10-11-2高数练习题(二)

高数练习题一..选择题1.平面063=-++z y x 与三个坐标轴的截距分别为 A.3,1,1; B.3,1,-6; C.-6,2,2; D.2,6,62.若→→b a , 的模分别为1，3，且夹角为3π，则→→⨯b a 的模A.23 B. 31 C. 23 D. 1+3 3.微分方程x y y e x y'''=''-3)5(的阶数A. 1B. 2C. 3D. 5 4．微分方程1sin -=x dxdy的A. 1B. 2C. 3D. 4 5.已知两点)1,2,2(-A ，)2,0,3(B ，则→AB 的模A. 1B.2C..9D.6 6．0165=-z 的位置特征 A. 通过ox 轴 B. 垂直于oz 轴 C. 平行于xoy 平面 D. 垂直于ox 轴7．平面01=--y x 与平面01=-z 的位置关系 A. 平行 B. 垂直 C. 既不平行也不垂直 D. 重合 8．如果级数∑∞=1n na收敛, 则级数∑∞=-1)2(n naA.收敛B.发散C.0D.有界 9．下列函数中，线性无关的是A.e exx5, B x x x cos sin 2,2sin C.x x cos 2,cos D.2e e xx-,10．∑∞=123n n nA.收敛B.发散C.1 D41 11.y x z -=2的定义域A.0>x 且0>yB.2y x ≥且0≥yC.y x ≥且0≥yD.0≥x 且y x >212若0=⨯→→b a ，则A.0=→a 且0=→b B.0=→a 或0=→b C. →a //→b D. →a ⊥→b13.微分方程x y y e x y'''=''-)4(的阶数A. 1B. 2C. 3D. 4 14．微分方程x y y 32='-''的通解中应含独立常数的个数 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15.已知两点)1,2,2(-A ，)2,0,3(B ，则→AB 的模A. 1B.2C..9D.616.若0=∙→→b a ，则 A.0=→a 且0=→b B.0=→a 或0=→b C. →a //→b D. →a ⊥→b17．095=-y 的位置特征 A. 通过oy 轴 B. 通过oz 轴 C. 平行于xoy 平面 D. 垂直于oy 轴18．平面082=+-y x 与平面095=-z 的位置关系 A. 平行 B. 垂直 C. 既不平行也不垂直 D. 重合 19．如果级数∑∞=1n nu收敛, 则 =∞→n n u limA.收敛B.发散C.0D.有界 20．若级数∑∞=1n na发散，K 为常数, 则∑∞=1n nkaA.收敛B.发散C.可能发散，可能收敛D.无界21．∑∞=135n n nA.收敛B.发散C.=0 D41二.填空.1. 已知}{2,1,3--=→a ，{}1,2,1-=→b ， 则=∙→→b a __2．xy dx dy2211--=的通解__________________ 3．设直线1L 和2L 的方向数分别为{2 ， 1 ，3}，{4， 2， 6}则1L 和2L 的关系是_______________4．已知)ln(22y x z +=则=)1,1(dz __________________ 5．设exyz =则z x'__________________6．设)ln(y x z +=则='+'y x yz xz __________________7．设积分域D:9122≤+≤y x 则⎰⎰=dxdy __________________8．设积分域D 由直线2,0,0=+==y x y x 围成：则⎰⎰=Ddxdy __________________9．级数∑∞=1)31(n n的和S=__________________ 10．级数∑∞=121n nnx半径R=__________________11.设)ln(2y x z +=则=)1,1(dz __________________12．exy ='的通解__________________13．设xy z sin =则z x'=__________________='Z y__________________14．设)ln(2y x z +=则=)1,1(dz __________________15．设积分域D:49122≤+≤y x 则⎰⎰=dxdy __________________16．已知)ln(y x z +=则=dz __________________ 17．设xy z sin =+2则z x'=__________________='Z y__________________18．设)ln(2y x z +=则=)1,1(dz __________________19．幂级数∑∞=11n nxn 的收敛域为__________________20．幂级数∑∞=131n nnx的收敛半径R=__________________三.计算题 1． 求eyx y -='的通解2． 求02=-'+''y y y 的通解3． 已知向量}{}{2,2,2,2,1,1-=-=→→b a ，求→→⨯b a4．设方程过点M( 2, 1, 2 )且在x.y .z 三轴上的截距相等，求平面方程。

高等数学II 练习题________学院_______专业 班级 姓名______ ____学号_______反常积分、定积分应用（一） 1、求无穷限积分0ax e dx +∞-⎰（0>a ）。

1ax e dx a+∞-=⎰(过程略)2、求瑕积分21⎰。

()()()2211021023/21/2013/21/20lim lim 12lim 1213828= lim 2333d x x x εεεεεεεεε+++++→+→→+→==-⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰3、求由曲线22y x =与4x y +=所围成图形的面积。

22232244282244(4)d (4)18226x x y x y y x y y y yS y y y --==⎧=⎧⎧⇒⎨⎨⎨==-+=⎩⎩⎩∴=--=--=⎰解：或是两交点 4、求由曲线1=xy 和直线x y =，2=x 所围成的平面图形的面积。

2113ln 22S x dx x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰或120111322ln 222S xdx dx x ⎛⎫=⨯⨯-+=- ⎪⎝⎭⎰⎰（请自己画草图，体会两种不同的求法）5、抛物线342-+-=x x y 与其在点)3,0(-和)0,3(处的切线所围成的图形的面积。

解：过点)3,0(-的切线方程为 34y x +=，而过)0,3(处的切线方程为 ()23y x =-- 故求的两切线交点为 )3,23(，则所要求图形的面为：()()()()3/23221203/29434326434S S S x x x dx x x x dx ⎡⎤⎡⎤=+=---+-+-+--+-=⎣⎦⎣⎦⎰⎰6、设椭圆的参数方程为2cos ,x t y t ==，求椭圆的面积。

解：由椭圆的对称性，椭圆的面积可表示为：()2020/2442cos sin S ydx td t tdt ππ===-=⎰⎰（简单的计算过程略，希望同学们自行补充完成）7、在]1,0[上给定函数2x y =，问t 取何值时，右图中曲边三角形OACO 与ADBA 的面积之和最小？何时最大？222331220322()22()(1()3341331()42,()0,021[0,]()021[,1]()021112(0),(),(1)32431t t t OACO ADBA A t A t y y y y y t t A t t t A t t t t A t t A t A A A t ∴=+=+-=-+''∴=-=∴=='∈<'∈>====⎰⎰解：设曲边三角形和的面积之和为令或当时，，函数单调减少当时，，函数单调增加所以当时，12t =面积之和最大，当时，面积之和最小。

第十一章 曲线积分与曲面积分习题 11-11.设在xOy 面内有一分布着质量的曲线弧L ，在点（x,y ）处它的线密度为μ（x,y ）。

用对弧长的曲线积分分别表达：（1）这曲线弧对x 轴,对y 轴的转动惯量x I ,y I（2）这曲线弧的质心坐标x ,y2.利用对弧长的曲线积分的定义证明性质33.计算下列对弧长的曲线积分： （1）22(x y )nLds +⎰，其中L 为圆周x cos t,y sin (0t 2)a a t π==≤≤（2）(x y)ds L+⎰，其中L 为连接（1,0）及（0,1）两点的直线段（3）x Lds ⎰，其中L 为由直线y=x 及抛物线2y x =所围成的区域的整个边界 （4）22x y Leds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=，直线y=x 及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界（5）2221ds x y z Γ++⎰，其中Γ为曲线cos ,sin ,t t tx e t y e t z e ===上相应于t 从0变到2的这段弧 （6）2x yzds Γ⎰，其中Γ为折线ABCD ，这里A,B,C,D 依次为点（0,0,0），（0,0,2），（1,0,2），（1,3,2） （7）2Ly ds ⎰，，其中L 为摆线的一拱(t sin ),y (1cos )(0t 2)x a t a t π=-=-≤≤（8）22(x )ds Ly +⎰，其中L 为曲线(cos sin ),y (sin cos )(0t 2)x a t t t a t t t π=+=-≤≤4.求半径为ａ，中心角为2ϕ的均匀圆弧（线密度1μ=）的质心5.设螺旋形弹簧一圈的方程为cos ,sin ,x a t y a t z kt ===，其中02t π≤≤，它的线密度222(x,y,z)x y z ρ=++．求： （１）它关于ｚ轴的转动惯量z I（２）它的质心。

习题 11-21.设L 为xOy 面内直线x a =上的一段，证明：(x,y)dx 0LP =⎰2.设L 为xOy 面内x 轴上从点（a,0）到点（b,0）的一段直线，证明：(x,y)dx (x,0)dxbLaP P =⎰⎰3.计算下列对坐标的积分： （1）22(xy )Ldx-⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点（0,0）到点（2,4）的一段弧（2）Lxydx⎰，其中L 为圆周222(x )a a y a -+=（>0）及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行） （3）Lydx xdy+⎰，其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到2π的一段弧（4）22(x y)dx (x y)dy L x y +--+⎰，其中L 为圆周222+y x a =（按逆时针方向绕行） （5）2x dx zdy ydzΓ+-⎰，其中Γ为曲线cos ,sin x k y a z a θ,θθ===上对应θ从0到π的一段弧 （6）(x y 1)dz xdx ydy Γ+++-⎰，其中Γ是从点（1,1,1）到点（2,3,4）的一段直线（7）+y dx dy dzΓ-⎰，其中Γ为有向闭折线ABCD ，这里的A,B,C 依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) （8）22(x2xy)dx (y 2xy)dyL-+-⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点（-1,1）到点（1,1）的一段弧 4.计算(x y)dx (y x)dy L++-⎰，其中L 是：（1）抛物线2y x =上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧（2）从点（1,1）到点（4,2）的直线段（3）先沿直线从点（1,1）到点（1,2），然后再沿直线到点（4,2）的折线（4）曲线2221,1x t t y t =++=+上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧 5.一力场由沿横轴正方向的恒力F 所构成，试求当一质量为m 的质点沿圆周222x y R +=按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功6.设z 轴与动力的方向一致，求质量为m 的质点从位置（x,y,z ）沿直线移到（x,y,z ）时重力所做的功7.把对坐标的曲线积分(x,y)dx Q(x,y)dyLP +⎰化成对弧长的积分曲线，其中L 为：（1）在xOy 面内沿直线从点（0,0）到点（1,1）（2）沿抛物线2y x =从点（0,0）到点（1,1）（3）沿上半圆周222x y x +=从点（0,0）到点（1,1） 8.设Γ为曲线23,,x t y t z t ===上相应于t 从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分Pdx Qdy RdzΓ++⎰化成对弧长的曲线积分习题 11-31.计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性： （1）22(2xy x )dx (x y )dyL-++⎰，其中L 是由抛物线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线 （2）222(x xy )dx (y 2xy)dyL-+-⎰，其中L 是四个顶点分别为（0,0），（2,0），（2,2），（0,2）的正方形区域的正想边界2.利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积 （1）星形线33cos ,sin x a t y a t ==（2）椭圆229+16y 144x = （3）圆222x y ax +=3.计算曲线积分22ydx 2(x y )L xdy -+⎰，其中L 为圆周22(x 1)2y -+=，L 的方向为逆时针方向4.证明下列曲线积分在整个xOy 面内与路径无关，并计算积分值（1）(2,3)(1,1)(x y)dx (x y)dy++-⎰（2）(3,4)2322(1,2)(6xy y )dx (63)dy x y xy -+-⎰（3）(2,1)423(1,0)(2xy y 3)dx (x 4xy )dy-++-⎰5.利用格林公式，计算下列曲线积分： （1）(2x y 4)dx (5y 3x 6)dyL-+++-⎰，其中L 为三顶点分别为（0,0），（3,0）和（3,2）的三角形正向边界；（2）222(cos 2sin )(x sinx 2ye )dyx x Lx y x xy x y e dx +-+-⎰，其中L 为正向星形线222333(a 0)x y a +=>（3）3222(2xy y cosx)(12ysinx 3x y )dyLdx -+-+⎰，其中L 为在抛物线22x y π=上由点（0,0）到（2π，1）的一段弧（4）22(xy)dx (x sin y)dyL--+⎰，其中L 是在圆周22y x x =-上由点（0,0）到点（1,1）的一段弧6.验证下列(x,y)dx (x,y)dy P Q +在整个xOy 平面内是某一函数u(x,y)的全微分，并求这样的一个u(x,y)：（1）(2)(2)x y dx x y dy +++（2）22xydx x dy + （3）4sin sin3cos 3cos3cos 2x y xdx y xdy -（4）2232(38)(812)y x y xy dx x x y ye dy ++++ （5）22(2cos cos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy ++- 7.设有一变力在坐标轴上的投影为2,28X x y Y xy =+=-，这变力确定了一个力场。

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初中数学解一元二次方程经典练习题（含答案）解下列解一元二次方程：1、x2=121；2、（2x+3）2=9；3、3（4x+5）2-147=0；4、（2x−7）2+9 =6（2x-7）；5、7x（x-6）=3（12-2x）；6、（3x-5）（2x+5）= x+7；7、3（3x-4）+ x（4-3x）=0；8、x（2x+5）=4（2x-1）+3；9、（x−3）2+4=5（3-x）；10、4x2+7x +1=0；11、512x2+ 13= x；12、（x−1）（x−2）2 -1 = （x+1）（x−3）3；13、14[12（x+1）+13（x+2）+2] =x2；14、（x+1）（x+2）+（x+3）（x+4）=（x+2）（x+3）+32；15、x= 2（0.3x+21）3 - （0.2x−1）（x+2）2；16、x2+（1+ 2√5）x +（ 4+√5）=0；参考答案1、x2=121；解：x2=121等式两边同时开平方x= 11故原方程的根是：x1=11，x2= -112、（2x +3）2=9；解：（2x +3）2=9等式两边同时开平方（2x +3）=±3令2x +3 = 3，即2x=0，解得x=0令2x +3 =-3，即2x=-6，解得x=-3故原方程的根是：x 1=0，x 2=-33、3（4x +5）2-147=0；解：3（4x +5）2-147=03（4x +5）2=147等式两边同时除以3（4x +5）2= 49等式两边同时开平方4x+5=±7令4x+5=7， 解得x= 12 令4x+5= -7，解得x=-3故原方程的根是：x 1= 12，x 2=-34、（2x −7）2+9 =6（2x-7）；解：（2x −7）2 +9 =6（2x-7）右边的项移到等号左边（2x−7）2-6（2x-7）+9 =0（2x−7）2 -2・3・（2x-7）+32=0[（2x−7）−3 ]2=0令（2x−7）−3 =0，解得 x=5故原方程的根是：x1=x2=55、7x（x-6）=3（12-2x）；解：7x（x-6）=3（12-2x）等号左边提取-27x（x-6）=-6（x-6）右边的项移到等号左边7x（x-6）+6（x-6）=0提取公因式（x-6）（x-6）（7x+6）=0令x-6=0，解得x=6令7x+6=0，解得x= - 67故原方程的根是：x1=6，x2=- 676、（3x-5）（2x+5）= x+7；解（3x-5）（2x+5）= x+7等号左边去括号6x2+15x-10x-25 =x+76x2+5x-25=x+76x2+4x-32=03x2+2x-16=0（3x+8）（x-2）=0令3x+8=0，解得x= - 83令x-2 =0，解得x=2故原方程的根是：x1=- 8，x2=237、3（3x-4）+ x（4-3x）=0；解：3（3x-4）+ x（4-3x）=0 3（3x-4）- x（3x-4）=0 提取公因式（3x-4）（3x-4）（3- x）=0令3x-4=0，解得x= 43令3- x =0，解得x=3，x2=3 故原方程的根是：x1= 438、x（2x+5）=4（2x-1）+3；解：x（2x+5）=4（2x-1）+3 2x2 +5x =8x-4+32x2 +5x =8x-12x2 -3x +1=0（2x-1）（x-1）=0令2x-1=0，解得x= 12 令x-1=0，解得x=1故原方程的根是：x 1= 12 ，x 2=19、（x −3）2 +4=5（3-x ）；解：（x −3）2 +4= 5（3-x ）等号左边提取-1（x −3）2 +4= -5（x-3）右边的项移到等号左边（x −3）2 +5（x-3）+4=0[（x -3）+1][（x-3）+4]=0（x-2）（x+1）=0令x-2=0，解得x=2令x+1=0，解得x=-1故原方程的根是：x 1=2，x 2=-110、4x 2+7x +1=0；解：4x 2+7x +1=0判别式△=72 -4×4×1 =33x= −7 ±√332×4 = −7 ±√338故原方程的根是：x 1=−7 +√338，x 2=−7 −√33811、512x 2 + 13 = x ； 解：512x 2 + 13 = x等式两边同时乘以125x 2 +4 =12x5x 2 +4 -12x =0（5x-2）（x-2）=0令5x-2=0，解得x= 25 令x-2=0，解得x=2故原方程的根是：x 1= 25，x 2=212、（x−1）（x−2）2-1 = （x+1）（x−3）3 ； 解：（x−1）（x−2）2 -1 = （x+1）（x−3）3 等式两边分子去括号x 2−3x+22 -1 = x 2−2x−33等式两边同时乘以63（x 2−3x +2）-6 =2（x 2−2x −3） 3x 2 -9x+6 -6= 2x 2 -4x −6x 2 -5x +6=0（x-2）（x-3）=0令x-2=0，解得x=2令x-3=0，解得x=3故原方程的根是：x 1=2，x 2=313、 14[12（x+1）+13（x+2）+2] =x 2；解：14[12（x+1）+13（x+2）+2] =x 2等号两边同时乘以412（x+1）+13（x+2）+2 =4x 2等号两边同时乘以63（x+1）+2（x+2）+12 =24x 23x+3+2x+4+12=24x 224x 2-5x-19=0（24x+19）（x-1）=0令24x+19=0，解得x= −1924令x-1=0，解得x= 1故原方程的根是：x 1=−1924，x 2= 114、（x+1）（x+2）+（x+3）（x+4）=（x+2）（x+3）+32；解：（x+1）（x+2）+（x+3）（x+4）=（x+2）（x+3）+32 等号两边去括号x 2+3x+2+x 2+7x+12 =x 2+5x+6+32整理得x 2+5x-24=0（x+8）（x-3）=0令x+8=0，解得x= -8令x-3=0，解得x= 3故原方程的根是：x 1=-8，x 2= 315、x=2（0.3x+21）3 - （0.2x−1）（x+2）2 ； 解：x= 2（0.3x+21）3 - （0.2x−1）（x+2）2等号两边同时乘以66x=4（0.3x+21）-3（0.2x-1）（x+2） 去括号6x=1.2x+84-0.6x 2+1.8x+6整理得0.6x 2+3x-90=0等号两边同时乘以10，然后再除以6 x 2+5x-150=0（x+15）（x-10）=0令x+15=0，解得x= -15令x-10=0，解得x= 10故原方程的根是：x 1= -15，x 2= 1016、x 2+（1+ 2√5）x +（ 4+√5）=0； 解：x 2+（1+ 2√5）x +（ 4+√5）=0 判别式△=（1+ 2√5）2-4・1・（ 4+√5）=1+4√5+20-16-4√5=5x= −（1+ 2√5）±√52∙1即x= −（1+ 2√5）+√52=−（1+ √5）2或 x= −（1+ 2√5）−√52=−（1+3 √5）2故原方程的根是：x1=−（1+ √5）2，x2= −（1+3 √5）2。

现代高数课本练习题答案一、选择题1. 函数f(x)=x^2-3x+2在区间[0,3]上的最大值是多少？A. 0B. 2C. 4D. 52. 曲线y=x^3-3x^2+2x在点(1,0)处的切线斜率是多少？A. 0B. -1C. 1D. 23. 若函数f(x)在点x=a处可导，则下列哪个选项是正确的？A. f(a)存在B. f(a+h)-f(a)=hf'(a)C. f(a)-f(a-h)=-hf'(a)D. 以上都是4. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期是多少？A. πB. 2πC. 4πD. 15. 定积分∫(0到π)sin(x)dx的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. -2二、填空题6. 若f(x)=2x^3-6x^2+5x-3，求f'(x)=________。

7. 已知函数g(x)=x^2+3x+2，求g(-1)=________。

8. 若曲线y=x^2与直线y=4x-5相切，则切点的横坐标为________。

9. 函数y=ln(x)的反函数是________。

10. 若定积分∫(1到e)x^2dx的值为1，则∫(0到1)x^2dx的值为________。

三、解答题11. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,4]上的单调区间。

12. 证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分∫(a到b)f(x)dx存在。

13. 利用泰勒公式展开函数f(x)=e^x在x=0处的前三项。

14. 解微分方程：(1+y^2)dx+2xydy=0，其中y(1)=0。

15. 求由曲线y=x^2，直线x=0，x=2及y轴围成的平面图形的面积。

四、证明题16. 证明：若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)≥0，则f(x)在(a,b)内单调递增。

17. 证明：利用定积分的性质证明不等式∫(a到b)f(x)dx≤(b-a)max[f(x)]，其中f(x)在[a,b]上连续。

一．选择题1．（ ）处连续，则在 ，如果，，设函数==îíì³+<=b x x f x b x x x x f 0)(020cos 3)(4321．．．．D C B A 2．的值是（ ）处连续，则在 ，则，，设k x x f x x x xkx x f 0)(020tan )(=ïîïíì£+>=2121--．．．．D C B A 3．的值是极限11)3arcsin(lim 0--®x x x （）662323．．．．D C B A --4．的值是极限)31ln()21ln(lim 220x x x -+®（）9432312．．．．D C B A --5．处连续的极限式是在不能导出0)(x x f y =（）[][]存在．．．．x x f x x f x yD x x f x x f C x f x f B x f x x f A x x x x x x D D -D +=D D =D --D +==-D +®D ®D ®D®®D )()(lim lim 0)()(lim )()(lim 0)()(lim 000000000006．．，若)0(0)(lim 0)(lim 100>¹==+®®k c x x g x x f k x k x 的关系是与，无穷小则当)()(0x g x f x ®（）比较无肯定结论．与．的同阶无穷小；为．的高阶无穷小；为．的高阶无穷小；为．)()()()()()()()(x g x f D x g x f C x f x g B x g x f A7．的值为，则已知a x x x a x 21sin cos lim 0=-® （（ ））．．； ．； ．； ．1210-D C B A8．的是无穷小量－时，无穷小量当12111-+®x x x x （（ ））．低阶无穷小量．．高阶无穷小量；量；．同阶但非等价无穷小．等价无穷小量；D C B A9．的间断点是函数x xx y 11111-+-= （ ））．，，．有三点；，．只有两点；，．只有两点； ，．只有两点110111010-=-=-==x D x C x B x A1010．．是内存在零点的充分条件，在函数)()(b a x f （ ））[][]．上连续，且，在．；上连续，且，在．上连续；，在．；．0)()()(0)()()()()(0)()(<<<b f a f b a x f D b f a f b a x f C b a x f B b f a f A二．解答题1．设 ，，求．y ab ea b y xxx =->>¢3400()2．．．求设 y b ax y ¢¢+=)arctan(23．设 处处可导，且，求f x f x ddxf x f x ()()()>éëêùûú04．．．求且可导均为对，其中设)(0)(,)()(,))(1()(x y x f x x g x f x f y x g ¢>=5．．并在可导处求的可导性试讨论， ，设 )(,)(,01)(tan x f x f x x ex f x¢îíì<³=6．设 由方程所确定其中为可导函数求．y y x x f y x f y dy dx y==+()(),(),7．处的切线方程。