代入，得231a a+=,解得5a =. 故所求的直线方程为50x y +-=.【错因分析】截距相等包含两层含义，一是截距不为0时的相等，二是截距为0时的相等，而后者常常被忽略，导致漏解.【正解】（1）当截距为0时，直线l 过点(0,0),(2,3)， ∵直线l 的斜率为303202k -==-, ∴直线l 的方程为32y x =,即320x y -=. （2）当截距不为0时，可设直线l 的方程为1x ya a+=, ∵直线l 过点(2,3)P ，∴231a a+=，∴5a =， ∴直线l 的方程为50x y +-=.综上，直线l 的方程为320x y -=或50x y +-=.【误区警示】不同形式的方程均有其适用条件，在解题时应注意截距式方程的应用前提是截距均不为0且不垂直于坐标轴.1．经过点(－2,2)，倾斜角是60°的直线方程是A ．y ＋23x －2) B ．y －23x ＋2)C ．y －2＝33(x ＋2)D ．y ＋2＝3(x －2) 2．直线的方程00()y y k x x --= A ．可以表示任何直线 B ．不能表示过原点的直线 C ．不能表示与y 轴垂直的直线 D ．不能表示与x 轴垂直的直线 3．直线1x ya b+=过一、二、三象限，则 A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0 D ．a ＜0，b ＜0 4．直线1y ax a=-的图象可能是5．与直线21y x =+垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是 A ．142y x =+ B ．y =2x ＋4C ．y =−2x ＋4D ．142y x =-+ 6．在y 轴上的截距是－3，且经过A (2，－1)，B (6,1)中点的直线方程为 A ．143x y +=B ．143x y-= C ．134x y +=D ．136x y-= 7．已知直线l 1过点P (2，1)且与直线l 2：y ＝x ＋1垂直，则l 1的点斜式方程为． 8．直线32()y ax a a =-+∈R 必过定点．9．斜率与直线32y x =的斜率相等，且过点(4,3)-的直线的斜截式方程是. 10．已知△ABC 中,A (1,-4),B (6,6),C (-2,0),则△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的两点式方程是.11．写出下列直线的点斜式方程:(1)经过点A (2,5),且与直线y =2x+7平行; (2)经过点C (-1,-1),且与x 轴平行.12．已知直线l 的斜率与直线326x y -=的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的斜截式方程． 13．已知的顶点是，，．直线平行于，且分别交边、于、，的面积是面积的14．(1)求点、的坐标； (2)求直线的方程．14．两直线1x y m n -=与1x yn m-=的图象可能是图中的A B C D15．若直线l 1:y =k (x-4)与直线l 2关于点(2,1)对称,则直线l 2过定点A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(-2,4)D ．(4,-2)16．若三点()()()2,2,,,0)0,0(A B a C b ab ≠共线，则11a b+=. 17．已知直线l 过定点A (−2，3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l 的方程．1 2 3 4 5 6 14 15 BDCBDBBB1．【答案】B【解析】k 3，则点斜式方程为y －23x ＋2)．5．【答案】D【解析】因为所求直线与y =2x ＋1垂直，所以设直线方程为12y x b =-+.又因为直线在y 轴上的截距为4，所以直线的方程为142y x =-+. 6．【答案】B【解析】易知A (2，－1)，B (6,1)的中点坐标为(4,0)，即直线在x 轴上的截距为4，则所求直线的方程为143x y-=. 7．【答案】y －1＝－(x －2)【解析】根据题意可知直线l 1的斜率为−1，所以l 1的点斜式方程为y －1＝－(x －2)． 8．【答案】(3，2)【解析】将直线方程变形为y −2=a (x −3)，由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3，2)． 9．【答案】392y x =+ 【解析】因为所求直线的斜率与直线32y x =的斜率相等，所以所求直线的斜率32k =.又直线过点(4,3)-，所以直线方程为33(4)2y x -=+，所以直线的斜截式方程为392y x =+.11．【解析】(1)由题意知,直线的斜率为2,所以其点斜式方程为y-5=2(x-2).(2)由题意知,直线的斜率k =tan 0°=0,所以直线的点斜式方程为y-(-1)=0,即y =-1. 12．【解析】由题意知，直线l 的斜率为32，故可设直线l 的方程为32y x b =+，所以直线l 在x 轴上的截距为23b -，在y 轴上的截距为b ，所以213b b --=，35b =-，所以直线l 的方程为3325y x =-. 13．【解析】(1)因为，且的面积是面积的14，所以、分别是、的中点，由中点坐标公式可得点的坐标为502，⎛⎫ ⎪⎝⎭，点的坐标为722，⎛⎫ ⎪⎝⎭．(2)由两点式方程，可知直线的方程为502752022y x --=--，即．14．【答案】B【解析】由1x y m n -=，得y ＝n m x －n ；由1x y n m -=，得y ＝mnx －m ，即两条直线的斜率同号且互为倒数，故选B. 15．【答案】B【解析】因为直线l 1:y =k (x-4)过定点(4,0),所以原问题转化为求(4,0)关于(2,1)的对称点.设直线l 2过定点(x ,y ),则422012x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,解得x =0,y =2.故直线l 2过定点(0,2).16．【答案】12【解析】易知直线BC 的方程为1x y a b +=，由点A 在直线BC 上，得221a b +=，故1112a b +=.。

第三章 直线与方程3.2.1直线的点斜式方程一、选择题1. 若两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1相互垂直，则实数a 等于（ ）A.2B.1C.0D.-12. 已知过点A(-2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为( )A.0B.-8C.2D.103.若直线l 在y 轴上的截距为3，且经过点(2，0),则直线l 的方程是（ ） A. 332y x =+ B. 332y x =- C. 332y x =-+ D. 332y x =-- 4.直线y=3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ） A. 1133y x =-+ B. 113y x =-+ C. 33y x =- D.113y x =+ 5.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A. 210x y --= B. 210x y -+=C. 220x y +-=D. 210x y +-= 6.直线l 过点(1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直，则l 的方程是（ ）A. 3210x y +-=B. 3270x y ++=C. 2310x y --=D. 2380x y -+=二、填空题7.将直线2)y x =-绕点(2，0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程是______.8. 无论k 为何值时，直线(21)(1)510k x k y k ++-++=恒过顶点________.9.直线l 过点M(2，1)，其倾斜角是直线340x y -+=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程是_________.10.直线l经过点P(2，倾斜角为60°，该直线方程是_____________.三、解答题11. 已知一条直线的倾斜角为α，且4cos5α=，该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求此直线方程.12. 求过点P(2，3),且在两坐标轴上截距相等的直线方程.。

3．2.1直线的点斜式方程题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分答案一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．下面四个直线方程中，是直线的斜截式方程的是()A．x＝3 B．y＝－5C．2y＝x D．x＝4y－12．已知直线的方程为y＋2＝－x－1，则()A．直线过点(－1，2)，斜率为－1B．直线过点(－1，2)，斜率为1C．直线过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线过点(－1，－2)，斜率为13．经过点(－3，2)，且倾斜角为60°的直线方程是()A．y＋2＝3(x－3)B．y－2＝33(x＋3)C．y－2＝3(x＋3)D．y＋2＝33(x－3)4．经过点(－2，2)，且倾斜角是30°的直线方程是()A．y＋2＝33(x－2) B．y＋2＝3(x－2)C．y－2＝33(x＋2) D．y－2＝3(x＋2)5．倾斜角为135°，且在y轴上的截距为－1的直线方程是()A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝06．已知直线l不经过第三象限，若其斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，则()A．kb<0 B．kb≤0C．kb>0 D．kb≥07．如图L3­2­1所示，已知直线l1：y＝kx＋b，直线l2：y＝bx＋k，则它们的图像可能为()图L3­2­1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．若直线l在y轴上的截距等于它的斜率，则直线l一定经过点________．9．将直线y＝x＋3－1绕它上面一点(1，3)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线方程是________．10．已知直线l的方程为y－a＝(a－1)(x＋2)，若此直线在y轴上的截距为10，则a＝________．11．过点(1，3)且与直线x＋2y－1＝0垂直的直线的方程是________．三、解答题(本大题共2题，共25分)12．(12分)求经过点A(－2，2)，并且和x轴的正半轴、y轴的正半轴所围成的三角形的面积是1的直线的方程．13．(13分)求倾斜角为直线y＝－3x＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程．(1)经过点(－4，1)；(2)在y轴上的截距为－10.14．(5分)若直线y＝kx＋1与以A(3，2)，B(2，3)为端点的线段有公共点，则k的取值范围是________．15．(15分)已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求l′的方程，使得：(1)l′与l平行，且过点(－1，3)；(2)l′与l垂直，且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4.3．2.1 直线的点斜式方程1．B [解析] y ＝－5可变为y ＝0×x －5，故选B.2．C [解析] 直线方程可化为y －(－2)＝－[x －(－1)]，故直线过点(－1，－2)，斜率为－1.3．C [解析] ∵α＝60°，∴k ＝3，故由直线的点斜式方程得直线方程为y －2＝3(x ＋3)．4．C [解析] ∵倾斜角是30°，∴k ＝33，代入直线的点斜式方程，得y －2＝33(x ＋2)． 5．D [解析] 因为倾斜角为135°，所以斜率为－1，所以由直线的斜截式方程得直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.6．B [解析] 由题意得直线l 的方程为y ＝kx ＋b (b ≠0)，∵直线l 不经过第三象限，∴k ≤0，b >0，∴kb ≤0.7．C8．(－1，0) [解析] 设斜率为k ，则直线的方程为y ＝kx ＋k ，即y ＝k (x ＋1)，故直线一定过定点(－1，0)．9．y ＝3x [解析] 由y ＝x ＋3－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°，∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°，∴所求直线的斜率为 3.又∵直线过点(1，3)，∴由直线的点斜式方程有y －3＝3(x －1)，即y ＝3x .10．4 [解析] 由题可知当x ＝0时，y ＝3a －2，令3a －2＝10，解得a ＝4.11．y ＝2x ＋1 [解析] 因为直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，所以所求直线的斜率为2，故由直线的点斜式方程得所求直线的方程为y －3＝2(x －1)，即y ＝2x ＋1.12．解：因为直线的斜率存在，所以设直线的方程为l ：y －2＝k (x ＋2)，即y ＝kx ＋2k ＋2， 令x ＝0，得y ＝2k ＋2，令y ＝0得x ＝－2k ＋2k， 由2k ＋2>0，－2k ＋2k>0，得－1<k <0， 因为S △＝1，所以12(2k ＋2)－2k ＋2k ＝1，解得k ＝－2或k ＝－12. 因为－1<k <0，所以k ＝－12， 所以所求的直线方程为l ：x ＋2y －2＝0.13．解：由直线y ＝－3x ＋1的斜率为－3，可知此直线的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率k ＝ 3.(1)由于直线过点(－4，1)，由直线的点斜式方程得y －1＝3(x ＋4)，即3x －y ＋1＋4 3＝0.(2)因为直线在y 轴上的截距为－10，所以由直线的斜截式方程得y ＝3x －10，即3x －y －10＝0.14.13，1 [解析] 由题可知直线y ＝kx ＋1过定点P (0，1)， 且k PB ＝3－12－0＝1，k PA ＝2－13－0＝13， 结合图像可知，当直线y ＝kx ＋1与以A (3，2)，B (2，3)为端点的线段有公共点时，k 的取值范围是13，1. 15．解：(1)∵直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，∴直线l 的斜率为－34， ∵l ′与l 平行，∴直线l ′的斜率为－34. ∴直线l ′的方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0. (2)∵l ′⊥l ，∴k l ′＝43， 设l ′在y 轴上截距为b ，则l ′在x 轴上截距为－34b ， 由题意可知，S ＝12|b |·⎪⎪⎪⎪－34b ＝4，∴b ＝±463， ∴直线l ′的方程为y ＝43x ＋463或y ＝43x －463.。

高中数学第三章直线与方程3.2.1直线的点斜式方程课时作业含解析新人教A版必修206222141.直线y=-x-1的倾斜角与其在y轴上的截距分别是( D )(A)135°,1 (B)45°,-1(C)45°,1 (D)135°,-1解析:直线y=-x-1的斜率k=-1,故其倾斜角是135°,其截距是-1.选D.2.直线l经过点P(2,-3),且倾斜角α=45°,则直线的点斜式方程是( A )(A)y+3=x-2 (B)y-3=x+2(C)y+2=x-3 (D)y-2=x+3解析:因为直线l的斜率k=tan 45°=1,所以直线l的方程为y+3=x-2.故选A.3.已知直线的斜率是2,在y轴上的截距是-3,则此直线方程是( A )(A)2x-y-3=0 (B)2x-y+3=0(C)2x+y+3=0 (D)2x+y-3=0解析:由直线方程的斜截式得方程为y=2x-3,即2x-y-3=0.4.经过点A(-1,4)且在x轴上的截距为3的直线方程是( C )(A)x+y+3=0 (B)x-y+5=0(C)x+y-3=0 (D)x+y-5=0解析:过点A(-1,4)且在x轴上的截距为3的直线的斜率为=-1.所求的直线方程为y-4=-(x+1),即x+y-3=0.5.在同一直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a正确的是( C )解析:由y=ax的斜率大小与y=x+a在y轴上截距大小相同,排除A,B,当y=ax斜率为负数时,y=x+a在x轴上截距为正数,故选C.6.已知直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行,则a的值是( D )(A)±(B)±1 (C)1 (D)-1解析:由于直线l1与直线l2平行,故有a2-2=-1.所以a2=1.解得a=±1.当a=1,l1:y=-x+2,l2:y=-x+2,重合;当a=-1,l1:y=-x-2,l2:y=-x+2,平行.选D.7.已知三角形的三个顶点A(4,3),B(-1,2),C(1,-3),则△ABC的高CD所在的直线方程是( A )(A)5x+y-2=0 (B)x-5y-16=0(C)5x-y-8=0 (D)x+5y+14=0解析:△ABC的高CD与直线AB垂直,故有直线CD的斜率k CD与直线AB的斜率k AB满足k CD·k AB=-1k AB==,所以k CD=-5.直线CD过点C(1,-3),故其直线方程是y+3=-5(x-1)整理得5x+y-2=0,选A.8.若过点P(-2,1)与Q(4,a)的直线垂直于直线l:y=2x+3,则a的值为( B )(A)2 (B)-2(C)(D)-解析:因为过点P(-2,1)与Q(4,a)的直线垂直于直线l:y=2x+3,所以k PQ·k l=-1,又因为k l=2,所以k PQ=-,即=-.解得a=-2.故选B.9.已知一直线过点P(0,2),且斜率与直线y=-2x+3的斜率相等,则该直线方程是.解析:因直线y=-2x+3的斜率为-2,故由点斜式可得直线方程y-2=-2x,即y=-2x+2.答案:y=-2x+210.直线l经过点P(1,-1),且它的倾斜角是直线y=x+2的倾斜角的2倍,那么直线l的方程是.解析:直线y=x+2的倾斜角是45°,从而直线l的倾斜角是90°,其斜率k不存在,直线l的方程是x=1.答案:x=111.直线y=ax-3a+2(a∈R)必过定点.解析:将直线方程变形为y-2=a(x-3),由直线方程的点斜式可知,直线过定点(3,2).答案:(3,2)12.在y轴上的截距为-6,且与y轴相交成30°角的直线方程是.解析:如图所示,直线l的倾斜角是60°或120°,斜率是或-,又直线在y轴上的截距是-6,故所求直线方程是y=x-6或y=-x-6.答案: y=x-6或y=-x-613.求满足下列条件的直线方程:(1)经过点B(-1,4),倾斜角为135°;(2)经过点A(5,-2),且与y轴平行;(3)过A(-2,3),B(5,-4)两点;(4)经过点(0,-2)且与直线y=3x-5垂直.解:(1)直线的斜率k=tan 135°=-1,由点斜式方程得y-4=-(x+1),即x+y-3=0.(2)由题意可知斜率k不存在,故直线方程为x=5.(3)由题意可得过点A(-2,3),B(5,-4)两点的直线斜率k AB===-1.又因为直线过点A(-2,3),所以由直线的点斜式方程可得直线方程为y-3=-(x+2),即x+y-1=0.(4)因为直线y=3x-5的斜率为3,且所求直线与该直线垂直,所以所求直线斜率为-.又直线过点(0,-2),得y=-x-2,即x+3y+6=0.14.求倾斜角是直线y=-x+1的倾斜角的,且分别满足下列条件的直线方程.(1)经过点(,-1);(2)在y轴上的截距是-5.解:因为直线y=-x+1的斜率k=-,所以其倾斜角α=120°.由题意得所求直线的倾斜角α1=α=30°,故所求直线的斜率k1=tan 30°=.(1)因为所求直线经过点(,-1),斜率为,所以所求直线方程是y+1=(x-),即x-3y-6=0.(2)因为所求直线的斜率是,在y轴上的截距为-5,所以所求直线的方程为y=x-5,即x-3y-15=0.15.求经过点A(-2,2),并且和x轴的正半轴,y轴的正半轴所围成的三角形的面积是1的直线方程.解:因为直线的斜率存在且不为0,所以设直线方程为y-2=k(x+2),令x=0,得y=2k+2,令y=0,得x=-,由2k+2>0,->0,得-1<k<0.由已知得(2k+2)(-)=1,整理得2k2+5k+2=0,解得k=-2或k=-,因为-1<k<0,所以k=-,所以直线方程为y-2=-(x+2).16.将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位,所得到的直线为( A )(A)y=-x+(B)y=-x+1(C)y=3x-3 (D)y=3x+1解析:因为直线y=3x绕原点逆时针旋转90°的直线为y=-x,从而C,D不正确.又将y=-x向右平移1个单位得y=-(x-1),即y=-x+.故选A.17.直线y=ax+的图象可能是( C )解析:因为a≠0,所以当a>0时,>0,当a<0时,<0,A,B,D均错;C符合题意.故选C.18.在直线方程y=kx+b中,当x∈[-3,4]时,恰好y∈[-8,13],则此直线方程为.解析:方程y=kx+b,即一次函数y=kx+b,由一次函数单调性可知,当k>0时,函数为增函数,所以解得当k<0时,函数为减函数,所以解得综上可知该直线方程为y=3x+1或y=-3x+4.答案:y=3x+1或y=-3x+419.过点(4,-3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为.解析:依题意设l的方程为y+3=k(x-4).令x=0,得y=-4k-3;令y=0,得x=.因此-4k-3=.解得k=-1或k=-.故所求方程为y=-x+1或y=-x.答案:y=-x+1或y=-x20.已知直线l:5ax-5y-a+3=0.(1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限;(2)为使直线l不经过第二象限,求a的取值范围.(1)证明:法一将直线方程变形为y=ax+,当a>0时,则不论a取何值,直线一定经过第一象限;当a=0时,y=,直线显然经过第一象限;当a<0时,>0,因此直线经过第一象限.综上,直线5ax-5y-a+3=0一定经过第一象限.法二直线方程可变形为y-=a(x-),它表示经过点A(,),斜率为a的直线.因为点A(,)在第一象限,所以直线l必过第一象限.(2)解:如图,由法二知,直线OA的斜率k OA==3.因为直线l不过第二象限,所以直线l的斜率k≥3,所以a≥3,即a的取值范围为[3,+∞).。

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3．2.1 直线的点斜式方程学习目标1。

了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程;2。

掌握直线的点斜式方程与斜截式方程；3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．知识点一直线的点斜式方程思考1 如图,直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P（x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？答案由斜率公式得k＝错误!，则x，y应满足y－y0＝k(x－x0)．思考2 经过点P0(x0，y0）的所有直线是否都能用点斜式方程来表示?答案斜率不存在的直线不能用点斜式表示,过点P0斜率不存在的直线为x＝x0.点斜式已知条件点P(x0，y0）和斜率k图示方程形式y－y0＝k（x－x0）适用条件斜率存在知识点二思考1 已知直线l的斜率为k,且与y轴的交点为（0，b），得到的直线l的方程是什么？答案将k及点(0,b)代入直线方程的点斜式得：y＝kx＋b.思考2 方程y＝kx＋b，表示的直线在y轴上的截距b是距离吗?b可不可以为负数和零？答案y轴上的截距b不是距离，可以是负数和零．思考3 对于直线l1：y＝k1x＋b1,l2:y＝k2x＋b2。