Leslie矩阵

3.4 Leslie 矩阵模型本节将以种群为例，考虑种群的年龄结构，种群的数量主要由总量的固有增长率决定，但是不同年龄结构动物的繁殖率和死亡率有着明显的不同，为了更精确地预测种群的增长，在此讨论按年龄分组的种群增长预测模型，这个向量形式的差分方程是Leslie 在20世纪40年代用来描述女性人口变化规律的，虽然这个模型仅考虑女性人口的发展变化，但是一般男女人口的比例变化不大。

假设女性最大年龄为s 岁，分s 岁为n 个年龄区间：n i n is n s i t i ,,2,1,,)1( =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∆年龄属于i t ∆的女性称为第i 组，设第i 组女性人口数目为),,2,1(n i x i =，称T n x x x x ),,,(21 =为女性人口年龄分布向量，考虑x 随k t 的变化情况，每隔ns年观察一次，不考虑同一时间间隔内的变化（即将时间离散化）。

设初始时间为0t ，nkst t k +=0时间的年龄分布向量为T k n k k k x x x x ),,,()()(2)(1)( =，这里只考虑由生育、老化和死亡引起的人口演变，而不考虑迁移、战争、意外灾难等社会因素的影响。

设第i 组女性的生殖率（已扣除女婴的死亡率）为i a （第i 组每位女性在ns年中平均生育的女婴数，0≥i a ），存活率i b （第i 组女性在ns 年仍活着的人数与原来人数之比，10≤<i b ），死亡率i b -=1，假设i a ，i b 在同一时间间隔内保持不变，这个数据可由人口统计资料获得。

k t 时第一组女性的总数)(1k x 是1-k t 时各组女性（人数为n i x k i ,,2,1,)1( =-）所生育的女婴的总数，可以由下式表示：)1()1(22)1(11)(1---+++=k n n k k k x a x a x a xk t 时第1+i 组（1≥i ）女性人数)(1k i x +是1-k t 时第i 组女性经ns年存活下来的人数，可以由下式表示：1,,2,1,1)(1-==-+n i x b x k ii k i 用矩阵将上两式表示为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------1131211121121321000000000k n k k k n n n k n k k k x x x x b b b a a a a x x x x记：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--000000000121121n n n b b b a a a a L，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k n k k k k x x x x x 321)(， 则有 )0()(x L x k k =称L 为Leslie 矩阵，由上式可算出k t 时间各年龄组人口总数、人口增长率以及各年龄组人口占总人口的百分比。

复形上的拉普拉斯矩阵在复形上的拉普拉斯矩阵是一种重要的数学工具，它在图论、网络分析和物理学中都有广泛的应用。

它能够描述复形内部节点之间的连接关系，从而揭示出复杂系统的结构和动力学特征。

本文将从人类的视角出发，以生活中的场景为例，向读者介绍拉普拉斯矩阵的概念和应用。

第一部分：引子在我们的日常生活中，我们经常会遇到各种各样的复杂系统，比如人际关系网络、电力系统、交通网络等等。

这些系统由无数个节点和连接构成，它们之间的关系错综复杂，难以捉摸。

而拉普拉斯矩阵就是一种用来描述这种复杂系统的工具。

第二部分：拉普拉斯矩阵的定义拉普拉斯矩阵是由图的邻接矩阵和度矩阵计算得到的。

邻接矩阵描述了节点之间的连接关系，而度矩阵则记录了每个节点的度数。

通过将邻接矩阵减去度矩阵，我们就可以得到拉普拉斯矩阵。

第三部分：拉普拉斯矩阵的性质拉普拉斯矩阵具有许多重要的性质，这些性质对理解和分析复杂系统非常有帮助。

比如，拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量可以告诉我们关于系统的稳定性、耦合强度和动力学行为等信息。

此外，拉普拉斯矩阵还可以用来计算系统的电流、热传导和扩散等物理量。

第四部分：拉普拉斯矩阵的应用拉普拉斯矩阵在各个领域都有广泛的应用。

在图论中，拉普拉斯矩阵可以用来划分图的连通分量、计算图的割集和最小割等。

在网络分析中，拉普拉斯矩阵可以用来计算网络的聚类系数、节点中心性和网络的小世界性等。

在物理学中，拉普拉斯矩阵可以用来模拟电路、热传导和量子力学等系统。

第五部分：结语通过对拉普拉斯矩阵的介绍，我们可以更好地理解和分析复杂系统。

无论是在科学研究中还是在实际应用中，拉普拉斯矩阵都发挥着重要的作用。

希望本文能够帮助读者更好地理解和应用拉普拉斯矩阵，并在解决实际问题中发挥作用。

让我们一起探索复杂系统的奥秘，为人类的进步贡献一份力量。

拉普拉斯矩阵特征向量拉普拉斯矩阵是图论中一种常用的矩阵表示方法，它与图的拓扑结构密切相关。

通过对拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量进行分析，可以揭示图的一些重要性质和结构信息。

本文将从理论和应用两个方面介绍拉普拉斯矩阵的特征向量。

一、理论基础拉普拉斯矩阵是图论中的一种重要工具，用于描述图的拓扑结构。

对于一个无向图G，拉普拉斯矩阵L定义为L=D-A，其中D为图G的度矩阵，A为图G的邻接矩阵。

拉普拉斯矩阵的特征值与特征向量可以提供关于图G的一些重要信息。

特征向量是指矩阵在某个特定的方向上的伸缩变换，对应的特征值表示该方向上的变换倍数。

对于拉普拉斯矩阵，特征向量可以用于刻画图的结构和性质。

一般来说，拉普拉斯矩阵的特征向量与图的连通性、聚类以及图的谱分析等有密切关系。

二、特征向量的应用1. 图的划分通过拉普拉斯矩阵的特征向量可以实现图的划分，将图分成若干个不相交的子图。

具体做法是选取拉普拉斯矩阵的特征向量中与最小的几个特征值对应的特征向量，然后通过对特征向量进行聚类分析，将图划分成若干个子图。

这种方法在社交网络分析、图像分割等领域有广泛的应用。

2. 图的谱聚类拉普拉斯矩阵的特征向量还可以用于图的谱聚类。

谱聚类是一种基于图的聚类方法，通过对拉普拉斯矩阵的特征向量进行聚类分析，将图中的节点划分成不同的聚类。

特别是对于图中存在多个独立的子图时，谱聚类方法能够更好地划分图中的节点。

3. 图的中心性分析通过拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量可以计算图的中心性指标，如介数中心性、度中心性等。

中心性分析可以帮助我们了解图中的重要节点和连接方式，辅助我们进行图的分析和挖掘。

4. 图的嵌入拉普拉斯矩阵的特征向量还可以用于图的嵌入。

图的嵌入是将图的节点映射到低维空间中，以便于对图进行可视化和分析。

通过选取拉普拉斯矩阵的特征向量作为图的嵌入向量，可以将高维的图数据映射到低维空间，从而方便我们对图进行可视化和分析。

三、总结通过对拉普拉斯矩阵的特征向量进行分析，可以揭示图的一些重要性质和结构信息。

1提出：Leslie 在上世纪40年代为描述女性人口变化规律提出的矩阵。

矩阵P= ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00000000000001101210n n n P P P F F F F F ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ，其中 1,...,,0,0;,...,1,0,0-=>=≥n i i P n j F i j 称矩阵P 为Leslie 矩阵。

注1：特点：Leslie 矩阵的特点是：非零元只出现在第一行和次对角线上。

2. 基本概念和性质基本概念：设矩阵的特征值为n λλλ,...,,10，将它们的模按从大到小的顺序排列（不妨设为）：n λλλ≥≥≥...10，则称0λ为矩阵的主特征值，如果10λλ>，则称0λ为严格主特征值。

Leslie 矩阵P 的几个基本性质：（1）特征多项式为： )...(...)()()(110221011001n n N n n n F P P P F P P F p F p ---+-----=λλλλλ 它有唯一一个正的单特征值0λ（重数为1），且为主特征值。

(2) 如果λ为L 矩阵P 的一个非零特征值，则为与λ对应的一个特征向量。

(3) 若L 矩阵第一行有两个相临元素非零，则它的唯一正特征根0λ为严格主特征值。

(4)若m k k k ,...,,21是L 矩阵中第一列中非零元素所处的列数，且m k k k ,...,,21互素，则0λ为严格主特征值。

3. Leslie 矩阵基本算法 将生物种群所有成员按年龄大小等间隔地划分为n 个年龄组，比如每10岁或每5岁或1岁为一个年龄组，与年龄的离散化相对应，时间也离散为时段，并且时段的间隔与年龄区间大小相等，即以 每10岁或每五岁为一个时段。

种群是通过雌性个体的繁殖而增长的， 所以用雌性个体数量的变化为研究对象比较方便，下面提到的种群数量仅指其中的雌性。

设时段k 第i 个年龄组的成员数量为 ()i x k ,0,1,2,,i=1,2,,n k =L L ，第 i 年龄组的繁殖率为 i b ，即第i 年龄组每个雌性个体在一个时段内平均繁殖的数量，第 i 年龄组的存活率为i s ，即第 i 年龄组一个时段内非死亡人数与总数之比。

Leslie素矩阵的一个充要条件刘炎;何泽荣;王海涛【摘要】Leslie矩阵模型在带年龄结构的种群动力学中具有重要地位,研究成果表明当Leslie矩阵为素矩阵时,目标种群将趋向一稳定的年龄分布.该文给出了一个无需通.过烦琐的矩阵幂运算来判定Leslie矩阵是素矩阵的充分必要条件,它为Leslie 模型的实际应用提供了很大方便.【期刊名称】《杭州电子科技大学学报》【年(卷),期】2010(030)001【总页数】4页(P54-57)【关键词】素矩阵;种群动力学;等同;关联矩阵【作者】刘炎;何泽荣;王海涛【作者单位】杭州电子科技大学运筹与控制研究所,浙江,杭州,310018;杭州电子科技大学运筹与控制研究所,浙江,杭州,310018;杭州电子科技大学运筹与控制研究所,浙江,杭州,310018【正文语种】中文【中图分类】O175.10 引言Leslie矩阵模型在具有离散年龄结构的种群动力学中处于基础地位[1]。

将目标种群的最大成活年龄区间分成n个相等的子区间;同时把从t0开始的时间也按与年龄子区间相等的长度加以划分,然后将这两类子区间分别从小到大依次编号。

用xij(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n,…);表示在第j个时间段内、年龄位于第i段的种群个体数量。

假设种群规模的变化只决定于时间和年龄,而忽略密度制约因素。

设bi(i=1,…,n-1;0＜bi≤1)是年龄处于第i段的个体能活到第i+1段的概率,ai(i=1,2,…,n;ai≥0)是年龄为i段上的每一个个体在一个时间段内平均生育下一代的数量。

那么可将该目标种群的Leslie矩阵模型表示为,其中向量,A为标准Leslie矩阵。

如果矩阵A为素矩阵,则该种群年龄分布将趋于稳定分布,同时该目标种群的动力学行为具有一系列重要性质[2-4]。

因此给定某目标种群的Leslie矩阵A后,如何来判断矩阵A为素矩阵的问题,对于研究该种群的动力学行为具有重要意义。

莱斯利矩阵科学家Leslie PH.于1945年引进一种数学方法,利用某一初始时刻种群的年龄结构现状,动态地预测种群年龄结构及数量随时间的演变过程,目录1 莱斯利(Leslie)矩阵模型2 佛坪大熊猫种群动态发展趋势3 计算结果与分析1 莱斯利(Leslie)矩阵模型简介如下:依种群个体的生理特征,将其最大寿命年龄等距分成m个年龄组,然后讨论不同时间种群按年龄的分布,故时间也离散化为t=0,1,2,…其间隔与年龄组的间隔时间相同.t=0对应于初始时刻.设开始时(t=0)第i个年龄组内的个体数为ni(0),i=1,2,…,m.则向量N∼(0)=[n1(0),n2(0),…,nm(0)]T称为初始年龄结构向量.第i年龄组的生殖率为fi(≥0)i=1,2,…,m;生存率为Si(>0),i=1,2,…,m-1.则相临两个时段间,各年龄组个体数ni有如下的迭代关系:注1 fi中已扣除了在时段t内出生,但活不到t+1时段的新生个体.注2 通常在两性生殖的种群中,只计雌体数.作矩阵2 佛坪大熊猫种群动态发展趋势利用莱斯利模型,对佛坪自然保护区内大熊猫种群的发展变化作出预测分析.2.1 佛坪大熊猫种群现状佛坪自然保护区位于秦岭中段南坡,北纬32°32′～33°43′,东经107°40′～107°55′,最高海拔2904m,最低海拔1100m,总面积293km2.1974年以来,科学工作者多次对该区域内大熊猫的种群数量、年龄结构、分布等进行了大量观察研究,提供了如下数据[3].1990年该区域内观察到64只大熊猫,分布面积237/km2,密度为0.27/km2,年龄结构为未成年组 6岁以下 24只 37.5%成年组 6～15岁 31只 48.2%老年组 15岁以上 9只 14.3%2.2 等距年龄结构分析处理由于模型分析中要求等距年龄结构,现有的数据是不等距的,故需进行等距年龄结构分析处理.根据大熊猫的生长发育规律,其野外最大寿命年龄为26岁[2],按每3岁一个年龄段分成9个年龄组:0岁～2岁,3岁～5岁,…,24岁～26岁,分别记为第1,2,…,9年龄组.文[4]已据文[2]提供的大熊猫的有关生命数据,换算出大熊猫按三年段的等距年龄组的生殖率fi和生存率Si为表1.由于野外大熊猫的性别不易识别,调查数据往往无性别之分,大熊猫的雌雄比为1∶1[2],故上表为雌、雄合计的,而非一般的只考虑雌体.文[5]计算了大熊猫种群的稳定年龄结构向量为N∼(∞)=[101,41,37,33,27,15,8,4,1]t据此,可按比例将现有非等距年龄结构调整为等距年龄结构.0～5岁共24只属于第1、2年龄组.因0～2岁幼仔死亡率极高,加之9月以前的幼仔不能离窝,不可能见到它们的活动痕迹,故第一年龄组的个体数应增加,能被观察到的个体数量以三分之一计算[3].于是n13+n2=24;n1n2=10141,解得n1=33(只),n2=13(只).6岁至15岁31只,但分龄到14岁,尚多出1岁,故调出1只到下一组内,余下的30只仍按比例分配调整为n3=12只,n4=11只,n5=7只.16岁以上9只,调入一只后共10只,按比例分配调整为n6=4只,n7=3只,n8=2只,n9=1只.最后得到1990年(t=0)的初始年龄结构向量为N∼(0)=[33,13,12,11,7,4,3,2,1]’.莱斯利矩阵为3 计算结果与分析对t=1,2,…,10,11,按公式N∼(t)=MtN∼(0)的计算结果见表2.其中N∼(0)=[33,13,12,11,7,4,3,2,1]T表2 佛坪大熊猫种群发展趋势从计算结果可以看到,自1990年起的33年间,该种群数量共增加30.39只,为原来的1.353倍,增长率为35.3%.可见大熊猫的发展十分缓慢.不过,这一濒危动物尚能缓慢增长也算幸事了.为分析环境对大熊猫的影响,即因环境造成大熊猫个体的非正常的突发性死亡(如捕猎等).假设1990年内,第二、三、四、五年龄组分别有1只大熊猫非正常死亡,即按N∼(0)=[33,12,11,10,6,4,3,2,1]’计算,以后33年间该大熊猫种群按年龄结构的发展见表3由表2与表3对照表明,虽少量个体受损对种群的影响也是显著的,需经过近十年时间种群才能恢复到原有水平,而且对种群总量的影响还将长期持续下去,可见保护好大熊猫的生存环境,尽量杜绝和减少非正常死亡是十分重要的。

答疑解惑239以人口预测为例初试数学建模★纪秀浩本文研究“二孩”政策对我国人口发展的影响问题，对于预测未来30年人口数的问题，分别对“单独二孩”和“全部二孩”政策首先建立灰色预测模型，将近5年的人口数据做累加合成，得到近似指数规律的数据，然后建立leslie 模型，将用灰色预测模型算出来的数据代入leslie 模型中，得到leslie 矩阵，进而预测出未来30年我国的人口数；通过搜集中国统计局各个年龄段的结构比例以及老年人口占全部人口的比重，预测未来30年老龄化程度。

本课题是研究单独二胎和全面二胎对未来人口的影响，所以我们要用到最新的数据并对未来30年做一个预测，由于需要的数据很少，所以我们必须用已有的数据做一些预测，本次预测方法采用灰色模型矩阵来进行预测，灰色模型它的优点就在于根据已有的少量数据，对事物的发展规律做一个模糊性的描述，来预测后边未知的数据，当然在此之前我们还要把之前的数据进行一些累加，以弱化原始数据的影响，而且大大的减少了原始数据的随机性，从而呈现出比较明显的变化规律。

得到了一个初步的数据后，我们可以用Leslie 模型在MATLAB 的基础上编程求解，在图中呈现不开放二胎和单独二胎政策和全面二胎政策的一些发展趋势，并定量的分析两种政策下对未来国家总人口及老龄化的影响。

一、灰色GM（1，1）模型为了研究“二孩”政策对我国人口发展的影响问题，对于预测未来30年人口数的问题，通过搜集统计局近5年的数据人口[1]，分别对“单独二孩”和“全部二孩”政策首先建立灰色预测模型，将近5年的人口数据做累加合成，得到近似指数规律的数据，将已知的2006年至2010年出生人口性别比数据作为已知数据向量0x ，(0)125{(0),(0),,(0)}x x x x = ，先对五年的数据进行一次累加。

以减少对后边数据的影响，并得到新的向量表达式：1(1)(0) (1,2,,30),kk jj x xk ===∑ 令x为生成的新向量，(1)1230{(1),(1),,(1)}x x x x = ，在新向量x 的基础上建立灰色方程为(t)(1)dx cx v d t+= （1）式（1）为灰色一阶微分方程，一般记做(1,1)G M，其中,c v为未知参数。