6、完全平方公式

完全平方公式两种推导方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊完全平方公式的两种推导方法。

这可是数学里相当重要的一块儿呢！咱先来说第一种推导方法，就好像盖房子一样，咱得一步步来。

想象一下有个边长为$(a+b)$的正方形，那它的面积不就是$(a+b)^2$嘛。

然后呢，咱把这个正方形分成四块儿，一块儿是边长为$a$的正方形，一块儿是边长为$b$的正方形，还有两块儿是长为$a$宽为$b$的长方形。

那这四块儿的面积加起来不也得等于整个大正方形的面积嘛，这不就得出$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$啦！你说神奇不神奇？再说说第二种推导方法。

咱可以把$(a+b)^2$展开呀，这不就变成了$a^2+ab+ab+b^2$嘛，然后一加，嘿，还是$a^2+2ab+b^2$。

这就像走一条路，从不同的方向出发，最后都能到达同一个目的地。

这完全平方公式用处可大了去了！在解决好多数学问题的时候，那可真是一把好手。

比如说要求一个长方形的面积，或者计算一些代数式的值，它都能派上大用场。

咱举个例子吧，假如有个题目让你算$(3+4)^2$，那你直接就能用完全平方公式呀，得出$3^2+2\times3\times4+4^2$，这不就能很快算出结果了嘛。

学数学啊，就得像这样一点点去琢磨，去探究。

别觉得公式难，只要你用心去理解，就会发现其中的乐趣。

就像发现了一个神秘的宝藏一样，让人兴奋不已呢！所以啊，大家可别小瞧了这完全平方公式的两种推导方法，它们可是数学世界里的宝贝呢！掌握了它们，就好像有了一把打开数学大门的钥匙，能让你在数学的海洋里畅游无阻。

大家一定要好好学，好好用，让它们为我们的数学学习助力加油！你们说是不是这个理儿？。

数学史完全平方公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数学史上有许多伟大的公式，其中之一便是完全平方公式。

完全平方公式是高中数学中非常基础且重要的一个公式，它用于将一个二次多项式因式分解成完全平方的形式。

在教学实践中，完全平方公式常常被用来简化计算和求解问题，因此熟练掌握完全平方公式对于学生来说至关重要。

下面我们将从公式的定义、历史及应用等方面来探讨完全平方公式。

我们来看一下完全平方公式的定义。

在数学中，完全平方是指一个数等于某个数的平方，也就是说它可以写成某个数的平方的形式。

完全平方公式是指一个二次多项式能够被分解成两个完全平方的形式。

这个公式的一般形式如下所示：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2a 和b 是任意实数，a^2 和b^2 分别是a 和b 的平方。

这个公式对于我们将一个二次多项式展开成完全平方的形式提供了一个简便的方法。

接下来，让我们来看一下完全平方公式的历史。

完全平方公式最早可以追溯到古希腊数学家毕达哥拉斯和欧几里得，他们提出了许多关于完全平方的理论和性质。

而完全平方公式本身的形式则是由阿拉伯数学家阿布·卡西姆·阿尔-哈桑在9世纪时发现的。

阿布·卡西姆·阿尔-哈桑是一位数学家、天文学家和物理学家，他在其著作《代数学》中首次提出了完全平方公式的一般形式。

从此以后，完全平方公式成为了代数学中重要的工具，并被广泛传播和应用。

在学习完全平方公式时，我们需要注意一些常见的公式变形。

我们可以通过完全平方公式将一个二次多项式展开成完全平方的形式，也可以通过反复利用公式的性质来将一个完全平方的形式化简成一个二次多项式。

我们还可以应用完全平方公式来求解一元二次方程和解析几何中的问题，这有助于我们更深入地理解完全平方公式的应用价值。

完全平方公式是数学中一个非常基础且重要的公式，它对于化简计算、解决问题以及证明定理等都有着重要的应用。

通过学习完全平方公式，我们可以更好地理解代数学中的各种概念和原理，提高数学的综合应用能力，从而更好地应对数学学习和研究中的各种挑战。

完全平方公式变化形式完全平方公式，这可是咱们数学学习中的“常客”！它的变化形式就像是孙悟空的七十二变，花样繁多但又有迹可循。

咱们先来说说完全平方公式的基本形态：(a+b)² = a² + 2ab + b²，(a - b)² = a² - 2ab + b²。

这两个公式大家应该都不陌生吧？但是，它的变化形式那才叫有趣呢！比如说，a² + b² = (a + b)² - 2ab ，这就像是把原本的公式“拆了重装”。

我记得之前有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生就一脸懵地问我：“老师，这变来变去的，到底有啥用啊？”我笑着回答他：“这用处可大了去啦！就好比你要盖房子，这公式就是你的建筑蓝图，不同的变化形式能帮你解决不同的问题。

”咱们就拿一个简单的例子来说。

假设小明有一块长方形的土地，长为 a + b 米，宽为 a - b 米，让咱们求这块土地的面积。

这时候，咱们就可以用完全平方公式的变化形式来解决。

面积就是 (a + b)(a - b) ，展开之后就是 a² - b²。

再比如，在代数运算中，经常会遇到化简式子的情况。

像化简 a² +6a + 9 ，咱们一眼就能看出来，这其实就是 (a + 3)²嘛。

还有在求解方程的时候，完全平方公式的变化形式也能大显身手。

比如 x² + 4x - 5 = 0 ，咱们通过配方，可以把它变成 (x + 2)² - 9 = 0 ，这样是不是就好解多啦？总之，完全平方公式的变化形式在数学的世界里就像是一把万能钥匙，能打开各种难题的锁。

咱们在学习这些变化形式的时候，可不能死记硬背，得理解着来。

多做几道练习题，多琢磨琢磨其中的规律，慢慢地就能熟练掌握啦。

希望同学们都能跟完全平方公式的变化形式成为好朋友，让它帮助咱们在数学的海洋里畅游，攻克一个又一个难题！。

完全平方公式及其变形公式好的，以下是为您生成的文章：在咱们数学的世界里，有这么一对神奇的公式，就像一对默契十足的好伙伴，时刻准备着帮咱们解决各种各样的难题，它们就是完全平方公式及其变形公式。

还记得我读中学那会，有一次数学考试，最后一道大题就是用完全平方公式来解题。

当时我看着那道题，心里就像揣了只小兔子，怦怦直跳。

题目是这样的：已知一个正方形的边长增加了 3 厘米，面积就增加了 39 平方厘米，求原来正方形的边长。

我一开始有点懵，这可咋办呀？但静下心来一想，这不就是完全平方公式的用武之地嘛！咱们先设原来正方形的边长为 x 厘米，那么边长增加 3 厘米后，新正方形的边长就是 (x + 3) 厘米。

根据正方形面积公式，原来正方形的面积是 x²平方厘米，新正方形的面积就是 (x + 3)²平方厘米。

因为面积增加了 39 平方厘米，所以可以列出方程：(x + 3)² - x² = 39。

接下来就是完全平方公式大显身手的时候啦！(x + 3)²展开就是 x² + 6x + 9，代入方程就得到 x² + 6x + 9 - x² = 39 ，化简一下，6x + 9 = 39 ，再解这个方程，6x = 30 ，x = 5 。

哎呀，当算出答案的那一刻，我心里那叫一个美呀，就像大热天吃了根冰棍儿，爽极了！那咱们先来好好认识一下完全平方公式吧。

完全平方公式有两个：(a + b)² = a² + 2ab + b²，(a - b)² = a² - 2ab + b²。

这两个公式看起来有点复杂，其实就像搭积木一样，把各项按照规则拼在一起就行。

比如说 (a + b)²，就是先把第一个括号里的 a 和 b 分别平方，得到a²和 b²，然后再把 a 和 b 相乘，乘 2 ，得到 2ab ，最后把它们加起来，就是 a² + 2ab + b²啦。

完全平方公式一、完全平方公式两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

用字母表示为222222()2,()2,a b a ab b a b a ab b +=++-=-+ 逆用：2222222(),2().a ab b a b a ab b a b ++=+-+=-二、完全平方公式变形（知二求一）：a+b,a-b,ab222()2a b a b ab +=-+222()2a b a b ab +=+- 222212[()()]a b a b a b +=++-22222212()2()2[()()]a b a b ab a b ab a b a b +=+-=-+=++-22()()4a b a b ab +=-+ 2214[()()]ab a b a b =+-- 三、完全平方公式几何证明1．已知x+y=﹣5，xy=3，则x 2+y 2=（ ）A ．25B ．﹣25C ．19D ．﹣19解：∵x+y=﹣5，xy=3，∴x 2+y 2=（x+y ）2﹣2xy=25﹣6=19．故选：C ．2．在下列运算中，计算正确的是（ ）A ．（x 5）2=x 7B ．（x ﹣y ）2=x 2﹣y 2C ．x 13÷x 3=x 10D ．x 3+x 3=x 6 解：A 、（x 5）2=x 10，故选项错误；B 、（x ﹣y ）2=x 2﹣2xy+y 2，故选项错误； C 、正确；D 、x 3+x 3=2x 3，故选项错误．故选C ．3．下列运算正确的是（ ）A ．2a 2+3a 3=5a 5B ．a 6÷a 3=a 2C ．（﹣a 3）2=a 6D ．（x+y ）2=x 2+y 2 解：A 、原式不能合并，本选项错误；B 、a 6÷a 3=a 3，本选项错误； C 、（﹣a 3）2=a 6，本选项正确；D 、（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，本选项错误，故选C 。

北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。

该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。

两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。

为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。

这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。

完全平方公式的推理完全平方公式，这可是数学学习中的一个重要“小伙伴”呀！咱们先来说说啥是完全平方公式。

它有两个，一个是（a + b）² = a²+ 2ab + b²，另一个是（a - b）² = a² - 2ab + b²。

这两个公式看起来好像有点复杂，但是只要咱们好好琢磨琢磨，就能发现其中的妙处。

我记得有一次给学生们讲这部分内容的时候，有个小同学一脸迷茫地看着我，就好像面前是一团怎么也解不开的毛线球。

我就想着得用个特别的办法让他们搞明白。

我拿出了一堆小方块，摆成一个边长为 a 的正方形，然后在旁边又加了一个宽为b 的长条。

这时候整个图形就变成了一个边长为（a + b）的大正方形。

我让同学们自己数数增加的面积，然后再和（a + b）²展开后的结果对比。

嘿，不少同学一下子就“开窍”啦，眼睛都亮了起来。

咱们来仔细推理一下这两个公式。

先看（a + b）²，把它展开就是（a + b）×（a + b），用乘法分配律，就得到 a×（a + b） + b×（a + b），进一步计算就是 a² + ab + ab + b²，整理一下就是 a² + 2ab + b²。

再看（a - b）²，其实道理是一样的。

把它看成（a + (-b)）²，按照前面的方法展开，就得到 a² + 2a×(-b) + (-b)²，也就是 a² - 2ab + b²。

完全平方公式在解决数学问题的时候可太有用啦！比如说，要计算（3 + 2）²，咱们不用一个一个去乘，直接套用公式，a = 3，b = 2，那就是 3² + 2×3×2 + 2² = 9 + 12 + 4 = 25，是不是很快？还有在代数式的化简中，要是碰到像 x² + 6x + 9 这样的式子，咱们一眼就能看出这是（x + 3）²，多方便！在实际生活中，完全平方公式也有它的用武之地呢。

第8章整式乘法与因式分解8.3 完全平方公式与平方差公式（续表）_________________________________________________________________________________________________________④[习题反思]好题题号_____________________________________________错题题号_____________________________________________第1课时完全平方公式学案1、完全平方公式有两个：（a+b）2=a2+2ab+b2,（a-b）2=a2-2ab+b2.即，两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍.这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一同，为（a±b）2=a2±2ab+b2.为便于记忆，可抽象的叙说为：“首平方、尾平方，2倍乘积在中央”.几何背景：如图，大正方形的面积可以表示为（a+b）2，也能够表示为S＝SⅠ+ SⅡ+ SⅢ+SⅣ，同时S＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2.从而验证了完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2.2、完全平方公式的特点是：左侧是两个相反的二项式相乘，右侧是三项式，是左侧二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍.公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也能够表示单项式或多项式等代数式.只需符合这一公式的结构特点，就可以运用这一公式.3、在运用完全平方公式时应留意成绩：（1）千万不要发生类似（a±b）2=a 2±b 2的错误；（2）不要与公式（ab ）2=a 2b 2混淆；（3）切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；（4）计算时，应先观察所给标题的特点能否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算.名师导学互动典例精析：知识点1：改变公式中b a ,的符号：例1、运用完全平方公式计算： ()252y x +-【解题思绪】本例改变了公式中b a ,的符号，处理方法之一：把两式分别变形为()()[]225252y x y x --=+-()252y x -=再用公式计算（反思得：()()()()2222;b a b a a b b a +=---=-）；方法二：把两式分别变形为：()()222552x y y x -=+-后直接用公式计算；方法三：把两式分别变形为()()[]225252y x y x +-=+-后直接用公式计算.【解】()252y x +-=()()()22222420252252525x xy y x x y y x y +-=+⨯⨯-=-.【方法归纳】对乘法公式的最初运用是模仿套用，套用的前提是确定能否具备运用公式的条件，关键是正确确定“两数”即“a ”和“b ”.对应练习：()2b a --知识点2：改变公式中的项数 例2、计算：()2c b a ++【解题思绪】完全平方公式的左侧是两个相反的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用全体思想看成一项，从而化解矛盾.所以在运用公式时， ()2c b a ++ 可先变形为()[]2c b a ++ 或()[]2c b a ++ 或者()[]2b c a ++ ，再进行计算．【解】()2c b a ++=()[]2c b a ++=()()bc ac ab c b a c c b a b a 222222222+++++=++++.【方法归纳】运用全体思想可以使计算更为简便，快捷. 对应练习：（2a －b ＋4）2知识点3：改变公式的结构例3、运用公式计算： （1）()()y x y x 22++； （2）()()b a b a --+. 【解题思绪】本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特点，但仔细观察易发现，只需将其中一个因式作适当变形就可以了.【解】（1）()()y x y x 22++=()2222422y xy x y x ++=+；（2）()()b a b a --+=()2222b ab a b a ---=+-.【方法归纳】观察到两个因式的系数有倍数关系或相反关系是正确变形并利用公式的前提条件. 对应练习：计算：()()a b b a --知识点4：利用公式简便运算 例4：计算：9992【解题思绪】本例中的999接近1000，故可化成两个数的差，从而运用完全平方公式计算.【解】()=+-=+-=-=120001000000120001000110009992222998001. 【方法归纳】有些数学计算可拆成两数（式）平方差、完全平方公式的方式，正用乘法公式可使运算简捷、快速. 对应练习：计算：100.12知识点5：公式的逆用例5、计算： ()()()()2233525++++-+x x x x【解题思绪】本题若直接运用乘法公式和法则较繁琐，仔细分析可发现其结构恰似完全平方公式()2222b ab a b a +-=-的右侧，不妨把公式倒过来用.【解】()()()()2233525++++-+x x x x =()()[]4352=+-+x x .【方法归纳】解题中，•若把留意力和着眼点放在成绩的全体上，多方位考虑、联想、探求，进行全体考虑、全体变形，•从不同的方面确定解题策略，能使成绩迅速获解．对应练习：化简()()()()223372272++++-+a a a a 知识点6：公式的变形例6、已知实数a 、b 满足()1,102==+ab b a .求以下各式的值：（1）22b a +；（2）()2b a -【解题思绪】此例是典型的整式求值成绩，若按常规思想把a 、b 的值分别求出来，非常困难；仔细探求易把这些条件同完全平方公式结合起来，运用完全平方公式的变方式很容易找到解决成绩的途径.【解】（1）22b a +=()822=-+ab b a ； （2）()()ab b a b a 422-+=-=6.【方法归纳】()()ab b a b a 422-+=-()(),422ab b a b a +-=+()()ab b a b a ab b a b a 2,2222222+-=+-+=+熟习完全平方公式的变方式，是相关全体代换求知值的关键. 对应练习：已知：x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＝5，求xy 的值. 知识点7：乘法公式的综合运用 例7、计算：()()z y x z y x -+++【解题思绪】此例是三项式乘以三项式，特点是：有些项相反，另外的项互为相反数。