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考虑年龄结构的人口模型（leslie模型）考虑年龄结构的人口模型(Leslie模型)对Logistic模型的批评意见除了实际统计时常采用离散变化的时间变量外，另一种看法是种群增长不应当只和种群总量有关，也应当和种群的年龄结构有关。
不同年龄的个体具有不同的生育能力和死亡率，这一重要特征没有在Logistic模型中反映出来。
基于这一事实，Leslie在20世纪40年代建立了一个考虑种群年龄结构的离散模型。
由于男、女性人口(或雌、雄性个体)通常有一定的比例，为了简便起见，建模时可以只考虑女性人数，人口总量可以按比例折算出来。
将女性按年龄划分成m+1个组，即0,1,…,m组，例如，可5岁(或10岁)一组划分。
将时间也离散成间隔相同的一个个时段，即5年(或10年)为一个时段。
记j时段年龄在i组中的女性人数为N(i,j)，b为i组每一i妇女在一个时段中生育女孩的平均数，为i组女性存活一时段到下一时段升入i+1组的人pi数所占的比例(即死亡率d=1-)同时假设没有人能活到超过m组的年龄。
实际上可以这pii样来理解这一假设，少量活到超过m组的妇女(老寿星)人数可以忽略不计，她们早已超过了生育期，对人口总量的影响是微小的而且是暂时性的，对今后人口的增长和人口的年龄结构不产生任何影响，假设b不随时段的变迁而改变，这一假设在稳定状况下是合理的。
、ipi如果研究的时间跨度不过于大，人们的生活水平、整个社会的医疗条件及周围的生活环境没有过于巨大的变化，b、事实上差不多是不变的，其值可通过统计资料估算出来。
pii根据以上假设可以得出以下j+1时段各组人数与j时段各组人数之间的转换关系:N(0,j，1),bN(0,j)，bN(0,j)，？，bN(m,j),01m,N(1,j，1),pN(0,j),0 ,？？,,N(m,j，1),pN(m,1,j)m,1,b,p,0显然，。
jiN(0,j)N(0,j，1)，，，，,,,,？？N,N,简记， jj，1,,,,,,,,N(m,j)N(m,j，1)，，，，并引入矩阵bb？bb，，01m,1m,,p0？000,,,,A,0p？00 1,,,,,,00？p0m,1，，则方程组(4.28)可简写成N,ANj，1j矩阵A被称为Leslie矩阵(或射影矩阵)，当矩阵A与按年龄组分布的初始种群向量TN=(N(0,0)， N( 1,0)，… ，N(m,0))一经给定时，其后任一时段种群按年龄分布的向量即0可用(4.29)式迭代求得1j， N,AN,？,AN10j，j人口(或种群)的增长是否合理不仅仅取决于人口的总量是否过多或过少，还取决于整个的年龄结构是否合理即各年龄段人口数的比例是否恰当。
L e s l i e矩阵模型预测人口4.1Leslie矩阵模型的基本概念4.1.1参数定义[11]我们将中国人口按年龄段分成数段，因此当段数到达一定大小的时候就能包含全部年龄层的人。
再将时间序列也分割成数段（一年为一段即可研究年度人口总数），得到：——在时间周期k第i个年龄段的人数注：这里的；一定存在整数n 使得表示的是年龄最高的人的人数，如“100岁以上的人”的数量。
其他关于人口的参数：1）——在时间周期k第i年龄组的女性的生育率，即女性生的孩子的人数与女性数的比例，我们也称其为年龄别生育率2）——在时间周期k第i年龄组的死亡率，即死亡人数除以这一年龄组总人数，我们也称其为年龄别死亡率4.1.2Leslie矩阵1.转移过程在一个时间周期内里的人数转移到里，考虑死亡的人数我们得到如下式子：11(1)()(1()),1,2,k k kx i x i d i i n--+=-=(4-1)下面来讨论的情况，即新生儿人数，在这里我们做了一个假设，女性人口大致占总人口的一半（通过以往的人口普查可以得到证实），因此在时间周期k的第个i年龄段的女性人数为1()2kx i，则可以通过女性的年龄别生育率预测第一个递推关系如下：1111()()()2nk k kix i b i x i--==∑(4-2) 2.人口发展模型111111111111(0)(1)(1)()22221(0)00001(1)0001(1)0k k k kkk kkkb b b n b ndx xdd n--------⎛⎫-⎪⎪-⎪=⨯⎪-⎪⎪⎪--⎝⎭(4-3) 其中(0)(1)()k k k k x x x x n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1111(0)(1)()k k k k x x x x n ----⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(4-4)为了化简，我们记：11111111111(0)(1)(1)()22221(0)00001(1)00001(1)0k k k k k k k b b b n b n d L d d n -------⎛⎫- ⎪⎪- ⎪=⎪- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭(4-5)则有简写：1k k x L x -=(4-6)则有递推公式:10k kk x L x L x -==(4-7)通过这种方法，我们把人口预测问题的重点落到了一个n 维矩阵运算上。
leslie模型matlab程序Leslie 模型是一种用于描述种群动态变化的数学模型，特别被广泛应用于生态学和人口学领域。
本文将介绍如何使用 MATLAB 编程实现 Leslie 模型，并提供一个完整的 MATLAB 程序。
Leslie 模型是由生物学家 Patrick Leslie 在 1945 年提出的，它利用年龄结构矩阵来描述一个种群中不同年龄段的个体数量。
该模型假设种群的年龄结构在各个时间段内保持不变，并且个体之间的交互仅通过生育和死亡来实现。
在 Leslie 模型中，种群的每个年龄段都有一个特定的存活率和生育率。
假设一个种群的年龄段从 0 到 k，种群的存活率可以用一个长度为 k+1 的向量 s 表示，其中 s(i) 表示年龄段 i 的存活率。
种群的生育率可以用一个长度为 k 的向量 b 表示，其中 b(i) 表示年龄段 i 的生育率。
为了计算种群在下一个时间段的年龄结构，我们需要将当前时间段的年龄结构向量乘以一个称为 Leslie 矩阵的矩阵 A。
Leslie 矩阵的第一行是生育率向量 b，其余行是存活率向量 s，只是向上移动了一格。
因此，Leslie 矩阵的维度为(k+1)×k。
现在我们将以 MATLAB 编程实现 Leslie 模型。
首先，我们需要确定种群的年龄段数目和初始年龄结构向量。
这里假设种群的年龄段从 0 到 9，初始年龄结构向量为一个10×1 的列向量，每个元素都为 100。
```matlabk = 9; % 年龄段数目x0 = zeros(k+1, 1); % 初始年龄结构向量x0(1) = 100; % 年龄 0 的个体数量为 100```接下来，我们需要定义存活率向量和生育率向量。
对于这里的示例，我们假设存活率向量是一个长度为 10 的向量，并且每个年龄段的存活率都为 0.8。
生育率向量是一个长度为 9 的向量，并且每个年龄段的生育率都为 2。
1提出：Leslie 在上世纪40年代为描述女性人口变化规律提出的矩阵。
矩阵P= ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00000000000001101210n n n P P P F F F F F ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ，其中 1,...,,0,0;,...,1,0,0-=>=≥n i i P n j F i j 称矩阵P 为Leslie 矩阵。
注1：特点：Leslie 矩阵的特点是：非零元只出现在第一行和次对角线上。
2. 基本概念和性质基本概念：设矩阵的特征值为n λλλ,...,,10，将它们的模按从大到小的顺序排列（不妨设为）：n λλλ≥≥≥...10，则称0λ为矩阵的主特征值，如果10λλ>，则称0λ为严格主特征值。
Leslie 矩阵P 的几个基本性质：（1）特征多项式为： )...(...)()()(110221011001n n N n n n F P P P F P P F p F p ---+-----=λλλλλ 它有唯一一个正的单特征值0λ（重数为1），且为主特征值。
(2) 如果λ为L 矩阵P 的一个非零特征值，则为与λ对应的一个特征向量。
(3) 若L 矩阵第一行有两个相临元素非零，则它的唯一正特征根0λ为严格主特征值。
(4)若m k k k ,...,,21是L 矩阵中第一列中非零元素所处的列数，且m k k k ,...,,21互素，则0λ为严格主特征值。
3. Leslie 矩阵基本算法 将生物种群所有成员按年龄大小等间隔地划分为n 个年龄组，比如每10岁或每5岁或1岁为一个年龄组，与年龄的离散化相对应，时间也离散为时段，并且时段的间隔与年龄区间大小相等，即以 每10岁或每五岁为一个时段。
种群是通过雌性个体的繁殖而增长的， 所以用雌性个体数量的变化为研究对象比较方便，下面提到的种群数量仅指其中的雌性。
设时段k 第i 个年龄组的成员数量为 ()i x k ,0,1,2,,i=1,2,,n k =L L ，第 i 年龄组的繁殖率为 i b ，即第i 年龄组每个雌性个体在一个时段内平均繁殖的数量，第 i 年龄组的存活率为i s ，即第 i 年龄组一个时段内非死亡人数与总数之比。
Leslie素矩阵的一个充要条件刘炎;何泽荣;王海涛【摘要】Leslie矩阵模型在带年龄结构的种群动力学中具有重要地位,研究成果表明当Leslie矩阵为素矩阵时,目标种群将趋向一稳定的年龄分布.该文给出了一个无需通.过烦琐的矩阵幂运算来判定Leslie矩阵是素矩阵的充分必要条件,它为Leslie 模型的实际应用提供了很大方便.【期刊名称】《杭州电子科技大学学报》【年(卷),期】2010(030)001【总页数】4页(P54-57)【关键词】素矩阵;种群动力学;等同;关联矩阵【作者】刘炎;何泽荣;王海涛【作者单位】杭州电子科技大学运筹与控制研究所,浙江,杭州,310018;杭州电子科技大学运筹与控制研究所,浙江,杭州,310018;杭州电子科技大学运筹与控制研究所,浙江,杭州,310018【正文语种】中文【中图分类】O175.10 引言Leslie矩阵模型在具有离散年龄结构的种群动力学中处于基础地位[1]。
将目标种群的最大成活年龄区间分成n个相等的子区间;同时把从t0开始的时间也按与年龄子区间相等的长度加以划分,然后将这两类子区间分别从小到大依次编号。
用xij(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n,…);表示在第j个时间段内、年龄位于第i段的种群个体数量。
假设种群规模的变化只决定于时间和年龄,而忽略密度制约因素。
设bi(i=1,…,n-1;0＜bi≤1)是年龄处于第i段的个体能活到第i+1段的概率,ai(i=1,2,…,n;ai≥0)是年龄为i段上的每一个个体在一个时间段内平均生育下一代的数量。
那么可将该目标种群的Leslie矩阵模型表示为,其中向量,A为标准Leslie矩阵。
如果矩阵A为素矩阵,则该种群年龄分布将趋于稳定分布,同时该目标种群的动力学行为具有一系列重要性质[2-4]。
因此给定某目标种群的Leslie矩阵A后,如何来判断矩阵A为素矩阵的问题,对于研究该种群的动力学行为具有重要意义。
基于Leslie矩阵模型的人口数量的预测摘要：本文主要研究了“全面二孩”政策下我国未来人口数量的变化，通过Leslie 矩阵预测模型，预测我国未来30年的人口数量的变化。
得到2015-2050年我国人口总数呈现先上升后缓慢下降的结果。
关键词：Leslie矩阵预测模型；中国人口预测对于人口预测问题，人口的变化除了与出生率、死亡率密切相关之外,还和性别比例、年龄结构有巨大联系。
下面结合出生率、死亡率、性别比例和年龄结构对接下来30年的人口数量的变化进行分析，并将预测出的中国未来30年的人口数量。
Leslie模型是以人口的年龄与性别为基数的离散型矩阵模型，用于中长期人口预测，其目的是为了提高模型的全面性和可靠性。
本文建立Leslie模型对中国未来30年的人口数量进行预测。
1.参数定义我们约定忽视婴儿死亡率，将中国人口按年龄段分为数段，因此当段数达到一定大小的时候就能包含全部年龄层的人，这里将5岁分为一个年龄段，共分为21段，再将时间序列也分割成数段，此处以一年为一段来研究未来30年每年的人口结构，得到：——在t年的第i个年龄段的人数i=1,2,3,…,21这里的表示的是最低年龄段的人数，即0-5岁的人数，存在整数21使得表示的是年龄最大的人的人数，即“100岁以上的人的数量”。
其他参数：：表示第i年龄段上的个体在一年内的繁殖率，i=1，2， (21)：表示第j年龄段上的个体在一年以内的存活率,j=1，2， (20)假设j＞n-1时，为0，即假设当人超过100岁后全部死亡，则：：表示第t年的时候，反映各年龄段人口分布的列向量；：第t年时，第i年龄段上的个体数量；：第i年龄段上的妇女的年生育率；：i岁人口的女性比例。
2.模型建立建立Leslie矩阵令，得到Leslie人口发展模型：则人口发展模型的矩阵化简式为：与矩阵模型等价的联合方程为：3.参数确定由于中国每年的移民数量过少，对整体的影响可以忽略不计，故假设我国为一个封闭的系统，第t+1年的i+1岁的人口数量是由第t年的i岁的人口减去该年i岁的死亡人口而得。
Leslie人口模型模型三、Leslie人口模型在短时期内男女性别比通常是不会发生变化的，因此讨论总人口的发展变化趋势与只讨论女性人口数量的变化情况意义是相同的。
在该模型中，我们将人口年龄离散化，大小等间隔地分成h个年龄组，相应地，将时间离散化为时段，每十年为一个时段。
k,0,1,2xk()记时段k第i个年龄组的女性人口总数为， ih，且该年龄组的女性生育率(该年龄组的女性在1个时段内xkbxk(1)()，,,ii1i,1bsd,,1的平均生育数量)为，该年龄组的死亡率为d，则相应的存活率为，iiiisd,,1在稳定的环境下存活率与生育率基本上是不随时间的变化而改变biii sd,,1b的，，因此我们将存活率与生育率看作是常数。
则人口的变化情况满iii足以下条件:第k+1时段，第一个年龄组的女性人口数量是时段k各个年龄段生育的人口数之和，即h (6) xkbxk(1)()，,,ii1i,1时段k+1第i+1个年龄段的女性人口数量是k时段第i个年龄组存活下来的女性人口数量，即xksxkih(1)(),1,2,，,, (7) iii，1记时段k女性人口数量按年龄组的分布向量为T (8) Xkxkxkxk()((),(),,()),129XkLXk(1)()，, 综合上述(6)(7)(8)得:其中由出生率和存活率构成的Leslie矩阵为bbbb,,1289,,s000,,1,, L,000s,,2,,0,,,,000s8,,X(0)当矩阵L和按照年龄组的初始分布向量已知时，可以预测任意时段k的女性人口按年龄组的分布情况:kXkLXk()(0),0,1,2,,, (9) 稳定状况分析:01,1,2,9,,,si根据和的定义，矩阵L中的元素满足: sbiiib,0，且至少有一个 xksxkih(1)(),1,2,，,,iiii，1定理1:L矩阵有唯一的正特根值，且它是单根，对应的特征向量为 ,,11ssssssn*T11212 ,X(1,,,,)n2,,,111k,2,3,,9且L矩阵的其他n-1个特征值满足， ,,,,1kk定理2:若L矩阵第一行有两项顺次的元素都大于0，则，bb,,,,ii，11kXk()且由(8)式确定的满足xk()*bs ，其中c是由，及X(0)决定的常数。
本节将以种群为例，考虑种群的年龄结构，种群的数量主要由总量的固有增长率决定，但是不同年龄结构动物的繁殖率和死亡率有着明显的不同，为了更精确地预测种群的增长，在此讨论按年龄分组的种群增长预测模型，这个向量形式的差分方程是Leslie 在20世纪40年代用来描述女性人口变化规律的，虽然这个模型仅考虑女性人口的发展变化，但是一般男女人口的比例变化不大。
假设女性最大年龄为s 岁，分s 岁为n 个年龄区间：
n i n is n
s i t i ,,2,1,,)1(
年龄属于i t 的女性称为第i 组，设第i 组女性人口数目为
),,2,1(n i x i ，称T n x x x x ),,,(21 为女性人口年龄分布向量，考虑x 随
k t 的变化情况，每隔
n
s
年观察一次，不考虑同一时间间隔内的变化（即将时间离散化）。
设初始时间为0t ，n
ks
t t k 0时间的年龄分布向量为
T k n k k k x x x x ),,,()()(2)(1)( ，这里只考虑由生育、老化和死亡引起的人口
演变，而不考虑迁移、战争、意外灾难等社会因素的影响。
设第i 组女性的生殖率（已扣除女婴的死亡率）为i a （第i 组每位女性在n
s
年中平均生育的女婴数，0 i a ），存活率i b （第i 组女性在
n
s 年仍活着的人数与原来人数之比，10 i b ），死亡率i b 1，假设i a ，
i b 在同一时间间隔内保持不变，这个数据可由人口统计资料获得。
k t 时第一组女性的总数)(1k x 是1 k t 时各组女性（人数为n i x k i ,,2,1,)1( ）所生育的女婴的总数，可以由下式表示：
)
1()1(22)1(11)(1 k n n k k k x a x a x a x
k t 时第1 i 组（1 i ）女性人数)
(1k i x 是1 k t 时第i 组女性经
n
s
年存活下来的人数，可以由下式表示：
1,,2,1,1)(1 n i x b x k i
i k i 用矩阵将上两式表示为：
113
12111
21
12132100
0000000k n k k k n n n k n k k k x x x x b b b a a a a x x x x
记：
00
000
0001
2112
1
n n n b b b a a a a L
，
k n k k k k x x x x x 321)(， 则有 )0()
(x L x
k k
称L 为Leslie
矩阵，由上式可算出k t 时间各年龄组人口总数、人口
增长率以及各年龄组人口占总人口的百分比。
利用Leslie 模型分析人口增长，发现观察时间充分长后人口增长率和年龄分布结构均趋于一个稳定状态，这与矩阵L 的特征值和特征向量有关。
矩阵L 有唯一的单重正特征值1 ，对应的特征向量为：
T
n n b b b b b b x ),,,,
1(1
1
12121211
11
若1 是矩阵L 的正特征值，则L 的任一个（实的或者复的）特征值
都满足：
1
若矩阵L 的第一行有两个顺序元素0,1 i i a a ，则L 的正特征值是严格优势特征值这种要求在人口模型中是能保证的，所以L 矩阵必有严格优势特征值。
若矩阵L 有严格优势特征值1 ，对应特征向量为1x ，则：
11
)
(lim cx x k k k
这表明时间k t 充分长后，年龄分布向量趋于稳定，即各年龄组人数)(k i
x 占总数 n
i k i x 1
)(的百分比几乎等于特征向量1x 中相应分量占分量
总和的百分比。
同时k t 充分大后，人口增长率
)
()
()1(k i
k i k i x
x x 趋于11 ，或说11 时，
人口递增；11 时，人口递减；11 时，人口总数稳定不变。
例1 加拿大人口数量预测问题
为了研究加拿大的人口年龄结构，对加拿大的人口进行数据统计，1965年的统计资料如下表所示（由于大于50岁的妇女生育者极少，故只讨论0~50岁之间的人口增长问题）
表1 加拿大人口统计数据
分析：
由上表得到加拿大人口的Leslie 矩阵L 如下所示，求解特征方程，
098700.0000000000099184.0000000000099460.0000000
000099621.0000000000099694.0000000000099729.0000000000099802.0000000000099820.0000000000099651.000240.002826.010459.022259.036399.044791.028608.005861.000024.00
L 可以得到L 矩阵的特征值：0763.1 和特征向量：
T x ]2104.0,2294.0,2489.0,2694.0,2910.0,3141.0,3390.0,3656.0,3942.0,4257.0[
通过上述过程大家可以发现，一旦L 矩阵的维数过大，那么求解特征方程将是一个非常复杂的过程，运用matlab 求解程序如下：
clear all L=zeros(10,10); L(1,:)=[0,,,,,,,,,];
L(2,1)=;L(3,2)=;L(4,3)=;L(5,4)=;L(6,5)=; L(7,6)=;L(8,7)=;L(9,8)=;L(10,9)=; [v,d]=eig(L);
a1=d(1,1);
a2=v(:,1);
a3=v(:,1)./sum(v(:,1));
pie(a3)
legend('[0,5)','[5,10)','[10,15)','[15,20)','[20,25)','[25,30)','[30,35)','[35, 40)','[40,45)','[45,50)')
结果：
图1 加拿大人口结构示意图
由L矩阵的特性可知：当时间充分长后，年龄分布向量趋于稳定，即各年龄组人数)(k
x占总数的百分比几乎等于特征向量中相应分量占
i
分量总和的百分比。
如果加拿大妇女生育率和存活率保持1965年的状况，那么经过较长时间以后，50岁以内的人口总数每5年将递增%，由特征向量可算得各年龄组人口占总人口的比例如上图。
