浙江省绍兴市上虞区2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含解析

第1页（共16页） 2016-2017学年浙江省绍兴市高一（上）期末数学试卷、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）6. 已知1 函数1 f (x ) 对任意的x , y € R 都有 f (x+y ) -f (x ) +f (y ),且 f (2) -4, 则 f (1)=( ) A . —2 C. 1 D . 27. 已知sin 2 9 十4 cos 6 +1 -2, 贝U( cos 9-1) (sin +1)-( ) A . —1 B. 0 C. 1 D . 2 8. 2016年初，受国际油价大幅上涨的拉动，一些石油替代型企业生产成本出现 大幅度上升，近期，由于国际油价回落，石油替代型企业生产成本明显下降，某 PVC 行业企业的生产成本在8月份、9月份每月递增20%,国际油价回落之后， 10月份、11月份的生产成本每月递减20%,那么该企业在11月底的生产成本与 8月初比较（ ）A .不增不减 B.约增加5% C.约减少8% D .约减少5%若集合 A={ - 1, 0, 1, 2}，集合 B={ - 1, 1, 3, 5｝，则A H B 等于（ ） A . { — 1, 1} B ・{ — 1, 0, 1} C . { — 1, 0, 1, 2} D. { - 1, 0, 1, 2, 3, 5} 2. COS ( n — a)=( A . COS cB.— COS a C. sin cD.— sin a3. log 36 — log 32=( A . 1 B. 2 C. 3 D . 44. 函数 f (x ) =sin2x, 兀 x € R 的最小正周期是（ D . 2n A . B. C. n )9. 已知函数f (x) =x2+2 (m - 1) x- 5m- 2,若函数f (x)的两个零点x i, x2满足x i v 1, x2> 1,则实数m的取值范围是( )A. (1, +x)B. (-x, 1)C. (- 1, +x)D. (-x,- 1)10. 已知函数f (x) =| x2+bx| (b€ R),当x€ ［0, 1］时，f (x)的最大值为M (b), 则M (b)的最小值是( )A. 3 -2」B. 4 -2 ；C. 1D. 5- 2 .二、填空题(共6小题，每小题3分，满分18分)11. _________________________ 函数y=—的定义域为.212 .若a为第一象限角，且COS a"=，则tan a _____ .13. 已知f (2x+1) =x2- 2x,则 f (3) = ____ .I兀14. 要得到y=cos (2x-一一)的图象，只需将y=cos2x的图象向右平移______ 个位长度.15. _____________________________________________________ 已知a>0,b>0,且2- log2a=3- Iog3b=log#—，贝吟*= _____________________ .16. ____ 若函数f (x) =x2+a|x- 1|在［-1, +x)上单调递增，则实数a的取值的集合是______ .三、解答题(共5小题，满分52分)17. 已知集合A={x| x2- 2x- 3> 0}，集合B={x|x> 1}.(I )求集合A;(n )若全集U=R,求(？u A)U B.18. 如图，已知单位圆O与x轴正半轴相交于点M，点A, B在单位圆上，其中I兀I点A在第一象限，且/ AOBr，记/ MOA=，/ MOB=.JT I 一(I )若a=「，求点A, B的坐标；4(n )若点A的坐标为(二，m),求sin - sin p的值.19•已知函数f (x) ——(a€ R)是奇函数.K+2(I)求a的值；(U)求证：函数f (刈在(0,二］上单调递增.兀I20. 函数f (x) =Asin (®x ©) (A> 0, w, 0, | v——)的部分图象如图所示.(I )求函数f (x)的解析式；兀兀兀(H )若函数F (x) =3［f (x-立)］2+mf (x-迈)+2在区间［0, 丁］上有四个21. 已知函数f (x) =£+ax+b (a, b€ R).(I )已知x€ ［0, 1］(i)若a=b=1，求函数f (x)的值域；(ii)若函数f (x)的值域为［0, 1］，求a, b的值；(U)当|x| > 2时，恒有f (x)> 0,且f (x)在区间(2, 3］上的最大值为1 , 求aSb2的最大值和最小值.2016-2017学年浙江省绍兴市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共10小题，每小题3分，满分30分)1 •若集合A={ - 1, 0, 1, 2}，集合B={ - 1, 1, 3, 5}，则A H B等于( )A. { - 1, 1}B. { - 1, 0, 1}C. { - 1, 0, 1, 2}D. { - 1, 0, 1, 2, 3, 5}【考点】交集及其运算.【分析】利用交集定义求解.【解答】解：•••集合A={ - 1, 0, 1, 2}，集合B={ - 1, 1, 3, 5}, ••• A H B={ - 1, 1}.故选：A.2. COS ( n- a)=( )A. cos cB.- cos aC. sin cD.- sin a【考点】运用诱导公式化简求值.【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果.【解答】解：•••由诱导公式可得cos ( n- a) = - cos a故选：B.3. log36 - log32=( )A. 1B. 2C. 3D. 4【考点】对数的运算性质.【分析】利用对数性质、运算法则求解.6【解答】解：Iog36 -log32=logTy=log33=1.故选：A.4. 函数f (x) =sin2x, x€ R的最小正周期是( )故选：C.[I 2(x<0) 5. 函数y=2s - 1(K >0D【分析】通过二次函数的图象否定 c 、D ,通过指数函数图象否定 A ,即可.【解答】解：由题意可知x v 0时，函数是二次函数开口向上，所以 C 、D 错误, x > 0时，函数是指数函数，向下平移1单位，排除A ；可得B 正确, 故选B .6. 已知函数 f (x )对任意的 x ，y € R 都有 f (x+y ) =f (x ) +f (y )，且 f(2) =4, 则 f (1)=( )A .- 2 B.寺 C. 1 D . 2【考点】抽象函数及其应用.【分析】由题意可令x=y=1,可得f (2) =2f (1),即可得到所求值.【解答】解：函数f (x )对任意的x , y € R 都有f (x+y ) =f (x ) +f (y ),且f (2) =4,可令 x=y=1 时，可得 f (2) =2f (1) =4,兀 T【考点】A . B. C. n D . 2 n 三角函数的周期性及其求法.【分析】 直接利用正弦函数的周期公式求解即可. 【解答】 解：由正弦函数的周期公式可得：T= 的图象大致是)【考点】函数的图象；指数函数的图象与性质.解得 f (1) =2.故选：D.* 2 A7 .已知:L T ' , =2，贝U( cos 9-1) (sin +1)=( )cos E +1A. - 1B. 0C. 1D. 2【考点】三角函数的化简求值.【分析】由""广宀=2,整理得1 - coS2 9-4 - 2cos —2=0,求出cos 9把cos 9 =1 cos 9+1代入“=2,得sin，则答案可求.cos 日+1【解答】解：由■' =2,<os y +i得 1 - cos29+4 - 2cos —2=0,即co/ (+2cos —3=0,解得：cos (+3=0(舍) cos 9 =1把cos 9 =代入门‘-节=2,得sin 9 =0COS 0 +1/.( cos +1) (sin +1) =2.故选：D.8. 2016年初，受国际油价大幅上涨的拉动，一些石油替代型企业生产成本出现大幅度上升，近期，由于国际油价回落，石油替代型企业生产成本明显下降，某PVC行业企业的生产成本在8月份、9月份每月递增20%,国际油价回落之后，10月份、11月份的生产成本每月递减20%,那么该企业在11月底的生产成本与8月初比较( )A.不增不减B.约增加5%C.约减少8%D.约减少5%【考点】函数模型的选择与应用.【分析】设8月初为1,则11月底的生产成本为1X 1.22X 0.82=0.9216,即可得出结论. 【解答】解：设8月初为1,则11月底的生产成本为1 X 1.22X 0.82=0.9216, •••该企业在11月底的生产成本与8月初比较约减少8%,故选：C,9. 已知函数f (x) =x2+2 (m - 1) x- 5m- 2,若函数f (x)的两个零点X1, x2 满足X1< 1, x2> 1,则实数m的取值范围是( )A . (1, +x) B. (-x, 1) C. (- 1, +x)D . (-x,- 1) 【考点】函数零点的判定定理；二次函数的性质.【分析】判断二次函数的开口，禾I 」用零点列出不等式求解即可.【解答】解：函数f (x ) =x 2+2 (m - 1) x - 5m - 2,开口向上，函数f (x )的两 个零点X 1 , X 2满足X 1 V 1 , X 2> 1,可得：1+2 ( m - 1)- 5m - 2V 0,解得：m > 1.故选：A .10. 已知函数 f (x ) =|/+bx| (b € R ),当 x € [0, 1]时，f (x )的最大值为 M (b ), 则M (b )的最小值是( )A . 3 -2 ■:B . 4 -2 ■； C. 1 D. 5- 2 -【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】通过讨论b 的范围，结合二次函数的性质求出 M (b ),从而求出M (b ) 的最小值即可.【解答】解：因为函数f (x ) =| x 2+bx| =|故-1v b v 2 (1 - .「)时，M (b )2 (1 -」)v b v 0 时，M (b ) =b+1,b 2| g ，>1, b>2(l--V2)%, b<2(l -却当-字 故 M (b ) =f (1) =b+1,v 专即-1v b v 0时，f (x )的最大值是f (弋)或f (1), 令f (-劭=对称轴x=- 0V- 0,即 b >0 时，f (x )在［0, 1］递增,- |2,2+ >f (1) =b+1，解得：-1v b v 2 (1-伍),二w-二-即w- 1 时，M (b )= 故 M (b ) 2故b=2 (1- J)时，M (b)最小，最小值是3- 2 '：, 故选：A.二、填空题(共6小题，每小题3分，满分18分)11 •函数的定义域为{x| x」-}.【考点】函数的定义域及其求法.【分析】根据分母不是0,求出函数的定义域即可.【解答】解：由题意得：2x- 1工0,解得：x」〒,故答案为：{x|x」丄}.12 .若a为第一象限角，且cos 口=则tan a二.【考点】三角函数的化简求值.【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sin a则tan a的值可求.2【解答】解：•.• cos a =，且a为第一象限角，••• sin 0=-匚口/ a 匚(|~卡=睜,.* ginCl 3 Vs…tan a ——-—.迪住2_ 23故答案为：I .13.已知f (2x+1) =x2- 2x，则 f (3) = - 1【考点】函数解析式的求解及常用方法.【分析】【方法一】利用换元法求出f (x)的解析式，再计算f (3)的值.【方法二】根据题意，令2x+仁3,求出x=1，再计算f (3)的值.【解答】解：【方法一I：f (2x+1) =x2- 2x,••• f (3)二寺x 字-即 3兮二—1.【方法二f (2x+1) =x 2 - 2x , 令2x+仁3,解得x=1,••• f (3) =12-2x 仁-1.故答案为：-1.14•要得到y=cos(2x -—-)的图象，只需将y=cos2x 的图象向右平移厂_个 单位长度.【考点】函数y=Asin ( 的图象变换.【分析】利用函数y=Acos (3X®的图象变换规律，可得结论.JT JU【解答】解：将y=cos2x 的图象向右平移-二个单位，可得y=cos2 (x -=) =cos (2x-—「)的图象，jr故答案为：一.15.已知 a >0，b >0，且 2- log 2a=3- Iog 3b=log”一，贝吟彳=.【考点】对数的运算性质. 【分析】设•••- 2+log 2a=-3+Iog 3b=Iog 6 (a+b ) =x ，则 a=2x +2，b=3x +3，a+b=6x ，由 此能求出值.【解答】解：•••正数 a ，b 满足 2 - Iog 2a=3- Iog 3b=log (^「，••- 2+Iog 2a= - 3+Iog 3b=Iog 6 (a+b )设•- 2+Iog 2a=- 3+Iog 3b=Iogs (a+b ) =x 则 a=2+2, b=3x +3，a+b=6x ，故答案为：莎设2x+仁t ，则 x =T ，• f (t )/-2X t-ll 1|, 「=;t t 4，2 3 ~216. 若函数f (x) =x^+a|x- 1|在［-1，+x)上单调递增，则实数a的取值的集第10页（共16页）合是 { - 2} .【考点】二次函数的性质.上单调递增，从而得出f （x ）在［1, +^）, ［ - 1 , 1）上都单调递增，这样根据取值的集合. 【解答】二 a=- 2；•••实数a 的取值的集合是{ - 2}.故答案为：{ - 2}.三、解答题（共5小题，满分52分）17. 已知集合 A={x| x 2- 2x - 3> 0}，集合 B={x|x > 1}.（I ）求集合A ;（n ）若全集 U=R,求（？u A ）U B .【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】（I ）化简集合A 即可；（n ）根据补集与并集的定义写出计算结果即可.【解答】解：（I ）集合 A={x| x 2 - 2x - 3>0} ={x| x <- 1 或 x >3},（n ）全集 U=R 则？u A={x| - 1v x v 3},【分析】去绝对值号可得到,由条件f (X )在［-1 , +X二次函数的单调性便可得到 ，从而得到a=- 2,这样即可得出实数a 的 ••• f (X ) 在［-1, +x ）上单调递增; • •• f(X ) 在［1, +x ）上单调递增，二 且f （X ）在［-1 , 1） 上单调递增，•••—<1,即 a >- 2; 二< -1, 即卩 a <- 2；又集合B={x| x> 1},所以（？u A）U B={x| x>- 1}.18•如图，已知单位圆0与x 轴正半轴相交于点M ，点A , B 在单位圆上，其中 兀I 点A 在第一象限，且/ AOB —，记/ MOA=，/ MOB=.TT(I )若a =，求点A ，B 的坐标；b |(II )若点A 的坐标为(学，m )，求sin or sin p 的值.【考点】任意角的三角函数的定义.的值.sin a sin p 三19. 已知函数f (x ) = 2仃(a € R )是奇函数.K +2(I )求a 的值；(I)求证：函数f (乂)在(0， '.］上单调递增.【考点】奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明.【分析】(I )利用f (0) =0,即可求a 的值；2十戈(I) x €(0,血］，f (x )=卞-寻＞0,即可证明函数上单调递增.【分析】(I )若a =，直接利用三角函数的定义求点 A ，B 的坐标; 一 4(I )若点A 的坐标为(丁，m )，则-，cos a =sin = 即可求 sin a sin p【解答】解：(I )若a ，则点A4(I )若点A 的坐标为(善)，则 f (%)在(0，】］72 ' 2 sin 仔，【解答】(I)解：由题意，f (0)=二=0,二a=0;罠(U)证明：f (x )=-一， x 42-/十？•-x €( 0,旧，厂(x ) -二乙 > 0,•••函数f (乂)在(0,二］上单调递增.20•函数f ( x ) =Asin ( ®x 妨(A > 0, co, 0, | <—)的部分图象如图所示.(I )求函数f (x )的解析式；TT TT 7T(U)若函数F (x ) =3［f (x -迈)］2+mf (x -迈)+2在区间［0,込-］上有四个【考点】由y=Asin ( ox©)的部分图象确定其解析式.【分析】(I )根据f (x )的部分图象求出A 、o 以及©的值即可;(U )求出 f (x-) =sin2x,化简函数 F (x ), 兀 根据题意设t=sin2x ,则由x € ［0,——］时t € ［0, 1］, 把F ( x ) =0化为3t 2+mt+2=0在［0, 1］上有两个不等的实数根，由此求出实数m 的取值范围.【解答】解：(I )根据f (x ) =Asin ( ox©的部分图象知,•I T=n, 2兀二 o 二 丁 =2； 由五点法画图”知,兀兀I 兀 2― + ©= ”，解得 ©=； T 2兀 7T 兀 2 =3 - 6 ：=2 , A=1,TT函数 f (x ) =sin(2x —)；r x (")••• f (x--r •••函数 F (x ) =3[f (x - ) ]2+mf (X--厂)+2 =3sin 2 (2x ) +msin2x+2； TT 在区间[0,——]上有四个不同零点， I K I 设 t=sin2x ,由 x € [0, — ]，得 2x € [ 0, n ，即 sin2x € [ 0, 1], ••• t € [0, 1], 令F (x ) =0,则3t 2+mt+2=0在［0, 1］上有两个不等的实数根,C - 6-Cn5C0即(声-輕3X Q Q ,解得-6v m v- 2 ■；•••实数m 的取值范围是-6v m v- 2 一21.已知函数 f (x ) =x ^+ax+b (a , b € R ).(I )已知 x € ［0, 1］(i) 若a=b=1，求函数f (x )的值域；(ii) 若函数f (x )的值域为［0, 1］，求a , b 的值；(U)当|x| > 2时，恒有f (x )> 0,且f (x )在区间(2, 3］上的最大值为1 , 求a 2+b 2的最大值和最小值.【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值.【分析】(I ) (i )根据二次函数的性质即可求出函数的值域，(ii )根据二次函数的性质，分类讨论即可求出，(n )因为若| x| >2时，f (x )> 0,且f (x )在区间(2, 3］上的最大值为1, f (x )在区间(2, 3］上的最大值只能在闭端点取得，故有 f (2)< f (3) =1, 从而a >- 5且b=-3a -8.在分类讨论基础上，将以上关系变为不等式组，消应满足-!!△> 0；)=sin (2x - )=sin2x,去c 可得b 的取值范围，最后将a 2+b 2转化为a 的函数，求其值域可得a 2+b 2的 最大值和最小值.【解答】解：(I ) (i ),由已知，得f (x ) =x 2+x+1= (x 号)嚅, 又 x € ［0, 1］, •-f (x )€ [1, 3],•••函数f (x )的值域的值域为［1 , 3］,(ii )函数y=f (x )的对称轴方程为x=-~① 当-二w 0时，即a > 0时，函数f (x )在［0, 1］上单调性递增，可得解得a=b=O,② 当-号》1时，即a w- 2时，函数f( x )在［0,1］上单调性递减，可得*；：：：, 解得 a=- 2, b=1,③ 0v-亍v 寺时，即-1< a v 0时, 综上所述a=b=O,或a=- 2, b=1(U )由题意函数图象为开口向上的抛物线，且 f (x )在区间(2, 3］上的最大 值只能在闭端点取得， 故有 f (2)w f (3) =1，从而 a >- 5 且 b=- 3a - 8. ①若f (x ) =0有实根，则△ =a 2- 4b >0,色忑_4 即a=- 4,这时b=4,且厶=0.-4②若f (x ) =0无实根，则△ =a 2- 4b < 0,将b=- 3a - 8代入解得-8< a v- 4. 综上-5< a <- 4.所以 a 2+b 2=a 2+ （- 3a - 8） 2=10a 2+48a+64,在［-5,- 4］单调递减, 故（ a 2+b 2）1伴〔0)二 专 < 1,即-2< a w - 1 时，在区间［-2, r 4- 2a+b>0 即*K 4 ，将 b=3a - 8代入，整理得,解得 a=-4, b=4,或 a=b=0 (舍去)， 解得a=±2, b=1，舍去,=32，（a2+b2）max=74．min2017年2月21日。

绍兴市重点名校2017-2018学年高一下学期期末预测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设点P 是函数y =(),Q x y 满足260x y --=，则PQ 的最小值为（）A ．4B 2CD 4 【答案】B【解析】【分析】函数y =()221+4x y -=位于x 轴下面的部分。

利用点到直线的距离公式，求出最小值。

【详解】函数y =()221+40x y y -=≤，。

圆心坐标(1,0),半径为2.所以min 22PQ =-=【点睛】 本题考查点到直线的距离公式，属于基础题。

2．在△ABC 中, sin?B sin?C sinA cos?B cosC +=+,则△ABC 为( ) A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】C【解析】【分析】直接利用正弦定理余弦定理化简得到222a b c =+，即得解.【详解】 由已知得sin sin cos cos sin B C B C A ++=，由正、余弦定理得22222222a c b a b c b c ac ab a+-+-++=， 即()()()()222a b c b c b bc c bc b c +-+-+=+，即222a b c =+，故ABC △是直角三角形.故答案为：C【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理水平.3．已知关于x 的不等式20x ax b --<的解集是(2,3)-，则+a b 的值是（ ）A ．7B ．7-C ．11D ．11-【答案】A【解析】【分析】先利用韦达定理得到关于a,b 的方程组，解方程组即得a,b 的值，即得解.【详解】 由题得23,1,6(2)3a a b b-+=⎧∴==⎨-⋅=-⎩， 所以a+b=7.故选：A【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 4．下面结论中，正确结论的是（ ）A ．存在两个不等实数,αβ，使得等式sin()sin sin αβαβ+=+成立B ．4sin sin y x x=+ (0< x < π)的最小值为4 C ．若n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，则232,,n n n n n S S S S S --成等比数列D ．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222a b c +>，则ABC ∆一定是锐角三角形【答案】A【解析】【分析】对各个选项逐一判断，对于选项A ，由0,αβπ==，代入计算，即可判断是否正确；对于选项B ，设()sin 01t x t =<≤，结合函数的单调性，即可判断是否正确；对于选项C ，由公比为1,n -为偶数，即可判断是否正确；对于选项D ，由余弦定理，即可判断是否正确．【详解】对于选项A ，两个不等实数0,αβπ==，使得等式()sin sin sin αβαβ+=+成立，故A 正确；对于选项B ，若()4sin si n 0x y x x π=+<<设设()sin 01t x t =<≤，可得4y t t=+在(]0,1递减，即函数的最小值为5，故B 错误；对于选项C ，n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，当公比1q =-，n 为偶数时， 则232,,n n n n n S S S S S --，均为0，不能够成等比数列，故C 错误；对于选项D ，ABC ∆中，若222a b c +>，可得cos 0C >，即C 为锐角，不能判断ABC ∆一定是锐角三角形，故D 错误．故选：A ．【点睛】本题考查两角和的正弦公式、基本不等式和等比数列的性质，以及余弦定理的应用，属于基础题． 5．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为4，且侧棱垂直于底面，正视图是边长为4的正方形，则三棱柱的左视图面积为（）A ．83B ．22C 3D ．3【答案】A【解析】【分析】 根据题意，得出该几何体左视图的高和宽的长度，求出它的面积，即可求解.【详解】根据题意，该几何体左视图的高是正视图的高，所以左视图的高为4， 又由左视图的宽是俯视图三角形的底边上的高，所以左视图的宽为4sin 6023⋅=， 所以该几何体的左视图的面积为42383S =⨯=故选A.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.6．已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关． 下列结论中正确的是（ ）A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关【答案】A【解析】【分析】【详解】因为变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，一次项系数为0.10-<，所以x 与y 负相关；变量y 与z 正相关，设(),0y kz k =>，所以0.11kz x =-+，得到0.11z x k k =-+ ，一次项系数小于零，所以z 与x 负相关，故选A.7．若圆()2229x y -+=上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的距离为2，则直线l 的斜率的取值范围是（ ） A ．33,,⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭B ．(),33,⎤⎡-∞-⋃+∞⎦⎣C ．33,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．3,3⎢⎥-⎣⎦ 【答案】C【解析】【分析】作出图形，设圆心到直线l 的距离为d ，利用数形结合思想可知1d ≤，并设直线l 的方程为0kxy ，利用点到直线的距离公式可得出关于k 的不等式，解出即可.【详解】如下图所示：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程可表示为y kx =，即0kx y ，圆心为()2,0C ，半径为3r =，由于圆C 上至少有三个不同的点到直线l 的距离为2，所以32d -≥，即1d ≤，即1d =≤，整理得231k ≤，解得33k -≤≤， 因此，直线l的斜率的取值范围是⎡⎢⎣⎦. 故选：C.【点睛】本题考查直线与圆的综合问题，解题的关键就是确定圆心到直线距离所满足的不等式，并结合点到直线的距离公式来求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8．一条光线从点(2,3)-射出，经x 轴反射后与圆22(3)(2)1x y -+-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A ．65或56B ．54或45C ．43或34D ．32或23【答案】C【解析】【分析】由题意可知：点(2,3)--在反射光线上．设反射光线所在的直线方程为：3(2)y k x +=+，利用直线与圆的相切的性质即可得出．【详解】由题意可知：点(2,3)--在反射光线上．设反射光线所在的直线方程为：3(2)y k x +=+，即230kx y k -+-=．1=，化为：21225120k k -+=， 解得34k =或43． 故选C ．【点睛】 本题考查了直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．函数y=tan （π4–2x ）的定义域是( ) A ．{x|x≠π2k +3π8，k ∈Z} B ．{x|x≠kπ+3π4，k ∈Z} C ．{x|x≠π2k +π4，k ∈Z} D ．{x|x≠kπ+π4，k ∈Z} 【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式化简解析式，由正切函数的定义域求出此函数的定义域．【详解】由题意得，y=tan（π4–2x）=–tan（2x–π4），由2x–πππ42k≠+（k∈Z）得，x≠π2k+3π8，k∈Z，所以函数的定义域是{x|x≠π2k+3π8，k∈Z}，故选:A．【点睛】本题考查正切函数的定义域，以及诱导公式的应用，属于基础题．10．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A．310B．15C．110D．120【答案】C【解析】【详解】试题分析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为110，故选C.考点：古典概型11．设，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（）A．B．C．（1，3）D．（3，+）【答案】A【解析】试题分析：∵，故直线与直线交于点，目标函数对应的直线与直线垂直，且在点，取得最大值，其关系如图所示：即，解得，又∵，解得，选：A．考点：简单线性规划的应用. 【方法点睛】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们可以判断直线的倾斜角位于区间上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，其中根据平面直线方程判断出目标函数对应的直线与直线垂直，且在点取得最大值，并由此构造出关于的不等式组是解答本题的关键．12．若实数x ，y 满足约束条件40,250,270,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩则12y z x -=-的取值范围为( ) A ．[]2,0-B ．(],2-∞-C ．[)2,0-D ．()0,∞+【答案】A【解析】【分析】 12y z x -=-的几何意义为点(),M x y 与点()2,1P 所在直线的斜率，根据不等式表示的可行域，可得出取值范围.【详解】12y z x -=-的几何意义为点(),M x y 与点()2,1P 所在直线的斜率． 画出如图的可行域，当直线PM 经过点()1,3A 时，min 31212z -==--；当直线PM 经过点()3,1B -时，max 11032z -==--． 12y z x -=-的取值范围为[]2,0-,故选A.【点睛】本题考查了不等式表示的可行域的画法，以及目标函数为分式时求取值范围的方法.二、填空题：本题共4小题13．在等差数列{}n a 中，155a a +=，43a =，则8a 的值为_______.【答案】5.【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题中条件建立1a 、d 的方程组，求出1a 、d 的值，即可求出8a 的值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，所以1514124533a a a d a a d +=+=⎧⎨=+=⎩，解得13212a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因此，813177522a a d =+=+⨯=，故答案为：5. 【点睛】本题考查等差数列的项的计算，常利用首项和公差建立方程组，结合通项公式以及求和公式进行计算，考查方程思想，属于基础题.14．如图，已知OA a =，OB b =，任意点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ，则向量MN =_______（用a ，b 表示向量MN ）【答案】22b a -【解析】【分析】先求得AB ，然后根据中位线的性质，求得MN .【详解】依题意AB b a =-，由于,A B 分别是线段,MS NS 的中点，故222MN AB b a ==-.【点睛】本小题主要考查平面向量减法运算，考查三角形中位线，属于基础题.15．已知数列{}n a 满足：3122123n n a a a a n +++⋅⋅⋅+=（n *∈N ），设{}n a 的前n 项和为n S ，则5=S ______； 【答案】130【解析】【分析】先利用递推公式计算出{}n a 的通项公式，然后利用错位相减法可求得n S 的表达式，即可完成5S 的求解.【详解】因为3122123n n a a a a n +++⋅⋅⋅+=，所以()131********n n a a a a n n --+++⋅⋅⋅+=≥-， 所以()122n n a n n -=≥，所以()122n n a n n -=⋅≥，又因为121a =，不符合2n ≥时的通项公式，所以()12,1*2,2n n n a n N n n -=⎧=∈⎨⋅≥⎩， 当2n ≥时，12122232...2n nS n -=+⋅+⋅++⋅，所以223222232...2n n S n =+⋅+⋅++⋅， 所以123122222...22n n n S n --=-+⋅++++-⋅，所以()()1212212212n n n nS n n --=⋅-=-⋅+-， 所以55422130S =⋅+=.故答案为：130.【点睛】本题考查根据数列的递推公式求通项公式以及错位相减法的使用，难度一般.利用递推公式求解数列的通项公式时，若出现了1n a -的形式，一定要注意标注2n ≥，同时要验证1n =是否满足2n ≥的情况，这决定了通项公式是否需要分段去写.16．若直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0与l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0互相平行，则a 的值为________．【答案】-3【解析】试题分析：由两直线平行可得：，经检验可知时两直线重合，所以．考点：直线平行的判定．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2017-2018学年下学期高一期末考试试卷数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案．．．．写在答题卷上．．．．．．．1．设集合{1,2,3}A =，集合{2,2}B =-，则A B = （）A ．∅B ．{2}C ．{2,2}-D ．{2,1,2,3}-2．=0750cos （）A．32B ．12C ．32-D ．12-3．已知函数lg ,0()12,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，则((2))f f -=（）A ．3-B ．0C ．1D ．1-4．设单位向量22(,sin )3α=a ，则cos 2α的值为（）A ．79B ．12-C ．79-D ．325．设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1tan 7α=，1tan 3β=，则2αβ+=（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π6．设m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，下列命题中正确的命题是（）A ．,,m m n αβαβ⊥⊂⊥⇒⊥nB ．,,m n m n αβαββ⊥=⊥⇒⊥IC ．,,//m n m nαβαβ⊥⊥⇒⊥D ．//,,//m n m nαβαβ⊥⇒⊥7．已知||2a = ，(2)a b a -⊥ ，则b 在a方向上的投影为（）A ．4-B ．2-C ．2D ．48．设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，62c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．b c a <<D ．b a c<<9．已知正实数n m ,满足222=+++n m n m ，则mn 的最大值为（）A ．236-B ．2C ．246-D ．310．对于非零向量c b a ,,，下列命题正确的是（）A ．若),(02121R b a ∈=+λλλλ，则021==λλB ．若b a //，则a 在b 上的投影为||a C ．若b a ⊥，则⋅a 2)(b a b ⋅=D ．若c b c a ⋅=⋅，则=a b 11．在△ABC 中，，P 是BN 上的一点，若，则实数m 的值为（）A ．3B ．1C ．D ．12．已知．若恒成立，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上．13．23(log 9)(log 4)⋅=．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号14．若变量,x y 满足约束条件010210x y y x x -≤⎧⎪≤-⎨⎪-≥⎩，则2z x y =-的最小值为．15．过长方体的一个顶点的三条棱长分别是1、2、5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，BC 边上的高与BC 边长相等，则bca b c c b 2++的最大值是．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知(,)2παπ∈，且4sin 5α=．（1）求tan()4πα-的值；（2）求2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值．18．（12分）已知向量(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ=，413||13a b -= ．（1）求cos()αβ-的值；（2）若02πα<<，02πβ-<<，且4sin 5β=-，求sin α的值．19．（12分）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且28,373==S a ，在等比数列}{n b 中，8,443==b b ．（1）求n a 及n b ；（2）设数列}{n n b a 的前n 项和为n T ，求n T ．20．（12分）已知函数()2sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的图像与直线2y =两相邻交点之间的距离为π，且图像关于3x π=对称．（1）求()y f x =的解析式；（2）先将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再将图像上所有横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()g x 的图象．求()g x 的单调递增区间以及()3g x ≥的x 取值范围．21．（12分）如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，,3,15,33BE AD BC AD BE ⊥===．把ABE ∆沿BE 折起，使得62AC =，得到四棱锥A BCDE -．如图2所示．（1）求证：面ACE ⊥面ABD ；（2）求平面ABE 与平面ACD所成锐二面角的余弦值．22．（12分）已知函数4()lg4xf x x-=+，其中(4,4)x ∈-．（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()f x 在(4,4)-上的单调性；（3）是否存在这样的负实数k ，使22(cos )(cos )0f k f k θθ-+-≥对一切R θ∈恒成立，若存在，试求出k 取值的集合；若不存在，说明理由．2017-2018学年下学期高一期末考试试卷数学答案一、选择题．1-5：BACAB6-10：DDBCC11-12：CD二、填空题．13．414．6-15．π1016．22三、解答题．17．解：（1）∵(,)2παπ∈，4sin 5α=，∴3cos 5α=-，则4tan 3α=-，∴41tan 13tan()7441tan 13πααα----===+-．（2）由222sin 2cos 2sin cos cos 1cos 22cos 11ααααααα--=+-+2sin cos 2cos ααα-=，2tan 11126α-==-．18．解：（1）由已知得()a 1,cos b a b αβ==⋅=-，又41313a b -= ，2216213a ab b ∴-⋅+= ，()135cos =-∴βα．（2）由πβαβππα<-<∴<<-<<002,20，又()54cos ,sin 135αββ-==-，()123sin ,cos 135αββ∴-==，()[]651654135531312sin sin =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯=+-=∴ββαα．19．解：（1）设}{n a 的公差为d ，则由题有12821732111==⇒⎩⎨⎧=+=+d a d a d a ，∴n a n =．∵在等比数列}{n b 中，8,443==b b ，∴}{n b 的公比为234==b b q ，∴1332--==n n n q b b ，即12-=n n b ．（2）由（1）知n a n =，12-=n n b ，∴12-⋅=n n n n b a ．∴132********-⨯++⨯+⨯+⨯+=n n n T ，n n n n n T 22)1(2322212132⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=- ，∴12)1(12122)2221(212+⋅-=---⨯=++++-⨯=-n n nn n n n n n T ，即12)1(+⋅-=n n n T ．20．解：（1）由已知可得T π=,2ππω=，∴2ω=，又()f x 的图象关于3x π=对称，∴232k ππϕπ⋅+=+，∴6k πϕπ=-，k Z ∈，∵22ππϕ-<<，∴6πϕ=-，所以()2sin(2)6f x x π=-．（2）由（1）可得()2sin(2)6f x x π=-，∴()2sin()6g x x π=+，由22262k x k πππππ-≤+≤+得，22233k x k ππππ-≤≤+，()g x 的单调递增区间为2[2,2]33k k ππππ-+，k Z ∈．∵2sin()36x π+≥，∴3sin()62x π+≥，∴222363k x k πππππ+≤+≤+，∴22,62x k x k k ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ．21．解：（1）证明：在等腰梯形ABCD 中3,15,BC AD BE AD ==⊥，可知6,9AE DE ==．因为3,33,BC BE BE AD ==⊥，可得6CE =．又因为6,62AE AC ==，即222AC CE AE =+，则AE EC ⊥．又,BE AE BE EC E ⊥⋂=，可得面BCDE ，故AE BD ⊥．又因为9tan 333DE DBE BE ∠===，则060DBE ∠=，33tan 333BC BEC BE ∠===，则030BEC ∠=，所以CE BD ⊥，又AE EC E ⋂=，所以BD ⊥面ACE ，又BD ⊂面ABD ，所以面ABD ⊥面ACE ．（2）设EC BD O = ，过点O 作//OF AE 交AC 于点F，以点O 为原点，以,,OB OC OF 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O BCF -．在BCE ∆中，∵030BEO ∠=，BO EO ⊥，∴9333,,222EO CO BO ===，则2339,0,0,0,,0,0,,0222B C E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵1//,,62FO AE FO AE AE ==，∴3FO =，则()90,0,3,0,,62F A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵//,9DE BC DE =，∴3ED BC = ，∴93,0,02D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，∴()()339933,,0,0,0,6,0,6,6,,,02222BE AE CA CD ⎛⎫⎛⎫===-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设平面ABE 的法向量为()1111,,n x y z = ，由11·0{·0n AE n BE == ，得11160{339022z x y =+=，取13x =，可得平面ABE 的法向量为()13,1,0n =-，设平面ACD 的一个法向量为()2222,,n x y z =，由22·0{·0n CA n CD == ，得1111660{933022y z x y -+=--=，取11x =，可得平面ABE 的一个法向量为()21,33,33n =--．设平面ABE 与平面ACD 所成锐二面角为θ，则1212·432165cos 55255n n n n θ=== ，所以平面ABE 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值为216555．22．解：（1）∵44()lglg ()44x xf x f x x x+--==-=--+，∴()f x 是奇函数．（2）()f x 在(4,4)-上为减函数．证明：任取12,(4,4)x x ∈-且12x x <，则12121244()()lglg 44x x f x f x x x ---=-++121244lg 44x x x x -+=⨯+-21121212164()lg 164()x x x x x x x x +--=+--，∵2112164()x x x x +--2112164()0x x x x >--->，∴21121212164()1164()x x x x x x x x +-->+--，得12()()0f x f x ->，得到12()()f x f x >，∴()f x 在(4,4)-上为减函数．（3）∵22(cos )(cos )f k f k θθ-≥--22(cos )f k θ=-，∵()f x 在(4,4)-上为减函数，∴222204cos 44cos 4cos cos k k k k k θθθθ<⎧⎪-<-<⎪⎨-<-<⎪⎪-≤-⎩对R θ∈恒成立，由22cos cos k k θθ-≤-对R θ∈恒成立得22cos cos k k θθ-≤-对R θ∈恒成立，令2211cos cos (cos )42y θθθ=-=--，∵cos [1,1]θ∈-，∴1[2,]4y ∈-，∴22k k -≤-，得1k ≤-，由4cos 4k θ-<-<对R θ∈恒成立得：33k -<<，由224cos 4k θ-<-<对R θ∈恒成立得：22k -<<，即综上所得：21k -<≤-，所以存在这样的k ，其范围为21k -<≤-．。

2017-2018学年浙江省绍兴市上虞区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线l 经过坐标原点和点（﹣1，﹣1），则直线l 的倾斜角是（ ）A ．B ．C ．或D ．﹣2．下列方程表示焦点在y 轴上且短轴长为2的椭圆是（ ）A ．B ．C ．D ．3．双曲线﹣=1的渐近线方程为（ ）A ．y=±xB ．y=±xC ．y=±xD ．y=±x 4．已知直线l 不在平面α内，则“直线l 上有两个点到平面α的距离相等”是“l ∥α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n6．设F 1，F 2分别是椭圆+=1的左，右焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|：|PF 2|=4：3，则△PF 1F 2的面积为（ ）A ．24B ．25C ．30D ．487．若直线l ：ax +by +1=0平分圆M ：x 2+y 2+4x +2y +1=0的周长，则a 2+b 2﹣2a 的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知过抛物线y 2=4x 焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点（点A 在第一象限），若=3，则直线l 的斜率为（ ）A．2B．C．D．9．设点M（3，4）在圆x2+y2=r2（r＞0）外，若圆O上存在点N，使得，则实数r的取值范围是（）A．B．C．D．10．已知P﹣ABC是正四面体（所有棱长都相等的四面体），E是PA中点，F是BC上靠近B的三等分点，设EF与平面PAB，平面PAC，平面PBC所成角分别为α，β，γ，则（）A．β＞γ＞αB．γ＞β＞αC．α＞β＞γD．α＞γ＞β二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分．11．（6分）圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标是；半径为．12．（6分）抛物线x2=4y的焦点坐标是；准线方程为．13．（6分）直线l1：mx+y﹣2=0，直线l2：x﹣2y+2=0，若l1∥l2，则实数m=；l2关于x轴对称的直线方程为．14．（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是cm3，表面积是cm2．15．（6分）双曲线的一个焦点到其渐近线距离为3，则实数k的值为．16．（3分）E是正方形ABCD的边CD的中点，将△ADE绕AE旋转，则直线AD与直线BE所成角的余弦值的取值范围是17．（3分）若点P（x，y）在圆x2+y2+10x+10y+45=0上，则代数式的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）已知直线l过点M（﹣3，3），圆C：x2+y2+4y+m=0（m∈R）．（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及直线l截圆C弦长最长时直线l的方程；（Ⅱ）若过点M直线与圆C恒有公共点，求实数m的取值范围．19．（15分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点．（Ⅰ）证明A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）若C1C=CA=2，求直线AB与平面ADC1所成角的正弦值．20．（15分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=3的圆心在直线y=x+1上．（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求圆C的方程；（Ⅱ）当a=0时，问在y轴上是否存在两点A，B，使得对于圆C上的任意一点P，都有|PA|=|PB|，若有，试求出点A，B的坐标，若不存在，请说明理由．21．（15分）如图，四面体ABCD中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，△BCD 是边长为2的正三角形．（Ⅰ）当AD为多长时，AC⊥BD？（Ⅱ）当二面角B﹣AC﹣D为时，求AD的长．22．（15分）已知椭圆的离心率为，且过点B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点A是椭圆的右顶点，点P（x0，y0）（y0＞1）在以AB为直径的圆上，延长PB交椭圆E于点Q，求|BP|•|BQ|的最大值．2017-2018学年浙江省绍兴市上虞区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线l经过坐标原点和点（﹣1，﹣1），则直线l的倾斜角是（）A．B．C．或D．﹣【分析】利用斜率的计算公式先求出直线的斜率，再利用正切函数求出直线的斜率．【解答】解：∵直线l经过坐标原点和点（﹣1，﹣1），∴直线l的斜率k==1，∴直线l的倾斜角α=．故选：A．【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意斜率公式的合理运用．2．下列方程表示焦点在y轴上且短轴长为2的椭圆是（）A．B．C．D．【分析】利用椭圆的方程判断焦点坐标的位置以及短轴长即可．【解答】解：的焦点坐标在y轴上，短半轴长为1，短轴才为2；所以A正确；选项B、D，焦点坐标在x轴上，不正确；选项C，短轴长为4，不正确；故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．3．双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得其焦点在x轴上，以及a、b的值，进而结合渐近线的方程并代入a、b的值计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=1，其中焦点在x轴上，且a==3，b==4，则其渐近线方程为：y=±x，故选：B．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的标准方程求出a、b的值．4．已知直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】“直线l上有两个点到平面α的距离相等”⇒“l∥α或直线l与平面α相交”，“l ∥α”⇒“直线l上有两个点到平面α的距离相等”，由此能求出结果．【解答】解：由直线l不在平面α内，知：“直线l上有两个点到平面α的距离相等”⇒“l∥α或直线l与平面α相交”，“l∥α”⇒“直线l上有两个点到平面α的距离相等”，∴“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查直线与平行的位置关系等基础知识，是基础题．5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【分析】通过举反例可得A、B、C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D正确，从而得出结论．【解答】解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；B、α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行，故B错误；C、α，β平行于同一条直线m，故α，β 可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．故选：D．【点评】本题考查两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，注意考虑特殊情况，属于中档题．6．设F1，F2分别是椭圆+=1的左，右焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|：|PF2|=4：3，则△PF1F2的面积为（）A．24B．25C．30D．48【分析】求得椭圆的a，b，c，运用椭圆的定义和条件可得|PF1|=8，|PF2|=6，|F1F2|=10，运用勾股定理和三角形的面积公式计算可得所求值．【解答】解：椭圆+=1的a=7，b=2，c=5，则|PF1|+|PF2|=2a=14，|PF1|：|PF2|=4：3，可得|PF1|=8，|PF2|=6，|F1F2|=10，显然|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为|PF1|•|PF2|=×8×6=24．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义和方程、性质，注意定义法的运用和勾股定理和三角形的面积公式的应用，考查运算能力，属于基础题．7．若直线l：ax+by+1=0平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的周长，则a2+b2﹣2a的最小值为（）A．B．C．D．【分析】由已知条件我们可以判定直线必过圆的圆心，求出a，b的关系，再由a2+b2﹣2a的几何意义，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．【解答】解：∵直线l：ax+by+1=0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的周长，∴直线必过圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的圆心，即圆心（﹣2，﹣1）点在直线l：ax+by+1=0上，则2a+b﹣1=0，则（a﹣1）2+b2表示点（1，0）到直线2a+b﹣1=0点的距离的平方，点（1，0）到直线2a+b﹣1=0点的距离d=，则a2+b2﹣2a的最小值为d2﹣1=﹣，故选：D．【点评】直线的性质与圆的方程都是高考必须要考的知识点，此题巧妙地将直线与圆性质融合在一起进行考查，解题的关键是转化思想的巧妙利用．8．已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若=3，则直线l的斜率为（）A．2B．C．D．【分析】作出抛物线的准线，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E．由抛物线的定义结合题中的数据，可算出Rt△ABE中，cos∠BAE=，得∠BAE=60°，即直线AB的倾斜角为60°，从而得到直线AB的斜率k值．【解答】解：作出抛物线的准线l：x=﹣1，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E．∵=3，∴设AF=3m，BF=m，由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得AC=3m，BD=m．因此，Rt△ABE中，cos∠BAE=，得∠BAE=60°所以，直线AB的倾斜角∠AFx=60°，得直线AB的斜率k=tan60°=，故选：D．【点评】本题给出抛物线的焦点弦被焦点分成3：1的比，求直线的斜率k，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质，直线的斜率等知识点，属于中档题．9．设点M（3，4）在圆x2+y2=r2（r＞0）外，若圆O上存在点N，使得，则实数r的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：如图，要使圆O：x2+y2=r2（r＞0）上存在点N，使得∠OMN=，则∠OMN的最大值大于或等于时一定存在点N，使得∠OMN=，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时OM=5，ON=，又点M（3，4）在圆x2+y2=r2（r＞0）外，∴实数r的取值范围是．故选：C ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 10．已知P ﹣ABC 是正四面体（所有棱长都相等的四面体），E 是PA 中点，F 是BC 上靠近B 的三等分点，设EF 与平面PAB ，平面PAC ，平面PBC 所成角分别为α，β，γ，则（ ）A ．β＞γ＞αB ．γ＞β＞αC ．α＞β＞γD ．α＞γ＞β【分析】取AC 中点G ，连结PG ，过B 作BO ⊥平面PAC ，交PG 于点O ，在平面PAC 中过O 作OD ∥AC ，交PA 于D ，以O 为原点，OP 为x 轴，OD 为y 轴，OB 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出α＞γ＞β．【解答】解：解：取AC 中点G ，连结PG ，过B 作BO ⊥平面PAC ，交PG 于点O ， 在平面PAC 中过O 作OD ∥AC ，交PA 于D ，设正四面体棱长为2，则OG===，PO=PG=，BO==， 以O 为原点，OP 为x 轴，OD 为y 轴，OB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则P （，0，0），A （﹣，1，0），B （0，0，），C （﹣，﹣1，0），E （，，0），F （﹣，﹣，），=（﹣，﹣，），=（﹣，1，0），=（﹣，0，），=（﹣，﹣1，0），∵EF 与PA 、PB 、PC 所成角分别为α、β、γ，∴cosα==0，∴α=90°，cosβ===，cosγ===， ∴α＞γ＞β．故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分．11．（6分）圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标是（2，0）；半径为2．【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得它的圆心坐标和半径．【解答】解：圆x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2 =4，它的圆心坐标是（2，0），半径等于2，故答案为：（2，0）；2．【点评】本题主要考查把圆的一般方程化为标准方程的方法，属于基础题．12．（6分）抛物线x2=4y的焦点坐标是（0，1）；准线方程为y=﹣1．【分析】由抛物线方程可得2p=4，即p=2，由焦点（0，），准线方程y=﹣，计算可得所求．【解答】解：抛物线x2=4y的2p=4，即p=2，可得焦点为（0，1），准线方程为y=﹣1．故答案为：（0，1），y=﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，记住焦点坐标和准线方程是解题的关键，属于基础题．13．（6分）直线l1：mx+y﹣2=0，直线l2：x﹣2y+2=0，若l1∥l2，则实数m=﹣；l2关于x轴对称的直线方程为x+2y+2=0．【分析】根据两直线平行，斜率相等，即可求出m的值，设出直线方程上任一点坐标为（x，y），则关于x轴对称的坐标（x，﹣y）在直线x﹣2y+2=0，带入可得答案【解答】解：直线l1：mx+y﹣2=0，直线l2：x﹣2y+2=0，若l1∥l2，则﹣m=，即m=﹣，由题意，设所求直线方程上任一点坐标为（x，y），则关于x轴对称的坐标（x，﹣y）∵（x，﹣y）在直线x﹣2y+2=0，∴x+2y+2=0，即所求直线方程为x+2y+2=0，故答案为：﹣，x+2y+2=0【点评】本题考查了直线平行和斜率的关系，直线关于x轴对称直线方程的求法，属于基础题．14．（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是3cm3，表面积是11+cm2．【分析】由题意，直观图为以正视图为底面的直三棱柱，由图中数据可得该几何体的体积，表面积．【解答】解：由题意，直观图为以正视图为底面的直三棱柱，由图中数据可得该几何体的体积是=3cm3，表面积是（2+2+1+）×1+2×=11+cm2．故答案为3cm3，11+．【点评】本题考查圆三视图求面积、体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键．15．（6分）双曲线的一个焦点到其渐近线距离为3，则实数k的值为﹣9．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得双曲线的焦点位置，则设其焦点坐标为（±c，0），求出其渐近线方程，结合题意可得d==3，解可得k的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，必有k＜0，其焦点在x轴上，设其焦点坐标为（±c，0），则c2=4﹣k，其渐近线方程为：y=±x，即2y±x=0，若双曲线的一个焦点到其渐近线距离为3，假设（c，0）到渐近线2y+x=0的距离为d，则有d==3，解可得k=﹣9；故答案为：﹣9．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的方程不是标准方程，其次要正确求出其焦点到渐近线的距离．16．（3分）E是正方形ABCD的边CD的中点，将△ADE绕AE旋转，则直线AD与直线BE所成角的余弦值的取值范围是[，）【分析】由题意画出图形，求出△ADE没有旋转及将△ADE绕AE旋转，使面AED与平面ABCD重合时AD与BE的平行线AF所成角，则答案可求．【解答】解：如图，在平面ABCD内，过A作AF∥BE交CD的延长线于F，设正方形ABCD的边长为2，当△ADE没有旋转时，在Rt△ADF中，可得DF=1，AF=，∴cos∠FAD=；当将△ADE绕AE旋转，使面AED与平面ABCD重合时，此时求得DD′=，在△DAD′中，由AD=AD′=2，DD′=，由余弦定理可得：cos∠DAD′==．∴直线AD与直线BE所成角的余弦值的取值范围是[，）．故答案为：[，）．【点评】本题考查空间中异面直线所成角，考查空间想象能力与思维能力，训练了余弦定理的应用，是中档题．17．（3分）若点P（x，y）在圆x2+y2+10x+10y+45=0上，则代数式的最大值是1．【分析】将代数式分成两部分x﹣和，设x﹣=t，=k，分别求出t与k的最大值，以及取最大值的条件，结果它们取最大值的条件相同，所以t与k都取最大值时，所求代数式取最大值．【解答】解：∵圆x2+y2+10x+10y+45=0，即（x+5）2+（y+5）2=5是以（5，5）为圆心，以为半径的圆，因为代数式=x﹣y+，令=k，x﹣2y=t，因为k表示原点O与P点连线的斜率，所以当直线OP与圆相切时，=，解得k=或k=2，所以k的最大值为2，此时联立直线与圆可解得x=﹣3，y=﹣6，因为直线x﹣y﹣t=0与圆有交点，所以≤，解得﹣5≤t≤0，所以t的最大值为0，此时x﹣y=0，可解得切点为（﹣3，﹣6），由于k和t取最大值时得条件相同，都是x=﹣3，y=﹣6，所以代数式的最大值为2×+0=1．故答案为：1．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系．属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（14分）已知直线l过点M（﹣3，3），圆C：x2+y2+4y+m=0（m∈R）．（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及直线l截圆C弦长最长时直线l的方程；（Ⅱ）若过点M直线与圆C恒有公共点，求实数m的取值范围．【分析】第一步利用直径为最长弦；第二步利用点与圆的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）圆C方程标准化为：x2+（y+2）2=4﹣m∴圆心C的坐标为（0，﹣2）直线l截圆C弦长最长，即l过圆心，故此时l的方程为：，整理得：5x+3y+6=0；（Ⅱ）若过点M的直线与圆C恒有公共点，则点M在圆上或圆内，∴（﹣3）2+32+4×3+m≤0，得m≤﹣30．【点评】此题考查了直线与圆，点与圆的位置关系．19．（15分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点．（Ⅰ）证明A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）若C1C=CA=2，求直线AB与平面ADC1所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）以C为原点，在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A1B∥平面ADC1．（Ⅱ）以C为原点，在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面ADC1所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）以C为原点，在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=a，CC1=b，则A1（，，b），B（0，a，0），A（，，0），D（0，，0），C1（0，0，b），=（﹣，，﹣b），=（，0，0），=（0，﹣，b），设平面ADC1的法向量=（x，y，z），则，取y=2，得=（0，2，），∵=0+a﹣a=0，A1B⊄平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1．解：（Ⅱ）以C为原点，在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，∵C1C=CA=2，∴A（，，0），B（0，，0），D（0，，0），C1（0，0，2），=（，0，0），=（0，﹣，2），=（﹣，，0），设平面ADC1的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，2，1），设直线AB与平面ADC1所成角为θ，则si nθ===．∴直线AB与平面ADC1所成角的正弦值为．【点评】本题考查线面平面的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．（15分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=3的圆心在直线y=x+1上．（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求圆C的方程；（Ⅱ）当a=0时，问在y轴上是否存在两点A，B，使得对于圆C上的任意一点P，都有|PA|=|PB|，若有，试求出点A，B的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）圆与y轴相切，推出|a|=；（Ⅱ）假设存在满足题意的A、B、P，设出这三个点的坐标，然后由两点间的距离公式将几何条件|PA|=|PB坐标化，整理后对y恒成立两边对应项系数相等，列方程组解出y1，y2，即可求出．【解答】解：∵圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=3的圆心（a，b）在直线y=x+1上，∴b=+1，（I）∵圆C与y轴相切，∴|a|=，∴，，故所求圆C的方程，或，（II）∵a=0，b==1，∴圆的方程为x2+（y﹣1）2=3，∴x2+y2=2y+2，假设在y轴上存在两点A（0，y1）、B（0，y2），使得对于圆C上的任意一点P，都有|PA|=|PB|，设P（x，y），则由|PA|=|PB得x2+（y﹣y1）2=3[x2+（y﹣y2）2]，∴x2+y2﹣2y1y+y12=3（x2+y2﹣2y2y+y22，2y+2﹣2y1y+y12=3（2y+2﹣2y2y+y22），依题意此方程对y恒成立，故，解得或，故在y轴上存在两点A（0，﹣2）、B（0，0），或A（0，4）、B（0，2），使得对于圆C上的任意一点P，都有|PA|=|PB．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系．属中档题．21．（15分）如图，四面体ABCD中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，△BCD 是边长为2的正三角形．（Ⅰ）当AD为多长时，AC⊥BD？（Ⅱ）当二面角B﹣AC﹣D为时，求AD的长．【分析】（Ⅰ）取BD中点O，连接AO，CO，利用等腰直角三角形与正三角形的性质可得：BD⊥平面AOC，即可得出．（Ⅱ）如图所示，取BC的中点F，连接DF．利用等腰直角三角形与正三角形的性质可得BC⊥平面ADF．经过D点作DE⊥AF，垂足为E，可得DE⊥平面ABC．假设作EC′⊥AC，垂足为C′．设DE=x，EF=y．可得x2+y2=DF2=3，x=，解得x=，y=1．可得点C′与点C重合．可得：∠DCE为二面角B﹣AC﹣D的平面角，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）取BD中点O，连接AO，CO，∵△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，△BCD是边长为2的正三角形．∴BC=CD=BD=2，AB=AC=，∴CO⊥BD，当AC⊥BD时，由AC∩CO=C，得BD⊥平面AOC，∵AO⊂平面AOC，∴AO⊥BD，∴AD=AB=，∴当AD为时，AC⊥BD．（Ⅱ）如图所示，取BC的中点F，连接DF．∵△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，△BCD是边长为2的正三角形．∴BC⊥AF，BC⊥DF．又AF∩DF=F．AC=，DF=．∴BC⊥平面ADF．经过D点作DE⊥AF，垂足为E，则DE⊥平面ABC．假设作EC′⊥AC，垂足为C′．设DE=x，EF=y．则x2+y2=DF2=3，x=，解得x=，y=1．∴=2，因此点C′与点C重合．可得：∠DCE为二面角B﹣AC﹣D的平面角，为，∴AD==．【点评】本题考查空间位置关系、等腰三角形与等边三角形的性质、空间角，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于难题．22．（15分）已知椭圆的离心率为，且过点B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点A是椭圆的右顶点，点P（x0，y0）（y0＞1）在以AB为直径的圆上，延长PB交椭圆E于点Q，求|BP|•|BQ|的最大值．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和b=1，结合基本量的关系，可得a，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）可得A（2，0），又B（0，1），求得圆方程和设PQ的参数方程为（t为参数，α为锐角），分别代入圆方程和椭圆方程，可得|BP|，|BQ|，再由换元法和判别式法，解不等式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的离心率为，且过点B（0，1），可得b=1，e==，a2﹣b2=c2，解得a=2，c=，则椭圆E的方程为+y2=1；（Ⅱ）可得A（2，0），又B（0，1），可得以AB为直径的圆方程为x2+y2﹣2x﹣y=0，设PQ的参数方程为（t为参数，α为锐角），代入圆方程可得t2+t（sinα﹣2cosα）=0，可得|BP|=t1=2cosα﹣sinα，将直线的参数方程代入椭圆方程可得：t2（cos2α+4sin2α）+8tsinα=0，可得|BQ|=，则|BP|•|BQ|==，设t=tanα＞0，设上式为y=f（t）=，即有（4y+8）t2﹣16t+y=0，y＞0，△≥0，即为256﹣4y（4y+8）≥0，解得0＜y≤﹣1，则|BP|•|BQ|的最大值为﹣1．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查直线的参数方程的运用和参会时的几何意义，以及换元思想和判别式法，考查运算能力，属于中档题．。

2017-2018学年第二学期高一期末教学质量调测数学试卷注意事项：1.请将姓名、学号分别填写在答卷纸相应的位置上。

本卷答卷必须做在答卷相应的位置上。

2.全卷满分100分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线的倾斜角是，则直线的斜率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据倾斜角和直线斜率的关系求解即可.详解：由题可得：直线的斜率为tanα=tan故选D.点睛：考查直线斜率的计算，属于基础题.2.已知数列是等差数列，，则其前项的和是A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由可得=5，然后根据等差数列求和公式求解即可.详解：由题可知：故选B.点睛：考查数列的等差中项的性质应用，等差数列求和，属于基础题.3.已知，则函数的最小值是A. 1B.C.D.【答案】C【解析】分析：根据配凑法结合基本不等式求解即可.详解：由题可知：当x=2时取得最小值，故最小值为3故选C.点睛：考查基本不等式求最值的简单应用，属于基础题.4.的值等于A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据三角函数二倍角公式求解即可.详解：由题可得：=，故答案为选A.点睛：考查二倍角的正弦公式的逆运用，属于基础题.5.已知正方形的边长为，，，则等于A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：结合向量的加法原则即可得，然后计算长度即可.详解：设AB的中点为E，故=，所以=+=，而，故=，选D. 点睛：考查向量的加法运算，模长计算，对定义的理解是解题关键，属于基础题.6.在中，若，则的形状是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】A【解析】分析：先根据正弦定理进行边换角，然后结合三角和差公式求解即可.详解：由题可知：故A=B，所以三角形为等腰三角形，故选A.点睛：考查三角形形状的判定，正确应用正弦定理进行边化角是解题突破口，属于基础题.7.已知，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由=-然后根据正切的和差公式求解即可.详解：由题可知：故答案为选C.点睛：考查三角函数的求值计算，根据题意进行凑角=-是解题关键.属于中档题.8.设点为的重心，，且，则面积的最大值是A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据重心线段的比例关系详解：由可得BG⊥CG，又D为BC中点故GD=，GA=，设GC=2x，GB=2y，所以三角形的面积为：，且∠CGA+∠BGA=270°，所以而BG⊥CG，故直角三角形中又，所以故答案为，选B.点睛：考查三角形重心的结论，向量垂直结论，三角形面积公式，基本不等式求最值，对面积表达式的求解是解题关键，属于较难题.9.已知等差数列前项和为，且，，则此数列中绝对值最小的项为A. 第5项B. 第6项C. 第7项D. 第8项【答案】C【解析】设等差数列的首项为，公差为，，则，又，则，说明数列为递减数列，前6项为正，第7项及后面的项为负，又，则，则在数列中绝对值最小的项为，选C.10.函数（）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：函数y=log a（x+2）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（-1，-1），点在直线上可得m+n=1．再结合基本不等式求解即可.详解：由题可知：A（-1，-1），故点在直线上可得m+n=1．所以m+1+n=2，故：故答案为.故选A.点睛：考查对数函数的性质，基本不等式求最值的应用，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共70分）二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分.11.________.【答案】.【解析】解：因为12.已知关于的不等式的解集是，则.【答案】2【解析】试题分析：化分式不等式为整式不等式，根据解集是得，,方程的两实根分别为，，所以=，a=2考点：解分式不等式，二次方程与二次不等式之间的关系.13.已知等比数列的前项和，则_________．【答案】5.【解析】分析：根据题意先表示出前三项，然后根据等比中项求出r，再计算即可.详解：由题可知：故答案为5点睛：考查等比数列的基本定义和基本性质，属于基础题.14.设整数．．满足约束条件，则目标函数的最小值为________．【答案】16.【解析】分析：作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义求z的最小值．详解：如图所示区域：，联立但（3，1）不在可行域中，令可知当直线过可行域内的整点（4,1）时，z有最小值16.故答案为16.点睛：考查线性规划求最值问题，正确画出可行域，找出最优解为解题关键，属于中档题.15.在中，面积，则角的大小为_________．【答案】.【解析】分析：根据面积公式=，结合余弦定理即可求解.详解：由题可知：=，所以C=故答案为点睛：考查三角形面积公式，余弦定理，对公式的正确变形运用是解题关键，属于中档题.16.若正数满足，则的最小值等于_________．【答案】.【解析】分析：由题意解出y，代入要求的式子化简可得x+y=x+1+-3，由基本不等式可得．详解：正数x，y满足xy+2x+y=8，∴y=，（0＜x＜4），∴x+y=x+=x+1+-1=x+1+-3≥.当且仅当x+1=即x=-1时取等号，故答案为：点睛：本题考查基本不等式求最值，消元并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．17.在中，是边上一点，且，点列在线段上，且满足，若，则数列的通项__________．【答案】.【解析】分析：令n=1，则即，又点列在线段上，故均共线，可得为等比数列，然后写通项公式即可.详解：由题可知：即，又，故点D在线段CB的延长线上，且与平行，又点列在线段上，所以，……,所以故数列为等比数列，由，且与平行，可得，故公比为，所以通项故答案为点睛：考查向量加减运算和共线关系，能正确得出公比是解题关键，此题难度较大，对向量的共线要灵活运用，同时对等比数列通项公式要熟悉，属于难题.三、解答题：本大题共5小题，共49分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知向量，．（Ⅰ）分别求，的值；（Ⅱ）当为何值时，与垂直？【答案】(1).(2)当时，与垂直.【解析】分析：（1）根据题意结合向量坐标运算，求出，再计算模长即可；（2）与垂直故，代入坐标计算即可.详解：（Ⅰ），，，于是，；（Ⅱ），由题意可知：，即，解得，故当时，与垂直.点睛：考查向量坐标的运算，向量模长，向量的垂直等式关系，对基本公式的定义的熟悉是解题关键，属于基础题.19.已知，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求的值.【答案】(1) .(2) .【解析】【详解】分析：（1）根据正弦的二倍角公式求解即可；（2）由，然后两边取正弦计算即可.详解：（Ⅰ），且，，-------2分于是；（Ⅱ）,,,结合得：，于是.点睛：考查二倍角公式，同角三角函数关系，三角凑角计算，对于的配凑是解第二问的关键，属于中档题.20.已知的内角分别为，其对应边分别是，且满足．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的最大值.【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）先根据正弦定理进行边化角，然后结合三角函数正弦的和差公式逆运用即可；（2）先由正弦定理得出，，然后统一角度转化为三角函数求最值问题即可.详解：（Ⅰ），由正弦定理得：，即，于是，从而；（Ⅱ）由正弦定理得：，，，，（其中，所以当时，的最大值是.点睛：考查正弦定理的边化角，三角化简求最值，对定理的灵活运用转化为解题关键，属于中档题.21.已知等差数列的前项和为，公差，且，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设的首项为1，公比为的等比数列，求数列的前项和为．【答案】(1).(2) .【解析】分析：（1）由，且，，解方程组即可得出首项和公差，然后根据等差数列通项公式求解即可；（2）由的首项为1，公比为的等比数列得，在结合错位相减法求解即可.详解：（Ⅰ），且，解得：，所以通项公式；（Ⅱ）由题意：，于是两式相减得：．点睛：考查等差数列的图像公式，错位相减法求和，对基本公式的正确运用是解题关键，属于中档题.22.设，数列满足，.（Ⅰ）当时，求证：数列为等差数列并求；（Ⅱ）证明：对于一切正整数，．【答案】(1)；证明见解析.(2)证明见解析.【解析】分析：（1）先将原式变形：，，从而.故数列是以为首项，为公差的等差数列.然后根据等差通项求解即可；（2）当时，由得：，进而，这说明数列是以为首项，为公比的等比数列，故得到的通项公式，然后根据分析法欲证，只需证，即证：.将变形结合基本不等式计算最值即可详解：（Ⅰ），，从而. 显然，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.于是，，.（Ⅱ）证明：①当时，不等式显然成立；②当时，由得：，进而，这说明数列是以为首项，为公比的等比数列，于是.欲证，只需证，即证：..原不等式成立.点睛：考查等差数列，等比数列的通项公式，对本题的原式的化简变形得到等差，等比是解题关键，而对于不等式的证明则通常转化为最值问题求解，本题的难点在于对式子的化简变形计算要求较高，属于难题.。

2017-2018学年浙江省绍兴市上虞区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线l 经过坐标原点和点()1,1--，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．4π B ．34π C ．4π或34π D ．﹣4π2．下列方程表示焦点在y 轴上且短轴长为2的椭圆是（ ）A ．2212y x += B ．2213x y +=C ．22145x y += D ．22154x y += 3．双曲线221916x y -=的渐近线方程为（ ） A ．34y x =±B ．43y x =±C ．35y x =±D ．53y x =±4．已知直线l 不在平面α内，则“直线l 上有两个点到平面α的距离相等”是“//l α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m α，//m β，则//αβD ．若m α⊥，n α⊥，则//m n6．设12,F F 分别是椭圆2214924x y +=的左，右焦点，P 是椭圆上一点，且12:4:3PF PF =，则12PF F ∆的面积为（ ） A ．24B ．25C ．30D ．487．若直线:10l ax by ++=平分圆22:4210M x y x y ++++=的周长，则222a b a +-的最小值为（ ）A ．55 B ．15C ．515- D ．45-8．已知过抛物线24y x =焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点（点A 在第一象限），若3AF FB =，则直线l 的斜率为（ ） A ．2B ．12C 3D 39．设点M （3，4）在圆()2220x y r r +=>外，若圆O 上存在点N ，使得3OMN π∠=，则实数r 的取值范围是（ ）A ．52⎫+∞⎪⎪⎣⎭B ．53,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭C ．53,52⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D ．5,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．已知P ﹣ABC 是正四面体（所有棱长都相等的四面体），E 是PA 中点，F 是BC 上靠近B 的三等分点，设EF 与平面PAB ，平面PAC ，平面PBC 所成角分别为α，β，γ，则（ ） A ．βγα>>B ．γβα>>C ．αβγ>>D ．αγβ>>二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分．11．（6分）圆2240x y x +-=的圆心坐标是 ；半径为 ． 12．（6分）抛物线24x y =的焦点坐标是 ；准线方程为 ． 13．（6分）直线1:20l mx y +-=，直线2:220l x y -+=，若12//l l ，则实数m= ；2l 关于x 轴对称的直线方程为 ．14．（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是 cm 3，表面积是 cm 2．15．（6分）双曲线2214x y k+=的一个焦点到其渐近线距离为3，则实数k 的值为 ．16．（3分）E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，将△ADE 绕AE 旋转，则直线AD 与直线BE 所成角的余弦值的取值范围是17．（3分）若点P （x ，y ）在圆221010450x y x y ++++=上，则代数式222x xy yx-+的最大值是 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）已知直线l 过点M （﹣3，3），圆()22:40C x y y m m R +++=∈． （Ⅰ）求圆C 的圆心坐标及直线l 截圆C 弦长最长时直线l 的方程； （Ⅱ）若过点M 直线与圆C 恒有公共点，求实数m 的取值范围． 19．（15分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点． （Ⅰ）证明1//A B 平面1ADC ；（Ⅱ）若122C C CA ==，求直线AB 与平面1ADC 所成角的正弦值．20．（15分）已知圆()()22:3C x a y b -+-=的圆心在直线31y x =+上． （Ⅰ）若圆C 与y 轴相切，求圆C 的方程；（Ⅱ）当a=0时，问在y 轴上是否存在两点A ，B ，使得对于圆C 上的任意一点P ，都有3PA PB =，若有，试求出点A ，B 的坐标，若不存在，请说明理由．21．（15分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，△BCD 是边长为2的正三角形． （Ⅰ）当AD 为多长时，AC BD ⊥？ （Ⅱ）当二面角B ﹣AC ﹣D 为4π时，求AD 的长．22．（15分）已知椭圆2222:1x y E a b+=3，且过点B （0，1）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点A 是椭圆的右顶点，点()()000,1P x y y >在以AB 为直径的圆上，延长PB 交椭圆E 于点Q ，求BP BQ ⋅的最大值．2017-2018学年浙江省绍兴市上虞区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】利用斜率的计算公式先求出直线的斜率，再利用正切函数求出直线的斜率．【解答】解：∵直线l 经过坐标原点和点()1,1--， ∴直线l 的斜率111k -==-， ∴直线l 的倾斜角4πα=．故选：A ．【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意斜率公式的合理运用．2．【分析】利用椭圆的方程判断焦点坐标的位置以及短轴长即可．【解答】解：2212y x +=的焦点坐标在y 轴上，短半轴长为1，短轴才为2；所以A 正确；选项B 、D ，焦点坐标在x 轴上，不正确；选项C ，短轴长为4，不正确； 故选：A ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．3．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得其焦点在x 轴上，以及a 、b 的值，进而结合渐近线的方程并代入a 、b 的值计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：221916x y -=， 其中焦点在x 轴上，且93,164a b ====，则其渐近线方程为：43y x =±，故选：B ．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的标准方程求出a 、b 的值．4． 【分析】“直线l 上有两个点到平面α的距离相等”⇒“//l α或直线l 与平面α相交”，“//l α”⇒“直线l 上有两个点到平面α的距离相等”，由此能求出结果． 【解答】解：由直线l 不在平面α内，知：“直线l 上有两个点到平面α的距离相等”⇒“//l α或直线l 与平面α相交”， “//l α”⇒“直线l 上有两个点到平面α的距离相等”，∴“直线l 上有两个点到平面α的距离相等”是“//l α”的必要不充分条件． 故选：B ．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查直线与平行的位置关系等基础知识，是基础题．5．【分析】通过举反例可得A 、B 、C 不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D 正确，从而得出结论．【解答】解：A 、m ，n 平行于同一个平面，故m ，n 可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A 错误；B 、,αβ 垂直于同一个平面γ，故,αβ 可能相交，可能平行，故B 错误；C 、,αβ平行于同一条直线m ，故,αβ 可能相交，可能平行，故C 错误；D 、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D 正确． 故选：D ．【点评】本题考查两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，注意考虑特殊情况，属于中档题．6．【分析】求得椭圆的a ，b ，c ，运用椭圆的定义和条件可得12128,6,10PF PF F F ===，运用勾股定理和三角形的面积公式计算可得所求值．【解答】解：椭圆2212449x y +=的7,26a b ==5c =， 则12214PF PF a +==，12:4:3PF PF =，可得128,6PF PF ==， 1210F F =，显然2221212PF PF F F +=， 即12PF PF ⊥， 则12PF F ∆的面积为1211862422PF PF ⋅=⨯⨯=． 故选：A ．【点评】本题考查椭圆的定义和方程、性质，注意定义法的运用和勾股定理和三角形的面积公式的应用，考查运算能力，属于基础题．7．【分析】由已知条件我们可以判定直线必过圆的圆心，求出a ，b 的关系，再由222a b a +-的几何意义，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案． 【解答】解：∵直线:10l ax by ++=始终平分圆22:4210M x y x y ++++=的周长， ∴直线必过圆22:4210M x y x y ++++=的圆心， 即圆心()2,1--点在直线:10l ax by ++=上， 则210a b +-=，则()221a b -+表示点（1，0）到直线210a b +-=点的距离的平方， 点（1，0）到直线210a b +-=点的距离5d =则222a b a +-的最小值为2415d -=-，故选：D ．【点评】直线的性质与圆的方程都是高考必须要考的知识点，此题巧妙地将直线与圆性质融合在一起进行考查，解题的关键是转化思想的巧妙利用． 8．【分析】作出抛物线的准线，设A 、B 在l 上的射影分别是C 、D ，连接AC 、BD ，过B 作BE AC ⊥于E ．由抛物线的定义结合题中的数据，可算出Rt △ABE 中，1cos 2BAE ∠=，得60BAE ∠=︒，即直线AB 的倾斜角为60°，从而得到直线AB 的斜率k 值．【解答】解：作出抛物线的准线l ：1x =-，设A 、B 在l 上的射影分别是C 、D ， 连接AC 、BD ，过B 作BE AC ⊥于E ．∵3AF FB =，∴设3AF m =，BF m =，由点A 、B 分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得3,AC m BD m ==． 因此，Rt ABE ∆中，1cos 2BAE ∠=，得60BAE ∠=︒ 所以，直线AB 的倾斜角60AFx ∠=︒， 得直线AB 的斜率tan 603k =︒=， 故选：D ．【点评】本题给出抛物线的焦点弦被焦点分成3：1的比，求直线的斜率k ，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质，直线的斜率等知识点，属于中档题． 9．【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论． 【解答】解：如图，要使圆()222:0O x y r r +=>上存在点N ，使得3OMN π∠=，则OMN ∠的最大值大于或等于3π时一定存在点N ，使得3OMN π∠=， 而当MN 与圆相切时OMN ∠取得最大值， 此时OM =5，53ON =又点M （3，4）在圆()2220x y r r +=>外，∴实数r 的取值范围是53,52⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭． 故选：C ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10．【分析】取AC 中点G ，连结PG ，过B 作BO ⊥平面PAC ，交PG 于点O ，在平面PAC 中过O 作//OD AC ，交PA 于D ，以O 为原点，OP 为x 轴，OD 为y 轴，OB 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出αγβ>>． 【解答】解：解：取AC 中点G ，连结PG ，过B 作BO ⊥平面PAC ，交PG 于点O ，在平面PAC 中过O 作//OD AC ，交PA 于D ，设正四面体棱长为2，则1134133OG PG ==-=，2233PO PG ==，222326233BO ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 以O 为原点，OP 为x 轴，OD 为y 轴，OB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则233263,0,0,,1,0,0,0,,1,03333P A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，313146,0,23E F ⎫⎛-⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， ()53546,,,3,1,01869EF PA ⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭，()2326,0,,3,1,033PB PC ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，∵EF 与PA 、PB 、PC 所成角分别为,,αβγ， ∴cos 0EF PA EF PAα⋅==⋅，∴90α=︒，77193cos 381923EF PB EF PBβ⋅===⋅⨯，55193cos 381923EF PC EF PCγ⋅===⋅⨯，∴αγβ>>． 故选：D ．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分．11．【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得它的圆心坐标和半径． 【解答】解：圆2240x y x +-=，即()2224x y -+=，它 的圆心坐标是（2，0），半径等于2，故答案为：（2，0）；2．【点评】本题主要考查把圆的一般方程化为标准方程的方法，属于基础题．12．【分析】由抛物线方程可得24p =，即p =2，由焦点0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p y =-，计算可得所求．【解答】解：抛物线24x y =的24p =，即p =2， 可得焦点为（0，1）， 准线方程为y =﹣1．故答案为：（0，1），y =﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，记住焦点坐标和准线方程是解题的关键，属于基础题．13． 【分析】根据两直线平行，斜率相等，即可求出m 的值，设出直线方程上任一点坐标为(),x y ，则关于x 轴对称的坐标(),x y -在直线220x y -+=，带入可得答案【解答】解：直线1:20l mx y +-=，直线2:220l x y -+=，若12//l l ，则12m -=，即12m =-，由题意，设所求直线方程上任一点坐标为(),x y ，则关于x 轴对称的坐标(),x y - ∵(),x y -在直线220x y -+=， ∴220x y ++=，即所求直线方程为220x y ++=，故答案为：12-，220x y ++=【点评】本题考查了直线平行和斜率的关系，直线关于x 轴对称直线方程的求法，属于基础题．14．【分析】由题意，直观图为以正视图为底面的直三棱柱，由图中数据可得该几何体的体积，表面积．【解答】解：由题意，直观图为以正视图为底面的直三棱柱，由图中数据可得该几何体的体积是()31122132cm ⨯+⨯⨯=，表面积是(()212215121221152cm ++⨯⨯⨯⨯+⨯=．故答案为3cm 3，115+．【点评】本题考查圆三视图求面积、体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键．15．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得双曲线的焦点位置，则设其焦点坐标为(),0c ±，求出其渐近线方程，结合题意可得34k c d k-⨯==-，解可得k 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为2214x y k+=，必有0k <，其焦点在x 轴上，设其焦点坐标为(),0c ±，则24c k =-， 其渐近线方程为：y x =±，即20y k x ±-=， 若双曲线的一个焦点到其渐近线距离为3， 假设（c ，0）到渐近线20y k x +-=的距离为d ， 则有34k c d k-⨯==-，解可得k =﹣9；故答案为：﹣9．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的方程不是标准方程，其次要正确求出其焦点到渐近线的距离．16．【分析】由题意画出图形，求出△ADE没有旋转及将△ADE绕AE旋转，使面AED与平面ABCD重合时AD与BE的平行线AF所成角，则答案可求．【解答】解：如图，在平面ABCD内，过A作//AF BE交CD的延长线于F，设正方形ABCD的边长为2，当△ADE没有旋转时，在Rt△ADF中，可得DF=1，5AF=，∴225 cos55FAD∠==；当将△ADE绕AE旋转，使面AED与平面ABCD重合时，此时求得45'5 DD=，在△DAD′中，由AD=AD′=2，45'5 DD=，由余弦定理可得：222452253 cos'2225 DAD⎛⎫+- ⎪⎝⎭∠==⨯⨯．∴直线AD与直线BE所成角的余弦值的取值范围是325,55⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭．故答案为：325,55⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭．【点评】本题考查空间中异面直线所成角，考查空间想象能力与思维能力，训练了余弦定理的应用，是中档题．17．【分析】将代数式分成两部分12x y-和2yx，设12x y t-=，ykx=，分别求出t 与k 的最大值，以及取最大值的条件，结果它们取最大值的条件相同，所以t 与k 都取最大值时，所求代数式取最大值． 【解答】解：∵圆221010450x y x y ++++=，即()()22555x y +++=是以（5，55因为代数式221222x xy y yx y x x-+=-+，令yk x=，2x y t -=， 因为k 表示原点O 与P 点连线的斜率，所以当直线OP 与圆相切时，25551k k -+=+，解得12k =或k =2， 所以k 的最大值为2，此时联立直线与圆可解得x =﹣3，y =﹣6，因为直线102x y t --=5525114t-+-≤+，解得50t -≤≤， 所以t 的最大值为0，此时102x y -=，可解得切点为（﹣3，﹣6）， 由于k 和t 取最大值时得条件相同，都是x =﹣3，y =﹣6，所以代数式222x xy y x -+的最大值为12012⨯+=．故答案为：1．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系．属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．【分析】第一步利用直径为最长弦；第二步利用点与圆的位置关系． 【解答】解：（Ⅰ）圆C 方程标准化为：()2224x y m ++=- ∴圆心C 的坐标为（0，﹣2） 直线l 截圆C 弦长最长，即l 过圆心，故此时l 的方程为：()()()232030y x ----=---， 整理得：5360x y ++=；（Ⅱ）若过点M 的直线与圆C 恒有公共点， 则点M 在圆上或圆内， ∴()2233430m -++⨯+≤， 得30m ≤-．【点评】此题考查了直线与圆，点与圆的位置关系．19． 【分析】（Ⅰ）以C 为原点，在平面ABC 中过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A 1B ∥平面ADC 1．（Ⅱ）以C 为原点，在平面ABC 中过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB 与平面ADC 1所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）以C 为原点，在平面ABC 中过C 作BC 的垂线为x 轴， CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设1,AB a CC b==，则()()1133,,,0,,0,,,0,0,,0,0,0,22222a a a a a A b B a A D C b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1133,,,,0,0,0,,2222a a a a A B b DA DC b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 设平面ADC 1的法向量=(),,x y z ，则130202a n DA x a n DC y bz ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，取y =2，得0,2,a n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵100n A B a a ⋅=+-=，1A B ⊄平面ADC 1， ∴A 1B ∥平面ADC 1．解：（Ⅱ）以C 为原点，在平面ABC 中过C 作BC 的垂线为x 轴， CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，∵122C C CA ==，∴()()1622,,0,0,2,0,0,,0,0,0,2222A B D C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16262,0,0,0,,2,,,02222DA DC AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设平面ADC 1的法向量(),,m x y z =，则16022202m DA x m DC y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，取z =1，得()0,22,1m =， 设直线AB 与平面ADC 1所成角为θ， 则22sin 329AB m AB mθ⋅===⋅⋅． ∴直线AB 与平面ADC 1所成角的正弦值为23．【点评】本题考查线面平面的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．【分析】（Ⅰ）圆与y 轴相切，推出3a =（Ⅱ）假设存在满足题意的A 、B 、P ，设出这三个点的坐标，然后由两点间的距离公式将几何条件3PA =坐标化，整理后对y 恒成立 两边对应项系数相等，列方程组解出12,y y ，即可求出．【解答】解：∵圆()()22:3C x a y b -+-=的圆心(),a b 在直线31y x =+上，∴31b a =+，（I ）∵圆C 与y 轴相切， ∴3a =∴34a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩32a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩， 故所求圆C 的方程(()22343x y -+-=，或(()22323x y +++=，（II ）∵a =0，311b a =+=，∴圆的方程为()2213x y +-=，∴2222x y y +=+，假设在y 轴上存在两点()()120,,0,A y B y ，使得对于圆C 上的任意一点P ，都有3PA =，设(),P x y ，则由3PA =得 ()()2222123x y y x y y ⎡⎤+-=+-⎣⎦，∴()2222221122232x y y y y x y y y y +-+=+-+， ()2211222223222y y y y y y y y +-+=+-+，依题意此方程对y 恒成立，故()()12221222322232y y y y -=-⎧⎪⎨+=+⎪⎩， 解得1220y y =-⎧⎨=⎩或1242y y =⎧⎨=⎩，故在y 轴上存在两点A （0，﹣2）、B （0，0），或A （0，4）、B （0，2），使得对于圆C 上的任意一点P ，都有3PA PB =． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系．属中档题．21． 【分析】（Ⅰ）取BD 中点O ，连接AO ，CO ，利用等腰直角三角形与正三角形的性质可得：BD ⊥平面AOC ，即可得出．（Ⅱ）如图所示，取BC 的中点F ，连接DF ．利用等腰直角三角形与正三角形的性质可得BC ⊥平面ADF ．经过D 点作DE ⊥AF ，垂足为E ，可得DE ⊥平面ABC ．假设作EC′⊥AC ，垂足为C′．设DE =x ，EF =y ．可得2223x y DF +==，21x y =+2x =y =1．可得点C′与点C 重合．可得：DCE ∠为二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）取BD 中点O ，连接AO ，CO ， ∵△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，△BCD 是边长为2的正三角形． ∴BC=CD=BD =2，AB=AC 2， ∴CO ⊥BD ，当AC ⊥BD 时，由AC CO C =，得BD ⊥平面AOC ， ∵AO ⊂平面AOC ，∴AO BD ⊥， ∴AD=AB 2，∴当AD 2时，AC BD ⊥．（Ⅱ）如图所示，取BC 的中点F ，连接DF ． ∵△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，△BCD 是边长为2的正三角形． ∴,BC AF BC DF ⊥⊥．又AF DF F =．2,3AC DF ==．∴BC ⊥平面ADF ．经过D 点作DC AF ⊥，垂足为E ，则DE ⊥平面ABC ． 假设作EC′⊥AC ，垂足为C′． 设DE=x ，EF=y ．则2223x y DF +==，21x y =+ 解得2,1x y ==．∴'222DC =+=，因此点C′与点C 重合．可得：DCE ∠为二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角，为4π， ∴()22226AD =+=．【点评】本题考查空间位置关系、等腰三角形与等边三角形的性质、空间角，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于难题．22．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和b =1，结合基本量的关系，可得a ，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）可得A （2，0），又B （0，1），求得圆方程和设PQ 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为锐角），分别代入圆方程和椭圆方程，可得,BP BQ ，再由换元法和判别式法，解不等式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆2222:1x y E a b+=3B （0，1），可得b =1，3c e a ==，222a b c -=， 解得a =2，3c =则椭圆E 的方程为2214x y +=；（Ⅱ）可得A （2，0），又B （0，1），可得以AB 为直径的圆方程为2220x y x y +--=，设PQ 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为锐角），代入圆方程可得()2sin 2cos 0t t αα+-=， 可得12cos sin BP t αα==-，将直线的参数方程代入椭圆方程可得：()222cos 4sin 8sin 0t t ααα++=， 可得228sin cos 4sin BQ ααα=+， 则()228sin 2cos sin cos 4sin BP BQ ααααα-⋅=+ 2216tan 8tan 14tan ααα-=+， 设tan 0t α=>，设上式为()2216814t t y f t t -==+， 即有()248160,0y t t y y +-+=>，0∆≥，即为()2564480y y -+≥， 解得0171y <≤， 则BP BQ ⋅171．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查直线的参数方程的运用和参会时的几何意义，以及换元思想和判别式法，考查运算能力，属于中档题．。

2024届浙江省绍兴市上虞区数学高一第二学期期末综合测试模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知三角形ABC 为等边三角形，1AB =，设点P Q ，满足()1AP AB AQ AC R λλλ==-∈，，，若38BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）A ．132- B ．122± C ．1102± D ．122．将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，5个剩余分数的平均分为21，现场作的7个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示,则5个剩余分数的方差为( )A ．1167B ．365C ．36D 673．已知2sin 3a =-,3,2a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,3cos 4β=,3,22πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则()cos βα-=()A ．254+ B ．254 C ．273512D ．735124．已知,,l m n 为三条不同直线，,,αβγ为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ） A ．若m αβ=，n αγ=，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥B ．若m α，n α，则m nC ．若l αβ=，m α，m β，则m lD ．若m α⊥，n β，αβ⊥，则m n ⊥ 5．下列选项正确的是（ ）A ．若,?c>d a b >,则a c b d ->- B ．若0a b >>,则2211a b < C ．若22a b >,则a b > D ．若0,0a b c >>≠,则ac bc >6．已知{}n a 是等差数列，其中11a =-，511a =，则公差d = ( ) A ．1B ．3-C ．2-D ．37．若a b > , 则下列不等式正确的是（ ） A ．22a b >B ．ac bc >C ．a c b c ->-D ．22ac bc >8．数列{a n }中a 1＝﹣2，a n +1＝11na -，则a 2019的值为（ ） A ．﹣2 B ．13 C ．12D ．329．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为3，线段B 1D 1上有两个动点E ，F 且EF ＝1，则当E ，F 移动时，下列结论中错误的是（ ）A ．AE ∥平面C 1BDB ．四面体ACEF 的体积不为定值C ．三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值D ．四面体ACDF 的体积为定值 10．已知扇形圆心角为6π，面积为3π，则扇形的弧长等于（） A ．6π B ．4πC ．3π D ．2π 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。