湖北省黄冈市2015届高三10月质量检测 数学(理)试题及答案

稳派湖北省部分学校2015届高三一轮复习质量检测理科数学本试卷分为第错误！未找到引用源。

卷（选择题）和第错误！未找到引用源。

卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第错误！未找到引用源。

卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．设i 是虚数单位，若复数2i1im -+为纯虚数，则实数m 的值为 A ．2 B ．2- C ．12 D ．12-【答案】A 【解析】依题意2i (2i )(1i )22i 1i (1i )(1i )22m m m m ----+==-++-．由复数2i 1i m -+为纯虚数可知202m -=，且202m +≠，求得2m =．故选A ． 【解题探究】本题主要考查复数的基本概念与复数的运算．解题的关键是利用复数运算法则进行复数的乘法、除法运算，求解时还需要注意理解纯虚数的概念． 2．已知()3sin f x x x π=-，命题:p (0,)2x π∀∈，()0f x <，则A ．p 是假命题，:p ⌝(0,)2x π∀∈，()0f x ≥B ．p 是假命题，:p ⌝0(0,)2x π∃∈，0()0f x ≥C ．p 是真命题，:p ⌝0(0,)2x π∃∈，0()0f x ≥D ．p 是真命题，:p ⌝(0,)2x π∀∈，()0f x >【答案】C ．【解析】因为()3cos f x x π'=-，所以当(0,)2x π∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，即对(0,)2x π∀∈，()(0)0f x f <=恒成立，所以p 是真命题．又全称命题的否定是特称命题，所以p⌝是0(0,)2x π∃∈，0()0f x ≥．故选C ．【解题探究】本题考查函数的单调性的判断与全称命题的否定．解题首先判断命题p 的真假，然后再将命题p 写成p ⌝的形式，注意特称命题与全称命题否定形式的基本格式． 3．某研究机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：记忆能力x 4 6 8 10 识图能力y3 568由表中数据，求得线性回归方程为45y x a =+$$，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为 A ．9.2 B ．9.5 C ．9.8 D ．10【答案】B【解析】由表中数据得7x =， 5.5y =，由(,)x y 在直线45y x a =+$$，得110a =-$，即线性回 归方程为41510y x =-$．所以当12x =时，41129.5510y =⨯-=$，即他的识图能力为9.5．故选B ． 【解题探究】本题考查统计知识中的线性回归方程的应用．解题关键是求出线性归回方程中的a $值，方法是利用样本点的中心(,)x y 在线性归回方程对应的直线上． 4．执行图中的程序框图（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则输出的S 值为A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】D ．【解析】每次循环的结果分别为：0n =，0S =；1n =，1S =；2n =，112S =+=；3n =，213S =+=；4n =，325S =+=； 5n =，527S =+=，这时4n >，输出7S =．故选D ．【解题探究】本题考查程序框图的运算和对不超过x 的最大整数[]x 的理解．要得到该程序运行后输出的S 的值，主要依据程序逐级运算，并通过判断条件4?n >调整运算的续与结束，注意执行程序运算时的顺序．5．一个几何体的三视图如图所示，如该几何体的表面积为922cm ，则h 的值为A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱，其底面直角梯形的上底为2，下底为5，高为4， 四棱柱的高为h ，则几何体的表面积2524(2452+⨯⨯+++2234)h ++92=，即1664h =，解得4h =．故选A ．【解题探究】本题考查立体几何中的三视图及几何体的体积计算．通过题中给出的三视图，分析可以得到该几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱，然后依据四棱柱的表面积公式进行计算．6．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若s i n 3c o s 0b A a B -=，且2b ac =，则a cb+的值为 A ．22B ．2C ．2D ．4 【答案】C ．【解析】由正弦定理得sin sin 3sin cos 0B A A B -=，因为sin 0A ≠，所以sin cos 0B B -=． 所以tan 3B =，又0B π<<，所以3B π=．由余弦定理得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，即22()3b a c ac =+-，又2b ac =，所以224()b a c =+，求得2a cb+=．故选C ． 【解题探究】本题考查正弦定理、余弦定理得应用．解题先由正弦定理求得角B ，再由余弦定理 列出关于a ，c 的关系式，然后进行合理的变形，即可求出a cb+的值． 7．设1213(sin )m x x dx -=+⎰，则多项式61()x m x+的常数项为A ．54-B ．54C ．1516-D ．1516【答案】D ．【解析】因为12311123(sin )3(cos )32133m x x dx x x -=+=-=⨯=-⎰，则多项式为61()2x x+，它的展开式的通项公式为1k T +=366626611()()22k kkkkk C x C xx---=⋅，令3602k -=，求得2k =，所以展开式的常数项为2436115()216T C =⋅=．故选D ． 【解题探究】本题考查定积分的计算和二项式定理的应用．先由定积分求出m 的值，再求解二 项式展开式中的常数项，利用二项式61()2x x+的展开式的通项，令x 的对应次数为0即可求出其常数项．8．如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为A .117 B .217 C .317 D .417【答案】B .【解析】因为大正方形的面积是34，所以大正方形的边长是34，由直角三角形的较短边长为3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4.所以小花朵落在小正方形内的概率为423417P ==.故选B . 【解题探究】本题考查几何概型的计算. 几何概型的解题关键是求出两个区间的长度（面积或体积），然后再利用几何概型的概率计算公式()=A P A 构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）求解．所以本题求小花朵落在小正方形内的概率，关键是求出小正方形的面积和大正方形的面积.9．已知双曲线:C 22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线与抛物线22y px =（0p >）的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若双曲线C 的离心率为2，AOB △的面积为3，则AOB △的内切圆半径为A ．31-B ．31+C ．233-D ．233+【答案】C ．【解析】由22221()2c a b b e a a a +===+=，可得3b a =．由2b y x ap x ⎧=±⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，求得(,)22p bp A a -，(,)22p bp B a --，所以1322AOB bp pS a =⨯⨯=△．将3b a =代入，得24p =，解得2p =．所以(1,3)A -，(1,3)B --，则AOB △的三边分别为2，2，23，设AOB △的内切圆半径为r ，由1(2223)32r ++=，解得233r =-．故选C ． 【解题探究】本题考查双曲线和抛物线的综合应用．求解这类问题关键是结合两个曲线的位置关系，找到它们对应的几何量，然后利用图形中的平面几何性质解答问题．10．给定区域:D 40420x y x y x y x +≥⎧⎪+≤⎪⎨+≥⎪⎪≥⎩，令点集00000{(,)|,,(,)T x y D x y x y =∈∈Z 是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点最多能确定三角形的个数为A ．15B ．25C ．28D ．32 【答案】B ．【解析】作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示， 因为直线z x y =+与直线4x y +=，直线2x y +=平行，所以 直线z x y =+过直线4x y +=上的整数点：(4,0)，(3,1)，(2,2)，(1,3)，(0,4)时，直线的纵截距最大，即z 最大；直线z x y =+过直线2x y +=上的整数点：(0,2)，(1,1)时，直线的纵截距最小，即z 最小．所以满足条件的点共有7个，则T 中的点最多能确定三角形的个数为3375351025C C -=-=（个）．故选B ． 【解题探究】本题是一道涉及线性规划和组合数求解的综合题．问题求解分两步完成：第一步求出目标函数z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点；第二步计算T 中的点最多能确定三角形的个数．在计算三角形个数时，注意排除三点共线的情形．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.） (一)必考题（11—14题）11．设1e ，2e 为单位向量，其中122=+a e e ，2=b e ，且a 在b 上的投影为2，则1e 与2e 的夹角为 ． 【答案】3π． 【解析】设1e 与2e 夹角为θ，则2122122122(2)22||||cos 12||||1θ+⋅⋅+⋅===⋅+=e e e e e e a b e e b e ，解得1cos 2θ=，所以3πθ=．故填3π． 【解题探究】本题考查向量的基本运算及单位向量、向量的投影概念的理解．解题关键是对向量投影的理解：若已知向量a ，b ，则a 在b 上的投影为||cos ,||⋅<>=a ba ab b ． 12．若直线1()2f x x t =+经过点(1,0)P ，且1()(2)(3)2f a f b f c ++=-，则当32a b c ++= 时，22223a b c ++取得最小值． 【答案】2【解析】由直线1()2f x x t =+经过点(1,0)P ，得1012t =⨯+，即12t =-，所以11()22g x x =-．又由1()(2)(3)2g a g b g c ++=-，得131(23)222a b c ++-=-，即232a b c ++=．由柯西不等式，得2222222(2)(3)1(2)(3)(2233)4a b c a b c ⎡⎤⎡⎤++⋅++≥+⋅+⋅=⎣⎦⎣⎦，由此可得2a +22422363b c +≥=．等号成立的条件为23123a b c==且232a b c ++=，即13a =，13b =，13c =，所以322a b c ++=．故填2．【解题探究】本题考查柯西不等式在求解三元条件最值上的应用．先由直线过定点(1,0)P 可得232a b c ++=，然后再思考系数的匹配，构造柯西不等式的形式，可求出22223a b c ++的最小值，最后由柯西不等式等号成立求出a ，b ，c ，可得32a b c ++的值．13．我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前56-世纪）提出了一条原理“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等．设由曲线24x y =和直线4x =，0y =所围成的平面图形，绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为1Г；由同时满足0x ≥，2216x y +≤，22(2)4x y +-≥，22(2)4x y ++≥的点(,)x y 构成的平面图形，绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为2Г，根据祖暅原理等知识，通过考察2Г可以得到1Г的体积为 ． 【答案】32π．【解析】作出两曲线所表示的可行区域知，2Г的轴截面为一半径为4的半圆内切两半径为2的 小圆所形成，面积近似为1Г的轴截面面积的两倍，符合祖暅原理．又2Г的体积为3443V π=⨯- 3422643ππ⨯⨯=，于是1Г所表示几何体的体积应为32π．故填32π．【解题探究】本题以数学史中祖暅原理为命题背景，考查旋转体的体积求解和类比推理能力．解题时首先由问题给出的图形旋转，求出旋转体2Г的体积，然后利用祖暅原理分析出旋转体1Г的体积与旋转体2Г的体积之间的关系，进而得到1Г的体积． 14．若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则称m 为离实数x 最近的整数，记作[]x ，即[]x m =． （1）若1122x -<≤，则[]()f x x x =-的值域是 ；（2）设集合[]{}(,)|(),A x y y f x x x x ===-∈R ，{}(,)|()1,B x y y g x kx x ===-∈R ，若集合A B I 的子集恰有4个，则实数k 的取值范围是 .【答案】11,22⎛⎤-⎥⎝⎦；33,5⎡⎫--⎪⎢⎣⎭或33,117⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】（1）当11,22x ⎛⎤∈-⎥⎝⎦时，[]0x =，[]11(),22f x x x x ⎛⎤=-=∈- ⎥⎝⎦.故填11,22⎛⎤- ⎥⎝⎦. （2）由条件知()f x 是周期为1的周期函数，由周期性可作出其图象.又集合A B I 的子集恰有4个，即A B I 中只有两个元素.作出()f x 和()g x 的图象如图所示，则有11(1)(1)22150022k ----≤<----或11(1)(1)221170022k ----<≤--，即335k -≤<-或33117k <≤.故填33,5⎡⎫--⎪⎢⎣⎭或33,117⎛⎤⎥⎝⎦. 【解题探究】本题是一道涉及创新定义、体现数形结合的小综合题．解题关键是理解“离实数x最近的整数”的数学意义，第（2）问由条件得到函数()f x 的周期性是解题的突破，这样可以得到函数的图象，从而求出实数k 的取值范围.另外解题中还要注意特殊点的选取，对应区间端点是否取得. 15．（选修4—1：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，C 、F为圆O 上的点，CA 是BAF ∠的角平分线，CD 与圆O 切于点C且交AF 的延长线于点D ，CM AB ⊥，垂足为点M .若圆O 的半径为1，30BAC ︒∠=，则DF AM ⋅= .【答案】34. 【解析】连接OC ，则有OAC OCA ∠=∠.又CA 是BAF ∠的角平分线，OAC FAC ∠=∠，所以FAC ACO ∠=∠，所以OC AD ∥.因为DC 是圆O 的切线，所以CD OC ⊥，则CD AD ⊥.由题意知AMC ADC △≌△，所以DC =CM ，DA AM =.因为DC 是圆O 的切线，由切割线定理，得2DC DF DA DF AM =⋅=⋅=2CM .在Rt ABC △中，cos AC AB BAC =⋅∠2cos303︒==，所以1322CM AC ==.于是234DF AM CM ⋅==.故填34.【解题探究】本题主要考查平面几何证明中圆的基本性质的应用．求解时首先由CA 是BAF ∠的角平分线推理出OC AD ∥，然后由圆的切割线定理得到DC CM =，求出DF AM ⋅的值．B A CDM FO •16．（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆1C 的方程为22cos()4πρθ=--，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面坐标系，圆2C 的参数方程为2cos 2sin x m y m θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，0m ≠），若圆1C 与2C 外切，则实数m 的值为 . 【答案】22±.【解析】圆1C 的方程化为2cos 2sin ρθθ=--，化简得22cos 2sin ρρθρθ=--，故其普通方程为22220x y x y +++=，其圆心1C 坐标为(1,1)--，半径12r =；圆2C 的普通方程是222(2)(2)x y m -+-=，所以2C 的坐标是(2,2)，2||r m =，因为两圆外切，所以1||2||m CC +=22(21)(21)32=+++=，所以22m =±.故填22±.【解题探究】本题考查圆的参数方程、圆的极坐标方程背景下两圆的位置关系问题．求解这类问题，先将极坐标中的圆1C 对应的方程和参数方程中的圆2C 对应的方程都化为直角坐标系下的普通方程，再在普通方程中由两圆相外切时求出实数m 的值．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分11分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（x ∈R ，0A >，0ω>，02πϕ<<）的部分图象如图所示，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为坐标原点．若4OQ =，5OP =，13PQ =．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向右平移2个单位后得到函数()y g x =的图象，当(1,2)x ∈-时，求函数()()()h x f x g x =⋅的值域．【解析】（1）由条件知2224(5)(13)5cos 5245POQ +-∠==⨯⨯，所以(1,2)P ． （2分） 由此可得振幅2A =，周期4(41)12T =⨯-=，又212πω=，则6πω=．将点(1,2)P 代入()2sin()6f x x πϕ=+，得sin()16x πϕ+=，因为02πϕ<<，所以3πϕ=，于是()2sin()63f x x ππ=+． （5分）（2）由题意可得()2sin (2)2sin 636g x x x πππ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦．所以2()()()4sin()sin 2sin 23sin cos 636666h x f x g x x x x x x ππππππ=⋅=+⋅=+⋅1cos3sin12sin()3336x x x ππππ=-+=+-． （9分）当(1,2)x ∈-时，），（22-6x 3ππππ∈-，所以）（,11-)6x 3sin(∈-ππ， 即）（,31-)6x 3sin(21∈-+ππ．于是函数()h x 的值域为（-1,3）． （12分）【命题立意】本题主要考查三角函数的图象和性质．第（1）问从给出的三角函数图象中给出三个线段信息，从中可以求出图象最高点的坐标，14T 的长度，由此推理出三角函数的解析式；第（2）问考查三角函数图象的平移、三角函数的恒等变换及三角函数的值域等知识，求解三角函数的值域，关注自变量x 的取值范围是解题的关键，同时还要结合三角函数的图象进行分析，才能准确求出其函数值域.18. （本小题满分12分）设二次函数2()2f x x ax =-+（x ∈R ，0a <），关于x 的不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素．（1）设数列{}n a 的前n 项和()n S f n =（n *∈N ），求数列{}n a 的通项公式；（2）记()2n f n b n-=（n *∈N ），则数列{}n b 中是否存在不同的三项能组成等比数列？请说明理由．【解析】（1）因为关于x 的不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素， 所以二次函数2()2f x x ax =-+（x ∈R ）的图象与x 轴相切， 则2()420a =--⨯=△，考虑到0a <，所以22a =-． 从而22()222(2)f x x x x =++=+，所以数列{}n a 的前n 项和2(2)n S n =+（n *∈N ）． （3分）于是当2n ≥，n *∈N 时，221(2)(1)22221n n n a S S n n n -⎡⎤=-=+--+=+-⎣⎦，当1n =时，211(12)322a S ==+=+，不适合上式．所以数列{}n a 的通项公式为322,12221,2,n n a n n n *⎧+=⎪=⎨+-≥∈⎪⎩N． （6分）（2）()222n f n b n n-==+． 假设数列{}n b 中存在三项p b ，q b ，r b （正整数p ，q ，r 互不相等）成等比数列，则2q p r b b b =，即2(22)(22)(22)q p r +=++，整理得2()22(2)0pr q p r q -++-=． （9分）因为p ，q ，r 都是正整数，所以2020pr q p r q ⎧-=⎨+-=⎩，于是2()02p r pr +-=，即2()0p r -=，从而p r =与p r ≠矛盾． 故数列{}n b 中不存在不同的三项能组成等比数列． （12分） 【命题立意】本题主要考查数列通项公式的求解及等比数列性质的研究．第（1）问由不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素，得到()n S f n =，然后由此求出数列{}n a 的通项公式，由n S 求通项n a 时注意检验初始项1a 是否满足；第（2）问判断数列{}n b 中是否存在不同的三项能组成等比数列，基本方法是先假设它们成等比数列，再证明问题是否有解． 19.（本小题满分12分）如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥底面ABC ，2AC AB SA ===，AC ⊥AB ，D ，E 分别是AC ，BC 的中点，F 在SE 上， 且2SF FE =．（1）求证：AF ⊥平面SBC ；（2）在线段上DE 上是否存在点G ，使二面角G AF E --的大小为30︒？若存在，求出DG 的长；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由2AC AB SA ===，AC AB ⊥，E 是BC 的中点，得2AE =．因为SA ⊥底面ABC ，所以SA AE ⊥． （2分） 在Rt SAE △中，6SE =，所以1633EF SE ==． 因此2AE EF SE =⋅，又因为AEF AES ∠=∠， 所以EFA EAS △∽△，则90AFE SAE ︒∠=∠=，即AF SE ⊥． （4分）因为SA ⊥底面ABC ，所以SA BC ⊥，又BC AE ⊥， 所以BC ⊥底面SAE ，则BC AF ⊥．又SE BC E =I ，所以AF ⊥平面SBC ． （6分） （2）解法1（常规法）：假设满足条件的点G 存在， 并设DG t =．过点G 作GM AE ⊥交AE 于点M ，AS BC EFDASBEF DG MN又由SA GM ⊥，AE SA A =I ，得GM ⊥平面SAE ．作MN AF ⊥交AF 于点N ，连结NG ，则AF NG ⊥． 于是GNM ∠为二面角G AF E --的平面角，即30GNM ︒∠=，由此可得2(1)2MG x =-． （8分） 由MN EF ∥，得MN AM EF AE =，于是有2(1)2623t MN +=，6(1)6MN t =+．在Rt GMN △中，tan 30MG MN ︒=，即263(1)(1)263t t -=+⋅，解得12t =． 于是满足条件的点G 存在，且12DG =． （12分） （2）解法2（向量法）：假设满足条件的点G 存在，并设DG t =．以A 为坐标原点，分别以AC ，AB ，AS 为x ，y ，z 轴建立空间直线坐标系D xyz -，则(0,0,0)A ，(0,0,2)S ，(1,1,0)E ， (1,,0)G t ．由2SF FE =得222(,,)333F ．所以(1,1,0)AE =u u u r ，222(,,)333AF =uu u r ，(1,,0)AG t =uuu r． （8分）设平面AFG 的法向量为111(,,)x y z =m ，则00AF AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r uuur m m ，即22203330x y z x my ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，取1y =，得x t =-，1-=t z ，即(,1,1)t t =--m ． 设平面AFE 的法向量为222(,,)x y z =n ，则ASBCEFDGxyz00AF AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r uu ur n n ，即22203330x y z x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，取1y =，得x t =-，1z t =-，即(,1,1)t t =--n ． 由二面角G AF E --的大小为30︒，得22|11(1)(1)0|cos30|2()1(1)t t t t ︒⋅-⨯+⨯-+-⨯==⋅⨯-++-|m n ||m |n |， 化简得22520t t -+=，又01t ≤≤，求得12t =． 于是满足条件的点G 存在，且12DG =． （12分） 【命题立意】本题考查空间几何图形中线面关系的平行或垂直的证明及空间角的计算．第（1）问证明AF ⊥平面SBC ，基本思路是证明AF 与平面SBC 内的两条相交直线垂直，注意合理利用题设条件给出的数量关系和图形关系；第（2）问应抓住两点找到问题的求解方向：一是点G 的预设位置，二是二面角G AF E --的位置．涉及空间二面角的问题，可以从两个不同的方法上得到求解，即常规法和向量法．20.（本小题满分12分）翡翠市场流行一种赌石“游戏规则”：翡翠在开采出来时有一层风化皮包裹着，无法知道其内的好坏，须切割后方能知道翡翠的价值，参加者先缴纳一定金额后可得到一块翡翠石并现场开石验证其具有的收藏价值．某举办商在赌石游戏中设置了甲、乙两种赌石规则，规则甲的赌中率为23，赌中后可获得20万元；规则乙的赌中率为0P （001P <<），赌中后可得30万元；未赌中则没有收获．每人有且只有一次赌石机会，每次赌中与否互不影响，赌石结束后当场得到兑现金额．（1）收藏者张先生选择规则甲赌石，收藏者李先生选择规则乙赌石，记他们的累计获得金额数为X （单位：万元），若30X ≤的概率为79，求0P 的大小； （2）若收藏者张先生、李先生都选择赌石规则甲或选择赌石规则乙进行赌石，问：他们选择何种规则赌石，累计得到金额的数学期望最大？【解析】（1）由已知得收藏者张先生赌中的概率为23，收藏者李先生赌中的概率为0P ，且两人 赌中与否互不影响．记“这2人的累计获得金额数为X （单位：万元）”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“50X =”．因为032)50(P X P ==，所以027()1(50)139P A P X P =-==-=，求得013P =． （4分）（2）设收藏者张先生、李先生都选择规则甲赌中的次数为1X ，都选择规则乙赌中的次数 为2X ，则这两人选择规则甲累计获奖得金额的数学期望为1(20)E X ，选择规则乙累计获奖得金额的 数学期望为1(30)E X ．由已知可得，12(20,)3X B ，20(20,)X B P ，所以34)(1=X E ，022)(P X E =， 从而11480(20)20()2033E X E X ==⨯=，220(30)30()60E X E X P ==． （8分）若11(20)(30)E X E X >，则080603P >，解得0409P <<； 若11(20)(30)E X E X <，则080603P <，解得0419P <<； 若11(20)(30)E X E X =，则080603P =，解得049P =． （11分） 综上所述，当0409P <<时，他们都选择规则甲进行赌石时，累计得到金额的数学期望最大；当0419P <<时，他们都选择规则乙进行赌石时，累计得到金额的数学期望最大；当049P =时，他们都选择规则甲或规则乙进行赌石时，累计得到金额的数学期望相等． （12分）【命题立意】本题以翡翠市场流行一种赌石“游戏规则”为命题背景，考查数学期望E ξ的计算及在实际中的应用.第（1）问是理解对立事件及其概率的计算，即若“2人的累计获得金额数为X （单位：万元）”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“50X =”；第（2）问是考查离散型随机变量的期望值，通过对期望值的计算，比较期望值的大小得到求解问题的决策.21.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且12||4A A =,P 为椭圆上异于1A ，2A 的点，1PA 和2PA 的斜率之积为34-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为椭圆中心，M ，N 是椭圆上异于顶点的两个动点，求OMN △面积的最大值．【解析】（1）由12||24A A a ==，得2a =，所以1(2,0)A -，2(2,0)A ． 设00(,)P x y ，则000022002322414y y x x x y b ⎧⋅=-⎪++⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得23b =． 于是椭圆C 的标准方程为13422=+y x ． （5分） （2）①当直线MN 垂直于x 轴时，设MN 的方程为x n =，由22143x y x n⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得23(,3)4M n n -，23(,3)4N n n --，从而224133233244OMN S n n n n =⨯⨯-=-△， 当2n =±时，OMN △的面积取得最大值3． （7分）②当直线线MN 与x 轴不垂直时，设MN 的方程为y kx m =+，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y ，得222(34)84120k x kmx m +++-=． 2222644(34)(412)0k m k m =-+->△，化简得22430k m -+>． （9分）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+， 222221212234||1()443134k m MN k x x x x k k+-=+⋅+-=⋅+⋅+， 原点O 到直线MN 的距离2||1m d k=+，所以22221341||232332342OMNk m m S MN d k +-⋅=⋅=⋅≤⨯=+△． 当且仅当22342k m +=时，OMN S △取得最大值3． （13分） 综合①②知，OMN △的面积取得最大值3． （14分） 【命题立意】本题考查椭圆标准方程的求解及研究直线和椭圆相交时对应三角形面积的最值讨 论．第（1）问首先由12||4A A =得到椭圆左、右顶点的坐标，再由1PA 和2PA 的斜率之积为34-求出几何量b 的值即得椭圆标准方程；第（2）问先列出OMN △的面积，需要求直线被椭圆截得的弦长，计算点到直线的距离，再讨论OMN △的面积最值．22.（本小题满分14分）已知函数()ln (1)f x x a x =--，()x g x e =．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a ≠时，过原点分别作曲线()y f x =与()y g x =的切线1l ，2l ，已知两切线的斜率互为倒数，证明：211e e a e e--<<； （3）设()(1)()h x f x g x =++，当0x ≥，()1h x ≥时，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）依题意，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对()f x 求导，得11()axf x a x x-'=-=．①若0a ≤，对一切0x >有()0f x '>，函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞． ②若0a >，当1(0,)x a ∈时，()0f x '>；当1(,)x a∈+∞时，()0f x '<．所以函数()f x 的单调递增区间是1(0,)a ，单调递减区间是1(,)a+∞． （3分） （2）设切线2l 的方程为2y k x =，切点为22(,)x y ，则22xy e =，22222()x y k g x e x '===，所以21x =，2y e =，则22xk e e ==． 由题意知，切线1l 的斜率为1211k k e==，1l 的方程为11y k x x e ==．设1l 与曲线()y f x =的切点为11(,)x y ，则1111111()y k f x a x e x '==-==， 所以1111x y ax e ==-，111a x e=-． 又因为111ln (1)y x a x =--，消去1y 和a 后，整理得1111ln 10x x e-+-=． （6分） 令11()ln 10m x x x e =-+-=，则22111)('x x x x x m -=-=，()m x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．若1(0,1)x ∈，因为11()20m e ee =-+->，1(1)0m e =-<，所以11(,1)x e∈， 而111a x e=-在11(,1)x e ∈上单调递减，所以211e e a e e --<<．若1(1,)x ∈+∞，因为()m x 在(1,)+∞上单调递增，且()0m e =，则1x e =， 所以1110a x e=-=（舍去）． 综上可知，211e e a e e --<<． （9分） （3）()(1)()ln(1)xh x f x g x x ax e =++=+-+，1()1xh x e a x '=+-+． ①当2a ≤时，因为1xe x ≥+，所以11()12011x h x e a x a a x x '=+-≥++-≥-≥++， ()h x 在[)0,+∞上递增，()(0)1h x h ≥=恒成立，符合题意．②当2a >时，因为2221(1)1()0(1)(1)x xx e h x e x x +-''=-=≥++，所以()h x '在[)0,+∞上递增，且(0)20h a '=-<，则存在0(0,)x ∈+∞，使得(0)0h '=．所以()h x 在0(0,)x 上递减，在0(,)x +∞上递增，又0()(0)1h x h <=，所以()1h x ≥不恒成立，不合题意． （13分）综合①②可知，所求实数a 的取值范围是(],2-∞． （14分） 【命题立意】本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性、利用导数求曲线的切线问题及研究不等式恒成立问题.第（1）问利用导数求函数的单调区间，注意对参数a 的分类讨论；第（2）问背景为指数函数xy e =与对数函数ln y x =关于直线y x =对称的特征，得到过原点的切线也关于直线y x =对称，主要考查利用导函数研究曲线的切线及结合方程有解零点存在定理的应该用求参数的问题，得到不等式的证明；第（3）问考查利用导数处理函数的最值和不等式的恒成立求参数的范围问题，求导过程中用到了课后习题1xe x ≥+这个结论，考查学生对课本知识的掌握程度．。

教学合作2015届高三年级十月联考试题数学（理科）本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷 （选择题，50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、已知集合2{|{|0}2x A x y B x x +===≤-，则A B = A ．[]1,1- B ．[)1,2- C ．[)1,2 D ．[]2,1-- 2、下列命题中真命题的个数是（1）若命题,p q 中有一个是假命题，则()p q ⌝∧是真命题．（2）在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“90C =”的必要不充分条件． （3）C 表示复数集，则有2,11x C x ∀∈+≥． A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、已知四个函数：①sin y x x =；②cos y x x =；③cos y x x =；④2x y x =⋅的图象如下，但顺序打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数正确的一组是A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①4、已知12515111(),log ,log 533a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >> 5、将函数2cos2y x x -的图象向右平移4π个单位长度，所得图象对应的函数()g xA1 B ．对称轴方程是7,12x k k Z ππ=+∈ C ．是周期函数，周期2T π=D ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 6、已知函数()log (01)a f x x a =<<的导函数()f x '，(),(1)()A f a b f a f a '==+-(1),(2)(1)C f a D f a f a '=+=+-+，则,,,A B C D 中最大的数是A ．AB ．BC ．CD ．D 7、已知a b <，若函数()(),f x g x 满足()()b baaf x dxg x dx =⎰⎰，则称()(),f x g x 为区间[],a b 上的一组“等积分”函数，给出四组函数：①()()2,1f x x g x x ==+； ②()()sin ,cos f x x g x x ==； ③()()234f xg x x π==； ④函数()(),f x g x 分别是定义在[]1,1-上的奇函数且积分值存在． 其中为区间[]1,1-上的“等积分”函数的组数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．48、已知2221a b c ++=，21c x x m ++≤-++对任意实数,,,a b c x 恒成立，则实数m的取值范围是A ．[)8,+∞B ．(][),42,-∞-+∞ C ．(][),18,-∞-+∞ D ．[)2,+∞9、已知由不等式组00240x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩，确定的平面区域Ω的面积为7，定点M 的坐标为()1,2-，若N ∈Ω，O 为坐标原点，则OM ON ⋅的最小值是A ．8-B ．7-C ．6-D ．4- 10、已知函数()()2212,3ln 2f x x axg x a x b =+=+设两曲线()(),y f x y g x ==有公共点，且在该点处的切线相同，则(0,)a ∈+∞时，实数b 的最大值是A ．6136eB ．616eC ．2372eD ．2332e第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上11、已知向量a 与向量b 的夹角为120，若()(2)a b a b +⊥-且2a =，则b 在a 上的投影为 12、已知偶函数()f x 在(],0-∞上满足：当(]12,,0x x ∈-∞且12x x ≠时，总有12120()()x x f x f x -<-，则不等式()()1f x f x -<的解集为 13、点O 是锐角ABC ∆的外心，812,3AB AC A π===，若AO xAB yAC =+，则23x y +=14、定义在正整数集上的函数()f n 满足（1）(())43()f f n n n N +=+∈；（2）(125)()f m m N +=∈，则有()f m = (2015)f = 15、（选修4-4：坐标系与参数方程） 曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，且(,2)θππ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的方程为sin()04πρθ+=，取线C 与曲线D 的交点为P ，则过交点P 且与曲线C 相切的极坐标方程是三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分12分）已知集合U R =，集合{|(2)(3)0}A x x x =--<，函数2(2)lg x a y a x-+=-的定义域为集合B ．（1） 若12a =，求集合()U A C B ；（2） 命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．17、（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(cos ,sin )m A A =，向量(2sin ,cos )n A A =- 若2m n +=． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆外接圆的半径为2，2b =，求边c 的长．18、（本小题满分12分）据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风已知向正南方向移动，其移动速度(/)v km h 与时间()t h 的函数图象如图所示，过线段OC 上一 点(,0)T t 作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为()t h 内 台风所经过的路程()s km ．（1）当4t =时，求s 的值，并将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；（2）若N 城位于M 地正南方向，且距N 地650km ，试判断这场台风师父会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多出时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．19、（本小题满分12分）某地一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：小时）的变化近似满足函数关系：()[]244sin ,0,24f t t t t ωω=--∈，且早上8时的温度为24C ，(0,)8πω∈．（1）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？（2）当地有一通宵营业的超市，我节省开支，跪在在环境温度超过28C 时，开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？20、（本小题满分13分）已知函数()()22(),(1)f x x x a g x x a x =-=-+-（其中a 为常数）（1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值，并写出函数()y f x =的单调区间；（2）求方程()()0f x g x -=在区间[]1,3-上实数解的个数．21、（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：当1x >时，12ln x x x<-； （Ⅱ）若不等式(1)ln(1)a t a t++>对任意的正实数t 恒成立，求正实数a 的取值范围； （Ⅲ）求证：19291()10e<教学合作2015届高三年级十月联考试题数学（理科）答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．解析：D 依题意；化简集合{|13}A x x x =≤-≥或，{|22}B x x =-≤<， 利用集合的运算可得：{|21}AB x x =-≤≤-.故选D.2．解析：C 命题（1）（2）是真命题，（3）是假命题，故选C3．解析：A ①sin y x x =是偶函数，其图象关于y 轴对称；②cos y x x =是奇函数，其图象关于原点对称；③|cos |y x x =是奇函数，其图象关于原点对称．且当0x >时，0y ≥；④2xy x =⋅为非奇非偶函数，且当0x >时，0y >；当0x <时，0y <；故选A.4．解析：B 由指数函数和对数函数的性质可知01,0,01a b c <<<<<，而1211()52a ==<，155511log log 3log 32c ==>=，所以有c a b >>，故选B.5．解析：D化简函数得2cos 22sin(2)6y x x x π=-=-，所以2()2sin(2)3g x x π=-易求最大值是2，周期是π，由22()32x k k Z πππ-=+∈，得对称轴方程是7()122k x k Z ππ=+∈ 由27222()2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤-≤+⇔+≤≤+∈，故选D. 6．解析：A 由于函数()log (01)a f x x a =<<是可导函数且为单调递减函数，,A C 分别表示函数在点,1a a +处切线的斜率，因为(1)()(1)f a f a B a a +-=+-，(2)(1)(2)(1)f a f a D a a +-+=+-+，故,B D 分别表示函数图象上两点(,()),(1,(1))a f a a f a ++和两点(1,(1)),(2,(2))a f a a f a ++++连线的斜率，由函数图象可知一定有A B C D <<<，四个数中最大的是D ，故选D .7．解析：C 对于①，1101111()2||2()22f x dx x dx x dx xdx ---==-+=⎰⎰⎰⎰，或者利用积分的几何意义（面积）直接可求得11()2f x dx -=⎰，而11121111()(+1)()|22g x dx x dx x x ---==+=⎰⎰，所以①是一组“等积分”函数；对于②，1111()sin 0f x dx xdx --==⎰⎰，而1111()cos 2sin10g x dx xdx --==≠⎰⎰，所以②不是一组“等积分”函数；对于③，由于函数()f x 的图象是以原点为圆心，1为半径的半圆，故111()2f x dx π--==⎰⎰，而1112311131()|442g x dx x dx x πππ---===⎰⎰，所以③是一组“等积分”函数；对于④，由于函数(),()f x g x 分别是定义在[1,1]-上的奇函数且积分值存在，利用奇函数的图象关于原点对称和定积分的几何意义，可以求得函数的定积分1111()()0f x dx g x dx --==⎰⎰，所以④是一组“等积分”函数，故选C8．解析：B 由柯西不等式得, 9))(432()232(2222=++++≤++c b a c b a ,即3232≤++c b a ,2c +的最大值为3，当且仅当22221c a b c ==++=⎩时等号成立；所以21||c x x m ++≤-++对任意实数,,,a b c x 恒成立等价于1||3x x m -++≥对任意实数x 恒成立，又因为1|||(1)()||1|x x m x x m m -++≥--+=+对任意x 恒成立，因此有即13m +≥，解得24m m ≥≤-或，故选B.9．解析： B 依题意：画出不等式组0040x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域（如右图所示）可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为8，由直线2y kx =+恒过点(0,2)B ，且原点的坐标恒满足2y kx -≤，当0k =时，2y ≤，此时平面区域Ω的面积为6，由于67<，由此可得0k <.由240y kx y x -=⎧⎨--=⎩可得242(,)11k D k k ---，依题意应有122||121k ⨯⨯=-，因此1k =-（3k =，舍去）故有(1,3)D -，设(,)N x y ，故由2z OM ON x y =⋅=-，可化为1122y x z =-，112<所以当直线1122y x z =-过点D 时，截距12z -最大，即z 取得最小值7-，故选B ． 10．解析：D依题意：()2f x x a '=+，23()a g x x'=，因为两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，设为00(,)P x y ，所以220000020000001()()23ln 23()()23f x g x x ax a x b a f x g x x a x a x a x ⎧=⇔+=+⎪⎪⎨⎪''=⇔+=⇔==-⎪⎩或，因为00x >，0a > 所以0x a =，因此22220001523ln 3ln (0)22b x ax a x a a a a =+-=->构造函数225()3ln (0)2h t t t t t =->，由()2(13l n )h t t t'=-，当130t e <<时，()0h t '>即()h t 单调递增；当13t e >时，()0h t '<即()h t 单调递减，所以1233max3()()2h t h e e ==即为实数b 的最大值.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上. 11．解析： 因为向量a 与向量b 的夹角为︒120，所以b 在a 上的投影为01||cos120||2b b =-，问题转化为求||b ，因为2()(2)()(2)02||||40a b a b a b a b b b +⊥-⇔+⋅-=⇔--= 故331||4b +=所以b 在a 上的投影为.12．解析：1{|}2x R x ∈> 依题意：偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，直接构造函数2()f x x =，问题转化为解不等式22(1)x x -<，解之得：12x >， 所以不等式(1)()f x f x -<的解集为1{|}2x R x ∈>.另解：依题意：偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增， 由于(1)()f x f x -<，即1(|1|)(||)|1|||2f x f x x x x -<⇔-<⇔> 所以不等式(1)()f x f x -<的解集为1{|}2x R x ∈>. 13．解析：53如图，O 点在,AB AC 上的射影是点,D E ，它们分别为,AB AC 的中点，由数量积的几何意义，可得||||32AB AO AB AD ⋅=⋅=，||||72AC AO AC AE ⋅=⋅=依题意有2644832AB AO xAB yAC AB x y ⋅=+⋅=+=，即432x y +=，同理24814472AC AO xAB AC yAC x y ⋅=⋅+=+=，即263x y += 综上，将两式相加可得：695x y +=，即5233x y +=14．解析：503 (2分) 1615m +（3分） 注意到(())43f f n n =+和(125)f m =， 易求得()((125))41253503f m f f ==⨯+=；因为(())43f f n n =+，所以((()))(43)4()3f f f n f n f n =+=+ 故有2(2015)(45033)4(503)34(41253)34(125)4331615f f f f f m =⨯+=+=⨯++=+⨯+=+15．解析： sin 2ρθ=-曲线Γ即直线的普通方程为0x y +=，又曲线C 即圆心为()2,0C ，半径为2的半圆，其方程为22(2)4x y -+=，注意到(,2)θππ∈，所以0y <，联立方程组得220(2)40x y x y y +=⎧⎪-+=⎨⎪<⎩，解之得22x y =⎧⎨=-⎩，故交点P 的坐标为(2,2)-.过交点P 且与曲线C 相切的直线的普通方程是2y =-，对应的极坐标方程为sin 2ρθ=-.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 解析：（1）因为集合{|23}A x x =<<，因为12a =函数29(2)4lg =lg12x x a y a x x --+=--，由9412x x -->0，可得集合19={|}24B x x <<…………2分 19{|}24U B x x x =≤≥或ð， …………………………………………4分故9(){|3}4UA B x x =≤<ð. ……………………………6分 （2）因为q 是p 的必要条件等价于p 是q 的充分条件，即A B ⊆由{|23}A x x =<<，而集合B 应满足2(2)0x a a x-+>-， 因为22172()024a a a +-=-+> 故2{|2}B x a x a =<<+， ……………………8分 依题意就有：2223a a ≤⎧⎨+≥⎩， ………………………………………10分 即1a ≤-或12a ≤≤所以实数a 的取值范围是∞(-,-1][1,2]. …………………12分17．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）依题意：(cos sin sin )m n A A A A +=-+，因为||2m n +=所以 22(cos sin (cos sin )4A A A A -++=，化简得：sin cos tan 1A A A =⇒=，故有4A π=. …………………6分（Ⅱ）依题意，在ABC ∆中，由正弦定理24sin aR A==，所以a = 由余弦定理可得：2222cos a b c b c A =+-⋅⋅，化简得：240c --=，解得：c =分18．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）由图象可知：直线OA 的方程是：3v t =，直线BC 的方程是：270v t =-+当4t =时，12v =，所以1412242s =⨯⨯=. …………………………………2分 当010t ≤≤时，213322s t t t =⨯⨯=； ………………………3分 当1020t <≤时，11030(10)30301502s t t =⨯⨯+-⨯=-…………………4分 当2035t <≤时，21150300(20)(27030)705502s t t t t =++⨯-⨯-++=-++ …………5分 综上可知s 随t 变化的规律是223[0,10]230150(10,20]70550(20,35]tt s t t t t t ⎧∈⎪⎪⎪=-∈⎨⎪⎪-+-∈⎪⎩………………………………………7分（Ⅱ）[0,10]t ∈，2max 3101506502s =⨯=<， …………………………………………8分 (10,20]t ∈,max 3020150450650s =⨯-=< …………………………9分当(20,35]t ∈时，令270550650t t -++=，解得30t =，（40t =舍去） (11)分即在台风发生后30小时后将侵袭到N 城. ……………………12分19．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）依题意()244sin 248sin()3f t t t t πωωω=--=-+ ……………………2分 因为早上8时的温度为24C ，即(8)24f =，11sin(8)08()()3383k k k Z ππωωπωπ+=⇒+=⇒=-∈……………………3分 (0,)8πω∈，故取1k =，12πω=， 所求函数解析式为()248sin(),(0,24]123f t t t ππ=-+∈. …………………………………5分 由sin()1123t ππ+=-，7(,)12333t ππππ+∈，可知3141232t t πππ+=⇒=， 即这一天在14时也就是下午2时出现最高温度，最高温度是32C .…………7分 （Ⅱ）依题意：令248sin()28123t ππ-+=，可得 1sin()1232t ππ+=- ……………………………9分 7(,)12333t ππππ+∈，71236t πππ∴+=或111236t πππ+=， 即10t =或18t =，………………11分故中央空调应在上午10时开启，下午18时（即下午6时）关闭…………12分20．（本小题满分13分）解析：（Ⅰ）2322()()2f x x x a x ax a x =-=-+，则22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--， ……………………1分令()0f x '=，得x a =或3a ，而二次函数()g x 在12a x -=处有极大值， ∴112a a a -=⇒=-或1323a a a -=⇒=； 综上：3a =或1a =-． ………………………4分 当3a =时，()y f x =的单调增区间是(,1],[3,)-∞+∞，减区间是(1,3)……5分当1a =-时，()y f x =的单调增区间是1(,1],[,)3-∞--+∞，减区间是1(1,)3--； ………………6分 （Ⅱ）22()()()[(1)]f x g x x x a x a x a -=---+-+2()()(1)x x a x a x =-+-+2()[(1)1]x a x a x =-+-+， …………8分2()(1)1h x x a x =+-+， (1)(3)a a ∆=+- 1 当13a -<<时，0∆<，()0h x =无解，故原方程的解为[1,3]x a =∈-，满足题意，即原方程有一解，[1,3]x a =∈-； …………………9分 2 当3a =时，0∆=，()0h x =的解为1x =，故原方程有两解，1,3x =； 3 当1a =-时，0∆=，()0h x =的解为1x =-，故原方程有一解，1x =-； 4 当3a >时，0∆>，由于(1)14,(0)1,(3)133h a h h a -=+>==- 若1313303a a -≤⇒≥时，()0h x =在[1,3]-上有一解，故原方程有一解； 若13133033a a ->⇒<<时，()0h x =在[1,3]-上无解，故原方程有无解； 5 当1a <-时，0∆>，由于(1)10,(0)1,(3)1330h a h h a -=+<==->()0h x =在[1,3]-上有一解，故原方程有一解； …………………11分 综上可得：当1333a <<时，原方程在[1,3]-上无解；当3a <或133a ≥时，原方程在[1,3]-上有一解；当3a =时，原方程在[1,3]-上有两解.……………13分21．（本小题满分14分）解析： （Ⅰ）令函数1()2ln f x x x x=-+，定义域是{|1}x R x ∈> 由22221(1)()10x f x x x x --'=--=≤，可知函数()f x 在(1,)+∞上单调递减 故当1x >时，1()2ln (1)0f x x x f x =-+<=，即12ln x x x <-. ……………………………3分（Ⅱ）因为0,0t a >>，故不等式(1)ln(1)a t a t ++>可化为ln(1)at t t a+>+……()* 问题转化为()*式对任意的正实数t 恒成立，构造函数()ln(1)(0)at g t t t t a=+->+， 则2221[(2)]()1()(1)()a t t a a g t t t a t t a --'=-=++++，……………6分 （1）当02a <≤时，0,(2)0t a a >-≤，()0g t '∴≥即()g t 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0g t g >=，即不等式ln(1)at t t a +>+对任意的正实数t 恒成立. （2）当2a >时，(2)0a a ->因此(0,(2))()0t a a g t '∈-<，，函数()g t 单调递减；((2),+)()0t a a g t '∈-∞>，，函数()g t 单调递增， 所以min (2)()((2))2ln(1)1a a g t g a a a a -=-=--- 2,11a a >∴->，令11x a =->， 由(Ⅰ)可知2min (2)11()2ln(1)2ln 2ln ()01a a x g t a x x x a x x--=--=-=--<-，不合题意. 综上可得，正实数a 的取值范围是(0,2]. ………………10分 （Ⅲ）要证19291()10e <，即证910119ln 2ln 19ln 219ln(1)21099e <-⇔>⇔+>， 由（Ⅱ）的结论令2a =，有2(1)ln(1)2t t++>对0t >恒成立， 取19t =可得不等式119ln(1)29+>成立， 综上，不等式19291()10e<成立. ………………………………14分。

2015-2016学年湖北省百校大联盟高三（上）10月联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，．若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（﹣2，3）C．（﹣∞，﹣2）D．[3，+∞）2．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（﹣1）]等于（）A．B．1 C．D．3．（5分）已知cosθ=tan（﹣），则sin（﹣θ）等于（）A．B．﹣C．D．4．（5分）若（3x2﹣2ax）dx=4cos2xdx，则a等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．45．（5分）已知命题p：若θ是第二象限角，则sinθ（1﹣2cos2）＞0，则（）A．命题p的否命题为：若θ是第二象限角，则sinθ（1﹣2 cos2）＜0B．命题p的否命题为：若θ不是第二象限角，则sinθ（1﹣2 cos2）＞0C．命题p是假命题D．命题p的逆命题是假命题6．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=x+，且f（﹣2）=3，则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．2x﹣y+1=0 B．x﹣y﹣4=0 C．x+y﹣2=0 D．x+y﹣4=07．（5分）若xlog52≥﹣1，则函数f（x）=4x﹣2x+1﹣3的最小值为（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣1 D．08．（5分）已知函数f（x）=2sin（π+x）sin（x++φ）的图象关于原点对称，其中φ∈（0，π），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）的图象．（）A．关于点（）对称B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D．可由函数f（﹣x）的图象向右平移个单位得到9．（5分）已知命题p：∃x∈R，≤cos2．若（¬p）∧q是假命题，则命题q可以是（）A．若﹣2≤m＜0，则函数f（x）=﹣x2+mx在区间（﹣4，﹣1）上单调递增B．“1≤x≤4”是“x≥﹣1”的充分不必要条件C．x=是函数f（x）=cos 2x﹣sin 2x的一条对称轴D．若a∈[，6），则函数f（x）=x2﹣alnx在区间（1，3）上有极值10．（5分）已知x=是函数f（x）=（b﹣）sinx+（a﹣b）cosx（a≠0）的一个零点，则函数g（x）=asinx﹣bcosx的图象可能是（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，且函数g（x）=log a（x2+x+2）（a＞0，且a≠1）在[﹣，1]上的最大值为2，若对任意x1∈[﹣1，2]，存在x2∈[0，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．[﹣，+∞]12．（5分）设函数f（x）=e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x（x≥﹣2），若不等式f（x）≤0有解，则实数α的最小值为（）A．B．2﹣C．1﹣D．1+2e2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知集合A={﹣2，a}，B={ 2015a，b}，且A∩B={l}，则A∪B=．14．（5分）若“m＜a”是“函数g（x）=5﹣x+m的图象不过第一象限”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是．15．（5分）若x∈[﹣，]，则f（x）=的最大值为．16．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣）﹣+，当＜x＜时，不等式f（x）•log2（x﹣2m+）＞0恒成立，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）=Asin（4x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在时取得最大值2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的解析式；（3）若，，求的值．18．（12分）函数f（x）=lg[﹣x2+（3a+2）x﹣3a﹣1]的定义域为集合A．（1）设函数y=x2﹣2x+3（0≤x≤3）的值域为集合B，若A∩B=B，求实数a的取值范围；（2）设集合B={x|（x﹣2a）（x﹣a2﹣1）＜0}，是否存在实数a，使得A=B？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．19．（12分）已知函数f（x）=（sinx+cox）2﹣2．（1）当x∈[0，]时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若函数g（x）=﹣（1+λ）f2（x）﹣2f（x）+1在[﹣，]上单调递减，求实数λ的取值范围．20．（12分）某市政府欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），形状为直角梯形OPRE（线段EO和RP为两条底边），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中曲线AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线的一部分．（1）以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，求曲线AF所在抛物线的方程；（2）求该公园的最大面积．21．（12分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）（1）判断f（x）的奇偶性和单调性；（2）已知p：不等式af（x）≤2b（a+1）对任意x∈[﹣1，1]恒成立；q：函数g（x）=lnx+（x﹣b）2（b ∈R）在[，2]上存在单调递增区间，若p或q为真，p且q为假，求实数b的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=（x2﹣ax+1）e x（其中e为自然对数的底数）．（1）设f（x）=xlnx﹣x2+，若a＜，求f（x）在区间[1，e]上的最大值；（2）定义：若函数G（x）在区间[s，t]（s＜t）上的取值范围为[s，t]，则称区间[s，t]为函数G（x）的“域同区间”，若a=2，求函数f （x）在（1，+∞）上所有符合条件的“域同区间”．2015-2016学年湖北省百校大联盟高三（上）10月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2016春•西藏校级期末）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，．若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（﹣2，3）C．（﹣∞，﹣2）D．[3，+∞）【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，根据A与B的交集不为空集确定出m的范围即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x+2）（x﹣3）＜0，解得：﹣2＜x＜3，即A=（﹣2，3），由B中y=，得到x≥m，即B=[m，+∞），∵A∩B≠∅，∴实数m的取值范围是（﹣∞，3），故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2015秋•湖北月考）已知函数f（x）=，则f[f（﹣1）]等于（）A．B．1 C．D．【分析】直接利用分段函数由里及外逐步求解即可．【解答】解：函数f（x）=，则f[f（﹣1）]=f[1﹣2﹣1]=f（）==．故选：D．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．3．（5分）（2015秋•湖北月考）已知cosθ=tan（﹣），则sin（﹣θ）等于（）A．B．﹣C．D．【分析】由已知结合诱导公式求得cosθ=，再由三角函数的诱导公式得sin（﹣θ）=cosθ=．【解答】解：∵cosθ=tan（﹣）=﹣，∴sin（﹣θ）=cosθ=．故选：B．【点评】本题考查利用诱导公式化简求值，是基础的计算题．4．（5分）（2015秋•湖北月考）若（3x2﹣2ax）dx=4cos2xdx，则a等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．4【分析】根据定积分的计算，分别求得（3x2﹣2ax）dx=7﹣3a，4cos2xdx=2sin2x=1，可知7﹣3a=1，即可求得a的值．【解答】解：由（3x2﹣2ax）dx=（x3﹣ax2）=7﹣3a，4cos2xdx=2sin2x=1，∴7﹣3a=1，解得：a=2，故选：C．【点评】本题考查定积分的运算，考查求原函数的方法，考查计算能力，属于基础题．5．（5分）（2015秋•湖北月考）已知命题p：若θ是第二象限角，则sinθ（1﹣2cos2）＞0，则（）A．命题p的否命题为：若θ是第二象限角，则sinθ（1﹣2 cos2）＜0B．命题p的否命题为：若θ不是第二象限角，则sinθ（1﹣2 cos2）＞0C．命题p是假命题D．命题p的逆命题是假命题【分析】写出原命题的否命题，可判断A，B；判断原命题的真，结合互为逆否的两个命题真假性相同，可判断C，D．【解答】解：命题p的否命题为：若θ不是第二象限角，则sinθ（1﹣2 cos2）≤0，故A，B错误；命题p：若θ是第二象限角，则sinθ（1﹣2cos2）=sinθcosθ＞0，为真命题，故C错误，D正确；故选：D【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，三角函数的化简求值，难度中档．6．（5分）（2015秋•湖北月考）已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=x+，且f（﹣2）=3，则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．2x﹣y+1=0 B．x﹣y﹣4=0 C．x+y﹣2=0 D．x+y﹣4=0【分析】由已知函数的奇偶性求出x＞0时的解析式，求出导函数，得到f′（1），然后代入直线方程的点斜式得答案．【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，f（﹣2）=3，∴f（2）=3，∵当x＞0时，f（x）=x+，∴2+=3，∴m=2，∴f（1）=3，∵f′（x）=1﹣，∴f′（1）=﹣1．∴曲线y=f（x）在点（1，3）处的切线方程是y﹣3=﹣（x﹣1）．即x+y﹣4=0．故选：D．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数解析式的求解及常用方法，是中档题．7．（5分）（2016•广西一模）若xlog52≥﹣1，则函数f（x）=4x﹣2x+1﹣3的最小值为（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣1 D．0【分析】由条件求得x≥﹣log25，令t=2x（t≥），即有y=t2﹣2t﹣3，由二次函数的最值求法，即可得到最小值．【解答】解：xlog52≥﹣1，即为x≥﹣log25，2x≥，令t=2x（t≥），即有y=t2﹣2t﹣3=（t﹣1）2﹣4，当t=1≥，即x=0时，取得最小值﹣4．故选：A．【点评】本题考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．8．（5分）（2015秋•湖北月考）已知函数f（x）=2sin（π+x）sin（x++φ）的图象关于原点对称，其中φ∈（0，π），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）的图象．（）A．关于点（）对称B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D．可由函数f（﹣x）的图象向右平移个单位得到【分析】由已知可得y=sin（x++φ）为偶函数．由φ∈（0，π），可得φ，从而可求f（x），g（x），由三角函数的图象和性质及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可得解．【解答】解：∵y=2sin（π+x）为奇函数，函数f（x）=2sin（π+x）sin（x++φ）的图象关于原点对称，∵y=sin（x++φ）为偶函数．∴由φ∈（0，π），可得φ=，∴f（x）=﹣sin2x=cos（2x+），∴g（x）=cos（2x﹣），∴g（）=cos0=1，A错误；f（x﹣）=﹣sin2（x﹣）=﹣sin（2x﹣﹣）=cos（2x﹣）=g（x），B正确；同理可得C，D错误．故选：B．【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查了三角函数的图象和性质，属于基本知识的考查．9．（5分）（2015秋•湖北月考）已知命题p：∃x∈R，≤cos2．若（¬p）∧q是假命题，则命题q可以是（）A．若﹣2≤m＜0，则函数f（x）=﹣x2+mx在区间（﹣4，﹣1）上单调递增B．“1≤x≤4”是“x≥﹣1”的充分不必要条件C．x=是函数f（x）=cos 2x﹣sin 2x的一条对称轴D．若a∈[，6），则函数f（x）=x2﹣alnx在区间（1，3）上有极值【分析】由已知可得命题p为假命题；若（¬p）∧q是假命题，则q也是假命题；逐一四个答案中命题的真假，可得答案．【解答】解：cos2＜0，＞0恒成立，故命题p：∃x∈R，≤cos2为假命题；若（¬p）∧q是假命题，则q也是假命题；A中，若﹣2≤m＜0，则函数f（x）=﹣x2+mx在区间（﹣4，﹣1）上单调递增，为真命题；B中，“1≤x≤4”是“x≥﹣1”的充分不必要条件C中，x=是函数f（x）=cos 2x﹣sin 2x=2cos（2x+）的一条对称轴，为真命题；D中，函数f（x）=x2﹣alnx，f′（x）=x﹣，当a=时，f′（x）=x﹣＞0在区间（1，3）上恒成立，函数无极值，故D为假命题；故选：D【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了充要条件，复合命题，函数的单调性，函数的对称性，函数的极值等知识点，难度中档．10．（5分）（2015秋•湖北月考）已知x=是函数f（x）=（b﹣）sinx+（a﹣b）cosx（a≠0）的一个零点，则函数g（x）=asinx﹣bcosx的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由题意知f（）=（b﹣）sin+（a﹣b）cos=0，从而解得a=b，（b≠0），从而可得g（0）=﹣b，g（）=﹣b，从而确定答案．【解答】解：∵x=是函数f（x）=（b﹣）sinx+（a﹣b）cosx（a≠0）的一个零点，∴f（）=（b﹣）sin+（a﹣b）cos=0，即（b﹣）+（a﹣b）=0，即a=b，（b≠0），故g（x）=bsinx﹣bcosx，故g（0）=﹣b，g（）=b﹣b=﹣b，故g（0）与g（）同号，且|g（0）|＞|g（）|；故选：B．【点评】本题考查了函数的零点的应用及函数的图象的应用，属于中档题．11．（5分）（2016•浦城县模拟）已知函数f（x）=，且函数g（x）=log a（x2+x+2）（a＞0，且a ≠1）在[﹣，1]上的最大值为2，若对任意x1∈[﹣1，2]，存在x2∈[0，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．[﹣，+∞]【分析】由已知函数g（x）=log a（x2+x+2）（a＞0，且a≠1）在[﹣，1]上的最大值为2，先求出a值，进而求出两个函数在指定区间上的最小值，结合已知，分析两个最小值的关系，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）==31﹣x﹣m，当x1∈[﹣1，2]时，f（x1）∈[﹣m，9﹣m]；∵t=x2+x+2的图象是开口朝上，且以直线x=﹣为对称轴的抛物线，故x∈[﹣，1]时，t∈[，4]，若函数g（x）=log a（x2+x+2）（a＞0，且a≠1）在[﹣，1]上的最大值为2，则a=2，即g（x）=log2（x2+x+2），当x2∈[0，3]时，g（x2）∈[1，log214]，若对任意x1∈[﹣1，2]，存在x2∈[0，3]，使得f（x1）≥g（x2），则﹣m≥1，解得m∈（﹣∞，﹣]，故选：A．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，难度中档．12．（5分）（2016•中山市校级模拟）设函数f（x）=e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x（x≥﹣2），若不等式f（x）≤0有解，则实数α的最小值为（）A．B．2﹣C．1﹣D．1+2e2【分析】化简a≥x3﹣3x+3﹣，从而令F（x）=x3﹣3x+3﹣，求导以确定函数的单调性，从而解得．【解答】解：f（x）≤0可化为e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x≤0，即a≥x3﹣3x+3﹣，令F（x）=x3﹣3x+3﹣，则F′（x）=3x2﹣3+=（x﹣1）（3x+3+e﹣x），令G（x）=3x+3+e﹣x，则G′（x）=3﹣e﹣x，故当e﹣x=3，即x=﹣ln3时，G（x）=3x+3+e﹣x有最小值G（﹣ln3）=﹣3ln3+6=3（2﹣ln3）＞0，故当x∈[﹣2，1）时，F′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0；故F（x）有最小值F（1）=1﹣3+3﹣=1﹣；故实数α的最小值为1﹣．故选：C．【点评】本题考查了导数的综合应用及转化的思想的应用，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2015秋•湖北月考）已知集合A={﹣2，a}，B={ 2015a，b}，且A∩B={l}，则A∪B={﹣2，1，2015} ．【分析】由A∩B={l}，可得a=b=1，则A∪B可求．【解答】解：∵A∩B={l}，∴a=b=1．则A∪B={﹣2，1，2015}．故答案为：{﹣2，1，2015}．【点评】本题考查了并集及其运算，是基础题．14．（5分）（2015秋•湖北月考）若“m＜a”是“函数g（x）=5﹣x+m的图象不过第一象限”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（1，+∞）．【分析】根据指数函数的图象和性质，以及必要不充分条件的定义即可求出a的范围．【解答】解：∵函数g（x）为减函数，且函数g（x）的图象不经过第一象限，则满足g（0）=1+m≤0，即m≤﹣1，∵“m＜a”是“函数g（x）=5﹣x+m的图象不过第一象限”的必要不充分条件，∴a＞1，故答案为：（1，+∞）【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质，和必要条件和充分条件，属于基础题．15．（5分）（2015秋•温州校级期中）若x∈[﹣，]，则f（x）=的最大值为﹣．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=tanx+1﹣2﹣，由x∈[﹣，]和函数的单调性可得．【解答】解：化简可得f（x）======tanx+1﹣2﹣∵x∈[﹣，]，∴tanx∈[﹣，1]，∴函数f（x）=tanx+1﹣2﹣为增函数，∴最大值为1+1﹣2﹣=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查三角函数的最值，涉及弦化切的思想和函数的单调性，属中档题．16．（5分）（2015秋•湖北月考）已知函数f（x）=sin（x﹣）﹣+，当＜x＜时，不等式f（x）•log2（x﹣2m+）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2] ．【分析】令x﹣=t（0＜t＜1），f（x）化为sint﹣t，求出导数，判断单调性，可得f（x）在＜x＜递增，即有f（x）＞0成立，由题意可得log2（x﹣2m+）＞0恒成立，运用对数函数的单调性和恒成立思想，即可得到m的范围．【解答】解：令x﹣=t（0＜t＜1），函数f（x）=sin（x﹣）﹣+=sint﹣t，导数为cost﹣，由0＜t＜1可得＜cos1＜cost＜1，即有cost﹣＞0，则f（x）在＜x＜递增，即有f（x）＞0成立，由f（x）•log2（x﹣2m+）＞0恒成立，即为log2（x﹣2m+）＞0恒成立，即有x﹣2m+＞1在＜x＜恒成立．则2m＜x﹣，由＜x﹣＜1，可得2m≤，解得m≤﹣2，故答案为：（﹣∞，﹣2]．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用导数判断单调性和对数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（2013•肇庆一模）已知函数f（x）=Asin（4x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在时取得最大值2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的解析式；（3）若，，求的值．【分析】（1）根据函数表达得ω=4，结合三角函数的周期公式即可得出f（x）的最小正周期的值；（2）由函数f（x）在时取得最大值2，得+φ=+2kπ（k∈Z），结合0＜φ＜π取k=0得，从而得到f（x）的解析式；（3）由（2）求出的解析式代入，结合诱导公式化简得，由同角三角函数的关系结合算出sinα=﹣，用二倍角的三角公式算出sin2α、cos2α之值，代入的展开式，即可得到的值．【解答】解：（1）∵函数表达式为：f（x）=Asin（4x+φ），∴ω=4，可得f（x）的最小正周期为（2分）（2）∵f（x）在时取得最大值2，∴A=2，且时4x+φ=+2kπ（k∈Z），即+φ=+2kπ（k∈Z），（4分）∵0＜φ＜π，∴取k=0，得（5分）∴f（x）的解析式是；（6分）（3）由（2）得，即，可得，（7分）∵，∴，（8分）∴，（9分），（10分）∴=．（12分）【点评】本题给出y=Asin（ωx+φ）中的部分参数，根据函数的最大值及其相应的x值求函数的表达式，并依此求特殊的三角函数的值．着重考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换、诱导公式和同角三角函数基本关系等知识，属于中档题．18．（12分）（2015秋•湖北月考）函数f（x）=lg[﹣x2+（3a+2）x﹣3a﹣1]的定义域为集合A．（1）设函数y=x2﹣2x+3（0≤x≤3）的值域为集合B，若A∩B=B，求实数a的取值范围；（2）设集合B={x|（x﹣2a）（x﹣a2﹣1）＜0}，是否存在实数a，使得A=B？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）化简集合A，B，利用A∩B=B，可得B⊆A，即可求实数a的取值范围；（2）对a进行分类讨论后，再由A=B我们易构造出一个关于a的不等式组，解不等式组，即可得到结论．【解答】解：（1）A={x|（x﹣1）（x﹣3a﹣1）＜0}，B=[2，6]，∵A∩B=B，∴B⊆A，∴3a﹣1＞6，∴a＞；（2）由于2a≤a2+1，当2a=a2+1时，即a=1时，函数无意义，∴a≠1，B={x|2a＜x＜a2+1}．…①当3a+1＜1，即a＜0时，A={x|3a+1＜x＜1}，要使A=B成立，则，无解；②当3a+1=1，即a=0时，A=∅，使A=B成立，则2a＞a2+1，无解；③当3a+1=1，即a＞0时，A={x|2＜x＜3a+1}，要使A=B成立，则，无解综上，不存在a，使得A=B．【点评】本题考查集合的关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（12分）（2015秋•湖北月考）已知函数f（x）=（sinx+cox）2﹣2．（1）当x∈[0，]时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若函数g（x）=﹣（1+λ）f2（x）﹣2f（x）+1在[﹣，]上单调递减，求实数λ的取值范围．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+），由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间，结合范围x∈[0，]，即可得解．（2）由（1）可知：f（x）在[﹣，]上单调递增，令t=f（x），则g（t）=﹣（1+λ）t2﹣2t+1在[﹣，]单调递减，根据二次函数的图象和性质分类讨论，从而解出实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=（sinx+cox）2﹣2=sin2x+3cos2x+2sinxcosx﹣2=+3×+sin2x﹣2=cos2x+sin2x=2sin（2x+），∴由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k ∈Z，∴当x∈[0，]时，求函数f（x）的单调递增区间为：[0，]．（2）由（1）可知：f（x）在[﹣，]上单调递增，令t=f（x），则g（t）=﹣（1+λ）t2﹣2t+1在[﹣，]单调递减，①当λ=﹣1时，g（t）=﹣2t+1满足；②当﹣（1+λ）＞0时，即λ＜﹣1时，，可解得λ≥，所以可得：﹣1＞λ≥，③当﹣（1+λ）＜0时，即λ＞﹣1时，≤﹣，解得λ≤﹣1+，所以可得：﹣1＜λ≤﹣1+，综上可得：≤λ≤﹣1+．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了二次函数的图象和性质，考查了分类讨论思想，属于中档题．20．（12分）（2015秋•朔州校级期中）某市政府欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），形状为直角梯形OPRE（线段EO和RP为两条底边），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中曲线AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线的一部分．（1）以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，求曲线AF所在抛物线的方程；（2）求该公园的最大面积．【分析】（1）设AF所在抛物线的方程为y=ax2（a＞0），代入点（2，4），解得a，即可得到所求AF所在抛物线的方程；（2）求得直线CE的方程，设P（x，x2）（0＜x＜2），运用梯形的面积公式，可得公园的面积，求出导数，求得单调区间和极值，也为最值，可得公园面积的最大值．【解答】解：（1）设AF所在抛物线的方程为y=ax2（a＞0），∵抛物线过F（2，4），∴4=a•22，得a=1，∴AF所在抛物线的方程为y=x2；（2）又E（0，4），C（2，6），则EC所在直线的方程为y=x+4，设P（x，x2）（0＜x＜2），则PO=x，OE=4﹣x2，PR=4+x﹣x2，∴公园的面积（0＜x＜2），∴S'=﹣3x2+x+4，令S'=0，得或x=﹣1（舍去负值），极大值当时，S取得最大值．故该公园的最大面积为．【点评】本题考查导数的运用：求最值，同时考查抛物线的方程的运用，考查运算能力，属于中档题．21．（12分）（2015秋•湖北月考）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）（1）判断f（x）的奇偶性和单调性；（2）已知p：不等式af（x）≤2b（a+1）对任意x∈[﹣1，1]恒成立；q：函数g（x）=lnx+（x﹣b）2（b ∈R）在[，2]上存在单调递增区间，若p或q为真，p且q为假，求实数b的取值范围．【分析】（1）①由函数f（x）=（a＞0，且a≠1），可得x∈R．计算f（x）±f（﹣x），即可判断出奇偶性．f′（x）==，对a分类讨论即可判断出单调性．（2）若命题p是真命题：由于函数f（x）在R是单调递增，且不等式af（x）≤2b（a+1）对任意x∈[﹣1，1]恒成立，当x=1时，函数f（x）取得最大值，可得af（1）≤2b（a+1），即可解出．若命题q是真命题：g′（x）=+2（x﹣b），由于函数g（x）=lnx+（x﹣b）2（b∈R）在[，2]上存在单调递增区间，可得g′（2）＞0，即可解出．根据p或q为真，p且q为假，可得p真q假，或p假q真．【解答】解：（1）①由函数f（x）=（a＞0，且a≠1），可得x∈R．∵f（x）+f（﹣x）=+=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数．②f′（x）==，当a＞1时，lna＞0，a﹣1＞0，a x+a﹣x＞0，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）单调递增．同理可得：当0＜a＜1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）单调递增．无论：a＞1，还是0＜a＜1，函数f（x）在R上单调递增．（2）若命题p是真命题：∵函数f（x）在R是单调递增，且不等式af（x）≤2b（a+1）对任意x∈[﹣1，1]恒成立，∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，∴af（1）=a×≤2b（a+1），化为；若命题q是真命题：g′（x）=+2（x﹣b），∵函数g（x）=lnx+（x﹣b）2（b∈R）在[，2]上存在单调递增区间，∴g′（2）＞0，∴＞0，解得．∵p或q为真，p且q为假，∴p真q假，或p假q真．∴，或，解得，或．∴b的取值范围是∪．【点评】本题考查了函数奇偶性单调性、利用导数判定函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（12分）（2015秋•湖北月考）已知函数f（x）=（x2﹣ax+1）e x（其中e为自然对数的底数）．（1）设f（x）=xlnx﹣x2+，若a＜，求f（x）在区间[1，e]上的最大值；（2）定义：若函数G（x）在区间[s，t]（s＜t）上的取值范围为[s，t]，则称区间[s，t]为函数G（x）的“域同区间”，若a=2，求函数f （x）在（1，+∞）上所有符合条件的“域同区间”．【分析】（1）首先对F（x）求导，利用导函数的零点判断原函数F（x）的单调性，分类讨论a的大小来求出最大值；（2）设函数f（x）在（1，+∞）上的“域同区间”为[s，t]（1＜s＜t）．判断f（x）为单调增函数，∴，也就是方程（x﹣1）2e x=x有两分大于1的相异实根．进而转化为判断方程是否有两个实数根．【解答】解：（1）F（x）=xlnx﹣ax+1，则F'（x）=lnx﹣a+1，F'（x）=0，解得x=e a﹣1，则函数F（x）在区间（0，e a﹣1）上单调递减，在区间（e a﹣1，+∞）上单调递增．当a≤1，即e a﹣1≤1时，函数F（x）在区间[1，e]上单调递增．则F（x）最大值为F（e）=e+1﹣ea；当1＜a＜，即1＜e a﹣1＜e时，F（x）的最大值为F（e）和F（1）中较大者；由F（e）﹣F（1）=a+e﹣ae＞0，得a＜．∵＜时，∴F（x）的最大值为F（e）=e+1﹣ae．综上所述，F（x）在区间[1，e]上的最大值为F（e）=e+1﹣ea．（2）设函数f（x）在（1，+∞）上的“域同区间”为[s，t]（1＜s＜t）．∵f（x）=（x2﹣2x+1）e x，∴f'（x）=（x2﹣1）e x＞0．即函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，∴，即也就是方程（x﹣1）2e x=x有两分大于1的相异实根．设g（x）=（x﹣1）2e x﹣x （x＞1），则g'（x）=（x2﹣1）e x﹣1．设h（x）=g'（x），则h'（x）=（x2+2x﹣1）e x．∵在（1，+∞）上有h'（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增．∵h（1）=﹣1＜0，h（2）=3e2﹣1＞0即存在唯一的x0∈（1，2），使得h（x0）=0．当x∈（1，x0）时，h（x）=g'（x）＜0，即函数g（x）在（1，x0）上是减函数；当x∈（x0，+∞）时，h（x）=g'（x）＞0，即函数g（x）在（x0，+∞）上是减函数．因为g（1）=﹣1＜0，g（x0）＜g（1）＜0，g（2）=e2﹣2＞0．所以函数g（x）在区间（1，+∞）上只有一个零点．这与方程（x﹣1）2e x=x有两个大于1的相异根矛盾，所以假设不成立．所以函数f（x）在（1，+∞）上不存在“域同区间”．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性与最值，零点定理应用，构造新函数、函数与方程思想以及转化思想应用，属中等偏上题．。

教学合作2015届高三年级十月联考试题数学（理科）本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷 （选择题，50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、已知集合2{|{|0}2x A x y B x x +===≤-，则A B = A ．[]1,1- B ．[)1,2- C ．[)1,2 D ．[]2,1-- 2、下列命题中真命题的个数是（1）若命题,p q 中有一个是假命题，则()p q ⌝∧是真命题．（2）在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“90C =”的必要不充分条件． （3）C 表示复数集，则有2,11x C x ∀∈+≥． A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、已知四个函数：①sin y x x =；②cos y x x =；③cos y x x =；④2x y x =⋅的图象如下，但顺序打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数正确的一组是A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①4、已知12515111(),log ,log 533a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >> 5、将函数2cos2y x x -的图象向右平移4π个单位长度，所得图象对应的函数()g x A1 B ．对称轴方程是7,12x k k Z ππ=+∈ C ．是周期函数，周期2T π= D ．在区间7[,]1212ππ上单调递增6、已知函数()log (01)a f x x a =<<的导函数()f x '，(),(1)()A f a b f a f a '==+-(1),(2)(1)C f a D f a f a '=+=+-+，则,,,A B C D 中最大的数是A ．AB ．BC ．CD ．D 7、已知a b <，若函数()(),f x g x 满足()()bbaaf x dxg x dx =⎰⎰，则称()(),f x g x 为区间[],a b 上的一组“等积分”函数，给出四组函数：①()()2,1f x x g x x ==+； ②()()sin ,cos f x x g x x ==； ③()()234f xg x x π==； ④函数()(),f x g x 分别是定义在[]1,1-上的奇函数且积分值存在． 其中为区间[]1,1-上的“等积分”函数的组数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．48、已知2221a b c ++=，21c x x m++≤-++对任意实数,,,a b c x 恒成立，则实数m的取值范围是A ．[)8,+∞B ．(][),42,-∞-+∞ C ．(][),18,-∞-+∞ D ．[)2,+∞9、已知由不等式组00240x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩，确定的平面区域Ω的面积为7，定点M 的坐标为()1,2-，若N ∈Ω，O 为坐标原点，则OM ON ⋅的最小值是A ．8-B ．7-C ．6-D ．4- 10、已知函数()()2212,3ln 2f x x axg x a x b =+=+设两曲线()(),y f x y g x ==有公共点，且在该点处的切线相同，则(0,)a ∈+∞时，实数b 的最大值是A ．6136eB ．616eC ．2372eD ．2332e第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上11、已知向量a 与向量b 的夹角为120，若()(2)a b a b +⊥-且2a =，则b 在a 上的投影为 12、已知偶函数()f x 在(],0-∞上满足：当(]12,,0x x ∈-∞且12x x ≠时，总有12120()()x x f x f x -<-，则不等式()()1f x f x -<的解集为 13、点O 是锐角ABC ∆的外心，812,3AB AC A π===，若AO xAB yAC =+，则23x y +=14、定义在正整数集上的函数()f n 满足（1）(())43()f f n n n N +=+∈；（2）(125)()f m m N +=∈，则有()f m = (2015)f = 15、（选修4-4：坐标系与参数方程） 曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，且(,2)θππ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的方程为sin()04πρθ+=，取线C 与曲线D 的交点为P ，则过交点P 且与曲线C 相切的极坐标方程是三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分12分）已知集合U R =，集合{|(2)(3)0}A x x x =--<，函数2(2)lg x a y a x-+=-的定义域为集合B ．（1） 若12a =，求集合()U A C B ； （2） 命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．17、（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(cos ,sin )m A A =，向量(2sin ,cos )n A A =- 若2m n +=． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆外接圆的半径为2，2b =，求边c 的长．18、（本小题满分12分）据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风已知向正南方向移动，其移动速度(/)v km h 与时间()t h 的函数图象如图所示，过线段OC 上一 点(,0)T t 作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为()t h 内 台风所经过的路程()s km ．（1）当4t =时，求s 的值，并将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；（2）若N 城位于M 地正南方向，且距N 地650km ，试判断这场台风师父会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多出时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．19、（本小题满分12分）某地一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：小时）的变化近似满足函数关系：()[]244sin ,0,24f t t t t ωω=--∈，且早上8时的温度为24C ，(0,)8πω∈．（1）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？（2）当地有一通宵营业的超市，我节省开支，跪在在环境温度超过28C 时，开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？20、（本小题满分13分）已知函数()()22(),(1)f x x x a g x x a x =-=-+-（其中a 为常数）（1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值，并写出函数()y f x =的单调区间；（2）求方程()()0f x g x -=在区间[]1,3-上实数解的个数．21、（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：当1x >时，12ln x x x<-； （Ⅱ）若不等式(1)ln(1)a t a t++>对任意的正实数t 恒成立，求正实数a 的取值范围；（Ⅲ）求证：19291()10e<教学合作2015届高三年级十月联考试题数学（理科）答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．解析：D 依题意；化简集合{|13}A x x x =≤-≥或，{|22}B x x =-≤<， 利用集合的运算可得：{|21}AB x x =-≤≤-.故选D.2．解析：C 命题（1）（2）是真命题，（3）是假命题，故选C3．解析：A ①sin y x x =是偶函数，其图象关于y 轴对称；②cos y x x =是奇函数，其图象关于原点对称；③|cos |y x x =是奇函数，其图象关于原点对称．且当0x >时，0y ≥；④2x y x =⋅为非奇非偶函数，且当0x >时，0y >；当0x <时，0y <；故选A.4．解析：B 由指数函数和对数函数的性质可知01,0,01a b c <<<<<，而1211()52a ==<，155511log log 3log 32c ==>=，所以有c a b >>，故选B.5．解析：D化简函数得2cos 22sin(2)6y x x x π=-=-，所以2()2sin(2)3g x x π=-易求最大值是2，周期是π，由22()32x k k Z πππ-=+∈，得对称轴方程是7()122k x k Z ππ=+∈ 由27222()2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤-≤+⇔+≤≤+∈，故选D. 6．解析：A 由于函数()log (01)a f x x a =<<是可导函数且为单调递减函数，,A C 分别表示函数在点,1a a +处切线的斜率，因为(1)()(1)f a f a B a a +-=+-，(2)(1)(2)(1)f a f a D a a +-+=+-+，故,B D 分别表示函数图象上两点(,()),(1,(1))a f a a f a ++和两点(1,(1)),(2,(2))a f a a f a ++++连线的斜率，由函数图象可知一定有A B C D <<<，四个数中最大的是D ，故选D .7．解析：C 对于①，1101111()2||2()22f x dx x dx x dx xdx ---==-+=⎰⎰⎰⎰，或者利用积分的几何意义（面积）直接可求得11()2f x dx -=⎰，而11121111()(+1)()|22g x dx x dx x x ---==+=⎰⎰，所以①是一组“等积分”函数；对于②，1111()sin 0f x dx xdx --==⎰⎰，而1111()cos 2sin10g x dx xdx --==≠⎰⎰，所以②不是一组“等积分”函数；对于③，由于函数()f x 的图象是以原点为圆心，1为半径的半圆，故111()2f x dx π--==⎰⎰，而1112311131()|442g x dx x dx x πππ---===⎰⎰，所以③是一组“等积分”函数；对于④，由于函数(),()f x g x 分别是定义在[1,1]-上的奇函数且积分值存在，利用奇函数的图象关于原点对称和定积分的几何意义，可以求得函数的定积分1111()()0f x dx g x dx --==⎰⎰，所以④是一组“等积分”函数，故选C8．解析：B 由柯西不等式得, 9))(432()232(2222=++++≤++c b a c b a ,即3232≤++c b a ,即2c +的最大值为3，当且仅当22221c a b c ==++=⎩时等号成立；21||c x x m ++≤-++对任意实数,,,a b c x 恒成立等价于1||3x x m -++≥对任意实数x 恒成立，又因为1|||(1)()||1|x x m x x m m -++≥--+=+对任意x 恒成立，因此有即13m +≥，解得24m m ≥≤-或，故选B.9．解析： B 依题意：画出不等式组0040x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域（如右图所示）可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为8，由直线2y kx =+恒过点(0,2)B ，且原点的坐标恒满足2y kx -≤，当0k =时，2y ≤，此时平面区域Ω的面积为6，由于67<，由此可得0k <.由240y kx y x -=⎧⎨--=⎩可得242(,)11k D k k ---，依题意应有122||121k ⨯⨯=-，因此1k =-（3k =，舍去）故有(1,3)D -，设(,)N x y ，故由2z OM ON x y =⋅=-，可化为1122y x z =-，112<所以当直线1122y x z =-过点D 时，截距12z -最大，即z 取得最小值7-，故选B ． 10．解析：D依题意：()2f x x a '=+，23()a g x x'=，因为两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，设为00(,)P x y ，所以220000020000001()()23ln 23()()23f x g x x ax a x b a f x g x x a x a x a x ⎧=⇔+=+⎪⎪⎨⎪''=⇔+=⇔==-⎪⎩或，因为00x >，0a > 所以0x a =，因此22220001523ln 3ln (0)22b x ax a x a a a a =+-=-> 构造函数225()3ln (0)2h t t t t t =->，由()2(13l n )h tt t '=-，当130t e <<时，()0h t '>即()h t 单调递增；当13t e >时，()0h t '<即()h t 单调递减，所以1233max 3()()2h t h e e ==即为实数b 的最大值.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.11．解析： 因为向量a 与向量b 的夹角为︒120，所以b 在a 上的投影为01||cos120||2b b =-，问题转化为求||b ，因为2()(2)()(2)02||||40a b a b a b a b b b +⊥-⇔+⋅-=⇔--= 故331||b +=所以b 在a 上的投影为.12．解析：1{|}2x R x ∈> 依题意：偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，直接构造函数2()f x x =，问题转化为解不等式22(1)x x -<，解之得：12x >， 所以不等式(1)()f x f x -<的解集为1{|}2x R x ∈>.另解：依题意：偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增， 由于(1)()f x f x -<，即1(|1|)(||)|1|||2f x f x x x x -<⇔-<⇔> 所以不等式(1)()f x f x -<的解集为1{|}2x R x ∈>. 13．解析：53如图，O 点在,AB AC 上的射影是点,D E ，它们分别为,AB AC 的中点，由数量积的几何意义，可得|||A B A O A⋅=⋅，||||72AC AO AC AE ⋅=⋅=依题意有2644832AB AO x AB y AC AB x y ⋅=+⋅=+=，即432x y +=，同理24814472AC AO x AB AC y AC x y ⋅=⋅+=+=，即263x y += 综上，将两式相加可得：695x y +=，即5233x y +=14．解析：503 (2分) 1615m +（3分） 注意到(())43f f n n =+和(125)f m =， 易求得()((125))41253503f m f f ==⨯+=；因为(())43f f n n =+，所以((()))(43)4()3f f f n f n f n =+=+ 故有2(2015)(45033)4(503)34(41253)34(125)4331615f f f f f m =⨯+=+=⨯++=+⨯+=+15．解析： sin 2ρθ=-曲线Γ即直线的普通方程为0x y +=，又曲线C 即圆心为()2,0C ，半径为2的半圆，其方程为22(2)4x y -+=，注意到(,2)θππ∈，所以0y <，联立方程组得220(2)40x y x y y +=⎧⎪-+=⎨⎪<⎩，解之得22x y =⎧⎨=-⎩，故交点P 的坐标为(2,2)-.过交点P 且与曲线C 相切的直线的普通方程是2y =-，对应的极坐标方程为sin 2ρθ=-.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 解析：（1）因为集合{|23}A x x =<<，因为12a =函数29(2)4lg =lg12x x a y a x x --+=--，由9412x x -->0， 可得集合19={|}24B x x <<…………2分19{|}24U B x x x =≤≥或ð， …………………………………………4分故9(){|3}4UA B x x =≤<ð. ……………………………6分 （2）因为q 是p 的必要条件等价于p 是q 的充分条件，即A B ⊆由{|23}A x x =<<，而集合B 应满足2(2)0x a a x-+>-， 因为22172()024a a a +-=-+> 故2{|2}B x a x a =<<+， ……………………8分 依题意就有：2223a a ≤⎧⎨+≥⎩， ………………………………………10分 即1a ≤-或12a ≤≤所以实数a 的取值范围是∞(-,-1][1,2]. …………………12分17．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）依题意：(cos sin sin )m n A A A A +=-+，因为||2m n += 所以22(cos sin (cos sin )4A A A A -++=，化简得：sin cos tan 1A A A =⇒=，故有4A π=. …………………6分（Ⅱ）依题意，在ABC ∆中，由正弦定理24sin aR A==，所以a = 由余弦定理可得：2222cos a b c b c A =+-⋅⋅，化简得：240c --=，解得：c =分18．（本小题满分12分） 解析：（Ⅰ）由图象可知：直线OA 的方程是：3v t =，直线BC 的方程是：270v t =-+ 当4t =时，12v =，所以1412242s =⨯⨯=. …………………………………2分 当010t ≤≤时，213322s t t t =⨯⨯=； ………………………3分 当1020t <≤时，11030(10)30301502s t t =⨯⨯+-⨯=-…………………4分 当2035t <≤时，21150300(20)(27030)705502s t t t t =++⨯-⨯-++=-++ …………5分综上可知s 随t 变化的规律是223[0,10]230150(10,20]70550(20,35]tt s t t t t t ⎧∈⎪⎪⎪=-∈⎨⎪⎪-+-∈⎪⎩………………………………………7分 （Ⅱ）[0,10]t ∈，2max 3101506502s =⨯=<， …………………………………………8分 (10,20]t ∈,max 3020150450650s =⨯-=< …………………………9分当(20,35]t ∈时，令270550650t t -++=，解得30t =，（40t =舍去）…………………………11分 即在台风发生后30小时后将侵袭到N 城. ……………………12分19．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）依题意()244sin 248sin()3f t t t t πωωω=--=-+ ……………………2分 因为早上8时的温度为24C ，即(8)24f =， 11sin(8)08()()3383k k k Z ππωωπωπ+=⇒+=⇒=-∈……………………3分 (0,)8πω∈，故取1k =，12πω=， 所求函数解析式为()248sin(),(0,24]123f t t t ππ=-+∈. …………………………………5分 由sin()1123t ππ+=-，7(,)12333t ππππ+∈，可知3141232t t πππ+=⇒=， 即这一天在14时也就是下午2时出现最高温度，最高温度是32C .…………7分 （Ⅱ）依题意：令248sin()28123t ππ-+=，可得 1sin()1232t ππ+=- ……………………………9分 7(,)12333t ππππ+∈，71236t πππ∴+=或111236t πππ+=， 即10t =或18t =，………………11分故中央空调应在上午10时开启，下午18时（即下午6时）关闭…………12分20．（本小题满分13分）解析：（Ⅰ）2322()()2f x x x a x ax a x =-=-+，则22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--， ……………………1分 令()0f x '=，得x a =或3a ，而二次函数()g x 在12a x -=处有极大值， ∴112a a a -=⇒=-或1323a a a -=⇒=； 综上：3a =或1a =-． ………………………4分 当3a =时，()y f x =的单调增区间是(,1],[3,)-∞+∞，减区间是(1,3)……5分 当1a =-时，()y f x =的单调增区间是1(,1],[,)3-∞--+∞，减区间是1(1,)3--； ………………6分 （Ⅱ）22()()()[(1)]f x g x x x a x a x a -=---+-+2()()(1)x x a x a x =-+-+ 2()[(1)1]x a x a x =-+-+， …………8分2()(1)1h x x a x =+-+， (1)(3)a a ∆=+- 1 当13a -<<时，0∆<，()0h x =无解，故原方程的解为[1,3]x a =∈-，满足题意，即原方程有一解，[1,3]x a =∈-； …………………9分 2 当3a =时，0∆=，()0h x =的解为1x =，故原方程有两解，1,3x =； 3 当1a =-时，0∆=，()0h x =的解为1x =-，故原方程有一解，1x =-； 4 当3a >时，0∆>，由于(1)14,(0)1,(3)133h a h h a -=+>==- 若1313303a a -≤⇒≥时，()0h x =在[1,3]-上有一解，故原方程有一解； 若13133033a a ->⇒<<时，()0h x =在[1,3]-上无解，故原方程有无解； 5 当1a <-时，0∆>，由于(1)10,(0)1,(3)1330h a h h a -=+<==->()0h x =在[1,3]-上有一解，故原方程有一解； …………………11分综上可得：当1333a <<时，原方程在[1,3]-上无解；当3a <或133a ≥时，原方程在[1,3]-上有一解；当3a =时，原方程在[1,3]-上有两解.……………13分21．（本小题满分14分）解析： （Ⅰ）令函数1()2ln f x x x x=-+，定义域是{|1}x R x ∈> 由22221(1)()10x f x x x x--'=--=≤，可知函数()f x 在(1,)+∞上单调递减 故当1x >时，1()2ln (1)0f x x x f x =-+<=，即12ln x x x <-. ……………………………3分（Ⅱ）因为0,0t a >>，故不等式(1)ln(1)a t a t ++>可化为ln(1)at t t a+>+……()* 问题转化为()*式对任意的正实数t 恒成立， 构造函数()ln(1)(0)at g t t t t a=+->+， 则2221[(2)]()1()(1)()a t t a a g t t t a t t a --'=-=++++，……………6分 （1）当02a <≤时，0,(2)0t a a >-≤，()0g t '∴≥即()g t 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0g t g >=，即不等式ln(1)at t t a +>+对任意的正实数t 恒成立. （2）当2a >时，(2)0a a ->因此(0,(2))()0t a a g t '∈-<，，函数()g t 单调递减；((2),+)()0t a a g t '∈-∞>，，函数()g t 单调递增， 所以min (2)()((2))2ln(1)1a a g t g a a a a -=-=--- 2,11a a >∴->，令11x a =->， 由(Ⅰ)可知2min (2)11()2ln(1)2ln 2ln ()01a a x g t a x x x a x x--=--=-=--<-，不合题意. 综上可得，正实数a 的取值范围是(0,2]. ………………10分 （Ⅲ）要证19291()10e <，即证910119ln 2ln 19ln 219ln(1)21099e <-⇔>⇔+>， 由（Ⅱ）的结论令2a =，有2(1)ln(1)2t t++>对0t >恒成立，取19t =可得不等式119ln(1)29+>成立， 综上，不等式19291()10e <成立. ………………………………14分。

第4题图湖北省黄冈市2015届高三上学期调研考试理科数学试题2015.1.12第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的。

）1．已知集合{1,2,}M zi =，i 为虚数单位，{3,4}N =，若{4}MN =，则复数z 的共轭复数z 的虚部是A ．4i -B ．4iC ．4-D ．42．对于一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同的方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则 A ．123p p p ==B ．123p p p =<C ．231p p p =<D ．132p p p =<3．下列命题中，正确的一个是A ．200,ln(1)0x R x ∃∈+<B ．22,2x x x ∀>>C ．若q p ⌝是成立的必要不充分条件，则 q p ⌝是成立的充分不必要条件D ．若()x k k Z π≠∈，则22sin 3sin x x+≥ 4．根据如图所示的框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是A ．12n n a -=B ．2n n a =C ．2(1)n a n =-D ．2n a n =5．将函数sin()cos()22y x x ϕϕ=++的图象沿x 轴向右平移8π个单位后， 得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能．．．是 A ．54π-B ．4π-C ．4πD ．34π6．已知O 是坐标原点，点(1,1)A -，若点(,)M x y 为平面区域12221log (1)0x x y y -+≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩上的一个动点，则AO OM ⋅的取值范围是 A ．[2,0]-B ．[2,0)-C ．[0,2]D ．(0,2]7．设,n n S T 分别是等差数列{},{}n n a b 的前n 项和，若*()21n n S n n N T n =∈+，则56a b = A ．513B ．919C ．1123D ．9238．若a 和b 是计算机在区间(0,2)上产生的随机数，那么函数2()lg(44)f x ax x b =++的值域为R （实数集）的概率为 A ．12ln 24+ B ．32ln 24- C ．1ln 22+ D ．1ln 22- 9．已知双曲线22221(0)x y b a a b-=>>，直线l 过点(,0)(0,)A a B b 和，若原点O 到直线l 的距离为4（c 为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为 A．23BC．3D ．210.定义：如果函数)(x f 在[]b a ,上存在),(,2121b x x a x x <<<满足a b a f b f x f a b a f b f x f --='--=')()()(,)()()(21，则称函数)(x f 是[]b a ,上的“双中值函数”。

2014-2015学年湖北省黄冈市高三（上）10月月考数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知集合A={x|lg（x-2）≥0}，B={x|x≥2}，全集U=R，则（∁U A）∩B=（）A.{x|-1＜x≤3}B.{x|2≤x＜3}C.{x|x=3}D.φ【答案】B【解析】解：由A中的不等式变形得：lg（x-2）≥0=lg1，得到x-2≥1，即x≥3，∴A={x|x≥3}，∵全集U=R，∴∁U A={x|x＜3}，∵B={x|x≥2}，∴（∁U A）∩B={x|2≤x＜3}．故选：B．求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R，求出A的补集，找出A补集与B的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.在△ABC中，“sin（A-B）cos B+cos（A-B）sin B≥1”是“△ABC是直角三角形”的（）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：sin（A-B）cos B+cos（A-B）sin B=sin（A-B+B）=sin A∵在△ABC中，sin（A-B）cos B+cos（A-B）sin B≥1，∴sin（A-B+B）=sin A≥1，∵0＜A＜π，∴A=90°，∵“△ABC是直角三角形”∴A=90°或B=90°或C=90°，根据充分必要条件的定义可判断；“sin（A-B）cos B+cos（A-B）sin B≥1”是“△ABC 是直角三角形”的充分不必要条件，故选：B根据sin（A-B）cos B+cos（A-B）sin B=sin（A-B+B）=sin A，结合三角形的边角关系判断分析．本题考查了解斜三角形，三角函数的性质，充分必要条件的定义，属于容易题．3.设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A.若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB.若l∥α，α∥β，则l⊂βC.若l⊥α，α∥β，则l⊥βD.若l∥α，α⊥β，则l⊥β【答案】C【解析】解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选C本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a ⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c=2a，则sin B=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：△ABC中，由a、b、c成等比数列，所以b2=ac，由余弦定理可知：b2=a2+c2-2accos B，又c=2a，∴2a2=a2+4a2-4a2cos B，∴cos B=，∴sin B==，故选：C．直接利用等比数列求出abc的关系，结合已知条件利用余弦定理求出B的余弦函数值，然后求解sin B．本题主要考查余弦定理的应用，等比数列的定义，同角三角函数的基本关系，考查计算能力，属于基础题．5.等比数列{a n}的首项a1=1002，公比q=，记P n=a1•a2•…•a n，则P n达到最大值时，n的值为（）A.8B.9C.10D.11【答案】C【解析】解：由等比数列的通项公式，得a n=a1•q n-1＜210×=211-n∴P n=a1•a2•a3…a n＜210•29•28•…•211-n=∵2＞1∴达到最大值时，P n达到最大值结合二次函数图象的对称轴，可得当n=10时，P n达到最大值．故选C．由等比数列的通项公式，得出数列{a n}的通项公式，再用同底数幂乘法法则得出P n的表达式，最后讨论二次函数，可得P n达到最大值时n的值．本题着重考查了等差数列、等比数列的有关知识点，属于中档题．解题的一个规律是等比数列各项为正数，这个积化作同底的幂的乘法，由此可得积的最值的解决方法．6.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（）A.30B.12C.24D.4【答案】C【解析】解：由三视图知，几何体是某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体，几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示，所以几何体的体积为：=24．故选：C．三视图复原的几何体是三棱柱去掉一个三棱锥的几何体，结合三视图的数据，求出体积即可本题考查三视图的识别以及多面体的体积问题．根据三视图得出几何体的形状及长度关系是解决问题的关键．7.若直线xcosθ+ysinθ-1=0与圆（x-cosθ）2+（y-1）2=相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意可得圆心（cosθ，1）到直线xcosθ+ysinθ-1=0的距离等于半径，即=，化简可得|sinθ-sin2θ|=，即sinθ-sin2θ=，求得sinθ=．再结合θ为锐角，可得θ=，故直线xcosθ+ysinθ-1=0的斜率为-=-，故选：A．由条件利用直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式求得sinθ=．再结合θ为锐角，可得θ=，从而求得直线xcosθ+ysinθ-1=0的斜率-的值．本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．8.已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2-2y+3）+f（x2-4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】解：∵f（x）=x+sinx（x∈R），∴f（-x）=-x-sinx=-（x+sinx）=-f（x），即f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函数，∵f（y2-2y+3）+f（x2-4x+1）≤0，∴f（y2-2y+3）≤-f（x2-4x+1）=f[-（x2-4x+1）]，由f'（x）=1-cosx≥0，∴函数单调递增．∴（y2-2y+3）≤-（x2-4x+1），即（y2-2y+3）+（x2-4x+1）≤0，∴（y-1）2+（x-2）2≤1，∵y≥1，∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．的几何意义为动点P（x，y）到定点A（-1，0）的斜率的取值范围．设k=，（k＞0）则y=kx+k，即kx-y+k=0．当直线和圆相切是，圆心到直线的距离d=，即8k2-6k=0，解得k=．此时直线斜率最大．当直线kx-y+k=0．经过点B（3，1）时，直线斜率最小，此时3k-1+k=0，即4k=1，解得k=，∴，故选：A．判断函数f（x）的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的位置关系，结合数形结合和的几何意义即可得到结论．本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，函数奇偶性和单调性的判断以及直线斜率的取值范围，综合性较强，运算量较大，利用数形结合是解决本题的基本思想．9.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若g（x）=f（x+1）+5，g（x）=f（x+1）+5，g′（x）为g（x）的导函数，对∀x∈R，总有g′（x）＞2x，则g（x）＜x2+4的解集为（）A.（-∞，-1）B.（-∞，1）C.RD.（-1，+∞）【答案】A【解析】解：因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以函数f（x）关于原点对称，又g（x）=f（x+1）+5，故g（x）的图象关于点（-1，5）对称，令h（x）=g（x）-x2-4，∴h′（x）=g′（x）-2x，∵对∀x∈R，g′（x）＞2x，∴h（x）在R上是增函数，又h（-1）=g（-1）-（-1）2-4=0，∴g（x）＜x2+4的解集是（-∞，-1）．故选A．根据函数的图象的平移得到g（x）=f（x+1）+5的图象的特点，有g′（x）＞2x知g （x）＜x2+4的单调性，可求得．本题考查抽象函数的图象间的平移，奇函数的性质，导数的应用，属于中档题．10.已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数＞有且仅有3个零点，则a的取值范围是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】解：因为f（x）=＞，有且仅有3个零点，则方程在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且a≥0．∵x＞0，∴[x]≥0；若[x]=0，则=0；若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，∴＜≤1，∴＜a≤1，且随着[x]的增大而增大．故不同的[x]对应不同的a值，故有[x]=1，2，3．若[x]=1，则有＜≤1；若[x]=2，则有＜≤1；若[x]=3，则有＜≤1；若[x]=4，则有＜≤1．综上所述，＜a≤，故选：C．由题意可得，方程在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且a≥0，[x]=1，2，3．分别求得[x]=1，2，3，4时，a的范围，从而确定满足条件的a的范围．本题主要考查函数零点的判定定理，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.已知＜，则f（f（3））的值为______ ．【答案】3【解析】解：∵＜，∴f（3）=log3（9-6）=1，f（f（3））=f（1）=3•e0=3，故答案为3．先根据函数的解析式求出f（3）的值，再把f（3）看成自变量求出f（f（3））．本题考查求函数值的方法，关键是确定将自变量代入哪一个段得解析式进行运算．12.若＜＜，＜＜，，，则= ______ ．【答案】【解析】解：∵＜＜，＜＜∴＜＜，＜＜∵，∴，∴===故答案为：根据条件确定角的范围，利用平方关系求出相应角的正弦，根据=，可求的值．本题考查角的变换，考查差角余弦公式的运用，解题的关键是进行角的变换．13.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左右分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=2015|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为______ ．【答案】【解析】解：由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2014|PF2|=2a，根据点P在双曲线的右支上，可得|PF2|=a≥c-a，∴≤，∴双曲线的离心率e的最大值为故答案为．由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2014|PF2|=2a，再根据点P在双曲线的右支上，a≥c-a，从而求得此双曲线的离心率e的最大值．本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，比较基础．14.设函数f（x）=kx3+3（k-1）x2-k2+1在区间（0，4）上是减函数，则k的取值范围是______ ．【答案】（-∞，]【解析】解：f'（x）=3kx2+6（k-1）x，∵函数f（x）=kx3+3（k-1）x2-k2+1在区间（0，4）上是减函数，∴f'（x）=3kx2+6（k-1）x≤0在区间（0，4）上恒成立当k=0时，成立k＞0时，f'（4）=48k+6（k-1）×4≤0，即0＜k≤，k＜0时，f'（4）=48k+6（k-1）×4≤0，f'（0）≤0，k＜0故k的取值范围是k≤，故答案为：（-∞，]．先求导函数f'（x），函数f（x）=kx3+3（k-1）x2-k2+1在区间（0，4）上是减函数转化成f'（x）≤0在区间（0，4）上恒成立，讨论k的符号，从而求出所求．本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于基础题．15.已知两个正数a，b，可按规律c=ab+a+b推广为一个新数c，在a，b，c三个数种取连个较大的数，按上述规则扩充到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．（1）正数1，2经过两次扩充后所得的数为______（2）若p＞q＞0，经过五次操作后扩充得到的数为（q+1）m（p+1）n-1（m，n为正整数），则m+n= ______ ．【答案】17；13【解析】解：（1）a=1，b=2，按规则操作三次，第一次：c=ab+a+b=1×2+1+2=5第二次，5＞3＞1所以有：c=2×5+2+5=17（2）p＞q＞0第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）-1因为c＞p＞q，所以第二次得：c2=（c1+1）（p+1）-1=（pq+p+q）p+p+（pq+p+q）=（p+1）2（q+1）-1所得新数大于任意旧数，所以第三次可得c3=（c2+1）（c1+1）-1=（p+1）3（q+1）2-1第四次可得：c4=（c3+1）（c2-1）-1=（p+1）5（q+1）3-1故经过5次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）5-1∴m=8，n=5故答案为：17；13．（1）a=1，b=2，按规则操作二次，第一次：c=5；第二次c=17；（2）p＞q＞0第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）-1；第二次得：c2=（p+1）2（q+1）-1；所得新数大于任意旧数，故经过5次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）5-1，故可得结论．本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知：，：，若¬q是¬p的必要而不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】解：若p真，由⇒＜，A=[1，3）．…（3分）若q真，则（x-a）（x-1）≤0，记解集为B；当a=1时，B={1}．当a＞1时，B=[1，a]；当a＜1时，B=[a，1]…（9分）∵¬q是¬p的必要而不充分条件，∴¬p⇒¬q，即q⇒p，∴B⊊A．∴a=1，或＞＜，或＜，解得1≤a＜3，故a的取值范围是[1，3）．…（13分）【解析】若p真，解分式不等式求出集合A，若q真，解一元二次不等式求出B，由条件推出B⊊A，进而得到a=1，或＞＜，或＜，由此求得实数a的取值范围．本题主要考查分式不等式的解法，充分条件、必要条件、充要条件的定义和判断方法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．17.已知函数f（x）=sin2x-cos2x-，x∈R．（Ⅰ）若，，求函数f（x）的最大值和最小值，并写出相应的x的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足c=，f（C）=0，且sin B=2sin A，求a、b的值．【答案】解（Ⅰ）f（x）=sin2x-cos2x-=sin2x--=sin（2x-）-1…（3分）令，，，∴f（t）=sint-1，∴当即时，f（x）max=0当即时，；…（6分）（Ⅱ）f（C）=sin（2C-）-1=0，则sin（2C-）=1，…（7分）∵0＜C＜π，∴0＜2C＞2π，∴＜2C-＜，∴2C-=，∴C=…（9分）∵sin B=2sin A，∴由正弦定理得b=2a①…（10分）由余弦定理得c2=a2+b2-ab=3②…（11分）由①②解得：a=1，b=2．…（12分）【解析】（Ⅰ）利用二倍角、辅助角公式化简函数，结合角的范围，即可求函数f（x）的最大值和最小值，并写出相应的x的值；（Ⅱ）先求C，再利用余弦定理、正弦定理，即可求a、b的值．本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生分析转化问题的能力，正确化简函数是关键．18.已知等差数列{a n}的前六项的和为60，且a1=5．（1）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n；（2）若数列{b n}满足b n+1-b n=a n（n∈N*），b1=3，求数列{}的前n项和T n．【答案】解：（1）等差数列{a n}的公差为d，∵其前六项的和为60，且a1=5．∴6×5+=60，解得d=2．∴a n=5+（n-1）×2=2n+3，S n==n2+4n．（2）∵数列{b n}满足b n+1-b n=a n（n∈N*），b1=3，∴b n=（b n-b n-1）+（b n-1-b n-2）+…+（b2-b1）+b1=a n-1+a n-2+…+a1+3=S n-1+3=（n-1）2+4（n-1）+3=n2+2n．当n=1时也适合．∴==．∴数列{}的前n项和T n=++…+==．【解析】（1）等差数列{a n}的公差为d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（2）数列{b n}满足b n+1-b n=a n（n∈N*），b1=3，利用“累加求和”b n=（b n-b n-1）+（b n-1-b n-2）+…+（b2-b1）+b1=a n-1+a n-2+…+a1+3=S n-1+3即可得出．==．再利用“裂项求和”即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.某厂家准备在2014年12月份举行促销活动，依以往的数据分析，经测算，该产品的年销售量x万件（假设该厂生产的产品全部销售），与年促销费用y万元（0≤m≤4）近似满足x=3-（k为常数），如果不促销，该产品的年销售量只能是1万件，已知2014年生产该产品的固定投入8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．厂家将每件产品的销售价格规定的每件产品生产平均成本的1.5倍，（产品生产平均成本指固定投入和再投入两部分资金的平均成本）．（1）将2014年该产品的年利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2014年的年促销费用投入为多少万元时，该厂家的年利润最大？并求出最大年利润．（3）在年销量不少于2万件的前提下，厂家的年利润是否随着年促销费用的增加而增加？说明理由．【答案】解：（1）由m=0，x=1得，k=2，∴x=3-，每件产品的销售价格为：1.5，∴2014年的利润y=x•（1.5）-（8+16x+m）=4+8x-m=-[+（m+1）]+29，（0≤m≤4），即y=29-[+（m+1）]，（0≤m≤4）．（2）由y=29-[+（m+1）]≤29-2=21．（当且仅当=m+1，即m=3时，等号成立）故该厂家2014年的年促销费用投入为3万元时，该厂家的年利润最大，最大年利润为21万元．（3）由x=3-≥2，0≤m≤4可得，1≤m≤4，由y′=-1+≥0解得1≤m≤3，由y′=-1+≤00解得3≤m≤4；故当1≤m≤3时，厂家的年利润随着年促销费用的增加而增加；当3≤m≤4时，厂家的年利润随着年促销费用的增加而减少；故在年销量不少于2万件的前提下，厂家的年利润不是随着年促销费用的增加而增加．【解析】（1））由m=0，x=1可得x=3-，从而写出y=x•（1.5）-（8+16x+m），化简得y=29-[+（m+1）]，（0≤m≤4）；（2）由基本不等式求函数的最大值，从而得到最大利润；（3）求导以判断函数的单调性，转化为实际问题及可．本题考查了函数的应用，同时用到了基本不等式与导数，属于中档题．20.设函数f（x）=lnx-ax+-1．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）当a=时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g（x）=x2-2bx-，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），′（2分）（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx-x-1，∴f（1）=-2，′，∴f′（1）=0，∴f（x）在x=1处的切线方程为y=-2（5分）（Ⅱ）′=（6分）令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，或x＞2；令f'（x）＞0，可得1＜x＜2故当时，函数f（x）的单调递增区间为（1，2）；单调递减区间为（0，1），（2，+∞）．（8分）（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）可知函数f（x）在（1，2）上为增函数，∴函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=（9分）若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值（*）（10分）又，x∈[0，1]①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，＞与（*）矛盾②当0≤b≤1时，，由及0≤b≤1得，③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数，＜＜，此时b＞1（11分）综上，b的取值范围是，∞（12分）【解析】确定函数f（x）的定义域，并求导函数（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx-x-1，求出f（1）=-2，f′（1）=0，即可得到f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求导函数，令f'（x）＜0，可得函数f（x）的单调递减区间；令f'（x）＞0，可得函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求得函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=；对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f （x）在（0，e]上的最小值，求出，x∈[0，1]的最小值，即可求得b的取值范围．本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是将对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，转化为g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值．21.已知二次函数f（x）=x2+ax+m+1，关于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集为（m，m+1），其中m为非零常数．设．（1）求a的值；（2）k（k∈R）如何取值时，函数φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在极值点，并求出极值点；（3）若m=1，且x＞0，求证：[g（x+1）]n-g（x n+1）≥2n-2（n∈N*）．【答案】解：（1）∵关于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集为（m，m+1），即不等式x2+（a+1-2m）x+m2+m＜0的解集为（m，m+1），∴x2+（a+1-2m）x+m2+m=（x-m）（x-m-1）．∴x2+（a+1-2m）x+m2+m=x2-（2m+1）x+m（m+1）．∴a+1-2m=-（2m+1）．∴a=-2．…（2分）（2）解法1：由（1）得=．∴φ（x）=g（x）-kln（x-1）=-kln（x-1）的定义域为（1，+∞）．∴φ'（x）=1-=．…（3分）方程x2-（2+k）x+k-m+1=0（*）的判别式△=（2+k）2-4（k-m+1）=k2+4m．…（4分）①当m＞0时，△＞0，方程（*）的两个实根为＜，＞，…（5分）则x∈（1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．∴函数φ（x）在（1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）有极小值点x2．…（6分）②当m＜0时，由△＞0，得＜或＞，若＜，则＜，＜，故x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，（苏元高考吧：www．gaokao8．net）∴函数φ（x）在（1，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）没有极值点．…（7分）若＞时，＞，＞，则x∈（1，x1）时，φ'（x）＞0；x∈（x1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．∴函数φ（x）在（1，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上综上所述，当m＞0时，k取任意实数，函数φ（x）有极小值点x2；当m＜0时，＞，函数φ（x）有极小值点x2，有极大值点x1．…（9分）（其中，）解法2：由（1）得=．∴φ（x）=g（x）-kln（x-1）=-kln（x-1）的定义域为（1，+∞）．∴φ'（x）=1-=．…（3分）若函数φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在极值点等价于函数φ'（x）有两个不等的零点，且至少有一个零点在（1，+∞）上．…（4分）令φ'（x）==0，得x2-（2+k）x+k-m+1=0，（*）则△=（2+k）2-4（k-m+1）=k2+4m＞0，（**）…（5分）方程（*）的两个实根为，．设h（x）=x2-（2+k）x+k-m+1，①若x1＜1，x2＞1，则h（1）=-m＜0，得m＞0，此时，k取任意实数，（**）成立．则x∈（1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．∴函数φ（x）在（1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）有极小值点x2．…（6分）②若x1＞1，x2＞1，则＞＞得＜＞又由（**）解得＞或＜，故＞．…（7分）则x∈（1，x1）时，φ'（x）＞0；x∈（x1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．∴函数φ（x）在（1，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）有极小值点x2，有极大值点x1．…（8分）综上所述，当m＞0时，k取任何实数，函数φ（x）有极小值点x2；当m＜0时，＞，函数φ（x）有极小值点x2，有极大值点x1．…（9分）（其中，）（3）证法1：∵m=1，∴g（x）=．∴==．…（10分）∵x＞0，∴2T=…（11分）≥…（12分）===2（2n-2）．…（13分）∴T≥2n-2，即[g（x+1）]n-g（x n+1）≥2n-2．…（14分）证法2：下面用数学归纳法证明不等式≥2n-2．①当n=1时，左边=，右边=21-2=0，不等式成立；…（10分）②假设当n=k（k∈N*）时，不等式成立，即≥2k-2，则==…（11分）=2k+1-2．…（13分）也就是说，当n=k+1时，不等式也成立．由①②可得，对∀n∈N*，[g（x+1）]n-g（x n+1）≥2n-2都成立．…（14分）【解析】（1）根据关于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集为（m，m+1），即不等式x2+（a+1-2m）x+m2+m＜0的解集为（m，m+1），从而有x2+（a+1-2m）x+m2+m=（x-m）（x-m-1）．化简后对照系数即可得出a的值；（2）由（1）得=．利用导数研究其单调性，从而得出极值的情形；（3）当m=1时g（x）=．利用二项定理化简式子[g（x+1）]n-g（x n+1），再利用组合数的性质或数学归纳法进行证明即得对∀n∈N*，[g（x+1）]n-g（x n+1）≥2n-2都成立．本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识．。

黄冈市2015年高三年级元月质量检测参考答案（理科）一、选择题1、D2、A3、C4、B5、C6、B7、D8、A9、A 10、B二、填空题11、34(,)55- 12 13、－16014、4 15、①17，②(1)21nn -+三、解答题16、解：（Ⅰ）1cos 211()cos 222222x f x x x x -=+=………………2分sin 21x ∴=-当时，max ()f x =……………………………………………………4分 此时22()2x k k Z x ππ=-∈∴，的取值集合为{|,}4x x k k Z ππ=-∈…………………6分（Ⅱ）11()224C f C ==-，sin C ∴=，C 为锐角，3C π∴=……8分由1cos sin 33B B ===得，21sin sin()sin 3226A B B B π∴=-=+=………………………………12分 17、解：（Ⅰ）记“系统甲发生故障、系统乙发生故障”分别为事件A 、B ，“任意时刻至多有一个系统发生故障”为事件C 。

则149()1()1()()1550P C P AB P A P B P =-=-=-⋅=，110P ∴=……………………5分 （Ⅱ）依题意9~(3,)10B ξ，927()31010E ξ∴=⨯=……………………………………8分9127()31010100D ξ=⨯⨯=…………………………………………………………………12分18、解：(1)∵a n ＋1＝2a n 2＋2a n,2a n ＋1＋1＝2(2a n 2＋2a n )＋1＝(2a n ＋1)2， ∴数列{2a n ＋1}是“平方递推数列”．由以上结论lg(2a n ＋1＋1)＝lg(2a n ＋1)2＝2lg(2a n ＋1)，∴数列{lg(2a n ＋1)}为首项是lg 5，公比为2的等比数列……4分 (2)lg(2a n ＋1)＝[lg(2a 1＋1)]×2n －1＝2n －1lg 5＝12lg5n －，∴2a n ＋1＝125n －，∴a n ＝12(125n －－1)．∵lg T n ＝lg(2a 1＋1)＋…＋lg(2a n ＋1)＝(2n－1)lg 5，∴T n ＝215n －.……8分(3)∵b n ＝lg T n lg(2a n ＋1)＝(2n－1)lg 52n －1lg 5＝2－12n －1，∴S n ＝2n －2＋12n －1.∵S n ＞2 014，∴2n －2＋12n －1＞2 014.∴n ＋12＞1 008.∴n min ＝1 008.……12分19、解:(1)由题意知,该产品售价为1022()tt+⨯万元, 1022()102ty t t x t+=⨯⨯---,代入化简得 420()1y x x =-++,(2033x a a ≤≤-+) ……5分(2)421(1)21171y x x =-++≤-+ 当且仅当1,114=+=+x x x 即时,上式取等号 ……8分 当2133a a ≤-+,即2a ≥或01a <≤时, 促销费用投入1万元时,厂家的利润最大; 9分当2331a a -+<，即12a <<时,()()()'21301x x y x --⋅+=>+,故421(1)1y x x =-+++在2033x a a ≤≤-+上单调递增,所以在233x a a =-+时,函数有最大值.促销费用投入233x a a =-+万元时,厂家的利润最大 ……11分综上述,当2a ≥或01a <≤时, 促销费用投入1万元时,厂家的利润最大;当12a <<时,促销费用投入233x a a =-+万元时,厂家的利润最大 …………12分20、解：（Ⅰ）易知1,1a b c ===，椭圆方程为2212x y +=……………………（5分）（Ⅱ）由题意可设:1l x ky =+，由22221(2)210220x ky k y ky x y =+⎧++-=⎨+-=⎩得……（6分）设122112212212221(,),(,)2(0)k y y k A x y B x y y y k y y λλ-⎧+=⎪+⎪-⎪=⎨+⎪⎪=<⎪⎩①，则有②③ 将2÷①②得221222214142222y y k k y y k k λλ++=-⇒++=-++…………………………（8分） 由[2,1]λ∈--得221114200222k k λλ--≤++≤⇒-≤≤+，2207k ≤≤…………（9分） 1122(2,)(2,)TA x y TB x y =-=-，　，1212(4,)TA TB x x y y +=+-+2121224(1)4()22k x x k y y k ++-=+-=-+222222222222222216(1)416(2)28(2)8288||16(2)(2)(2)2(2)k k k k TA TB k k k k k ++-+++=+==-++++++（11分） 令222171[,],||828162162t TA TB t t k =∈+=-++ 21||2t TA TB ∴=+时的最小值是4……………………………………………………（13分）21、解：（Ⅰ）11()ln ()(0)ax F x ax x F x a x x ax-'=-=-=>， ①当0a ≤时，()0F x '<，()(0,)F x +∞在递减，()F x 无极值； ②当0a >时，令()0F x '=，得1x a =，11()(0,)(,)F x a a∴+∞在递减，在递增， 11()()1ln 11F x F a a a∴==-=∴=极小，　……………………………………4分（Ⅱ）()sin(1)ln (0,1)G x a x x =-+在上是增函数，1()cos(1)0(0,1)G x a x x x'∴=--+≥∈对恒成立，cos(1)0x ->，0a ∴≤当时，()0G x '≥恒成立，当0a >时，()0G x '≥等价于1cos(1)x x a≥-， 设()cos(1),()(0,1)h x x x h x =-显然在递增，1()(1)1101h x h a a∴<=∴≥<≤，，即， 故a 的取值范围是1a ≤……………………………………………………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当1a =时，()sin(1)ln (0,1)G x x x =-+在上是增函数，()sin(1)ln (1)0G x x x G ∴=-+<=，1sin(1)lnx x-< 令221(2)1(1)(1)k k x x k k +-==++，即，则221(1)sin ln (1)(2)k k k k +<++， 2222211234(1)sin ln ln ln ln(1)132435(2)n k n k n n =+∴<+++++⨯⨯⨯+∑， (2ln 2ln3)(2ln3ln 2ln 4)[2ln(1)ln ln(2)]n n n =-+--+++--+ln 2ln(1)ln(2)n n =++-+ 1ln 2lnln 22n n +=+<+ 故211sinln 2(1)nk k =<+∑………………………………………………………………14分。

2014-2015学年湖北省稳派名校联考高三（上）10月调研数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合中元素的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个2．下列有关命题的说法中，错误的是（）A．若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题B．“x=1”是“x≥1”的充分不必要条件C．“”是“”的必要不充分条件D．若命题p：”∃实数x0，使x02≥0”则命题¬p：“对于∀x∈R，都有x2＜0”3．如图，直线l和圆c，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90度）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（）4．若，则tan2α=（）A．B．C．D．5．函数的值域为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（0，1]D．[0，1]6．已知函数在区间[0，1]内至少出现2次极值，则ω的最小值为（）A．B．C．D．7．若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角为（）A．B．C．D．8．函数f（x）=的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（图中的阴影部分）的面积是（）A．1 B．C．D．210．已知x1，x2（x1＜x2）是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的两个不等实根，函数定义域为[x1，x2]，g（k）=f（x）max﹣f（x）min，若对任意k∈R，恒只有成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分11．计算：4cos70°+tan20°=_________．12．已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+a2）的图象关于x=2对称，则a的值为_________．13．对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为准奇函数，下列函数中是准奇函数的是_________（把所有满足条件的序号都填上）①f（x）=②f（x）=x2③f（x）=tanx④f（x）=cos（x+1）14．设函数f（θ）=sinθ+cosθ，其中θ的顶点与坐标原点重合，始终与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y）且0≤θ≤π．（1）若点P的坐标为，则f（θ）的值为_________（2）若点P（x，y）为平面区域Ω：内的一个动点，记f（θ）的最大值为M，最小值m，则log M m=_________．15．设f′（x）和g′（x）分别是f（x）和g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≤0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性相反．若函数f（x）=x3﹣2ax与g（x）=x2+2bx在开区间（a，b）上单调性相反（a＞0），则b﹣a的最大值为_________．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说、证明过程或演算步骤）16．（11分）设命题p：函数y=log a（x+1）（a＞0，a≠1）在x∈（0，+∞）上单调递减；命题q：3x ﹣9x＜a对一切的x∈R恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．17．（12分）在平行四边形ABCD中，A（1，1），=（6，0），M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P．（1）若=（2，5），求点C的坐标；（2）当||=||时，求点P的轨迹．18．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若f（x）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）恒成立；②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立，求f（x）的解析式；（2）若对任意x1，x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），试证明：存在x0∈（x1，x2），使f（x0）=[f （x1）+f（x2）]成立．19．（12分）已知函数f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜）的图象在y轴上的截距为，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x0，2）和（x0+π，﹣2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且锐角A满足，又已知a=7，sinB+sinC=，求△ABC的面积．20．（14分）如图，△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3（百米），底AB的长为4（百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S1和S2．（1）若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；（2）求的最小值．21．（14分）若函数f（x）是定义域D内的某个区间I上的增函数，且F（x）=在I上是减函数，则称y=f（x）是I上的“非完美增函数”，已知f（x）=lnx，g（x）=2x++alnx（a∈R）（1）判断f（x）在（0，1]上是否是“非完美增函数”；（2）若g（x）是[1，+∞）上的“非完美增函数”，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．A2．C3．D4．C5．B6．B7．C8．C9．D10．A二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分11．．12．4．13．③④14．（1）2（2）0．15．．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说、证明过程或演算步骤）16．解：∵命题p：函数y=log a（x+1）（a＞0，a≠1）在x∈（0，+∞）上单调递减，∴x+1∈[1，+∞），0＜a＜1，∵命题q：3x﹣9x＜a对一切的x∈R恒成立，∴f（x）=3x﹣（3x）2，t=3x，y=﹣t2+t，t＞0，当t=时，y的最大值，即必须得a＞，∵p且q为真时，可得：＜a＜1，∴命题“p且q”为假命题时，实数a的取值范围为（0，）∪（1，+∞），17．解：（1）∵A（1，1），=（6，0），∴B（7，1），∵M是AB的中点，∴M（4，1）．∵=（2，5），∴D（3，6），∵=（6，0），∴=（6，0），∴C（9，6）（2）设点P的坐标是（x，y），D（a，b），则C（a+b，b），∵||=||，∴（a﹣1）2+（b﹣1）2=36（*）由B，D，P共线，得①，由C，P，M共线，得②由①②化简得a=3x﹣14，b=3y﹣2，代入（*）化简得（x﹣5）2+（y﹣1）2=4．18．解：（1）∵x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立，∴1≤f（1）≤2|1﹣1|+1=1，∴f（1）=1；∵f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），∴f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，∴﹣=﹣1，b=2a．∵当x∈R时，函数的最小值为0，∴a＞0，f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，∴f（x）min=f（﹣1）=0，∴a=c．∴f（x）=ax2+2ax+a．又f（1）=1，∴a=c=，b=．∴f（x）=x2+x+=（x+1）2；（2）令g（x）=f（x）﹣[f（x1）+f（x2）]，则g（x1）=f（x1）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x1）﹣f（x2）]，g（x2）=f（x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x2）﹣f（x1）]，∵f（x1）≠f（x2）∴g（x1）g（x2）＜0，所以g（x）=0在（x1，x2）内必有一个实根，即存在x0∈（x1，x2）使f（x0）=[f（x1）+f（x2）]成立．19．解：（1）由最值点可得A=2，设函数的周期为T，由三角函数的图象特点可得T==π，解得ω=1，又图象在y轴上的截距为，∴2sinφ=，∴sinφ=，又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=2sin（x+）；（2）∵锐角A满足，∴2sin（A+﹣）=，解得sinA=，∴A=；由正弦定理可得==，变形可得sinB=，sinC=，∴sinB+sinC=（b+c）=，∴b+c=13，再由余弦定理可得72=b2+c2﹣2bc×，=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=169﹣3bc，∴bc=40，∴△ABC的面积S=bcsinA=×40×=10．20．解：（1）因为：AE=CE=AE+4＞CE+3 所以F不在BC上，AE+AF+EF=CE+CB+FB+EF所以AE=CE AF=CB+BF 4﹣BF=BF+3 BF=cosA==所以EF2=AE2+AF2﹣2AE×AF×cosA=所以EF=E为AC中点时，此时小路的长度为（2）若E、F分别在AC和AB上，sinA=设AE=x，AF=y，所以S2=xysinA=S1=S三角形ABC﹣S2=2﹣S2因为x+y=3﹣x+4﹣y+3所以x+y=5=﹣1xy≤当且仅当x=y=时取等号所以=当且仅当x=y=时取等号最小值是若E、F分别在AC和BC上，sinC=设CE=x，CF=y同上可得≥当且仅当x=y=取等号若E、F分别在AC和BC上，最小值是21．解：（1）由于f（x）=lnx，在（0，1]上是增函数，且F（x）==，∵F′（x）=，∴当x∈（0，1]时，F′（x）＞0，F（x）为增函数，∴f（x）在（0，1]上不是“非完美增函数”；（2）∵g（x）=2x++alnx，∴g′（x）=2﹣+=，∵g（x）是[1，+∞）上的“非完美增函数”，∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∴g′（1）≥0，∴a≥0，又G（x）==2++在[1，+∞）上是减函数，∴G′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，即﹣+≤0在[1，+∞）恒成立，即ax﹣axlnx﹣4≤0在[1，+∞）恒成立，令p（x）=ax﹣axlnx﹣4，则p′（x）=﹣alnx≤0恒成立（∵a≥0，x≥1），∴p（x）=ax﹣axlnx﹣4在[1，+∞）上单调递减，∴p（x）max=p（1）=a﹣4≤0，解得：a≤4；综上所述0≤a≤4．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年湖北，理1，5分】i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 【答案】A【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-，共轭复数为i ，故选A ．【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．（2）【2015年湖北，理2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） （A ）134石 （B ）169石 （C ）338石 （D ）1365石 【答案】B【解析】依题意，这批米内夹谷约为281534169254⨯=石，故选B ．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．（3）【2015年湖北，理3，5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） （A ）122（B ）112 （C ）102 （D ）92【答案】D 【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以37n n C C =，解得10n =，所以二项式(1)n x + 中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=，故选D ．【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用 以及计算能力．（4）【2015年湖北，理4，5分】设211(,)X N μσ，222(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）（A ）21()()P Y P Y μμ≥≥≥ （B ）21()()P X P X σσ≤≤≤（C ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ （D ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】C【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称，所以12μμ<，从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤，故选C ．【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．（5）【2015年湖北，理5，5分】设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥．若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则（ ） （A ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （B ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 （C ）p 是q 的充分必要条件 （D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a 成等比数列，则公比()13n n aq n a -=≥且0n a ≠；对命题q ，①当时，成立；②当时，根据柯西不等式，等式成立，则，所以成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要 0=n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++0≠n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==12,,,n a a a条件．故选A ．（6）【2015年湖北，理6，5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）（A ）sgn[()]sgn g x x = （B ）sgn[()]sgn g x x =- （C ）sgn[()]sgn[()]g x f x = （D ）sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令()f x x =，所以()()1g x a x =-，因为1a >，所以()g x 是R 上的减函数，由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩，故选B ．（7）【2015年湖北，理7，5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ） （A ）123p p p << （B ）231p p p << （C ）312p p p << （D ）321p p p << 【答案】B【解析】因为[],0,1x y ∈，对事件“12x y -≥”如图（1）阴影部分1S ， 对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ，对事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分3S ，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<，正方形的面积为111⨯=，根据几何概型公式可得231p p p <<，故选B ．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．（8）【2015年湖北，理8，5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）（A ）对任意的,a b ，12e e > （B ）当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <（C ）对任意的,a b ，12e e < （D ）当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D【解析】依题意，22211a b b e a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()22221a m b m b m e a m ++++⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭，因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++，由于0m >，0a >，0b >， 当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e <；当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e >．所以当a b >时，12e e <，当a b <时，12e e >，故选D ．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．（9）【2015年湖北，理9，5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B⊕中元素的个数为（ ）（A ）77 （B ）49 （C ）45 （D ）30 【答案】C【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点（除去四个顶点），即77445⨯-=个，故选C ．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了几何的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素．（10）【2015年湖北，理10，5分】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数． 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<，由2[]2t =得223t ≤<，由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<，可得225t ≤<，所以225t ≤<； 由3[]3t =得334t ≤<，所以5645t ≤<，由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<，与5645t ≤<矛盾，故正整数n 的最大值是4，故选B ．【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11-14题）（11）【2015年湖北，理11，5分】已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅= ． 【答案】9 【解析】因为OA AB ⊥，3OA =，()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．（12）【2015年湖北，理12，5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ． 【答案】2 【解析】因为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图，由图知，两函数图像右2个交点，所以函数()f x 由2个零点．【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用．（13）【2015年湖北，理13，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m ．【答案】1006【解析】依题意，30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒，在ABC ∆中，由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒，所以45ACB ∠=︒，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒，即3002BC =m ，在Rt BCD ∆中，因为30CBD ∠=︒，3002BC =，所以tan303002CD BC ︒==，所以1006CD =m ． 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．（14）【2015年湖北，理14，5分】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A的上方），且2AB =．（1）圆C 的标准．．方程为 ；（2）过点A 任作一条直线 与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③22NB MA NAMB+=．其中正确结论的序号是 ． （写出所有正确结论的序号） 【答案】（1）()()22122x y -+-=；（2）①②③【解析】（1）依题意，设()1,C r （r 为圆的半径），因为2AB =，所以22112r =+=，所以圆心()1,2C ，故圆的标准方程为()()22122x y -+-=．（2）解法一：联立方程组()()22122x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得021x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或021x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩，因为B 在A 的上方，所以()0,21A -，()0,21B +，领直线MN 的方程为0x =，此时()0,1M -，()0,1N ，所以2MA =，22MB =+，22NA =-，2NB =，因为22212NA NB-==-，22122MA MB==-+，所以NA MA NBMB =所以()22212122222NB MA NAMB-=-=+--=-+，()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，正确结论的序号是①②③．解法二：因为圆心()1,2C ，()0,2E ∴，又2AB =，且E 为AB 中点，∴()0,21A -，()0,21B +，M ，N 在圆22:1O x y +=，∴可设()cos ,sin M αα，()cos ,sin N ββ，()()22cos 0sin 21NA ββ⎡⎤∴=-+--⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+--+-()()()422221sin 2221221sin ββ=---=---()()2212sin β=--，()()22cos 0sin 21NB ββ⎡⎤∴=-+-+⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+-+++()()()422221sin 2221221sin ββ=+-+=+-+()()2212sin β=+-，()()()()2212sin 2121212212sin NA NBββ---∴===-++-，同理21MA MB=-．所以NA MA NBMB=，所以()22212122222NB MA NA MB -=-=+--=-+，()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，正确结论的序号是①②③．【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）（15）【2015年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=_______．【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割定理知，()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+，因为3BC PB =，所以224PA PB =，即2PA PB =，由A PAB PC ∆∆∽，所以12AB PB AC PA ==． 【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力．（16）【2015年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于A ，B 两点，则||AB =．【答案】25【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=，所以sin 3cos 0ρθρθ-=，所以30y x -=，即3y x =；由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去t 得224y x -=，联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩，解得2232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即232,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，232,B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，由两点间的距离公式得22223232252222AB ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题．三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2015年湖北，理17，11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期（1．．．．．．．．．．．（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象． 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．解：（1）根据表中已知数据，解得π5,2,A ωϕ===-．数据补全如下表：且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-．（2）由（1）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-． 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z ． 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6． 【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．（18）【2015年湖北，理18，12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公、比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：（1）由题意知：1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩，即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩，得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故1212n n na nb -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=， 于是2341357921122222n n n T --=+++++ ① 2345113579212222222n n n T -=+++++ ② 由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-，故12362nn n T -+=-． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．（19）【2015年湖北，理19，12分】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE ．（1）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．解：解法一：（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，所以BC PCD ⊥平面． 而DE PCD ⊂平面，所以BC DE ⊥． 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点， 所以DE PC ⊥． 而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC ． 而PB PBC ⊂平面，所以PB DE ⊥． 又PB EF ⊥，DE EF E =，所以PB ⊥平面DEF ．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形， 即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）如图1，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线．由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥． 又因为PD ⊥底面ABCD ，所以 PD DG ⊥． 而PD PB P =，所以DG PBD ⊥平面．故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设1PD DC ==，BC λ=，有21BD λ=+，在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 2πtan tan 133BD DPF PD λ=∠==+=, 解得2λ=．所以12.DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，22DC BC =． 解法二：（1）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ，(,1,1)PB λ=-，点E 是PC 的中点，所以11(0,,)22E ，11(0,,)22DE =，于是0PB DE ⋅=，即PB DE ⊥． 又已知EF PB ⊥，而DE EF E =，所以PB DEF ⊥平面． 因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅=, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面．由DE ⊥平面 PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑， 四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量；由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量． 若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，则2π11cos 32||||2BP DP BP DP λ⋅===⋅+， 解得2λ=． 所以12.DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，2DC BC =． 【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题．（20）【2015年湖北，理20，12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时．Z （单位：元）是一个随机变量．（1）求Z 的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．解：（1）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1） 目标函数为 10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D ． 将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．（2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力．（21）【2015年湖北，理21，14分】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求曲线C 的方程；（2）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探 究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．解：（1）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN =，且||||1DN ON ==，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为22 1.164x y +=（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=．②当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+． ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++．由原点O 到直线PQ 的距离为21d k =+和2||1||P Q PQ k x x =+-，可得22111222||||||||222121214OPQ P Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-． ②将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--． 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--． 因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQS k ∆=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8．【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．（22）【2015年湖北，理22，14分】已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ，e 为自然对数的底数．（1）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n+与e 的大小；（2）计算11b a ，1212b ba a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212n n b b b a a a 的公式，并给出证明；（3）令112()nn n c a a a =，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T ，证明：e n n T S <．解：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-．当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增；当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减． 故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞．当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e xx +<． 令1x n=，得111e n n +<，即1(1)e n n +<． ①（2）11111(1)1121b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=；2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=． 由此推测：1212(1).n n nb b b n a a a =+ ② 下面用数学归纳法证明②．①当1n =时，左边=右边2=，②成立．②假设当n k =时，②成立，即1212(1)k kk b b b k a a a =+． 当1n k =+时，1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++．所以当1n k =+时，②也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立．（3）由n c 的定义，②，算术-几何平均不等式，n b 的定义及①得123n n T c c c c =++++=111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++ 121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++ 1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++1212n b b b n <+++1212111(1)(1)(1)12n n a a a n =++++++12e e e n a a a <+++=e n S ． 即e n n T S <．【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题．。

黄冈市2014届高三10月质量检测数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{|lg(2)0},{|2}A x x B x x =-≥=≥，全集U R =，则()U C A B =( ) A ．{|13}x x -<≤ B ．{|23}x x <≤ C ．{|3}x x = D ．φ2、在ABC ∆中，“()sin()cos cos sin 1A B B A B B -+-≥”是“ABC ∆是直角三角形”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3、设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂B ．若//,//l ααβ，则l β⊂C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥4、ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等比数列，且2c a =，则sin B =（ ）A ．14B ．34C D 5、等比数列{}n a 的首项11002a =，公比12q =，记12n n p a a a =⋅⋅⋅，则n p 达到最大值时，n 的值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．116、某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ）A ．30B ．12C ．24D ．47、若直线cos sin 10x y θθ+-=与圆221(cos )(1)16x y θ-+-=相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是（ ）A． B．8、已知函数()sin ()f x x x x R =+∈，且22(23)(41)0f y y f x x -++-+≤，则当1y ≥时，1y x +的取值范围为（ ） A ．13[,]44 B ．3[0,]4 C ．14[,]43 D ．4[0,]39、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()(1)5,()g x f x g x '=++为()g x 的导函数，对x R ∀∈，总有()2g x x '>，则()24g x x <+的解集为（ ） A ．(),1-∞- B ．(),1-∞ C ．R D ．()1,-+∞10、已知x R ∈，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[](0)x f x a x x =->只有3个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．12,23⎛⎤⎥⎝⎦ B ．12[,]23 C ．34,45⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．34[,]45 第Ⅱ卷 （非选择题）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。