高二数学等差数列的前n项和4

4.2.2 等差数列的前n项和公式(精讲)考点一等差数列基本量计算【例1】(2021·全国高二课时练习)已知等差数列{a n }中， (1)131,22a d ==-，15n S =-，求n 及n a ；(2)115121022n n a ,a ,S ==-=-，求d . 【答案】(1)124n n ,a ==-；(2)171-.【解析】(1)∵()13115222n n n S n -⎛⎫=⨯+-⨯=- ⎪⎝⎭，整理得27600n n --=，解得12n =或5n =-(舍去)， ()1231121422a ⎛⎫=+-⨯-=- ⎪⎝⎭.∵12124n n ,a a ===-.(2)由1()(1512)102222n n n a a n S +-===-,解得4n =. 又由()11n a a n d +-=，即()512141d -=+-，解得171d =-. 【一隅三反】1．(2021·全国高二课时练习)在等差数列{}n a 中． (1)156a =，32n a =-，5n S =-，求n 和d ； (2)14a =，8172S =，求8a 和d ；(3)已知2d =，11n a =，35n S =，求1a 和n . (4)已知742S =，510n S =，345n a -=，求n .【答案】(1)15n =，16d =-；(2)839a =，5d =；(3)153n a =⎧⎨=⎩或171n a =⎧⎨=-⎩；(4)20 .【解析】(1)由题意得()15352262n n n n S a a ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，解得15n =， 又15531462a d =+=-，解得：16d =-；(2)由已知得()()818888417222S a a a =+=+=， 解得：839a =，又因为84739a d =+=，所以5d =；(3)由()()11121112352n n a a n n n S na ⎧=+-⨯=⎪⎨-=+⨯=⎪⎩，整理可得：212350n n -+=， 解得：153n a =⎧⎨=⎩或171n a =⎧⎨=-⎩；(4)()1747477274222a a a S a +⨯====，解得：46a =，所以()()()143645510222n n n n a a n a a n S -+++====， 解得：20n =.2．(2021·全国高二专题练习)已知等差数列{a n }中， (1)112a =，420S =，求6S ； (2)11a =，512n a =-，1022n S =-，求d . 【答案】(1)48；(2)－171.【解析】1)()140441242S a d -=+=，因为112a =，∵3d =.故()()16661661166348222S a d --=+=⨯+⨯=. (2)由()()151********n n n a a n S +-+===-，解得4n =，又由()11n a a n d +-=，即512141()d -=+-，解得171d =-. 3．(2021·全国)已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和. (1)若21a =-，1575S =，求n a 与n S ；(2)若1234124a a a a +++=，123156n n n n a a a a ---+++=，210n S =，求项数n .【答案】(1)3n a n =-，252n n nS -=；(2)6n =.【解析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得211511151415752a a d S a d =+=-⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩， 解得12,1a d =-=，所以()2113n a n n =-+-⨯=-，()2152122n n n n nS n --=-+⨯=. (2)由题意，数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ， 因为1234124a a a a +++=，123156n n n n a a a a ---+++=，由等差数列的性质，可得()()112341234n n n n n a a a a a a a a a a ---+=+++++++124156280=+=，解得170n a a +=，又由210n S =，所以()17021022n n n nS a a =+=⨯=，解得6n =. 考点二 等差数列前n 项和与中项性质【例2】(1)(2021·全国高二课时练习)在等差数列{a n }中，若S 10=120，则a 1+a 10的值是( ) A ．12 B ．24 C ．36D ．48(2)(2021·全国高二专题练习)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，918S =，430(9)n a n -=>，已知336n S =，则n 的值为( ) A ．18B ．19C ．20D ．21【答案】(1)B(2)D 【解析】(1)由S 10=11010()2a a +，得a 1+a 10=101202455S ==，故选：B (2)由等差数列的性质可得19959()9182a a S a +===，解得52a =，故5432n a a -+=， 而154()()1633622n n n n a a nS a a n -+==+==，解得21n =，故选：D ． 【一隅三反】1．(2021·湖南高二学业考试)等差数列{}n a 中，376a a +=，则{}n a 的前9项和等于( ) A ．-18 B ．27C ．18D ．-27【答案】B 【解析】()()19397999627222a a a a S ++⨯====．故选：B 2．(2021·全国高二课时练习)已知等差数列{a n }中，22383829a a a a ++=，且a n <0，则S 10为( )A ．-9B ．-11C ．-13D ．-15【答案】D【解析】由22383829a a a a ++=得2839()a a +=，因为0n a <，所以383a a +=-， 所以110381010()10()10(3)15222a a a a S ++⨯-====-.故选：D 3．(2021·六盘山高级中学高二月考(理))设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 若68,a a 是方程2650x x -+=的两根，则13S =( ) A ．39 B ．52C ．45D ．72【答案】A【解析】由题可得，68762a a a +==，所以73a =，即1371339S a ==．故选：A ．4．(2021·全国高二课时练习)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若1m ，且2110m m m a a a -++-=，2138m S -=，则m =( ) A ．38 B ．20 C ．10 D ．9【答案】C【解析】根据等差数列的性质可得112m m m a a a -++=．∵2110m m ma a a -++-=，∵0m a =或2m a =． 若0m a =，显然()212138m m S m a -=-=不成立，∵2m a =． ∵()212138m m S m a -=-=，解得10m =． 故选：C ．5．(2021·广东潮阳·高二期末)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，若1118m m m a a a +-++=，且28m S =，则m 的值为( ) A ．7 B ．8C ．14D ．16【答案】B【解析】因为{}n a 是等差数列，所以11318m m m m a a a a -+++==，解得：6m a =， 所以()116()2822m m m m a a S ++===，解得：8m =． 故选：B ．考点三 等差数列前n 项和的最值【例3】(1)(2021·全国高二课时练习)已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( ) A ．21B ．20C ．19D ．18(2)(2021·全国高二课时练习)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 11-a 8=3，S 11-S 8=3，则使a n >0的最小正整数n 的值是( ) A ．8B ．9C ．10D ．11(3)(2021·全国高二单元测试)在等差数列{a n }中，a 8＞0，a 4+a 10＜0，则数列{a n }的前n 项和S n 中最小的是( )A ．S 4B ．S 5C ．S 6D ．S 7【答案】(1)B(2)C(3)C【解析】(1)∵(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ， ∵99－105＝3d .∵d ＝－2.又∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝105，∵a 1＝39. ∵S n ＝na 1＋(1)2n n -d ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400. ∵当n ＝20时，S n 有最大值． 故选：B.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 11-S 8=3，得a 11+a 10+a 9=3，即3a 10=3，解得a 10=1， 于是得a 1+9d =1，而a 11-a 8=3d =3，即d =1，则有a 1=-8， 从而得等差数列{a n }的通项公式为：a n =-9+n ， 由-9+n >0得n >9，而n 是正整数，则min 10n =， 所以使a n >0的最小正整数n 的值是10.故选：C (3)等差数列{a n }中，a 8＞0，a 4+a 10＝2a 7＜0， 故a 7＜0，870d a a =->7n ∴≤时，有0n a <，8n ≥时，有0n a >所以数列{a n }的前n 项和S n 中最小的是7S ． 故选：D 【一隅三反】1．(2021·全国高二课时练习)已知{a n }是等差数列，a 1＝－26，a 8＋a 13＝5，当{a n }的前n 项和S n 取最小值时，n 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【答案】B【解析】设数列{a n }的公差为d ， ∵a 1＝－26，a 8＋a 13＝5，∵－26＋7d －26＋12d ＝5，解得d ＝3，∵22(1)35535530252632222624n n n S n n n n -⎛⎫=-+⨯=-=--⎪⎝⎭，∵n 为正整数，∵{a n }的前n 项和S n 取最小值时，n ＝9．故选：B ．2．(2021·全国高二专题练习)已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，10S <，212520S S +=，则n S 取最小值时，n 的值为( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14【答案】A【解析】10S <，212520S S +=，∴公差0d >．∴11212025242(21)25022a d a d ⨯⨯⨯+++=， 1677200a d ∴+=，67072067067<<+，1116767067720067737a d a d a d ∴+<+=<+，111267067a a ∴<<，即11120a a <<n S ∴取最小值时，11n =．故选：A ．3．(2021·全国高二专题练习)数列{}n a 的前n 项和232n S n n =-，则当2n 时，下列不等式成立的是( ) A ．1n n S na na >> B ．1n n S na na >> C ．1n n na S na >> D ．1n n na S na >>【答案】C【解析】数列{}n a 的前n 项和232n S n n =-，11321a S ∴==-=． 当2n 时，22132[3(1)2(1)]54n n n a S S n n n n n -=-=-----=-， 故数列{}n a 的通项公式为54n a n =-．故数列{}n a 是递减的等差数列，且公差等于4-，故当2n 时有112nn a a a a +>>， 再由1()2n n n a a S +=可得1n n na S na >>， 故选：C ．4(2021·全国高二专题练习)已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是( ) A ．18B ．19C ．20D ．21【答案】C【解析】设{}n a 的公差为d ，由题意得135********d a a a a d a a ++++==++，即1235a d +=，∵ 2461113599a a a a d a d a d ++=+++++=，即1333a d +=，∵由∵∵联立得139a =，2d =-，22(1)39(2)40(20)4002n n n S n n n n -∴=+⨯-=-+=--+， 故当20n =时，n S 取得最大值400． 故选：C ．5．(2021·全国高二专题练习)已知等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若S 15＞0，S 16＜0，则S n 的最大值是( ) A ．S 1 B ．S 7 C ．S 8 D ．S 15【答案】C【解析】∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 15＞0，S 16＜0，()115151502a a S ⨯+∴=>，∵115820a a a +=>，()116161602a a S ⨯+∴=<，∵116890a a a a +=+<， ∵890,0a a ><， 980d a a =-<所以在数列{}n a 中，当9n <时，0n a >，当9n ≥时，0n a <， 所以当n ＝8时，S n 最大， 故选：C考点四 等差数列前n 项和的性质【例4】(1)(2021·河南高二月考)记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知55S =，1521S =，则10S =( ) A ．9B ．10C ．12D ．13(2)(2021·全国高二专题练习)等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，对一切自然数n ，都有n n S T ＝1n n +，则77a b 等于( )A ．34B ．56C ．910D ．1314 (3)(2021·全国高二课时练习)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20212020220212020S S-=，则数列{}n a 的公差d 为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】(1)C(2)D(3)D【解析】(1)因为n S 是等差数列{}n a 的前n 项， 由等差数列前n 项和的性质可知： 5S ，105S S -，1510S S -成等差数列，所以()()105515102S S S S S -=+-，即()()101025521S S -=+-，解得：1012S =， 故选：C.(2)∵S 13＝11313()2a a +＝13a 7，T 13＝11313()2b b +＝13b 7，∵713713a S b T =＝1314.故选：D.(3)由等差数列的性质，知n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．又()112n n n S na d -=+，所以112n S n a d n -=+，则数列{}n a 的公差为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差的2倍， 而n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为20212020220212020S S -=，所以数列{}n a 的公差为4，故选：D ．【一隅三反】1(2021·全国高二专题练习)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若53a a ＝59，则95S S 等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．12【答案】A【解析】95S S ＝19159()25()2a a a a ++＝5395a a ＝1.故选：A. 2．(2021·河南高二月考)记等差数列{}n a 与{}nb 的前n 项和分别为n S 和n T ，若123n n S n T n +=+，则105510a b a b =( )A ．8281B ．8182C ．4241D ．4142【答案】C【解析】因为()()1191011919101191911919191202192193412a a a a a S b b b T b b +++=====+⨯++，()()1951995199199911029293212a a a a a S b b b T b b+++=====+⨯++，可得552110b a =，所以105510202142411041a b a b =⨯=， 故选：C.3．(2021·云南省楚雄天人中学高二月考(理))等差数列{}n a 中，n S 表示其前n 项和，若10100S =，20110S =，则30S =( ) A ．-80 B ．120 C ．30 D ．111【答案】C【解析】因为等差数列{}n a 中，n S 表示其前n 项和，所以1020103020,,S S S S S --成等差数列，即()30100,10,110S -成等差数列， 所以()3020110100S =-+，解得3030S = 故选：C4．(2021·南昌市豫章中学高二开学考试(理))已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111n nS S n n+-=+，416S =，则1a =( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【解析】由等差数列{}n a 的前n 项和为1()2n n n a a S +=，可得1112122n n n n S S a a dd n n ++--===⇒=+， 又由414342162S a ⨯=+⨯=，解得11a =. 故选：A.5．(2021·辽宁抚顺·高二期末)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若891715a a =，则1517SS =( ) A ．2B ．1-C ．1D ．0.5【答案】C【解析】因为在等差数列{}n a 中，891715a a =， 所以1151511588117171179915()15()152152117()17()172172a a S a a a a a a S a a a a ++⨯====⋅=++⨯， 故选：C考点五 含有绝对值的求和【例5】(2021·全国高二专题练习)若数列{}n a 的前n 项和是242n S n n =-+，则1210a a a ++=⋯+________.【答案】66【解析】因为242n S n n =-+当1n =时，111421a S ==-+=-；当2n ≥时，2215[()4211(2]2)4n n n a S S n n n n n -=-=----=+--+，所以20a <，30a >，40a >，. 故()()212012101210410221166a S a a a a ++=++=+⋯+-⨯++=故答案为：66【一隅三反】1．(2021·福建省连城县第一中学高二月考)(多选)已知公差为d 的等差数列{}n a ，n S 为其前n 项和，下列说法正确的是( )A ．若90S <，100S >，则6a 是数列{}n a 中绝对值最小的项B ．若3614S S =，则61247S S = C ．若18a =，42a =，则12832a a a +++=D ．若48a a =，0d ≠，则110S =【答案】CD 【解析】对于A ：因为{}n a 为等差数列，且91000S S <⎧⎨>⎩，所以1911000a a a a +<⎧⎨+<⎩，即55600a a a <⎧⎨+>⎩， 所以65||a a >，即5a 是数列{}n a 中绝对值最小的项. 故选项A 错误；对于B ：因为{}n a 为等差数列， 所以3S ，63S S -，96S S -，129S S -为等差数列， 设3S x =，由3614S S =得：64S x =， 故x ，3x ，94S x -，129S S -为等差数列 解得1216S x =， 所以61241164S x S x ==. 故选项B 错误；对于C ：因为{}n a 为等差数列，且18a =，42a =， 所以36d =-，2d =-，则82(1)210n a n n =--=-+.则 128||||||a a a +++8642024632=+++++++=.故选项C 正确；对于D ：因为{}n a 为等差数列，且48||||a a =，0d ≠， 所以48a a =-，480a a +=， 则481111111()11()022a a a a S ++===. 故选项D 正确；故选：CD.2．(2021·全国高二专题练习)已知等差数列{}n a 中，158a a +=，42a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设123||||||||n n T a a a a =+++⋯+，求n T ．【答案】(1)102n a n =-；(2)229,5940,5n n n n T n n n ⎧-=⎨-+>⎩. 【解析】(1)等差数列{}n a 中，158a a +=，42a =， ∴1124832a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得18a =，2d =-， 8(1)(2)102n a n n ∴=+-⨯-=-．(2)由1020n a n =-，得5n ，50a =，620a =-<，123||||||||n n T a a a a =+++⋯+，∴当5n 时，2(1)8(2)92n n n T n n n -=+⨯-=-． 当5n >时，22(1)[8(2)]2(955)9402n n n T n n n -=-+⨯-+⨯-=-+． ∴229,5940,5n n n n T n n n ⎧-=⎨-+>⎩． 3．(2021·河南高二月考)已知数列{}n a 满足117a =-，121n n na a a +=+，*N n ∈. (1)证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； (2)求数列1n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】(1)证明见解析；(2)228,14,832, 5.n n n n T n n n ⎧-+≤≤=⎨++≥⎩. 【解析】(1)由121n n n a a a +=+，可得121112n n n n a a a a ++==+即1112n n a a +-=. 因为117a =-，所以117a =-， 故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以7-为首项，2为公差的等差数列. (2)由(1)可得()171229nn n a =-+-⨯=-， 设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则()272982n n n S n n -+-==-.当14n ≤≤时，10na <， 212121111118n n n n T S n n a a a a a a ⎛⎫=+++=-+++=-=-+ ⎪⎝⎭； 当5n ≥时，10na >， 14514511111111n n nT a a a a a a a a ⎛⎫=++++=-+++++ ⎪⎝⎭ ()()2244216328328n S S S n n n n =-+-=--=-+-， 综上所述228,14832,5n n n n T n n n ⎧-+≤≤=⎨++≥⎩。

等差数列的前N项和公式等差数列是指数列中任意两个相邻项之差保持不变的数列。

前N项和指的是数列前N项之和。

首先，我们来推导等差数列的通项公式。

设等差数列的第一项为a1，公差为d，第n项为an。

根据等差数列的定义可知，第2项为a2 = a1 + d，第3项为a3 = a1 + 2d，以此类推，第n项为an = a1 + (n-1)d。

我们可以把等差数列展开，得到：a1,a1+d,a1+2d,a1+3d,...,a1+(n-2)d,a1+(n-1)d将这些项相加，得到：S=(a1+a1+d+a1+2d+a1+3d+...+a1+(n-2)d+a1+(n-1)d)我们可以将等差数列中的每一项按照公差d进行分组，得到：S=(a1+a1+(n-1)d)+(a1+d+a1+(n-2)d)+(a1+2d+a1+(n-3)d)+...+(a1+(n-2)d+a1+d)+(a1+(n-1)d+a1)根据等差数列的恒等差性质，每一组中的两项之和都等于2a1+(n-1)d。

因此，上式可以进一步化简为：S=n(2a1+(n-1)d)这就是等差数列的前N项和公式，也被称为等差数列求和公式。

为了更好地理解该公式，我们可以举一个具体的例子。

假设有一个等差数列：2,5,8,11,14，求前四项的和。

首先，确定已知量：a1=2(第一项)d=5-2=3(公差)n=4(前四项)代入前N项和公式，可得：S=4(2+(4-1)3)=4(2+3*3)=4(2+9)=4*11=44因此，2,5,8,11的和为44除了使用前N项和公式，我们还可以利用等差数列的性质进行计算。

等差数列可以通过两种方法计算前N项的和：方法一：逐项相加。

通过将每一项相加，可以得到等差数列的前N项和。

在大多数情况下，这种方法适用于较小的N。

方法二：首项加末项乘N除以2、由于等差数列的第一项和最后一项之和等于N，将这两项相加，并乘以N除以2，即可得到前N项和。

这个方法适用于所有的等差数列。

4．2．2 等差数列的前n 项和公式【题型归纳目录】题型一：等差数列前n 项和的有关计算 题型二：等差数列前n 项和的比值问题 题型三：等差数列前n 项和的性质 题型四：等差数列前n 项和的最值问题 题型五：求数列{}||n a 的前n 项和题型六：等差数列前n 项和公式的实际应用 题型七：由等差数列的前n 项和判断等差数列 题型八：等差数列片段和的性质 题型九：等差数列的奇数项与偶数项和 【知识点梳理】知识点一、等差数列的前n 项和公式 等差数列的前n 项和公式 公式一：1()2n n n a a S +=证明：倒序相加法 1231n n n S a a a a a -=+++++①1221n n n n S a a a a a --=+++++②①+②：1213212()()()()n n n n n S a a a a a a a a --=++++++++因为121321n n n n a a a a a a a a --+=+=+==+所以12()n n S n a a =+ 由此得：1()2n n n a a S +=公式二：1(1)2n n n dS na -=+证明：将1(1)n a a n d =+-代入1()2n n n a a S +=可得：1(1)2n n n dS na -=+ 知识点诠释：①倒序相加是数列求和的重要方法之一．②上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及1a 、n 、d 、n a 、n S 五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量．知识点二、等差数列的前n 项和的有关性质 等差数列{}n a 中，公差为d ，则①连续k 项的和依然成等差数列，即k S ，2k k S S -，32k k S S -，…成等差数列，且公差为2k d ． ②若项数为2n ，则21()n n n S n a a +=+，S S nd -=奇偶，1nn S a S a +=奇偶③若项数为21n -，则21(21)n n S n a -=-，n S na =奇，(1)n S n a =-偶，n S S a -=奇偶，1S n S n =-奇偶知识点三、等差数列中的函数关系等差数列{}n a 的通项公式是关于n 的一次函数（或常数函数） 等差数列{}n a 中，11(1)()n a a n d dn a d =+-=+-，令1a d b -=，则： n a dn b =+（d ，b 是常数且d 为公差）（1）当0d =时，n a b =为常数函数，{}n a 为常数列；它的图象是在直线y b =上均匀排列的一群孤立的点．（2）当0d ≠时，n a dn b =+是n 的一次函数；它的图象是在直线y dx b =+上均匀排列的一群孤立的点．①当0d >时，一次函数单调增，{}n a 为递增数列； ②当0d <时，一次函数单调减，{}n a 为递减数列．等差数列{}n a 的前n 项和公式是关于n 的一个常数项为零的二次函数（或一次函数） 由211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-，令2d A =，12dB a =-，则： 2n S An Bn =+（A ，B 是常数）（1）当0d =即0A =时，1n S Bn na ==，n S 是关于n 的一个一次函数；它的图象是在直线1y a x =上的一群孤立的点．（2）当0d ≠即0A ≠时，n S 是关于n 的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线2y Ax Bx =+上的一群孤立的点．①当0d >时n S 有最小值 ②当0d <时，n S 有最大值 知识点诠释：1、公差不为0的等差数列{}n a 的通项公式是关于n 的一次函数．2、n a pn q =+（p ，q 是常数）是数列{}n a 成等差数列的充要条件．3、公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和公式是关于n 的一个常数项为零的二次函数．4、2n S An Bn =+（其中A ，B 为常数）是数列{}n a 成等差数列的充要条件．【方法技巧与总结】 1、等差数列前n 项和的最值（1）在等差数列{}n a 中，当10a >，0d <时，n S 有最大值，使n S 取得最值的n 可由不等式组100n n a a +⎧⎨⎩确定；当10a <，0d >时，n S 有最少值，使n S 取到最值的n 可由不等式组10n n a a +⎧⎨⎩确定． （2）2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若0d ≠，则从二次函数的角度看：当0d >时，n S 有最少值；当0d <时，n S 有最大值．当n 取最接近对称轴的正整数时，n S 取到最值．【典型例题】题型一：等差数列前n 项和的有关计算例1．（重庆市璧山来凤中九校2022届高三上学期联考模拟（二）数学试题）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若681012a a a ++=，则15S =（ ） A ．150 B ．120 C ．75 D ．60【答案】D【解析】因为6810,,a a a 也成等差数列，故61082a a a +=，同理11582a a a += 因为681012a a a ++=，所以8312a =，故84a = 所以()115815815152156022a a a S a +⨯====. 故选：D例2．（2022·福建·泉州高三期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若954S =，8530S S -=，则11S =（ ） A ．77 B ．88 C ．99 D ．110【答案】B【解析】954S =，得5954a =，解得56a =， 8530S S -=，得6787330a a a a ++==，解得710a =，故7522a a d -==， 11651111()11888S a a d ==⨯+=⨯=.故选：B例3．（2022·江苏·盱眙县第二高级高二期中）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：3111,3a a ==，则25S =（ ）A ．72B ．75C ．60D ．100【答案】B【解析】由133a =可得：12513251322525257522a a aS a +=⨯=⨯==， 故选：B变式1．（2022·浙江·镇海高二期中）等差数列{}n a 中，已知113a =，21a =，1200n S =，则n 为（ ）A ．58B ．59C ．60D ．61【答案】C【解析】由{}n a 是等差数列，113a =，21a =得2123d a a =-=则()211120023n n n n S na d -=+==即23600n =，60n = 故选：C.变式2．（2022·云南师大附中高三阶段练习）已知等差数列{}n a 的前3项和为27，5230a a +=，则8a =（ ） A ．31 B ．32C ．33D ．34【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， 由题意313327S a d =+=，12530a d +=， 解得4d =，15a =，所以81752833a a d =+=+=． 故选：C【方法技巧与总结】 等差数列中的基本计算 （1）利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量1,,,n a d n a 和n S ，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量1a 和d 的方程组，解出1a 和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．（2）结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若()*,,,m n p q m n p q +=+∈N ，则m n p q a a a a +=+，常与求和公式()12n n n a a S +=结合使用．题型二：等差数列前n 项和的比值问题例4．（2022·江苏省震泽高二阶段练习）已知,n n S T 分别是等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和，且()211,2,42n n S n n T n +==-，则1011318615a ab b b b +=++（ ）A ．1120 B ．4178C ．4382D ．2342【答案】B【解析】因为数列{}n b 是等差数列，所以318615b b b b +=+， 所以10101111318615615a a a ab b b b b b ++=+++， 又因为,n n S T 分别是等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和，且()211,2,42n n S n n T n +==-，所以101011120201131861561512020220141420278a a a a a S ab b b b b b b b T +⨯++=====+⨯-++++, 故选：B .例5．（2022·全国·高三专题练习）两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且523n n S n T n +=+，则220715a ab b ++等于（ ）A ．10724B ．724C ．14912D ．1493【答案】A【解析】两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且523n n S n T n +=+， 所以1212201212112171512121215212107221324212a a a a a a S b b b b b b T +⨯++⨯+=====++++⨯. 故选：A例6．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .若对于任意的正整数n 都有2131n n S n T n +=-，则89a b =（ ） A ．3552B ．3150C ．3148D ．3546【答案】B【解析】设()21n S n nt =+，()31n T n nt =-，0t ≠.则88713610531a S S t t t =-=-=，99823418450b T T t t t =-=-=，所以893150a b =. 故选：B.变式3．（2022·全国·高三专题练习）若等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项的和分别是n S 和n T ，且21nnna b n =+，则1111S T =（ ） A ．1221B ．1123C ．613D ．1223【答案】C【解析】因为{}n a 和{}n b 是等差数列,故()()1116111111161161113a a a S Tb b b +⨯===+⨯ 故选:C变式4．（2022·北京·北理工附中高二期中）已知两等差数列{}n a ，{}n b ，前n 项和分别是n A ，n B ，且满足2132n n A n B n +=+，则66a b =（ ） A ．1320B ．2335C ．2538D ．2741【答案】B【解析】两等差数列{}n a ，{}n b ，前n 项和分别是n A ，n B ，满足2132n n A n B n +=+， 所以1116611111111661111111221112322311235112a a a a a a A b b b b b b B +⨯+⨯+======++⨯+⨯. 故选：B变式5．（2022·全国·高三专题练习）已知Sn 是等差数列{an }的前n 项和，若a 1＝﹣2018，20192013620192013S S -=，则S 2020等于（ ） A ．﹣4040 B ．﹣2020 C ．2020 D ．4040【答案】C【解析】∵Sn 是等差数列{an }的前n 项和，∴数列{nS n}是等差数列． ∵a 1＝﹣2018，20192013620192013S S -=， ∴数列{nS n }的公差d 616==，首项为﹣2018， ∴20202020S =-2018+2019×1＝1， ∴S 2020＝2020． 故选：C ．变式6．（2022·全国·高三专题练习）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20212020120212020S S =+且13a =，则( ) A ．21n a n =+ B ．1n a n =+ C ．22n S n n =+ D ．24n S n n =-【答案】A【解析】设{}n a 的公差为d ， ∵()112n n n S na d -=+∴111222n S n d d a d n a n -=+⋅=⋅+-， 即{nS n }为等差数列，公差为2d ， 由20212020120212020S S -=知122d d =⇒=， 故()23212122n n n n a n S n n ++=+==+，﹒故选：A ﹒【方法技巧与总结】设{}n a ，{}n b 的前n 项和为n S ，n T ，则2121::n n n n a b S T --=． 题型三：等差数列前n 项和的性质例7．（2022·四川·成都市新津区成实外高级高二阶段练习（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．若98S S >，910S S >，则170S >，180S <B ．若170S >，180S <，则98S S >，910S S >C ．若170S >，180S <，则170a >，180a <D ．若170a >，180a <，则170S >，180S <【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，A 选项，若98S S >，910S S >，8989,0S a S a +>>，991010,0S S a a >+<，则0d <， 11791792171717022a a aS a +=⨯=⨯=>，则90a >， ()118189101892a a S a a +=⨯=+，无法判断符号，A 选项错误. B 选项，11791792171717022a a aS a +=⨯=⨯=>，则90a >， 所以898S a S +>，所以98S S >. ()1181891018902a a S a a +=⨯=+<，则100a <，所以9910S S a >+，910S S >，B 选项正确.C 选项，若170S >，180S <，171181880,0S S a a <=<+， 11791792171717022a a aS a +=⨯=⨯=>，则90a >， ()1181891018902a a S a a +=⨯=+<，则100a <， 则10,0a d ><，170a <，C 选项错误. D 选项，若170a >，180a <，则10,0a d ><， 当*117,N n n ≤≤∈时0n a >，所以170S >， 但()1181891018902a a S a a +=⨯=+>，所以D 选项错误. 故选：B例8．（2022·陕西·榆林市第一高一期末（理））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若56S S <，67S S =，78S S >，则下列结论错误的是（ ）A ．680a a +=B ．58S S =C ．数列{}n a 是递减数列D ．130S >【答案】D【解析】由67S S =，则7670S S a -==，即1760a d a +==， 又86720a a a +==，故A 正确； ()1553552a a S a +==，()()182********a a a a S a ++===， 则3215460a a a d -=+=，故58S S =，B 正确； 由56S S <，78S S >，即6560S S a -=>，8780S S a -=< 所以0d <，数列{}n a 是递减数列，故C 正确； 137130S a ==，D 错误.故选：D例9．（2022·河南·舞阳县第一高级高二阶段练习（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10911S S S <<，则下列选项不正确的是（ ）A ．0d >B ．10a <C ．200S >D ．210S <【答案】D【解析】等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足109S S <，1011S S <，则100a <，110a >， 所以0d >，10a <，故A ，B 正确；由911S S <，可知10110a a +>，所以()()20120101110100S a a a a =+=+>，故C 正确； 因为110a >，所以2111210S a =>，故D 不正确． 故选: D变式7．（2022·四川成都·高一期中（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，且1215S S =，则使0n S >成立的最大n 值为（ ） A ．13 B ．14 C ．26 D ．27【答案】C【解析】由12151314150S S a a a =⇒++=1414300a a ⇒=⇒= 又10a >，所以公差0d < ()()126261314261302a a S a a +==+> ()1272714272702a a S a +=== 所以使0n S >成立的最大n 值为26 故选：C变式8．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足19160,a S S <=，则（ ） A ．0d < B ．n S 的最小值为25SC ．130a =D ．满足0n S >的最大自然数n 的值为25【答案】C【解析】由于916S S = ，101112131415160a a a a a a a ++++++= ， ∴上式中等差中项130a =，13110120a a a d -=-=＞ ，即0d ＞ ， 故A 错误；由等差数列的性质可知2513250S a == ，110S a =＜ ，即125S S ＜ ， 故B 错误；由以上分析可知C 正确，D 错误； 故选：C.变式9．（2022·陕西渭南·一模（理））已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若15=90S ，则8=a （ ） A ．12 B ．6 C ．4 D ．3【答案】B【解析】因为数列{}n a 为等差数列，所以()115815815152=159022a a S a a +⨯===， 所以86a =.故选：B.变式10．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，且319S S =，则21S =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】方法一：∵319S S =∴()193451941980S S a a a a a -=+++=+=∴4190a a +=∴()2112345192021S a a a a a a a a =+++++++()12320211419122a a a a a a a a a =++++=++==，方法二：由于2n S An Bn =+是二次函数2()f x Ax Bx =+,当x n =时的函数值()n S f n =，根据二次函数的对称性，由319S S =可知，n S 的关于11n =对称，因此21112S S a ===， 故选:B变式11．（2022·全国·高二课时练习）在各项不全为零的等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且20112014S S =，2003k S S =，则正整数k 的值为（ ）A ．2020B ．2021C ．2022D ．2023【答案】C【解析】设等差数列{}n a 公差为d ，所以 ()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 所以n S 可看成关于n 的二次函数，由二次函数图象的对称性及20112014S S =，2003k S S =，可得20112014200322k ++=，解得2022k =． 故选：C ．【方法技巧与总结】利用等差数列前n 项和的性质简化计算（1）在解决等差数列问题时，先利用已知求出1a 和d ，再求所求，是基本解法，有时运算量大些； （2）等差数列前n 项和n S 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．（3）设而不求，整体代换也是很好的解题方法． 题型四：等差数列前n 项和的最值问题例10．（2022·陕西·镇巴高二期中（文））在等差数列{}n a 中，1102029,a S S ==，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ）A ．15SB ．16SC ．15S 或16SD ．17S【答案】A【解析】因为{}n a 是等差数列，1020S S =， 所以111092019102022a d a d ⨯⨯+=+，整理得12290a d +=， 又因为129a =，所以2d =-； 所以()()()22129230152252n n n S n n n n -=+⨯-=-+=--+． 故当15n =时，n S 取得最大值． 故选：A.例11．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，当且仅当6n =时n S 取得最大值，若130a =，则公差d 的取值范围为（ ） A ．()6,5--B ．[]6,5--C ．()(),65,-∞-⋃-+∞D ．()[),65,-∞-⋃-+∞【答案】A【解析】由已知可得6700a a >⎧⎨<⎩，即30503060d d +>⎧⎨+<⎩，解得65d -<<-，故选：A ．例12．（2022·北京高二期中）等差数列{}n a 中，68a a <，680a a +=，则当前n 项和n S 最小时，n =（ ） A ．7 B ．8 C ．6或7 D ．7或8【答案】C【解析】设公差为d ，因为68a a <，所以20d >，所以0d >，因为680a a +=，所以720a =，所以70a =，所以160a d +=，160a d =-<，所以1(1)(1)622n n n n n S na d nd d --=+=-+2113169224d n ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以当6n =或7n =时，n S 取得最小值. 故选：C变式12．（2022·湖南·南县第一高二期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20210S <，20220S >，则当n S 最小时，n 的值为（ ）A ．1010B ．1011C ．1012D ．2021【答案】B【解析】由于等差数列的前n 项和2n S An Bn =+的形式，图象是由经过坐标原点的抛物线上的横坐标为正整数的所有点构成，由20210S <，20220S >可知抛物线的开口向上，且大于零的零点在区间(2021,2022)之间，因此对称轴在区间()1010.5,1011之间，离对称轴最近的横坐标为整数的点的横坐标为1011n =, ∴n S 取得最小值时n 的值为1011． 故选：B变式13．（2022·山西·怀仁市第高二阶段练习（文））等差数列{}n a 是递增数列，且公差为d ，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选项错误的是（ ）A ．0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为8【答案】C【解析】对于A 选项，因为等差数列{}n a 是递增数列，则10n n d a a +=->，A 对； 对于B 选项，因为753a a =，即116312a d a d +=+，可得130a d =-<，B 对；对于C 选项，()()()2217117493222224n n n d n n d n n d d S na dn n -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以，当3n =或4时，n S 最小，C 错； 对于D 选项，()2702n n n d S -=>，因为N n *∈，解得7n >，故0n S >时n 的最小值为8，D 对.故选：C.变式14．（2022·全国·高二课时练习）设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14799a a a ++=，25893a a a ++=，若对任意*n ∈N 都有n k S S ≤成立，则k 的值是（ ）A ．10B ．20C ．30D ．40【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由147125813999,31293,a a a a d a a a a d ++=+=⎧⎨++=+=⎩解得139,2,a d =⎧⎨=-⎩ ∴()()()221139140204002n n n d S na n n n n n n -=+=--=-+=--+． ∴当20n =时，n S 取得最大值． ∵对任意*n ∈N 都有n k S S ≤成立， ∴k S 为数列{}n S 的最大值，∴20k =． 故选：B.变式15．（2022·陕西·武功县普集高级高二阶段练习）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且122a =，716S S =，则n S 取最大值时n 的值为（ ）A ．12B ．12或11C ．11或10D ．10【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由716S S =，得1172116120a d a d +=+，即1110a d +=， 又122a =，所以2d =-，所以()2221242n a n n =--=-，令0n a =，可得12n =， 所以数列{}n a 满足：当11n ≤时，0n a >；当12n =时，0n a =；当13n ≥时，0n a <， 所以n S 取得最大值时，n 的取值为11或12.变式16．（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知等差数列{}n a 中，514a a =，且公差0d <，则其前n 项和取得最大值时n 的值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【答案】B【解析】由等差数列的公差0d <，514a a =知，5140a a +=，所以9100a a +=，故9100,0a a ><，则数列{}n a 的前n 项和取得最大值时n 的值为9.故选：B变式17．（2022·广东·石门高级高二阶段练习）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，27a =-，512S a =，当n S 取得最小值时，n =（ ）A ．1B ．4C ．7D ．8【答案】D【解析】设数列{}n a 的公差为d ，由已知得111754252a d a a d +=-⎧⎪⎨⨯=+⎪⎩，解得1103a d =-⎧⎨=⎩， 2(1)32310322n n n n nS n --=-+⨯=，由于41a =-0<，520a =0>，即4n ≤时0n a <，5n ≥时，0n a >， 所以4n ≤时，n S 递减，5n ≥时，n S 递增，其中1110S a ==-， 由n S 的表达式得77S =-，84S =，78S S >， 所8n =时，n S 最小． 故选：D ．变式18．（2022·安徽省临泉第一高二阶段练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20210S >，20220S <，则使得前n 项和n S 取得最大值时n 的值为（ ）A ．2022B ．2021C ．1012D ．1011【答案】D【解析】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20210S >，20220S <， 所以()()()()120211011202110111202220221202210111012202120212202102220221011101102a a a S a a a S a a a a ⎧+⨯===>⎪⎪⎨+⎪==+=+<⎪⎩，所以10110a >，101110120a a +<，所以10110a >，10120a <，即等差数列{}n a 的公差0d <， 所以，1011n ≤时，0n a >；1012n ≥时，0n a <， 所以，使得前n 项和n S 取得最大值时n 的值为1011. 故选：D变式19．（2022·山西·康杰高二开学考试）已知等差数列{}n a 的通项公式为31n a tn =-（t Z ∈），当且仅当10n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 最大，则当10k S =-时，k =（ ）A ．17B ．18C ．19D ．20【答案】D【解析】由条件可知，当10n =时，1031100a t =->，1131110a t =-<， 解得：31311110t <<，因为t Z ∈， 所以3t =，得313n a n =-， ()28313102k k k S +-==-，解得：20k =或13k =-（舍）.故选：D变式20．（2022·安徽·淮南第二高二开学考试）在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，已知678125a a a a ++=，且10a >，当n S 取得最大值时，n 的值为（ ）A ．17B ．18C ．19D ．20【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵678125a a a a ++=， ∴()11318511a d a d +=+， ∴13702a d =->， ∴0d <， ∴1902d a =->，2002da =<，∴19S 取得最大值. 故选：C.【方法技巧与总结】（1）等差数列前n 项和n S 最大（小）值的情形①若10a >，0d <，则n S 存在最大值，即所有非负项之和． ②若10a <，0d >，则n S 存在最小值，即所有非正项之和． （2）求等差数列前n 项和n S 最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用 100n n a a +⎧⎨⎩或10n n a a +⎧⎨⎩来寻找． ②运用二次函数求最值． 题型五：求数列{}||n a 的前n 项和例13．（2022·河南安阳·高二期中）已知数列{}n a 的前n 项和为{}n a 的前n 项和为210n S n n =-．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求1220a a a ++⋅⋅⋅+．【解析】（1）因为210n S n n =-，所以当1n =时，21111019a S =⨯=-=-，当2n ≥时，()()22111011211n S n n n n -=---=-+， 所以1211n n n a S S n -=-=-， 经检验：19a =-满足211n a n =-， 所以211n a n =-.（2）由（1）可知，令0n a ≥，则2110n -≥，得112n ≥， 又*N n ∈，所以当6n ≥时，0n a >；当5n ≤时，0n a <；所以1220122056a a a a a a a a ++⋅⋅⋅⋅--+++=-⋅⋅-⋅⋅⋅+()()5121220562a a a a a a a a =+++-⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅+++⋅()22520225105201020S S =-=-⨯--+⨯+⨯250=.例14．（2022·山东青岛·高二期中）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且214n S n n =-.(1)求{}n a 的通项公式； (2)若123n n T a a a a =++++，求n T .【解析】（1）()214N*n S n n n =-∈当1n =时，211141113a S ==⨯-=，当2n ≥时，()()221141411152n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦， 1a 也符合上式，所以152n a n =-，（2）因为152n a n =-，所以17n ≤≤时，0n a >；7n >时，0n a <， 当17n ≤≤时，()212312313152142n n n n n n T a a a a a a a a S n n +-=++++=++++===-，当7n >时，()123123789n n n T a a a a a a a a a a a =++++=++++-+++()()212371237897221498n n a a a a a a a a a a a S S n n =++++-++++++++=-=-+.综上： 2214,171498,7n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+>⎩例15．（2022·山西省浑源高二阶段练习）表示n S 等差数列{}n a 的前n 项的和，且49S S =，112a =-. (1)求数列{}n a 的通项n a 及n S ； (2)求和12n n T a a a =+++【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由49S S =可得1143984922a d a d ⨯⨯+=+， 因为112a =-，解得2d =，所以，()()111221214n a a n d n n =+-=-+-=-， ()()12122141322n n n a a n n S n n +-+-===-. （2）142,17214214,8n n n a n n n -≤≤⎧=-=⎨-≥⎩，当17n ≤≤且N n *∈时，()212142132n n n T n n +-==-；当8n ≥且N n *∈时，()()()()2722147426713842n n n T T n n n n +--=+=+--=-+.综上所述，2213,171384,8n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩. 变式21．（2022·江苏·常熟高二期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．公差1,3,32m m d a S =-=-=-（其中m>2）． (1)求m ； (2)求1mi i a =∑．【解析】（1）∵{}n a 是等差数列，1,3,32m m d a S =-=-=-，所以()()111132134a m m m ma ⎧--=-⎪⎪⎨-⎪-=-⎪⎩，解得15212a m ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 即12m =；（2）由（1）可知()51113222n a n n =--=-+， ∴()513112242n n n n S n ⎛⎫⎪⎝=⎭-+-=， ∴12111221m i i i i a a a a a ====+++∑∑ ()1267812a a a a a a =+++-+++()()61263116224S S -=-=⨯-- 18=.变式22．（2022·广东·中山纪念高二期中）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若117a =-，点1(,)n n S S +在直线122n y x n n+=++(N )n *∈上． (1)求证：数列{}nS n是等差数列，并求{}n a 的通项公式； (2)若n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（1）因为点1(,)n n S S +在直线122n y x n n+=++上， 所以1122(1)(2)n n n S n S S n n n n++=++=++， 从而112211n n n n S S S Sn n n n ++=+⇒-=++， 因为11171S a ==-， 所以数列{}nS n是首项为17-，公差为2的等差数列； 故172(1)219nS n n n=-+-=-，即2219n S n n =- ①， 当2n ≥时，2212(1)19(1)22321n S n n n n -=---=-+ ②，由①②相减可得，421n a n =-，当1n =时，421n a n =-也满足题意， 故{}n a 的通项公式为：421n a n =-. （2）因为||n n b a =， 所以123||||||||n n T a a a a =++++，当4210n a n =-<时，5n ≤；当4210n a n =->时，6n ≥， 由(1)中结论可知，当5n ≤时，212219n n n T a a a S n n =----=-=-+；当6n ≥时，2555()221990n n n T S S S S S n n =-+-=-=-+，从而22219,521990,6n n n n T n n n ⎧-+≤=⎨-+≥⎩. 【方法技巧与总结】已知等差数列{}n a ，求绝对值数列{}||n a 的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．题型六：等差数列前n 项和公式的实际应用例16．（2022·甘肃·天水市第一高二阶段练习）如果数列1，6，15，28，45，中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第9个六边形数为______．【答案】153 【解析】因为：1，615=+， 15159=++， 2815913=+++， 451591317=++++；即这些六边形数是由首项为1，公差为4的等差数列的和组成的； 所以：2(1)1422n n n c n n n -=⋅+⨯=-； ∴第9个六边形数为：2299153⨯-=．故答案为：153．例17．（2022·全国·高二课时练习）有n 台型号相同的联合收割机，现收割一片土地上的小麦，若同时投入工作，则到收割完毕需要24h ．现在这些收割机是每隔相同的时间依次投入工作的，每一台投入工作后都一直工作到小麦收割完毕．如果第一台收割机工作的时间是最后一台的5倍，则用这种方法收割完这片土地上的小麦需要______h ． 【答案】40【解析】设这n 台收割机工作的时间（单位：h ）依次为1a ，2a ，…，n a ， 依题意，{}n a 是一个等差数列，且15n a a =①，1224n a a a n ++⋅⋅⋅+=②； 由②得()1242n n a a n +=，所以148n a a +=③． 将①③联立，解得140a =．故用这种方法收割完这片土地上的小麦需要40h ． 故答案为：40例18．（2022·全国·高二课时练习）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相等的若干段时，其质量从大到小构成等差数列．若将该金杖截成长度相等的20段，则中间两段的质量和为______斤．【答案】32【解析】解法一：设该若干段的质量从大到小构成等差数列{}n a ，其公差为d ，前n 项和为n S ，由题意每4段为1尺，可得44S =，20162S S -=，∴1114344,22019161520162,22a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⨯⎛⎫⎪+-+= ⎪⎪⎝⎭⎩解得16764a =，132d =-，∴中间两段的质量和为10111671321921964322a a a d ⎛⎫+=+=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭．解法二：设该若干段的质量从大到小构成等差数列{}n a ，由题意每4段为1尺，可得12344a a a a +++=，201918172a a a a +++=， 两式相加得()12046a a +=，则101112032a a a a +=+=． 故答案为：32.变式23．（2022·安徽滁州·高二阶段练习）《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有依次为第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，可以得到第二等诸侯分得的橘子个数是______． 【答案】9【解析】设第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分得的橘子个数组成数列{}n a ，其公差为3， 所以515453602S a ⨯=+⨯=，解得16a =， 所以29a =，即第二等诸侯分得的橘子个数是9． 故答案为：9变式24．（2022·内蒙古·赤峰高二阶段练习（文））将数列{}13n -按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：()1，()3,9，()27,81,243，…，则第100组中的第一个数是______.【答案】49503 【解析】由题意知， 前99组数共包含 991001239949502⨯++++==个数， 则第100组数中的第一个数应是原数列的第4951项， 即49503. 故答案为：49503变式25．（2022·浙江·杭州市余杭高级高二阶段练习）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上､中､下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，均为9环，则三层共有扇面形石板（不含天心石）数量是___________.【答案】3402【解析】从上层第一环石板数记为1a ，向外向下石板数依次记为{}n a ，此数列是等差数列，公差为9d =，首项19a =，三层共27项． 所以和为272726279934022S ⨯=⨯+⨯=． 故答案为：3402．【方法技巧与总结】（1）与等差数列前n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．（2）遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体观．题型七：由等差数列的前n 项和判断等差数列例19．（2022·湖南·雅礼高二期中）已知数列{}n a 的前n 项和为11,1,0,41n n n n n S a a a a S +=≠=-. (1)证明：24n n a a +-=. (2)求数列{}n a 的通项公式.【解析】（1）证明：141n n n a a S +=-∴当2n ≥时，141n n n a a S +=-，1141n n n a a S --=- ∴ 111444n n n n n n n a a a a a S S +--==--又0n a ≠，故可知114n n a a +--= 所以24n n a a +-= （2）由题意得：当1n =时，12141a a a =-，又因为11a =，故可知23a =由114n n a a +--=，可知数列{}n a 的奇数项与偶数项分别为等差数列，公差为4，首项分别为：1，3 ∴当*21(N )n k k =-∈时，2114(1)4321n k a a k k n -==+-=-=-当*N )2(n k k =∈时，()234121n k a a k n ==+-=- 21n a n ∴=-例20．（2022·全国·高二课时练习）已知一个数列{}n a 的前n 项和2252n S n n r =-+．(1)当0r =时，求证：该数列{}n a 是等差数列； (2)若数列{}n a 是等差数列，求r 满足条件．【解析】(1)当0r =时，2252=-n n n S ，令1n =，125223=-=S ，所以2n ≥时，()()2125121-=---n S n n ，所以()()22125225121274-=-=---+-=-n n n a S S n n n n n ， 此时127423=-=a ， 所以274n a n =-，所以()()127427414--=--+-=-n n a a n n ， 可得数列{}n a 是公差为4-的等差数列.(2)2252n S n n r =-+，令1n =，得125223=-+=+S r r ， 所以2n ≥时，()()2125121-=---+n S n n r ，所以()()22125225121274-=-=---+-=-n n n a S S n n n n n ， 所以()()127427414--=--+-=-n n a a n n ， 可得2n ≥时，数列{}n a 是公差为4-的等差数列， 若数列{}n a 是等差数列，则12742323=-==+a r ， 所以0r =．例21．（2022·全国·高二）数列{}n a 的前n 项和2*100()n S n n n N =-∈.（1）判断{}n a 是不是等差数列，若是，求其首项、公差； （2）设n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．【解析】（1）当2n ≥时，221(100)[100(1)(1)]n n n a S S n n n n -=-=-----1012n =-. ∵2111001199a S ==⨯-=适合上式， ∴*1012()n a n n N =-∈.∵12n n a a +-=-为常数，∴数列{}n a 是首项为99，公差为-2的等差数列．（2）由（1），令10120n a n =-≥，得50.5n ≤，∵*n ∈N ，∴*50()n n N ≤∈， 即当*50,()n n N ≤∈时，0n a >，当*51,()n n N ≥∈时，0n a <，①当150n ≤≤时，0n a >，此时n n n b a a ==，∴{}n b 的前n 项和'2100n S n n =-.②当51n ≥时，0n a <，此时n n n b a a ==-，由51525152...(...)n n b b b a a a +++=-+++5050()n n S S S S =--=-，得数列{}n b 的前n 项和'5050()n n S S S S =+-250222500(100)n S S n n =-=⨯--25000100n n =-+.由①②得数列{}n b 的前n 项和为2*'2*100(,150)5000100(,51)nn n n N n S n n n N n ⎧-∈≤≤=⎨-+∈≥⎩. 变式26．（2022·云南大理·高二期末）数列{}n a 满足12a =，()1n n S na n n =--. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令()11n n b n a =+，求数列{}n b的前n 项和n T .【解析】（1）当2n ≥时，()()()11112n n S n a n n --=----，()11122n n n n n a S S na n a n --∴=-=---+，12n n a a -∴=+，∴数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，()2212n a n n ∴=+-=.（2）由（1）得：()11112121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，11111111111111222334112122n n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. 【方法技巧与总结】2n S An Bn =+（其中A ，B 为常数）是数列{}n a 成等差数列的充要条件．题型八：等差数列片段和的性质例22．（2022·江苏省苏州实验高二阶段练习）已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若41216,48S S =-=，则8S 的值为__________.【答案】0【解析】依题可知484128,,S S S S S --成等差，所以()882161648S S +=-+-，解得：80S =． 故答案为：0．例23．（2022·陕西·蓝田县城关高二期中（理））已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若2015S =，6075S =，则40S =__________．【答案】40【解析】由等差数列性质知：20S ，4020S S -，6040S S -成等差数列，()()40202060402S S S S S ∴-=+-，即()()40402151575S S -=+-，解得：4040S =.故答案为：40.例24．（2022·江苏南通·高二期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1020S =，3090S =，则20S =___________ 【答案】50【解析】由题设1020103020,,S S S S S --成等差数列， 所以20101030202()S S S S S -=+-，则20103033150S S S =+=， 所以2050S =. 故答案为：50变式27．（2022·全国·高二课时练习）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2k S =，28k S =，则4k S =______． 【答案】32【解析】由等差数列{}n a 前n 项和的性质， 可得k S ，2k k S S -，32k k S S -，43k k S S -成等差数列， ∴()2322k k k k k S S S S S -=+-，解得318k S =， ∴ 2，6，10，418k S -成等差数列，可得4210618k S ⨯=+-， 解得432k S =. 故答案为：32.变式28．（2022·浙江·杭州市富阳区场口高二阶段练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若57S =，1021S =，则15S =__________．【答案】42【解析】因为数列{}n a 为等差数列，所以n S ，2n n S S -，32n n S S -也是等差数列．由题意得57S =，10514S S -=，则151021S S -=，所以15212142S =+=．故答案为：42【方法技巧与总结】连续k 项的和依然成等差数列，即k S ，2k k S S -，32k k S S -，…成等差数列，且公差为2k d ． 题型九：等差数列的奇数项与偶数项和例25．（2022·江苏省苏州第高二阶段练习）一个等差数列共有偶数项,偶数项之和为84,奇数项之和为51,最后一项与第一项之差为63,则该数列公差为________. 【答案】3【解析】解:由题知不妨设等差数列为{}n a ,首项为1a ,公差为d ,项数为2,n n Z ∈, 故有221()84,2n n n a a S na ++===偶 121()512n n n a a S na -+===奇, 两式相减133n n S S na na nd +-=-==奇偶, 因为21(21)63n a a n d -=-=, 故11(21)21nd n d =-,故11,3n d ==. 故答案为:3例26．（2022·河南·高二阶段练习（理））在等差数列{}n a 中，已知公差12d =，且1359960a a a a ++++=，则123100a a a a ++++=__________.【答案】145【解析】等差数列{}n a 中，已知公差12d =， 12310013599246100a a a a a a a a a a a a ++++=+++++++++24610013599a a a a a d a d a d a d ++++=++++++++605085d =+=1231001260501452a a a a ++++=⨯+⨯=. 故答案为：145.例27．（2022·全国·高二）在等差数列{an }中，S 10＝120，且在这10项中，S S 奇偶＝1113，则公差d ＝________. 【答案】2【解析】解:由1201113S S S S+=⎧⎪⎨=⎪⎩奇偶奇偶,得5565S S =⎧⎨=⎩奇偶, 所以S S -奇偶＝5d ＝10，所以d ＝2. 故答案为：2.变式29．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为377，项数n 为奇数，且前n 项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为________． 【答案】29【解析】因为n 为奇数，所以1716S n S n +==-奇偶，解得13n =． 所以13713377S a ==，所以729a =．故所求的中间项为29． 故答案为：29变式30．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一高二阶段练习）一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:27，则公差d 为_________. 【答案】5【解析】设偶数项和为32k ，则奇数项和为27k ，由322759354k k k +== 可得6k =， 故公差32275566k k kd -===， 故答案为：5．变式31．（2022·甘肃·武威十高二课时练习）项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则该数列的中间项和项数分别为______． 【答案】11，7【解析】设等差数列{}n a 项数为21n ， 12113211(1)()(1)2n n n n a a S a a a n a +++++=+++==+奇，2224621()2n n n n a a S a a a a na ++=++++==偶，∴144=33S n S n +=奇偶，解得n =3，∴项数2n +1=7， 又因为1n S S a a +=-=奇中偶，所以4443311a S S ==--=奇偶，所以中间项为11． 故答案为：11，7.【方法技巧与总结】（1）若项数为2n ，则21()n n n S n a a +=+，S S nd -=奇偶，1nn S a S a +=奇偶（2）若项数为21n -，则21(21)n n S n a -=-，n S na =奇，(1)n S n a =-偶，n S S a -=奇偶，1S n S n =-奇偶【同步练习】一、单选题 1．（2022·江苏·马坝高中高二期中）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1107,43a a ==-，则10S =（ ） A ．250 B ．180- C ．180 D ．250-【答案】B【解析】由已知，数列{}n a 为等差数列， 1107,43a a ==-， 所以()()11010101074318022a a S ⨯-+⨯===-.故选：B.2．（2022·陕西·无高二期中（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则612SS 的值为（ ）A ．717B ．310C ．314D ．38【答案】B【解析】因为{}n a 为等差数列，所以36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列，因为936S S =，设39,6S k S k ==，由()()363962S S S S S -=+-，即()()6626S k k k S -=+-，则63S k =， 所以1294S S k -=，所以1210S k =， 所以612310S S =. 故选：B.3．（2022·陕西·礼泉县第二高二期中）设数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论不正确的是（ ）A ．0d <B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值【答案】C【解析】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 正确； 而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>， 又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的. ∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确； 故选：C4．（2022·江苏省苏州实验高二阶段练习）在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若345a a +=，77S =，则其公差为（ ） A ．2 B ．3 C ．2- D ．3-【答案】D【解析】由已知得，3417125576772a a a d S a d +=+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得，1103a d =⎧⎨=-⎩ 故选：D.5．（2022·江苏苏州·高二期中）n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若613S a =，10a >，则使n n S a >的n 的最大值为（ ） A ．2 B ．12C ．11D ．10【答案】C【解析】由6116153S a d a =+=，可得15a d =-， 而10a >，所以0d <，21(1)11222n n n d dS na d n n -=+=-，1(1)6n a a n d nd d =+-=-， n n S a >可转化为211622d dn n nd d ->-， 即2111622n n n -<-， 即213120n n -+<，解得112n <<， 而N n *∈，所以n 的最大值为11. 故选：C6．（2022·陕西·延安市第一高二阶段练习（理））设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且1=1a ,728S =．记。