江苏省扬州中学2016-2017学年高二上学期12月月考数学试卷Word版含解析

江苏省扬州中学2013-2014学年高二上学期12月月考试卷数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．命题“1,-=∈∃x e R x x ”的否定是 ．2．抛物线x y 82=的焦点坐标为 ．3．已知正四棱锥的底面边长是6，这个正四棱锥的侧面积是 ．4．已知函数()sin f x x x =-，则()f x '= ． 【答案】1cos x -. 【解析】试题分析：两函数的差求导数.分别求导再相减.故填1cos x -.正弦函数的导数是余弦函数. 考点：1.函数的差的求导方法.2.正弦函数的导数.5．一枚骰子（形状为正方体，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的玩具）先后抛掷两次，骰子向上的点数依次为,x y．则x y≠的概率为．6．若双曲线221yxm-=的离心率为2，则m的值为．7．在不等式组所表示的平面区域内所有的格点（横、纵坐标均为整数的点称为格点）中任取3个点，则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为．【答案】9 10.【解析】试题分析：如图总共有5个点，所以，每三个点一组共有10种情况.其中不能构成三角形的只有一种共线的情况.所以能够成三角形的占910.本题考查的是线性规划问题.结合概率的思想.所以了解格点的个数是关键.考点：1.线性规划问题.2.概率问题.3.格点问题.8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V9．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =A,B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A,B的一点，直线PA,PB 倾斜角分别为,αβ，则cos()=cos +αβαβ-（）10．若“2230x x -->”是 “x a <”的必要不充分条件，则a 的最大值为 ．11．已知函数)0()232()(23>+--++=a d x b a c bx ax x f 的图像如图所示，且0)1(='f ．则c d +的值是 ．12． 设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线， 则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题．．．的序号 （写出所有真命题的序号）．考点：1.面面平行.2.直线与平面平行.3.面面垂直.4.直线与平面垂直.13．已知可导函数)(x f )(R x ∈的导函数)(x f '满足)(x f '＞)(x f ，则不等式()(1)x ef x f e >的解集是 ．14．已知椭圆E：2214xy+=，椭圆E的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点（如图），则这个平行四边形面积的最大值是．【答案】4.【解析】试题分析：当直线AB与x轴垂直的时候ABCD为矩形面积为当直线AB不垂直x轴时假设直线:(:(AB CDl y k x l y k x==.A（11,x y），B（22,x y）.所以直线AB与直线CD的距离.又有22(44y k xx y⎧=⎪⎨+=⎪⎩.消去y可得：2222(41)1240x k x k+-+-=.2121224(31)41kx x x xk-+==+.所以224(1)41kABk+==+.所以平行四边形的面积S=2k t=.所以S ==因为810t -≥时.S 的最大值为4.综上S 的最大值为4.故填4.本题关键考查弦长公式点到直线的距离.考点：1.分类的思想.2.直线与椭圆的关系.3.弦长公式.4.点到直线的距离.二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）求实数m 的取值组成的集合M ，使当M m ∈时，“q p 或”为真，“q p 且”为假．其中:p 方程012=+-mx x 有两个不相等的负根；:q 方程01)2(442=+-+x m x 无实数根．:真q ,044)]2(4[2<⨯--=∆m 即.31<<m …………………10 分①假：真q p ;2-<m②假：真p q .31<<m …………………13分 综上所述：}.312|{<<-<=m m m M 或 …………………14分 考点：1.含连接词的复合命题.2.二次方程的根的分布. 3.集合的概念.16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝90︒，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ＝4，E 为PA 的中点．（1）证明：DE ∥平面PBC ； （2）证明：DE ⊥平面PAB ．17．（本小题满分15分）如图，过点3(0,)a 的两直线与抛物线2y ax =-相切于A 、B 两点， AD 、BC 垂直于直线8y =-，垂足分别为D 、C ．（1）若1a =，求矩形ABCD 面积；（2）若(0,2)a ∈，求矩形ABCD 面积的最大值．（2）设切点为00(,)x y ，则200y ax =-,因为2y ax '=-，所以切线方程为0002()y y ax x x -=--, 即20002()y ax ax x x +=--，18．（本小题满分15分）如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，已知平面11AAC C ABCD ⊥平面，且1AB BC CA AD CD ====． (1)求证：1BD AA ⊥;(2)在棱BC 上取一点E ，使得AE ∥平面11D DCC ，求BEEC的值．【答案】（1）证明参考解析；（2）1BEEC= 【解析】试题分析：（1）由于AB=CB,AD=CD,BD=BD.可得三角形ABD 全等于三角形CBD.所以这两个三角形关于直线BD 对称.所以可得BD AC ⊥.再由面面垂直即可得直线BD 垂直于平面11ACC A .从而可得1BD AA ⊥.19．（本小题满分16分） 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右两焦点分别为12,F F ，P 是椭圆上一点，且在x 轴上方，212,PF F F ⊥ 2111,,32PF PF λλ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦． （1）求椭圆的离心率e 的取值范围；（2）当e 取最大值时，过12,,F F P 的圆Q 的截y 轴的线段长为6，求椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线l 上任一点A 引圆Q 的两条切线，切点分别为,M N ．试探究直线MN 是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．(1)22222211111c b e a a λλλλ-==-=-=++，∴e =在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．∴12λ=时，2e 最小13，13λ=时，2e 最大12，∴21132e ≤≤e ≤≤．(2) 当2e =时，2ca =，∴2cb ==，∴222b a =．∵212PF F F ⊥,∴1PF 是圆的直径，圆心是1PF 的中点，∴在y 轴上截得的弦长就是直径，∴1PF=6．又221322622b a PF a a a a a =-=-==，∴4,a c b ===．∴椭圆方程是221168x y += -------10分20．（本小题满分16分）已知函数2ln )(x x a x f += (a 为实常数) ．（1）当4-=a 时，求函数)(x f 在[]1,e 上的最大值及相应的x 值；（2）当[]e x ,1∈时，讨论方程()0=x f 根的个数．（3）若0>a ，且对任意的[]12,1,x x e ∈，都有()()212111x x x f x f -≤-， 求实数a 的取值范围.【答案】（1）4)()(2max -==e e f x f .e x =；（2）e a e 22-<≤-时，方程()0=x f 有2个相异的根. 2e a -< 或e a 2-=时，方程()0=x f 有1个根. e a 2->时，方程()0=x f 有0个根.（3）221e ea -≤∴.（2）易知1≠x ，故[]e x ,1∈，方程()0=x f 根的个数等价于(]e x ,1∈时，方程x x a ln 2=-根的个数． 设()x g =xx ln 2， xx x x x x x x x g 222ln )1ln 2(ln 1ln 2)(-=-=' 当()e x ,1∈时，0)(<'x g ，函数)(x g 递减，当]e e x ,(∈时，0)(>'x g ，函数)(x g 递增．又2)(e e g =，e e g 2)(=，作出)(x g y =与直线a y -=的图像，由图像知：当22e a e ≤-<时，即e a e 22-<≤-时，方程()0=x f 有2个相异的根；当2e a -< 或e a 2-=时，方程()0=x f 有1个根；当e a 2->时，方程()0=x f 有0个根； -------10分（3）当0>a 时，)(x f 在],1[e x ∈时是增函数，又函数xy 1=是减函数，不妨设e x x ≤≤≤211，则()()212111x x x f x f -≤-等211211)()(x x x f x f -≤-。

2016-2017学年江苏省扬州中学高二（上）12月月考数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．命题“∀x∈R，x2+2＞0”的否定是命题．（填“真”或“假”之一）2．双曲线的两条渐近线方程为．3．m=﹣1是直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直的（充要条件，充分条件，必要条件，非充分非必要条件）4．已知函数f（x）=x2﹣2xf′（﹣1），则f′（﹣1）=．5．若抛物线y2=8x的焦点F与双曲线﹣=1的一个焦点重合，则n的值为．6．已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．7．若函数f（x）=lnx+ax2﹣（a+2）x在处取得极大值，则正数a的取值范围是．8．若中心在原点，以坐标轴为对称轴的圆锥曲线C，离心率为，且过点（2，3），则曲线C的方程为．9．在平面直角坐标系xOy中，记曲线y=2x﹣．（m∈R，m≠﹣2）在x=1处的切线为直线l，若直线l在两坐标轴上的截距之和为12，则m的值为．10．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是．11．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，直线l：y=kx+3与圆C相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为．12．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为．13．已知函数f（x）=e x﹣1+x﹣2（e为自然对数的底数）．g（x）=x2﹣ax﹣a+3．若存在实数x1，x2，使得f（x1）=g（x2）=0．且|x1﹣x2|≤1，则实数a的取值范围是．14．设函数f（x）=|e x﹣e2a|，若f（x）在区间（﹣1，3﹣a）内的图象上存在两点，在这两点处的切线互相垂直，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知命题p：函数在（﹣∞，+∞）上有极值，命题q：双曲线的离心率e∈（1，2）．若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．16．（14分）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣4x=0及点A （﹣1，0），B（1，2）（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；（2）在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：的左顶点为A，与x轴平行的直线与椭圆E交于B、C两点，过B、C两点且分别与直线AB、AC垂直的直线相交于点D．已知椭圆E的离心率为，右焦点到右准线的距离为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明点D在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；（3）求△BCD面积的最大值．19．（16分）如图所示，有一块矩形空地ABCD，AB=2km，BC=4km，根据周边环境及地形实际，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区AEFG，筝形的顶点A，E，F，G为商业区的四个入口，其中入口F在边BC上（不包含顶点），入口E，G分别在边AB，AD上，且满足点A，F恰好关于直线EG对称，矩形内筝形外的区域均为绿化区．（1）请确定入口F的选址范围；（2）设商业区的面积为S1，绿化区的面积为S2，商业区的环境舒适度指数为，则入口F如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大？20．（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）若直线y=3x﹣1是函数f（x）图象的一条切线，求实数a的值；（2）若函数f（x）在[1，e2]上的最大值为1﹣ae（e为自然对数的底数），求实数a的值；（3）若关于x的方程ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）有且仅有唯一的实数根，求实数t的取值范围．2016-2017学年江苏省扬州中学高二（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．命题“∀x∈R，x2+2＞0”的否定是假命题．（填“真”或“假”之一）【考点】特称命题．【分析】先判断原命题的真假性，根据原命题与命题的否定真假相反的原则即可判断命题的否定的真假【解答】解：∵x2+2≥2∴命题“∀x∈R，x2+2＞0”是真命题∴原命题的否定是假命题故答案为：假【点评】有些命题的真假难以判断时，不防以怀疑的眼光看问题，用正难则反思想走到它的“背后”考虑问题．是个基础题2．双曲线的两条渐近线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：【点评】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．m=﹣1是直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直的充分条件（充要条件，充分条件，必要条件，非充分非必要条件）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题设条件，可分两步研究本题，先探究m=﹣1时直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0互相垂直是否成立，再探究直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0互相垂直时m的可能取值，再依据充分条件必要条件做出判断，得出答案．【解答】解：当m=﹣1时，两直线的方程mx+（2m﹣1）y+1=0，与3x+my+3=0，化为﹣x﹣3y+1=0和3x﹣y+3=0，可得出此两直线是垂直的，当两直线垂直时，①当m=0时，符合题意，②当m≠0时，两直线的斜率分别是﹣与，由两直线垂直得﹣得m=﹣1，由上知，“m=﹣1”可得出直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直；由直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直”可得出m=﹣1或m=0，所以m=1是直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直的充分不必要条件故答案为：充分条件．【点评】本题考查充分条件必要条件的判断及两直线垂直的条件，解题的关键是理解充分条件与必要条件的定义及两直线垂直的条件，本题的难点是由两直线垂直得出参数m的取值，此处也是一易错点，易忘记验证斜率不存在的情况，导致判断失误．4．已知函数f（x）=x2﹣2xf′（﹣1），则f′（﹣1）=．【考点】导数的运算．【分析】根据函数的导数公式进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣2xf′（﹣1），∴f′（x）=2x﹣2f′（1），令x=﹣1，则f′（﹣1）=﹣2﹣2f′（﹣1），则f′（﹣1）=，故答案为．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数的导数公式进行求解是解决本题的关键．比较基础．5．若抛物线y2=8x的焦点F与双曲线﹣=1的一个焦点重合，则n的值为1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点为（2，0），由双曲线的a，b，c的关系，可得=2，解方程可得n=1．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F为（2，0），双曲线﹣=1的右焦点为（，0），由题意可得，=2，解得n=1，故答案为：1．【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和a，b，c的关系，属于基础题．6．已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数在区间单调递增，则导函数在该区间的值大于等于0恒成立，在通过换主元求参数范围．【解答】解：∵函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增∴函数f（x）的导函数f′（x）=1+a•cosx≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，令cosx=t，t∈[﹣1，1]，问题转化为g（t）=at+1≥0在t∈[﹣1，1]上恒成立，即g（﹣1）≥0，g（1）≥0成立，所以﹣1≤t≤1．故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了利用函数单调性求参数范围，同时也考查了恒成立中求参数的基本方法．7．若函数f（x）=lnx+ax2﹣（a+2）x在处取得极大值，则正数a的取值范围是（0，2）．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，结合已知条件，判断即可．【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=+2ax﹣（a+2）=，①a≤0时，ax﹣1＜0，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故是函数的极小值点，不合题意，②0＜a＜2时，＜，令f′（x）＞0，解得：x＜或x＞，令f′（x）＜0，解得：＜x＜，∴f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，∴函数f（x）在处取得极大值，符合题意，③a=2时，f′（x）≥0，f（x）递增，无极值，④a ＞2时，＞，令f′（x ）＞0，解得：x ＞或x ＜，令f′（x ）＜0，解得：＜x ＜，∴f （x ）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，∴函数f （x ）在x=处取得极大值，不符合题意， 综上，a ∈（0，2）， 故答案为：（0，2）．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．8．若中心在原点，以坐标轴为对称轴的圆锥曲线C ，离心率为，且过点（2，3），则曲线C 的方程为 y 2﹣x 2=5 ． 【考点】双曲线的标准方程．【分析】由双曲线得离心率可知为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x 2﹣y 2=λ（λ≠0），把点P 的坐标代入即可得出．【解答】解：∵离心率为，∴a=b ，∴双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x 2﹣y 2=λ（λ≠0）， 又点P （2，3）在双曲线上，则λ=4﹣9=﹣5， ∴所求双曲线的标准方程为x 2﹣y 2=﹣5， 即y 2﹣x 2=5． 故答案为：y 2﹣x 2=5【点评】本题着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．9．在平面直角坐标系xOy 中，记曲线y=2x ﹣．（m ∈R ，m ≠﹣2）在x=1处的切线为直线l ，若直线l 在两坐标轴上的截距之和为12，则m 的值为 ﹣3或﹣4．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意求导y′=2+，从而求出切线方程，从而求出截距而得到﹣2m+=12，从而解得．【解答】解：∵y=2x﹣，∴y′=2+；故当x=1时，y=2﹣m，y′=2+m；故直线l的方程为y=（2+m）（x﹣1）+2﹣m；令x=0得，y=﹣（2+m）+2﹣m=﹣2m；令y=0得，x=+1=；故﹣2m+=12，解得，m=﹣3或m=﹣4．故答案为：﹣3或﹣4．【点评】本题考查了导数的几何意义的应用及直线的方程的应用，属于中档题．10．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】构造函数g（x）=，利用g（x）的导数判断函数g（x）的单调性与奇偶性，画出函数g（x）的大致图象，结合图形求出不等式f（x）＞0的解集．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的大致图象如图所示：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．∴f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式的应用问题，是综合题目．11．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，直线l：y=kx+3与圆C相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为[﹣，+∞）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，只要求点M在弦的中点上满足，其它的点都满足，即圆心C到直线的距离+2≥3，从而可得实数k的取值范围．【解答】解：以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，只要求点M在弦的中点上满足，其它的点都满足，即圆心C到直线的距离d+2≥3，所以+2≥3，所以k≥﹣．故答案为：[﹣，+∞）．【点评】本题考查实数k的取值范围，考查直线与圆，圆与圆的位置关系，比较基础．12．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为y=±2x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的右焦点，将直线y=x代入双曲线方程，求得x2=，则设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），由•=0，根据向量数量积的坐标表示，求得c2=x2，由双曲线的方程可知：c2=a2+b2，代入即可求得（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，则可知b2﹣4a2=0，即可求得b=2a，根据双曲线的渐近线方程可知：y=±x=±2x．【解答】解：由题意可知：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，右焦点F（c，0），则，整理得：（9b2﹣16a2）x2=9a2b2，即x2=，∴A与B关于原点对称，设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），∵AF⊥BF，∴•=0，即（x﹣c）（﹣x﹣c）+×（﹣）=0，整理得：c2=x2，∴a2+b2=×，即9b4﹣32a2b2﹣16a4=0，∴（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，∵a＞0，b＞0，∴9b2+4a2≠0，∴b2﹣4a2=0，故b=2a，双曲线的渐近线方程y=±x=±2x，故答案为：y=±2x．【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系，向量数量积的坐标表示，向量垂直的充要条件，双曲线的渐近线方程，考查计算能力，属于中档题．13．已知函数f（x）=e x﹣1+x﹣2（e为自然对数的底数）．g（x）=x2﹣ax﹣a+3．若存在实数x1，x2，使得f（x1）=g（x2）=0．且|x1﹣x2|≤1，则实数a的取值范围是[2，3] ．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】求出函数f（x）的导数，可得f（x）递增，解得f（x）=0的解为1，由题意可得x2﹣ax﹣a+3=0在0≤x≤2有解，即有a==（x+1）+﹣2在0≤x≤2有解，求得（x+1）+﹣2的范围，即可得到a的范围．【解答】解：函数f（x）=e x﹣1+x﹣2的导数为f′（x）=e x﹣1+1＞0，f（x）在R上递增，由f（1）=0，可得f（x1）=0，解得x1=1，存在实数x1，x2，使得f（x1）=g（x2）=0．且|x1﹣x2|≤1，即为g（x2）=0且|1﹣x2|≤1，即x2﹣ax﹣a+3=0在0≤x≤2有解，即有a==（x+1）+﹣2在0≤x≤2有解，令t=x+1（1≤t≤3），则t+﹣2在[1，2]递减，[2，3]递增，可得最小值为2，最大值为3，则a的取值范围是[2，3]．故答案为：[2，3]．【点评】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查参数分离法和运算能力，属于中档题．14．设函数f（x）=|e x﹣e2a|，若f（x）在区间（﹣1，3﹣a）内的图象上存在两点，在这两点处的切线互相垂直，则实数a的取值范围是（﹣，）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）的表达式，利用数形结合，结合导数的几何意义进行求解即可．【解答】解：当x≥2a时，f（x）=|e x﹣e2a|=e x﹣e2a，此时为增函数，当x＜2a时，f（x）=|e x﹣e2a|=﹣e x+e2a，此时为减函数，即当x=2a时，函数取得最小值0，设两个切点为M（x1，f（x1）），N（（x2，f（x2）），由图象知，当两个切线垂直时，必有，x1＜2a＜x2，即﹣1＜2a＜3﹣a，得﹣＜a＜1，∵k1k2=f′（x1）f′（x2）=e x1•（﹣e x2）=﹣e x1+x2=﹣1，则e x1+x2=1，即x1+x2=0，∵﹣1＜x1＜0，∴0＜x2＜1，且x2＞2a，∴2a＜1，解得a＜，综上﹣＜a＜，故答案为：（﹣，）．【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用，利用数形结合以及直线垂直的性质是解决本题的关键，属于中档题..二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015秋•常州期末）已知命题p：函数在（﹣∞，+∞）上有极值，命题q：双曲线的离心率e∈（1，2）．若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出p，q为真时的a的范围，由于命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，可得p与q必然一真一假．即可得出．【解答】解：命题p：f′（x）=3x2+2ax+a+，∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）上有极值，∴f′（x）=0有两个不等实数根，∴△=4a2﹣4×3（a+）=4a2﹣4（3a+4）＞0，解得a＞4或a＜﹣1；命题q：双曲线的离心率e∈（1，2），为真命题，则∈（1，2），解得0＜a＜15．∵命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，∴p与q必然一真一假，则或，解得：a≥15或0＜a≤4或a＜﹣1．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、利用导数研究函数的单调性极值、一元二次方程有实数根与判别式的关系以及双曲线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（14分）（2015•北京）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）利用f'（x）≥0或f'（x）≤0求得函数的单调区间并能求出极值；（2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况．【解答】解：（1）由f（x）=f'（x）=x﹣由f'（x）=0解得x=f（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：所以，f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；f（x）在x=处的极小值为f（）=，无极大值．（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）=．因为f（x）存在零点，所以，从而k≥e当k=e时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）=0所以x=是f（x）在区间（1，）上唯一零点．当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，所以f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．【点评】本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用，在高考中属于常见题型．17．（14分）（2016秋•江苏期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣4x=0及点A（﹣1，0），B（1，2）（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；（2）在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）求出圆心C到直线l的距离，利用勾股定理建立方程，即可求直线l的方程；（2）求出P的轨迹方程，利用两圆的位置关系，即可得出结论．【解答】解：（1）圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2=4，所以圆心C（2，0），半径为2．因为l∥AB，A（﹣1，0），B（1，2），所以直线l的斜率为，设直线l的方程为x﹣y+m=0，…（2分）则圆心C到直线l的距离为．…因为，而，所以，…解得m=0或m=﹣4，故直线l的方程为x﹣y=0或x﹣y﹣4=0．…（8分）（2）假设圆C上存在点P，设P（x，y），则（x﹣2）2+y2=4，PA2+PB2=（x+1）2+（y﹣0）2+（x﹣1）2+（y﹣2）2=12，即x2+y2﹣2y﹣3=0，即x2+（y﹣1）2=4，…（10分）因为，…（12分）所以圆（x﹣2）2+y2=4与圆x2+（y﹣1）2=4相交，所以点P的个数为2．…（14分）【点评】本题考查了直线与圆的方程的求法，考查了圆与圆的位置关系，是中档题．18．（16分）（2015•泰州二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：的左顶点为A，与x轴平行的直线与椭圆E交于B、C两点，过B、C两点且分别与直线AB、AC垂直的直线相交于点D．已知椭圆E的离心率为，右焦点到右准线的距离为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明点D在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；（3）求△BCD面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）利用，，计算即可；（2）通过设B、C点坐标、写出直线AB、AC、BD、CD的斜率，联立直线BD、CD的方程，计算即可；（3）通过计算可得点D的纵坐标，进而可得点D到直线BC的距离，利用三角形的面积公式及基本不等式即得结论．【解答】（1）解：由题意得，，解得，∴b2=a2﹣c2=4，∴椭圆E的标准方程为．（2）证明：设B（x0，y0），C（﹣x0，y0），显然直线AB，AC，BD，CD的斜率都存在，设为k1，k2，k3，k4，则，，∴直线BD，CD的方程为：，消去y得：，化简得x=3，故点D在定直线x=3上运动．（3）解：由（2）得点D的纵坐标为，又∵，∴，则，∴点D到直线BC的距离h=，将y=y0代入，得，∴△BCD面积=，当且仅当，即时等号成立，故时，△BCD面积的最大值为．【点评】本题考查椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆的位置关系、三角形的面积计算等基础知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（16分）（2016秋•盐城期中）如图所示，有一块矩形空地ABCD，AB=2km，BC=4km，根据周边环境及地形实际，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区AEFG，筝形的顶点A，E，F，G为商业区的四个入口，其中入口F在边BC上（不包含顶点），入口E，G分别在边AB，AD上，且满足点A，F恰好关于直线EG对称，矩形内筝形外的区域均为绿化区．（1）请确定入口F的选址范围；（2）设商业区的面积为S1，绿化区的面积为S2，商业区的环境舒适度指数为，则入口F如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大？【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A（0，0），设F（2，2a）（0＜2a＜4），则AF的中点为（1，a），斜率为a，EG⊥AF，求出EG的方程，列出不等式即可求出；（2）因为，该商业区的环境舒适度指数，所以要使最大，只需S1最小．转化为求其最小值．【解答】解：（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A（0，0），设F（2，2a）（0＜2a＜4），则AF的中点为（1，a），斜率为a，而EG⊥AF，故EG的斜率为，则EG的方程为，令x=0，得；令y=0，得；由，得，∴，即入口F的选址需满足BF的长度范围是（单位：km）．（2）因为，故该商业区的环境舒适度指数，所以要使最大，只需S1最小．设，则，令f'（a）=0，得或（舍），a，f'（a），f（a）的情况如下表：，）故当，即入口F满足km时，该商业区的环境舒适度指数最大．【点评】本题主要考查了直角坐标系在应用题中的应用，考查了利用导数研究函数单调性与函数最值，属中等题．20．（16分）（2016秋•盐城期中）设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）若直线y=3x﹣1是函数f（x）图象的一条切线，求实数a的值；（2）若函数f（x）在[1，e2]上的最大值为1﹣ae（e为自然对数的底数），求实数a的值；（3）若关于x的方程ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）有且仅有唯一的实数根，求实数t的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到x=，求出f（）=ln﹣，代入直线y=3x﹣1求得a值；（2）求出原函数的导函数，然后对a分类得到函数在[1，e2]上的单调性，并进一步求出函数在[1，e2]上的最大值，由最大值等于1﹣ae求得a值；（3）把ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）转化为ln（2x2﹣x﹣3t）（2x2﹣x﹣3t）=ln（x﹣t）（x﹣t），构造函数g（x）=lnx+，则g（x）在（0，+∞）上是增函数，得到，画出图形，数形结合得答案．【解答】解：（1）由f（x）=lnx﹣ax，得f′（x）==3，∴x=，则f（）=ln﹣，∴ln﹣=，得ln=0，即a=﹣2；（2）f′（x）=，当a≤时，f′（x）≥0在[1，e2]上恒成立，故f（x）在[1，e2]上为增函数，故f（x）的最大值为f（e2）=2﹣ae2=1﹣ae，得（舍）；当＜a＜1时，若x∈[1，]，f′（x）＞0，x∈[]，f′（x）＜0，故f（x）在[1，e2]上先增后减，故由﹣lna﹣1=1﹣ae，a无解；当时，f（x）max=﹣a=1﹣ae，得a=；当a≥1时，故当x∈[1，e2]时，f′（x）≤0，f（x）是[1，e2]上的减函数，故f（x）max=f（1）=﹣a=1﹣ae，得a=（舍）；综上，a=；（3）ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）⇔ln（2x2﹣x﹣3t）（2x2﹣x﹣3t）=ln（x﹣t）（x﹣t），令g（x）=lnx+，则g（x）在（0，+∞）上是增函数，又g（2x2﹣x﹣3t）=g（x﹣t），∴2x2﹣x﹣3t=x﹣t⇒2（x2﹣x﹣t）=0，即⇒，作出图象如图：由图可知，实数t的取值范围是t=﹣或0＜t＜2．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性考查了利用导数求函数的最值，考查数学转化、分类讨论、数形结合等数学思想方法，难度较大．。

2019～2020学年江苏省扬州市广陵区扬州中学高二第一学期12月月考数学试题一、单选题1.等差数列{}n a 中,36a =-,754a a =+,则1a =( ) A.10-B.2-C.2D.10【试题参考答案】A【试题解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,可得2d =,进而可得1a .设等差数列{}n a 的公差为d , 则7524a a d -==可得2d =. 所以3126410d a a =-=--=-. 故选：A.本题主要考查了等差数列的基本量运算,属于基础题.2.方程22123x y m m+=--表示焦点在x 轴上的一个必要不充分条件是( )A.23m <<B.522m <<C.532m << D.1134m << 【试题参考答案】A【试题解析】先求出“方程22123x y m m+=--表示焦点在x 轴上”对应的m 的取值范围,再根据必要不充分条件与集合之间的包含关系即可求解.方程22123x y m m+=--表示焦点在x 轴上,所以230m m ->->,解得532m <<,所以23m <<是532m <<的必要不充分条件. 故选：A.本题主要考查必要不充分条件的判断,解题关键是将必要不充分条件转化为集合之间的包含关系,属于基础题. 3.数列4816322,,,,,3579⋅⋅⋅的一个通项公式n a =( ) A.21n n - B.2n n C.221nn - D.221nn + 【试题参考答案】C【试题解析】根据数列各项分子、分母特征,即可找出规律,求出通项公式。

将2写成21,因为数列各项分子为2,4,8,16,32,…,是以2为首项和公比的等比数列,分母为1,3,5,7,9, …,是以1为首项,以2为公差的等差数列,所以此数列的一个通项公式为221nn a n =-. 故选：C.本题主要考查观察法求数列的通项公式,以及等差、等比数列通项公式的应用,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.4.已知△ABC 为等腰直角三角形,若双曲线E 以A ,B 为焦点,并经过点C ,该双曲线的离心率是( )11【试题参考答案】D【试题解析】设2AB c =,以AB 所在直线为x 轴,AB 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系,可求出该双曲线的实轴长为22a CA CB c =-=-,从而求出离心率.设2AB c =,以AB 所在直线为x 轴,AB 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系.依题意可知,22CA c =,由双曲线的定义可知, 双曲线的实轴长为2222a CA CB c c =-=-, 所以该双曲线的离心率是21222c e a ===-. 故选：D.本题主要考查双曲线的简单性质应用,建立适当的坐标系,得到实轴长和焦距是解题关键,考查学生数学建模的能力,属于中档题.5.《趣味数学·屠夫列传》中有如下问题：“戴氏善屠,日益功倍。

江苏省扬州中学2016-2017学年第一学期期中考试高二数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．命题：“2,10x R x x ∃∈--<”的否定是 ． 2. 直线1y x =+的倾斜角是________．3.若方程22152x y a +=-表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是 .4．命题“若b a >，则22b a >”的逆命题是 .5.与椭圆22194x y +=5的椭圆标准方程为 ．6.如果对任何实数k ，直线(3)(12)150k x k y k ++-++=都过一个定点A ，那么点A 的坐标是________.7. 如果:2p x >，:3q x >，那么p 是q 的 条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出适当的一种填空）8.已知椭圆192522=+y x 上一点M 到左焦点1F 的距离是8，则M 到右准线的距离为 ．9.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2221x y a -=（0a >）的一条渐近线与直线l ：210x y -+=垂直，则实数=a ．10．如果实数,x y 满足等式()2223x y -+=，那么yx的最大值是 ． 11．圆心在抛物线212y x =上，并且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为 ．12. 已知21,F F 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过2F 作双曲线渐近线的垂线，垂足为,P 若22221||||c PF PF =-，则双曲线离心率的值为 .13. 已知直线),(12R b R a by ax ∈∈=+与圆1:22=+y x O (O 为坐标原点)相交于B A ,两点,且AOB ∆是直角三角形,点),(b a P 是以点)1,0(M 为圆心的圆M 上的一点,则圆M 的面积的最小值为 .14. 已知直线:34l y x =+，动圆222:(12)O x y r r +=<<，菱形ABCD 的一个内角为060，顶点,A B 在直线l 上，顶点,C D 在圆O 上.当r 变化时，菱形ABCD 的面积S 的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15. 已知命题:p “关于,x y 的方程)(04522222R a a a y ax x ∈=+-++-表示圆”，命题:q “x R ∀∈,使得2(1)10()x a x a R +-+>∈恒成立”.（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题p q ∧为真命题，求实数a 的取值范围.16．已知直线l 过点(2,1)P ,（1）点(1,3)A -和点(3,1)B 到直线l 的距离相等，求直线l 的方程；（2）若直线l 与x 正半轴、y 正半轴分别交于A B 、两点，且ABO ∆的面积为4，求直线l 的方程．.17．如图，12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A 是椭圆C 的上顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1260F AF ∠=. （1）求椭圆C 的离心率； （2）若2a =,求1AF B ∆的面积．18.某城市在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB 是抛物线22y x =的一部分，灯柱CD 经过该抛物线的焦点F 且与路面垂直，其中C 在抛物线上，B 为抛物线的顶点，DH 表示道路路面，BF ∥DH ，A 为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A 处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是 m ，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．(1) 求灯罩轴线所在的直线方程； (2) 若路宽为10 m ，求灯柱的高．19．已知圆22:4O x y +=与x 轴负半轴的交点为A ,点P 在直线30l x y a +-=上，过点P 作圆O 的切线，切点为T .（1）若8a =，切点(3,1)T -,求点P 的坐标； （2）若2PA PT =，求实数a 的取值范围;(3) 若不过原点O 的直线与圆O 交于C B ,两点,且满足直线OC BC OB ,,的斜率依次成等比数列，求直线l 的斜率.20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）2．A为椭圆上异于顶点的一点，点P 满足2OP AO = ， （1）若点P 的坐标为(2，求椭圆的方程；（2）设过点P 的一条直线交椭圆于,B C 两点，且BP mBC =，直线,OA OB 的斜率之积12-，求实数m 的值; （3）在（1）的条件下，是否存在定圆M ，使得过圆M 上任意一点T 都能作出该椭圆的两条切线，且这两条切线互相垂直?若存在,求出定圆M ;若不存在,说明理由.yxCPOAB命题、校对:刘晓静 审核:沈红、姜卫东江苏省扬州中学2016-2017学年第一学期期中高二数学答案一、填空题1. 2,10x R x x ∀∈--≥ 2.4π3. 7a >4. 充分不必要5.1202522=+y x6. (1,2)-7. 25 8．29.3 10.1)21()1(22=-+±y x11. 4 13. π)223(- 14. 33330,,6322⎛⎛ ⎝⎭⎝ 二、解答题 15. 解：（1）若命题p 为真，则22(2)4(254)0a a a整理得到2540a a -+<得14a（2）若命题q 为真，则2(1)40a ∆=--< 即2230aa --<得13a -<<若p q ∧为真，则1413a a <<⎧⎨-<<⎩，得13a <<所以，若p q ∧为真，则a 的取值范围是13a <<.16. 解：（1）若直线斜率不存在，即2x =，此时，点,A B 到直线l 的距离不相等. 故直线l 的斜率一定存在,设直线l 的方程为(2)1y k x =-+即210kx y k --+=由题意得:2211k k =++解之得:12k =-或1k =- 故所求直线方程为240x y +-=或30x y +-=(2)由题可知，直线1l 的横、纵截距a b 、存在，且00a b >>、，则1:1x yl a b+=，又1l 过点(2,1)，ABO ∆的面积为4，∴211142a b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩，故1l 方程为142x y +=，即122y x =-+．17. 解:（1）由题意可知，1AF B ∆为等边三角形，2a c =，所以12e =.（2）由题意得：2,1a c ==,故3b =23),(1,0)A F ,所以直线AC 的方程为33y x =+联立直线AC 与椭圆C 的方程得:2233143y x x y⎧=+⎪⎨+=⎪⎩解得:8533x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或03x y =⎧⎪⎨=⎪⎩舍) 所以点B 的坐标为833,5⎛ ⎝⎭,所以 11212121211113383||||||||2322222AF B AF F BF F B S S S F F AO F F y ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=18. 解：(1) 由题意知，BF ＝12，则x A ＝＋12＝2，代入y 2＝2x 得y A ＝2，故A(2，2)． 设点A 处的切线方程为y －2＝k(x －2)，代入抛物线方程y 2＝2x 消去x ，得ky 2－2y ＋4－4k ＝0. 则Δ＝4－4k(4－4k)＝0，解得k ＝12.故灯罩轴线的斜率为－2，其方程为y －2＝－2(x －2)，即y ＝－2x ＋6. (2) 由于路宽为10，则当x ＝112时，y ＝－5，从而FD ＝5.又CF ＝1，则CD ＝6. 答：灯柱的高为6 m.19. 解：（1）由题意，直线PT 切于点T ，则OT ⊥PT ，又切点(3,1)T -，所以3OT k =，13PT OTk k =-= 故直线PT 的方程为13(3)y x +=-，340x y --=.联立直线l 和PT ，340,380,x y x y ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩解得23,2,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩即(23,2)P .（2）设(,)P x y ，由PA ＝2PT ，可得2222(2)4(4)x y x y ++=+-，即22334200x y x +--=，即满足PA ＝2PT 的点P 的轨迹是一个圆22264()39x y -+=，所以问题可转化为直线30x y a +-=与圆22264()39x y -+=有公共点，所以223833(3)1a d ⨯-=+，即2316|3a ≤，解得16231623a -++. (3)当直线BC 垂直与x 轴时，显然不成立，所以设直线BC 为(0)y kxb b =+≠，将它与圆方程联立并消去y 得222(1)240k x kbx b +++-=，设1122(,),(,)B x y C x y ，则212122242,11b kb x x x x k k --=+=++，因为2212121212()()()y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++2222222222424111b k b k b k b k k k --+=⋅-+=+++，故2221221244OB OC y y k b k k k x x b -+⋅===-， 即22(1)0b k -=，因为0b ≠，所以21k =，即1k =±. 20. 解：（1）因为2)P ,所以21,2A ⎛--⎝⎭． 代入椭圆方程，得221112a b +=，① 又椭圆的离心率为222221b a -=由①②，得222,1a b ==，故椭圆的方程为2212x y +=．（2）设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ， 因为2OP AO =，所以()112,2P x y --．因为BP mBC =，所以()()121232322,2,x x y y m x x y y ----=--，即()()123212322,2,x x m x x y y m y y --=-⎧⎪⎨--=-⎪⎩于是32132112,12,mx x xm mmy y ym m-⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩．代入椭圆方程，得2221212212121m mx x y ym m m ma b--⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，(3)存在定圆M223x y+=在定圆M上任取一点00(,)T x y,其中2x≠±设过点00(,)T x y的椭圆的切线方程为00()y y k x x-=-即00y kx kx y=-+,将其与椭圆方程2212xy+=联立得:2220000(12)4()2()20k x k kx y x kx y+--++-+-=2222000016()8(12)[()1]0k kx y k kx y∆=-+-+-+-=整理得:2220000(2)210x k x y k y-++-=故过点00(,)T x y的椭圆的两条切线斜率12,k k分别是2220000(2)210x k x y k y-++-=的两解.故2220001222200011(3)21222y x xk kx x x----====----,所以两条切线垂直.当02x=±,显然存在两条互相垂直的切线.。

江苏省扬州中学高二年级开学考试高二数学2016．08一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．函数113x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间为 ．2．在ABC ∆中,若错误!＝错误!＝错误!,则ABC ∆的形状是_________三角形． 3．已知n m ,为直线,βα,为空间的两个平面,给出下列命题：①αα//,n n m m ⇒⎩⎨⎧⊥⊥;②n m n m //,//⇒⎪⎩⎪⎨⎧⊂⊂βαβα;③βαβα//,⇒⎩⎨⎧⊥⊥m m ;④n m n m //,⇒⎩⎨⎧⊥⊥ββ．其中的正确命题为 ．4．已知||2a =,||3b =，,a b 的夹角为60°，则|2|a b -= ． 5．数列{}n a 满足：2123()n a aa a n n N *⋅⋅⋅⋅⋅=∈，则通项公式是：n a = _ ____．6． 定义：区间[],()m n m n <的长度为n m -，已知函数12logy x=的定义域为[],,a b 值域为[]0,2,则区间[],a b 长度的最大值与最小值的差为 ．7．已知)(),(x g x f 均为R 上的奇函数且0>)x (f 解集为（4,10），0>)x (g 解集为（2，5），则0)()(>⋅x g x f 的解集为 ．8．设函数)0(sin >=ωωx y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,5ππ上是增函数,则ω的取值范围为 ____．9．已知()1,5x ∈，则函数2115y x x=+--的最小值为 ．10．设实数b y x ,,满足⎪⎩⎪⎨⎧+-≥≥≥-b x y x y y x ,,02若y x z +=2的最小值为3，则实数b 的值为 ．11．已知ABC ∆中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则ACBC AB AC BC BC AC ⋅++2的最大值为 ．12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AB 的中点，在面ABCD 中取一点F ，使1EF FC +最小，则最小值为__________． 13．设{}na 是等比数列，公比2=q ，nS 为{}na 的前n 项和，记)(1712*+∈-=N n a S S T n nn n ，设0n T 为数列{}n T 的最大值,则0n = ．14．当n 为正整数时，函数()N n 表示n 的最大奇因数,如(3)3,(10)5,N N ==⋅⋅⋅, 设(1)(2)(3)(4)...(21)(2)n n nSN N N N N N =+++++-+,则n S = ．二、解答题:（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15． (本题满分14分) 在ABC ∆中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且错误! ＝－错误!．(1）求角B 的大小；（2）若b ＝错误!，a ＋c ＝4，求ABC ∆的面积．16．（本题满分14分) 如图，在四棱锥ABCD P -中,BCAD //，且ADBC 2=,CDPB CD AD ⊥⊥,,点E 在棱PD上，且ED PE 2=．(1)求证:平面⊥PCD 平面PBC ； (2）求证：//PB 平面AEC ．17．(本题满分15分)设不等式⎪⎩⎪⎨⎧+-≤>>n nx y y x 30所表示的平面区域为n D ，记n D 内的整点个数为n a （n ∈*N ），（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)(1）求数列｛a n ｝的通项公式；(2）记数列｛a n ｝的前项和为S n ，且123-⋅=n nns T,若对于一切正整数n ,总有≤nT m,求实数m 的取值范围．18．（本题满分15分）如图，半径为1,圆心角为错误!的圆弧AB 上有一点C ．（1)若C 为圆弧AB 的中点，点D 在线段OA 上运动,求|错误!＋错误!|的最小值;(2）若D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，当C 在圆弧AB 上运动时,求错误!•错误!的取值范围．19．（本题满分16分）对于定义域为D 的函数)(x f y =，如果存在区间[m ，n ］⊆D ，同时满足:①)(x f 在［m ，n ］内是单调函数;②当定义域是[m ，n ]时,)(x f 的值域也是[m ，n ］．则称［m ，n ］是该函数的“和谐区间"． (1）证明:［0，1]是函数)(x f y ==2x 的一个“和谐区间"．（2）求证：函数xx g y 53)(-==不存在“和谐区间”．（3)已知：函数xa x a a x h y 221)()(-+==（∈a R ，0≠a )有“和谐区间"[m ，n ],当a 变化时，求出n ﹣m 的最大值．20． (本题满分16分）已知首项为1的正项数列{}na 满足221152n n n n a a a a +++<,n *∈N ． (1）若232a =，3a x =,44a =，求x 的取值范围;（2）设数列{}na 是公比为q 的等比数列,n S 为数列{}na 前n 项的和．若1122n n n S S S +<<,n *∈N ，求q 的取值范围； （3）若1a ,2a ,⋅⋅⋅，k a （3k ≥)成等差数列，且12120k a aa ++⋅⋅⋅+=，求正整数k 的最小值，以及k 取最小值时相应数列1a ，2a ，⋅⋅⋅，ka 的公差．扬州中学2016-2017高二第一学期开学考查(高二数学）2016．8 答案：1．(,0)-∞(亦可写成(,0]-∞) 2．等边 3．③④ 45．21(1)(2,)1n n n n N n *=⎧⎪⎨⎛⎫≥∈ ⎪⎪-⎝⎭⎩ 6．3 7．(5,4)(4,5)-- 8．(0,2]910．9411． 1213．414．423n +15.解：(1)由余弦定理知：cos B ＝错误!，cos C ＝错误!. 将上式代入错误!＝－错误!得：错误!·错误!＝－错误!，整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac 。

江苏省扬州中学2019-2020学年12月质量检测高一外语第一部分听力（共两节，满分30 分）第一节（共5小题；每小题1.5 分，满分7.5 分）听下面5 段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.What did the woman buy for her husband for Christmas?A.A book.B. A recorder.C. A watch.2.Where will the woman probably go first?A.To a school.B. To a friend’s house.C. To a library.3.Why does the woman suggest the shirt with long sleeves?A.It is lovely.B. It is warm.C. It is comfortable.4.Where are the speakers?A.In a garden.B. In a restaurant.C. In a supermarket.5.How does the woman feel when hearing the tickets were sold out?A.Angry.B. Excited.C. Disappointed.第二节（共15 小题；每小题1.5 分，满22.5 分）听下面 5 段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的 A、B、C 三个选项中选出最佳选项。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听第六段材料，回答第6、7 题。

6.Why won’t the woman wear her own hat?A.It is uncomfortable.B. It doesn’t fit her.C. It is old.7.What will the woman do?A.Try on her sister’s gloves.B. Buy a pair of boots.C. Change her jeans.听第七段材料，回答第8、9 题。

2016-2017学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．命题“?x＞0，”的否定为．
2．根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为．
3．如图，四边形ABCD是一个5×4的方格纸，向此四边形内抛撒一粒小豆子，则小豆子恰好落在阴影部分内的概率为．
4．抛物线y2=4x上横坐标为3的点P到焦点F的距离为．
5．将参加环保知识竞赛的学生成绩整理后画出的频率分布直方图如图所示，则图
中a的值为．
6．函数的图象在x=1处的切线方程为．
7．若双曲线的一条渐近线方程为，则m=．8．“a=3”
是“直线2x+ay+1=0和直线（a﹣1）x+3y﹣2=0平行”的条件．（填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”）
9．已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则m的。

2024—2025学年第一学期高二上10月自主学习效果评估数学试卷2024.10.08一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）A B. C. 或 D. 或2. 若圆与圆相切，则（）A. 6B. 3或6C. 9D. 3或93. 已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）A. B. C. D.4. 若点在圆内，则直线与圆C 的位置关系为（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定5. 圆心为，且与直线相切的圆的方程为（ ）A. B. C. D.6. 已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.7. 已知圆关于直线对称，则实数（ ）.()()2,02,3A B ､l ()1,2P AB l k 21k -≤≤112k -≤≤12k ≤-1k ≥2k ≤-1k ≥()2221:(4)0O x y r r ++=>222:(2)9O x y -+=r =1:10l x y -+=2:210l x y --=1l 2l 3450x y +-=3410x y --=3410x y -+=4310x y --=4310x y -+=(),P a b221Cx y +=：1ax by +=(2,1)M -2+1=0x y -22(2)(1)5x y -+-=22(2)(1)5x y -++=22(2)(1)25x y -++=22(2)(1)25x y -+-=224x y +=y x b =+b ()2,2-(()1--()1,1-22:330C x y mx y +-++=:0l mx y m +-=m =A 1或 B. 1 C. 3 D. 或38. 若圆与圆交于两点，则的最大值为（ ）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 若直线与圆交于两点，则（ ）A. 圆的圆心坐标为B. 圆的半径为3C. 当时，直线倾斜角为D. 的取值范围是10. 已知点在上，点，，则（ ）A. 点到直线的距离最大值是B. 满足的点有2个C. 过直线上任意一点作的两条切线，切点分别为，则直线过定点D. 的最小值为11. 设直线系（其中均为参数，），则下列命题中是真命题的是（）A. 当时，存在一个圆与直线系中所有直线都相切B. 当时，若存在一点，使其到直线系中所有直线的距离不小于1，则C. 存在，使直线系中所有直线恒过定点，且不过第三象限D. 当时，坐标原点到直线系中所有直线的距离最大值为1三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分..的3-1-22:(cos )(sin )1(02π)M x y θθθ-+-=≤<22:240N x y x y +--=A B ､tan ANB ∠344543:2cos 0l x y θ-⋅=22:10E x y +--=,A B E ()-E 1cos 2θ=l π4AB ⎡⎢⎣P 22:4O x y +=e ()3,0A ()0,4B P AB 125AP BP ⊥P AB O e ,M N MN 4,13⎛⎫ ⎪⎝⎭2PA PB +:cos sin 1m n M x y θθ+=,,m n θ{}02π,,1,2m n θ≤≤∈1,1m n ==M 2,1m n ==(),0A a M 0a ≤,m n M m n =M12. 已知直线，圆，写出满足“对于直线上任意一点，在圆上总存在点使得”的的一个值______．13. 已知二次函数与轴交于两点，点，圆过三点，存在一条定直线被圆截得弦长为定值，则该定值为__________.14. 如图，点C 是以AB 为直径的圆O 上的一个动点，点Q 是以AB 为直径的圆O 的下半个圆（包括A ，B 两点）上的一个动点，，则的最小值为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知直线与直线．（1）若，求m 的值；（2）若点在直线上，直线过点P ，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程．16. 已知：及经过点的直线.（1）当平分时，求直线的方程；（2）当与相切时，求直线的方程.17. 如图，已知，直线.（1）若直线等分的面积，求直线的一般式方程；（2）若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）､（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程.的:1l x my =--22:6890O x y x y ++++=l A O B π2ABO ∠=m ()()223411y x m x m m =+---∈R x ,A B ()1,3CG ,,A B C l G ,3,2PB AB AB PB ⊥==1)3AP BA QC +⋅（()1:280l m x my ++-=2:40,R l mx y m +-=∈12l l //()1,P m 2l l l C e ()()22124x y -+-=()1,1P --l l C e l l C el (()(),0,0,12,0A BC (():20l k x y k k +--=∈R l ABC Vl (2,P P BC K AC I P PK18. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.（1）求圆的标准方程；（2）若直线与圆交于两点，当数的值；（3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值.19. 在数学中，广义距离是泛函分析中最基本概念之一．对平面直角坐标系中两个点和，记，称为点与点之间的“距离”，其中表示中较大者．（1）计算点和点之间的“距离”；（2）设是平面中一定点，．我们把平面上到点的“距离”为的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以为半径的“圆”．求以原点为圆心，以为半径的“圆”的面积；（3）证明：对任意点．的M 340x -+=(M x M ()()():21174l m x m y m m +++=+∈R M ,P Q PQ =m M x M ,A B O ,OA OB 8x =,C D ,OAB OCD V V 12,S S 12S S ()111,P x y ()222,P x y 1212121212max ,11tx x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭12t PP 1P 2P t -{}max ,p q ,p q ()1,2P ()2,4Q t -()000,P x y 0r >0P t -r 0P r t -O 12t -()()()111222333131223,,,,,,t t t P x y P x y P x y PP PP P P ≤+2024—2025学年第一学期高二上10月自主学习效果评估数学试卷2024.10.08一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】ABC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】1（答案不唯一）【13题答案】【14题答案】【答案】四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1） （2）或【16题答案】【答案】（1） （2）或.【17题答案】【答案】（1； （2）.【18题答案】【答案】（1） （2）. （3）.【19题答案】【答案】（1）； （2）4；（3）证明见解析.3--1m =-10x y -+=20x y -=3210x y -+=1x =-51270x y --=170y +-=2100x -=22(4)16x y -+=23m =-1423。

2017届扬州中学高三数学月考卷 2017.12第I 卷(必做题 共160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上． 1．已知复数i zz=-+11，则z 的实部为＿＿▲＿＿． 2．如图是一次青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为12,a a ，则12,a a 的大小关系是______▲_______(填12a a >，21a a >，12a a =)3．命题2000:,210p x R x x ∃∈++≤是 ▲ 命题（选填“真”或“假”）．4．若长方体相邻三个侧面的面积分别是2，3，6，则该长方体的体积是 ▲ ． 5．已知圆C ：22680x y x +-+=，若直线y kx =与圆C 相切，且切点在第四象限，则k =＿▲＿＿＿．6．已知()f x 为奇函数，当0x <时，()2x f x e x =+，则曲线()y f x =在1x =处的切 线斜率为 ▲ ． 7．函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移___▲______个单位长度得到．8．已知直线,,l m 平面,,βα且α⊥m ，β⊂l ，给出下列命题：①若βα//，则l m ⊥；②若l m ⊥，则βα//；③若βα⊥，则l m //；④若l m //，则βα⊥.其中正确的命题是_____▲_____________． 9．已知点(,)P x y 满足01,0 2.x x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩则点(,)Q x y y +构成的图形的面积为＿＿▲＿＿．10．以抛物线218y x =的焦点为圆心，且与双曲线2213y x -=的渐近线相切的圆的方程是___▲___．11．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC的值为 ▲ ．12．对任意x ∈R ，函数()f x 满足21(1)()[()]2f x f x f x +=-+，设OFEDCBA)()]([2n f n f a n -=，数列}{n a 的前15项的和为3116-，则(15)f =＿▲＿＿＿＿． 13．若实数x ，y 满足22224444x xy y x y -++=，则当2x y +取得最大值时，32x y的值为▲ ．14．已知等差数列{}n a 首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 首项为b ，公比为a ，其中,a b 都是大于1的正整数，且1123,a b b a <<，对于任意的*n N ∈，总存在*m N ∈，使得3m n a b +=成立，则55a b +=___▲___.二、解答题：(本大题6小题，共90分) 15．(本题满分14分)在锐角ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、,c 向量()()3,s i n ,c o s ,1-==B n B m ,且m n ⊥.(1)求角B 的大小; (2)若ABC ∆面积为332,2253b ac -=,求,a c 的值.16．(本题满分14分)在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，,AC BD O 与交于F ABCD ，底面⊥EC 为BE 的中点．(1)求证：DE ∥平面ACF ； (2)若2,AB CE =在线段EO 上是否存在点G ，使C G B D E ⊥平面？若存在，求出EGEO的值，若不存在，请说明理由．17．(本题满分14分)如图所示，把一些长度均为4米（PA ＋PB ＝4米）的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐蓬，根据人们的生活体验知道：人在帐蓬里“舒适感”k 与三角形的底边长和底边上的高度有关，设AB 为x ，AB 边上的高PH 为y ，则22x y k x y+=+，若k 越大，则“舒适感”越好。

2015-2016学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．（5分）已知命题p：∃x∈R，e x＜0，则¬p是．2．（5分）命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为命题．（填“真”、“假”）3．（5分）若椭圆+=1的一个焦点坐标为（1，0），则实数m的值等于．4．（5分）“x2＜1”是“0＜x＜1”成立的条件．（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写）5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是．6．（5分）与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线的标准方程为．7．（5分）设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是．①若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或l∥α②若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α③若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β8．（5分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为．9．（5分）已知点A是椭圆+=1（a＞b＞0）上一点，F为椭圆的一个焦点，且AF⊥x轴，|AF|=c（c为椭圆的半焦距），则椭圆的离心率是．10．（5分）若F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且|PF1|•|PF2|=64，则∠F1PF2=．11．（5分）点P（x，y）为椭圆+y2=1上的任意一点，则x+3y的最大值为．12．（5分）如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米，滴管内液体忽略不计．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则每分钟应滴下滴．13．（5分）在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，SA=2，则此三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为．14．（5分）如图所示，A，B，C是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）设命题，命题q：关于x的方程x2+x ﹣a=0有实根．（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，求a的取值范围．16．（14分）如图：已知正方形ABCD的边长为2，且AE⊥平面CDE，AD与平面CDE所成角为30°．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求三棱锥D﹣ACE的体积．17．（14分）已知命题p：点M（1，3）不在圆（x+m）2+（y﹣m）2=16的内部，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”．（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．18．（16分）已知椭圆C：两个焦点之间的距离为2，且其离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若F为椭圆C的右焦点，经过椭圆的上顶点B的直线与椭圆另一个交点为A，且满足，求△ABF外接圆的方程．19．（16分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，点M在AB上，且AM：MB=1：2，E为PB的中点．（1）求证：CE∥平面ADP；（2）求证：平面PAD⊥平面PAB；（3）棱AP上是否存在一点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=x与椭圆E相交于A，B两点，AB=，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．（1）求a，b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值．2015-2016学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．（5分）已知命题p：∃x∈R，e x＜0，则¬p是∀x∈R，e x≥0．【解答】解：∵命题p：∃x∈R，e x＜0是特称命题，∴￢p：∀x∈R，e x≥0，故答案为：∀x∈R，e x≥02．（5分）命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为假命题．（填“真”、“假”）【解答】解：命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为：“若a＜b，则am2＜bm2”，当m=0时，显然不成立，故为假命题；故答案为：假3．（5分）若椭圆+=1的一个焦点坐标为（1，0），则实数m的值等于4．【解答】解：椭圆+=1的一个焦点坐标为（1，0），可得，解得m=4．故答案为：4．4．（5分）“x2＜1”是“0＜x＜1”成立的必要不充分条件．（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写）【解答】解：由x2＜1⇔﹣1＜x＜1推不出0＜x＜1，由0＜x＜1⇒x2＜1，∴“x2＜1”是“x＜1”的必要不充分，故答案为：必要不充分．5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是l∥A1C1．【解答】解：因为A1C1∥AC，A1C1不包含于平面AB1C，AC⊂平面AB1C，所以A1C1∥平面AB1C，又因为A1C1在底面A1B1C1D1内，平面AB1C∩底面A1B1C1D1=直线l，根据线面平行的性质定理，得l∥A1C1．故答案为：l∥A1C1．6．（5分）与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线的标准方程为．【解答】解：设双曲线方程为∵过点（2，2），∴λ=3∴所求双曲线方程为故答案为7．（5分）设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是②．①若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或l∥α②若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α③若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β【解答】解：①．若l⊥m，m⊥α，则l⊂α或l∥α，故①错；②由面面垂直的性质定理知，若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α，故②对；③若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交，或l与m异面，故③错；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β或l∥β或l⊂β，或l与β相交．故④错．故答案为：②8．（5分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为．【解答】解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以母线长为l=2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr=2π，所以底面圆半径为r=1，所以该圆锥的高为h===．故答案为：．9．（5分）已知点A是椭圆+=1（a＞b＞0）上一点，F为椭圆的一个焦点，且AF⊥x轴，|AF|=c（c为椭圆的半焦距），则椭圆的离心率是．【解答】解：如图，由+=1（a＞b＞0），得，∴，取x=c，可得，∵|AF|=c，∴|AF|2=，整理得：c4﹣3a2c2+a4=0，即e4﹣3e2+1=0，解得（舍）或，∴．故答案为：．10．（5分）若F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且|PF1|•|PF2|=64，则∠F1PF2=．【解答】解：由，得a2=9，b2=16，∴c=5，∴|F1F2|=2c=10，设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|=6，∴，∵|PF1||PF2|=64，∴，∴cos∠F1PF2==，∴∠F1PF2=．故答案为：．11．（5分）点P（x，y）为椭圆+y2=1上的任意一点，则x+3y的最大值为3．【解答】解：椭圆+y2=1，设x=3cosx，y=sinx∴x+3y=3cosx+3sinx=3sin（x+）≤3．∴最大值为3．故答案为：．12．（5分）如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米，滴管内液体忽略不计．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则每分钟应滴下75滴．【解答】解：设每分钟滴下k（k∈N*）滴，则瓶内液体的体积=156πcm3，k滴球状液体的体积=mm3=cm3，∴156π=×156，解得k=75，故每分钟应滴下75滴．故答案为：75．13．（5分）在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，SA=2，则此三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为36π．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC，又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC，∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，∴2R=2 ，∴R=3，∴S=4πR2=4π•（3）2=36π，故答案为：36π．14．（5分）如图所示，A，B，C是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是．【解答】解：由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c，设A（m，n），则m2+n2=c2，又=1，解得m=，n=，即有A（，），B（﹣，﹣），又F（c，0），由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，可设C（x，y），即有=﹣1，又（c+）2+（）2=（x﹣c）2+y2，可得x=，y=﹣，将C（，﹣）代入双曲线方程，化简可得（b2﹣a2）=a3，由b2=c2﹣a2，e=，得（2e2﹣1）（e2﹣2）2=1，可得e=．故答案为：．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）设命题，命题q：关于x的方程x2+x ﹣a=0有实根．（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，求a的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，故p为真命题时a的取值范围为[0，3]．（2）故q为真命题时a的取值范围为由题意得，p与q一真一假，从而当p真q假时有a无解；当p假q真时有∴．∴实数a的取值范围是．16．（14分）如图：已知正方形ABCD的边长为2，且AE⊥平面CDE，AD与平面CDE所成角为30°．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求三棱锥D﹣ACE的体积．【解答】证明：（1）正方形ABCD中，AB∥CD，又AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB∥平面CDE．（2）因为AE⊥平面CDE，AD与平面CDE所成角为30°∴∠ADE=30°∴AE=1因为AE⊥平面CDE，且CD⊂平面CDE，所以AE⊥CD，又正方形ABCD中，CD⊥AD，且AE∩AD=A，AE，AD⊂平面ADE，所以CD⊥平面ADE，又DE⊂平面ADE，所以CD⊥DE．∵．∴．17．（14分）已知命题p：点M（1，3）不在圆（x+m）2+（y﹣m）2=16的内部，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”．（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．【解答】解：（1）若p为真：（1+m）2+（3﹣m）2≥16解得m≤﹣1或m≥3，若q为真：则解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4若“p且q”是真命题，则，解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4；（2）若s为真，则（m﹣t）（m﹣t﹣1）＜0，即t＜m＜t+1，由q是s的必要不充分条件，则可得{m|t＜m＜t+1}{m|﹣4＜m＜﹣2或m＞4}，即或t≥4，解得﹣4≤t≤﹣3或t≥4．18．（16分）已知椭圆C：两个焦点之间的距离为2，且其离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若F为椭圆C的右焦点，经过椭圆的上顶点B的直线与椭圆另一个交点为A，且满足，求△ABF外接圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：，…（1分）∴，∴，…（4分）所以椭圆C的标准方程是．…（5分）（Ⅱ）由已知可得B（0，1），F（1，0），…（6分）设A（x0，y0），则，∵，∴x0﹣（y0﹣1）=2，即x0=1+y0，…（8分）代入，得：或，即A（0，﹣1）或．…（10分）当A为（0，﹣1）时，|OA|=|OB|=|OF|=1，△ABF的外接圆是以O为圆心，以1为半径的圆，该外接圆的方程为x2+y2=1；…（12分）当A为时，k BF=﹣1，k AF=1，所以△ABF是直角三角形，其外接圆是以线段BA为直径的圆．由线段BA的中点以及可得△ABF的外接圆的方程为．…（14分）综上所述，△ABF的外接圆的方程为x2+y2=1或．19．（16分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，点M在AB上，且AM：MB=1：2，E为PB的中点．（1）求证：CE∥平面ADP；（2）求证：平面PAD⊥平面PAB；（3）棱AP上是否存在一点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：取棱AP中点F，连接DF，EF．∵EF为△PAB的中位线，∴EF∥AB，且∵CD∥AB，且，∴EF∥CD，且EF=CD，∴四边形EFDC为平行四边形，∴CE∥DF∵DF⊂平面ADP，CE⊂平面ADP，∴CE∥平面ADP（2）证明：由（1）可得CE∥DF∵PC=BC，E为PB的中点，∴CE⊥PB∵AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB⊂平面ABCD ∴AB⊥平面PBC又∵CE⊂平面PBC，∴AB⊥CE又∵CE⊥PB，AB∩PB=B，AB，PB⊂平面PBC，∴CE⊥平面PAB∵CN∥DF，∴DF⊥平面PAB又∵DF⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB；（3）解：存在，．证明：取BC中点O，连结AO交MD于Q，连结NQ，在平面ABCD中由平几得，∴∥OP．∵O为等腰△PBC底边上的中点，∴PO⊥BC，∵PBC⊥底面ABCD，PO⊂平面PBC，平面PBC∩平面ABCD=BC，∴PO⊥平面ABCD，∴NQ⊥平面ABCD，∵NQ⊂平面DMN，∴平面DMN⊥平面ABC．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=x与椭圆E相交于A，B两点，AB=，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．（1）求a，b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值．【解答】解：（1）因为e==，即c2=a2，即a2﹣b2=a2，则a2=2b2；故椭圆方程为+=1．由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限，由解得A（b，b）；又AB=4，所以OA=2，即b2+b2=20，解得b2=12；故a=2，b=2；（2）证明：由（1）知，椭圆E的方程为，从而A（4，2），B（﹣4，﹣2）；①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），显然k1≠k2；，所以k CB=﹣；同理k DB=﹣，于是直线AD的方程为y﹣2=k2（x﹣4），直线BC的方程为y+2=﹣（x+4）；∴，从而点N的坐标为；用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为；∴，即直线MN的斜率为定值﹣1；②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（4，﹣2）；仍然设DA的斜率为k2，由①知k DB=﹣；此时CA：x=4，DB：y+2=﹣=﹣（x+4），它们交点M（4，）；BC：y=﹣2，AD：y﹣2=k2（x﹣4），它们交点N（，﹣2），从而k MN=﹣1也成立；由①②可知，直线MN的斜率为定值﹣1．。