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第一章导数及其应用--小结与复习------------ 学 案一、学习目标1、进一步理导数的概念，掌握导数在研究函数单调性及极值和最值中的应用，完善学生对数的认识。
2、理解导数和定积分中体现的数学思想“以直代曲”； 二、自主学习 （1）.知识框图（2）课前小测1．若函数y ＝x 2－2bx ＋6在(2,8)内是增函数，则( ) A ．b ≤0 B ．b <2 C ．b ≥2 D ．b >2答案 A2．已知y ＝a sin x ＋13sin 3x 在x ＝π3处有极值，则( )A ．a ＝－2B ．a ＝2C ．a ＝233D ．a ＝0 答案 B3．设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为( ) A ．－1 B ．0 C ．－239 D.33答案 C解析 g (x )＝x 3－x ，由g ′(x )＝3x 2－1＝0，解得x 1＝33，x 2＝－33(舍去)． 当x 变化时，g ′(x )与g (x )的变化情况如下表：所以当x ＝33时，4.设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )答案 D解析 应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图象．5．若f (x )在(a ，b )内存在导数，则“f ′(x )<0”是“f (x )在(a ，b )内单调递减”的 条件． 答案 充分不必要解析 对于导数存在的函数f (x )，若f ′(x )<0，则f (x )在区间(a ，b )内单调递减，反过来，函数f (x )在(a ，b )内单调递减，不一定恒有f ′(x )<0，如f (x )＝－x 3在R 上是单调递减的，但f ′(x )≤0. 三、合作探究题型一 函数与其导函数之间的关系例1 对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列{a nn ＋1}的前n 项和的公式是 ． 答案 2n ＋1－2解析 由k ＝y ′|x ＝2＝－2n －1(n ＋2)，得切线方程为y ＋2n ＝－2n －1(n ＋2)(x －2)，令x ＝0，求出切线与y 轴交点的纵坐标为y 0＝(n ＋1)2n ，所以a nn ＋1＝2n ，则数列{a nn ＋1}的前n 项和S n ＝－2n 1－2＝2n ＋1－2.反思与感悟 找切点，求斜率是求切线方程的关键．跟踪训练1 如图，曲线y ＝f (x )上任一点P 的切线PQ 交x 轴于Q ，过P 作PT 垂直于x 轴于T ，若△PTQ的面积为12，则y 与y ′的关系满足( )A ．y ＝y ′B ．y ＝－y ′C ．y ＝y ′2D ．y 2＝y ′ 答案 D解析 S △PTQ ＝12×y ×|QT |＝12，∴|QT |＝1y ，Q (x －1y ，0)，根据导数的几何意义，k PQ ＝y －0x －x －1y＝y ′∴y 2＝y ′.故选D.题型二 利用导数研究函数的单调性、极值、最值例2 已知函数f (x )＝ax 3＋(a －1)x 2＋48(a －2)x ＋b 的图象关于原点成中心对称． (1)求a ，b 的值；(2)求f (x )的单调区间及极值； (3)当x ∈[1,5]时，求函数的最值．解 ∵函数f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，得－ax 3＋(a －1)x 2－48(a －2)x ＋b ＝－ax 3－(a －1)x 2－48(a －2)x －b ，于是2(a －1)x ＋2b ＝0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0b ＝0，解得a ＝1，b ＝0；(2)由(1)得f (x )＝x 3－48x ，∴f ′(x )＝3x 2－48＝3(x ＋4)(x －4)，令f ′(x )＝0，得x 1＝－4，x 2＝4，令f ′(x )<0，得－4<x <4，令f ′(x )>0，得x <－4或x >4. ∴f (x )的递减区间为(－4,4)，递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)， ∴f (x )极大＝f (－4)＝128，f (x )极小＝f (4)＝－128.(3)由(2)知，函数在[1,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，对f (4)＝－128，f (1)＝－47，f (5)＝－115，所以函数的最大值为－47，最小值为－128.小结 (1)讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域，在定义域内解f ′(x )>0得增区间，解f ′(x )<0得减区间． (2)求极值时一般需确定f ′(x )＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．(3)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．跟踪训练2 已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3.(1)求a ，b 的值；(2)求函数的极小值；(3)求函数在[－1,1]的最值． 解 y ′＝3ax 2＋2bx ，当x ＝1时，y ′|x ＝1＝3a ＋2b ＝0，y |x ＝1＝a ＋b ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0a ＋b ＝3，a ＝－6，b ＝9.(2)y ＝－6x 3＋9x 2，y ＝－18x 2＋18x ，令y ＝0，得x ＝0，或x ＝1， ∴y 极小值＝y |x ＝0＝0.(3)由(1)知，函数y ＝f (x )＝－6x 3＋9x 2，又f (－1)＝15，f (0)＝0，f (1)＝3， 所以函数的最大值为15，最小值为0.题型三 导数的综合应用例3 已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由． 解 (1)f ′(x )＝3x 2－a ，因为f (x )在R 上是增函数，所以f ′(x )≥0在R 上恒成立． 即3x 2－a ≥0在R 上恒成立．即a ≤3x 2，而3x 2≥0，所以a ≤0. 当a ＝0时，f (x )＝x 3－1在R 上单调递增，符合题意． 所以a 的取值范围是(－∞，0]．(2)假设存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减，则f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立．即3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，即a ≥3x 2，又因为在(－1,1)上，0≤3x 2<3，所以a ≥3.当a ＝3时，f ′(x )＝3x 2－3，在(－1,1)上，f ′(x )<0， 所以f (x )在(－1,1)上单调递减，即a ＝3符合题意，所以存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减，且a 的取值范围是[3，＋∞)．反思与感悟 在已知函数f (x )是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立来求解)，然后检验参数的取值能否使f ′(x )恒等于0，若不能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f ′(x )能恒等于0，则由f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立解出的参数的取值范围来确定． 跟踪训练3 (1)若函数f (x )＝4x 3－ax ＋3的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤－12，12，则实数a 的值是多少？ (2)若函数f (x )＝4x 3－ax ＋3在⎣⎡⎦⎤－12，12上是单调函数，则实数a 的取值范围为多少？ 解 (1)f ′(x )＝12x 2－a ，∵f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－12，12， ∴x ＝±12为f ′(x )＝0的两个根，∴a ＝3.(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，12上为单调增函数，则f ′(x )≥0在⎣⎡⎦⎤－12，12上恒成立， 即12x 2－a ≥0在⎣⎡⎦⎤－12，12上恒成立，∴a ≤12x 2在⎣⎡⎦⎤－12，12上恒成立，∴a ≤(12x 2)min ＝0. 当a ＝0时，f ′(x )＝12x 2≥0恒成立(只有x ＝0时f ′(x )＝0)．∴a ＝0符合题意． 若f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，12上为单调减函数， 则f ′(x )≤0在⎣⎡⎦⎤－12，12上恒成立，即12x 2－a ≤0在⎣⎡⎦⎤－12，12上恒成立， ∴a ≥12x 2在⎣⎡⎦⎤－12，12上恒成立，∴a ≥(12x 2)max ＝3. 当a ＝3时，f ′(x )＝12x 2－3＝3(4x 2－1)≤0恒成立(且只有x ＝±12时f ′(x )＝0)．因此，a 的取值范围为a ≤0或a ≥3. 四、自主小测1．若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－∞，13 C.⎣⎡⎭⎫13，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，13 2．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )3．设f (x )、g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( ) A ．f (x )g (x )>f (b )g (b ) B ．f (x )g (a )>f (a )g (x ) C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )4．函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，若对于任意x ∈[－1,2]，都有f (x )<m ，则实数m 的取值范围是 ．参考答案 1答案 C解析 若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，只需y ′＝3x 2＋2x ＋m ≥0恒成立，即Δ＝4－12m ≤0， ∴m ≥13.2答案 D解析 若函数在给定区间上是增函数，则y ＝f ′(x )>0，若函数在给定区间上是减函数，则y ＝f ′(x )<0. 3答案 C解析 由条件，得⎝⎛⎭⎫f x g x ′＝fx gx －f x gx [g x 2<0.∴f xg x 在(a ，b )上是减函数．∴f b g b <f x g x <f ag a，∴f (x )g (b )>f (b )g (x )． 4答案 (7，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0，得x ＝－23或x ＝1.可判断求得f (x )max ＝f (2)＝7.∴f (x )<m 恒成立时，m >7.。
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．知识点一 和、差的导数 已知f (x )＝x ，g (x )＝1x.思考1 f (x )，g (x )的导数分别是什么？ 答案 f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x2.思考2 试求y ＝Q (x )＝x ＋1x ，H (x )＝x －1x 的导数．答案 ∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －(x ＋1x )＝Δx ＋－Δxx (x ＋Δx )，∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx ). ∴Q ′(x )＝lim Δx→0ΔyΔx＝lim Δx →0[1－1x (x ＋Δx )]＝1－1x 2.同理，H ′(x )＝1＋1x2.思考3 Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？答案 Q (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的和．H (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的差． 梳理 和、差的导数 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )．知识点二 积、商的导数已知f (x )＝x 2，g (x )＝sin x ，φ(x )＝3. 思考1 试求f ′(x )，g ′(x )，φ′(x )． 答案 f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝cos x ，φ′(x )＝0.思考2 求H (x )＝x 2sin x ，M (x )＝sin xx 2，Q (x )＝3sin x 的导数． 答案 H ′(x )＝2x sin x ＋x 2cos x ， M ′(x )＝(sin x )′x 2－sin x (x 2)′(x 2)2＝x 2cos x －2x sin x x 4＝x cos x －2sin x x 3，Q ′(x )＝3cos x . 梳理 (1)积的导数①[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． ②[cf (x )]′＝cf ′(x )． (2)商的导数[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． (3)注意[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )， [f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x ).类型一 导数运算法则的应用 例1 求下列函数的导数． (1)y ＝2x 3－3x ＋x ＋1x x ；(2)y ＝x 2＋1x 2＋3；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)； (4)y ＝x sin x －2cos x. 解 (1)∵y ＝322x －123x-＋x －1＋32x-，∴y ′＝123x ＋3232x -－x －2－5232x -.(2)方法一 y ′＝(x 2＋1)′(x 2＋3)－(x 2＋1)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝2x (x 2＋3)－2x (x 2＋1)(x 2＋3)2＝4x (x 2＋3)2.方法二 ∵y ＝x 2＋1x 2＋3＝x 2＋3－2x 2＋3＝1－2x 2＋3，∴y ′＝(1－2x 2＋3)′＝(－2x 2＋3)′＝(－2)′(x 2＋3)－(－2)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝4x(x 2＋3)2.(3)方法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋3)]′(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)′＝[(x ＋1)′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋3)′](x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝(2x ＋4)(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋18x ＋23. 方法二 ∵y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)＝(x 2＋4x ＋3)(x ＋5) ＝x 3＋9x 2＋23x ＋15，∴y ′＝(x 3＋9x 2＋23x ＋15)′＝3x 2＋18x ＋23. (4)y ′＝(x sin x )′－(2cos x)′＝x ′sin x ＋x (sin x )′－2′cos x －2(cos x )′(cos x )2＝sin x ＋x cos x －2sin xcos 2x.反思与感悟 (1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．(3)利用求导法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练1 (1)已知f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )，则a f ′(a )＋b f ′(b )＋cf ′(c )＝.答案 0解析 ∵f ′(x )＝(x －a )′(x －b )(x －c )＋(x －a )(x －b )′·(x －c )＋(x －a )(x －b )(x －c )′ ＝(x －b )(x －c )＋(x －a )(x －c )＋(x －a )(x －b )， ∴f ′(a )＝(a －b )(a －c )，f ′(b )＝(b －a )(b －c )＝－(a －b )(b －c )， f ′(c )＝(c －a )(c －b )＝(a －c )(b －c )． ∴a f ′(a )＋b f ′(b )＋cf ′(c )＝a (a －b )(a －c )－b (a －b )(b －c )＋c(a －c )(b －c )＝a (b －c )－b (a －c )＋c (a －b )(a －b )(b －c )(a －c )＝0.(2)求下列函数的导数． ①y ＝x 2－sin x 2cos x2；②y ＝e x －1e x ＋1；③y ＝x tan x .解 ①∵y ＝x 2－12sin x ，∴y ′＝2x －12cos x .②y ′＝(e x －1)′(e x ＋1)－(e x －1)(e x ＋1)′(e x ＋1)2＝e x (e x ＋1)－e x (e x －1)(e x ＋1)2＝2e x(e x ＋1)2. ③f ′(x )＝(x tan x )′＝(x sin xcos x )′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x＝sin x cos x ＋x cos 2x＝12sin2x ＋x cos 2x＝sin2x ＋2x 2cos 2x .类型二 导数运算法则的综合应用 命题角度1 利用导数求函数解析式例2 (1)已知函数f (x )＝ln xx＋2xf ′(1)，试比较f (e)与f (1)的大小关系；(2)设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，试确定常数a ，b ，c ，d ，使得f ′(x )＝x cos x . 解 (1)由题意得f ′(x )＝1－ln xx2＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝1－ln11＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－1.∴f (x )＝ln xx－2x .∴f (e)＝lne e －2e ＝1e －2e ，f (1)＝－2，由f (e)－f (1)＝1e －2e ＋2<0，得f (e)<f (1)．(2)由已知得f ′(x )＝[(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ]′ ＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′ ＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x ＝(a －cx －d )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x . 又∵f ′(x )＝x cos x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －d －cx ＝0，ax ＋b ＋c ＝x ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＝0，－c ＝0，a ＝1，b ＋c ＝0，解得a ＝d ＝1，b ＝c ＝0.反思与感悟 (1)中确定函数f (x )的解析式，需要求出f ′(1)，注意f ′(1)是常数． (2)中利用待定系数法可确定a ，b ，c ，d 的值． 完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则． 跟踪训练2 函数f (x )＝x 2x －1＋f ′(1)，则f ′(1)＝.答案 －1解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝2x －1－2x (2x －1)2＝－1(2x －1)2，则f ′(1)＝－1.命题角度2 与切线有关的问题例3 (1)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是． 答案 (e ，e)解析 设P (x 0，y 0)．∵y ＝x ln x ， ∴y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ，∴k ＝1＋ln x 0.又k ＝2，∴1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e.∴y 0＝elne ＝e. ∴点P 的坐标是(e ，e)．(2)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数为f ′(x )＝2x －8. ①求a ，b 的值；②设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程． 解 ①因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b ，又知f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8. ②由①可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3， 所以g ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋2x －8， 所以g ′(0)＝e 0sin0＋e 0cos0＋2×0－8＝－7. 又知g (0)＝3，所以g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)， 即7x ＋y －3＝0.反思与感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 跟踪训练3 (1)设曲线y ＝2－cos x sin x 在点(π2，2)处的切线与直线x ＋ay ＋1＝0垂直，则a ＝.(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为． 答案 (1)1 (2)4解析 (1)∵y ′＝sin 2x －(2－cos x )cos x sin 2x ＝1－2cos xsin 2x ，当x ＝π2时，y ′＝1－2cosπ2sin2π2＝1.又直线x ＋ay ＋1＝0的斜率是－1a ，∴－1a＝－1，即a ＝1.(2)因为曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，由导数的几何意义知g ′(1)＝2.又因为f (x )＝g (x )＋x 2，所以f ′(x )＝g ′(x )＋2x ⇒f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4， 所以y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为4.1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( ) A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )． 2．函数y ＝cos x1－x 的导数是( )A.－sin x ＋x sin x (1－x )2B.x sin x －sin x －cos x (1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x答案 C解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2.3．对于函数f (x )＝e x x 2＋ln x －2kx ，若f ′(1)＝1，则k 等于( )A.e2 B.e3 C ．－e 2D ．－e 3答案 A解析 ∵f ′(x )＝e x (x －2)x 3＋1x ＋2kx 2，∴f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e2，故选A.4．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是． 答案 －3解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －bx 2，直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎨⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.5．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线的方程为．答案 3x －y －11＝0解析 ∵y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x 2＋2x ＋2) ＝3(x ＋1)2＋3≥3，∴当x ＝－1时，斜率最小，切点坐标为(－1，－14)， ∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.1．导数的求法对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数． 2．和与差的运算法则可以推广[f (x 1)±f (x 2)±…±f (x n )]′＝f ′(x 1)±f ′(x 2)±…±f ′(x n )． 3．积、商的求导法则(1)若c 为常数，则[c ·f (x )]′＝c ·f ′(x )； (2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )， [f (x )g (x )]′＝f ′(x )·g (x )－f (x )·g ′(x )[g (x )]2； (3)当f (x )＝1时，有[1g (x )]′＝－g ′(x )[g (x )]2.课时作业一、选择题1．下列求导运算正确的是( ) A ．(x ＋3x )′＝1＋3x 2B ．(log 2x )′＝1x ln2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 答案 B解析 选项A ，(x ＋3x )′＝1－3x2，故错误；选项B ，(log 2x )′＝1x ln2，故正确；选项C ，(3x )′＝3x ln3，故错误；选项D ，(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，故错误． 故选B.2．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角 答案 C解析 ∵f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ， ∴f ′(4)＝e 4(sin4＋cos4)．∵π<4<32π，∴sin4<0，cos4<0，∴f ′(4)<0.由导数的几何意义得，切线的倾斜角为钝角．3．若函数f (x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，且f ′(x )是函数f (x )的导函数，则f ′(1)等于( )A ．24B ．－24C ．10D ．－10 答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x －1)′[(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]＋(x －1)[(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′ ＝(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋(x －1)[(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′， ∴f ′(1)＝(1－2)·(1－3)·(1－4)·(1－5)＋0＝24. 4．函数f (x )＝x cos x －sin x 的导函数是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数 答案 B解析 f ′(x )＝(x cos x )′－(sin x )′ ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .令F (x )＝－x sin x ，x ∈R ，则F (－x )＝x sin(－x )＝－x sin x ＝F (x )， ∴f ′(x )是偶函数．5．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B.12C ．－12D ．－2答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2，∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.6．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N*，则f 1(x )＋f 2(x )＋…＋f 2015(x )等于( )A ．－sin x ＋cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x －cos xD ．sin x ＋cos x答案 A解析 因为f 1(x )＝sin x ＋cos x ， f n ＋1(x )是f n (x )的导函数， 所以f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，…，由此发现f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，并且周期为4，每个周期的和为0， 所以f 1(x )＋f 2(x )＋…＋f 2015(x )＝f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＝cos x －sin x ．故选A.7．在下面的四个图象中，其中一个图象是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )A.13 B ．－13C.73 D ．－13或53答案 B解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)，∴导函数f ′(x )的图象开口向上，故其图象必为第三个图．由图象特征知f ′(0)＝0，且对称轴－a >0，∴a ＝－1，则f (－1)＝－13－1＋1＝－13，故选B. 二、填空题8．设f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，若h (x )＝f (x )＋2g (x )，则h ′(5)＝. 答案 516解析 由题意知f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，∵h ′(x )＝f ′(x )g (x )－[f (x )＋2]g ′(x )[g (x )]2， ∴h ′(5)＝f ′(5)g (5)－[f (5)＋2]g ′(5)[g (5)]2＝3×4－(5＋2)×142＝516. 9．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝. 答案 1解析 ∵f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0，∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1.10．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为．答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0， 解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.11．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝. 答案 8解析 由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.此切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0，所以a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.三、解答题12．若函数f (x )＝e x x在x ＝c 处的导数值与函数值互为相反数，求c 的值． 解 ∵f ′(x )＝e x x －e x x 2＝e x (x －1)x 2， ∴f ′(c )＝e c (c －1)c 2. 依题意知f (c )＋f ′(c )＝0，即e c c ＋e c (c －1)c 2＝0， ∴2c －1＝0，得c ＝12. 13．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解 ∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1,1)，∴a ＋b ＋c ＝1. ①∵y ′＝2ax ＋b ，当x ＝2时，y ′＝4a ＋b .∴4a ＋b ＝1. ②又曲线过点Q (2，－1)，∴4a ＋2b ＋c ＝－1. ③联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.四、探究与拓展14．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝. 答案 4096解析 ∵f ′(x )＝x ′(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x (x －a 1)′(x －a 2)…(x －a 8)＋…＋x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)′＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x (x －a 2)…(x －a 8)＋…＋x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 7)，∴f ′(0)＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1a 8)4＝84＝4096.15．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解 由7x －4y －12＝0，得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12， ① 又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74， ②由①②得⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3. 故f (x )＝x －3x . (2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)， 即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)． 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0||2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
1．1.3 导数的几何意义学习目标 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．知识点一 导数的几何意义如图，P n 的坐标为(x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4，…)，P 的坐标为(x 0，y 0)，直线PT 为在点P 处的切线．思考1 割线PP n 的斜率k n 是多少？ 答案 割线PP n 的斜率k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0.思考2 当点P n 无限趋近于点P 时，割线PP n 的斜率k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ 答案 k n 无限趋近于切线PT 的斜率k .梳理 (1)切线的定义：设PP n 是曲线y ＝f (x )的割线，当P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线y ＝f (x )在点P 处的切线．(2)导数f ′(x 0)的几何意义：导数f ′(x 0)表示曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(3)切线方程：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．知识点二 导函数对于函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，f ′(x )便是一个关于x 的函数，我们称它为函数y ＝f (x )的导函数(简称为导数), 即f ′(x )＝y ′＝lim Δx→f (x ＋Δx )－f (x )Δx .特别提醒类型一 求切线方程命题角度1 曲线在某点处的切线方程例1 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43.求曲线C 在横坐标为2的点处的切线方程．解 将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4， ∴切点P (2,4)．y ′|x ＝2＝lim Δx→0ΔyΔx＝lim Δx →013(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx＝lim Δx →0[4＋2Δx ＋13(Δx )2]＝4， ∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为 y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 答案 －3解析 ∵y ′|x ＝2＝lim Δx→0ΔyΔx＝lim Δx →0(2＋Δx )2＋1－22－1Δx＝lim Δx →(4＋Δx )＝4，∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为 y －5＝4(x －2)，即y ＝4x －3. ∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3. 命题角度2 曲线过某点的切线方程例2 求过点(－1,0)与曲线y ＝x 2＋x ＋1相切的直线方程．解 设切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)，则切线的斜率为k ＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)＝2x 0＋1.又k ＝(x 20＋x 0＋1)－0x 0－(－1)＝x 20＋x 0＋1x 0＋1，∴2x 0＋1＝x 20＋x 0＋1x 0＋1.解得x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，切线斜率k ＝1，过(－1,0)的切线方程为 y －0＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线斜率k ＝－3，过(－1,0)的切线方程为y －0＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.故所求切线方程为x －y ＋1＝0或3x ＋y ＋3＝0.反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，f (x 0))． (2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－f (x 0)x 1－x 0.(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．跟踪训练2 求函数y ＝f (x )＝x 3－3x 2＋x 的图象上过原点的切线方程．解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋x 0，∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3－3(x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )－(x 30－3x 20＋x 0) ＝3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2－6x 0Δx ＋(Δx )3－3(Δx )2＋Δx ，∴Δy Δx＝3x 20＋3x 0Δx －6x 0＋1＋(Δx )2－3Δx ， ∴f ′(x 0)＝lim Δx→0ΔyΔx＝3x 20－6x 0＋1. ∴切线方程为y －(x 30－3x 20＋x 0)＝(3x 20－6x 0＋1)·(x －x 0)．∵切线过原点，∴x 30－3x 20＋x 0＝3x 30－6x 20＋x 0，即2x 30－3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝32， 故所求切线方程为x －y ＝0或5x ＋4y ＝0. 类型二 求切点坐标例3 已知曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，求x 0的值．解 对于曲线y ＝x 2－1， k 1＝lim Δx→0ΔyΔx＝2x 0. 对于曲线y ＝1－x 3， k 2＝lim Δx→0ΔyΔx＝lim Δx →01－(x 0＋Δx )3－(1－x 30)Δx ＝－3x 20. 由题意得2x 0＝－3x 20， 解得x 0＝0或－23.引申探究1．若本例3条件中的“平行”改为“垂直”，求x 0的值．解 ∵k 1＝2x 0，k 2＝3x 20.根据曲线y ＝x 2－1与y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相垂直，知2x 0·(－3x 20)＝－1，解得x 0＝3366. 2．若本例3条件不变，试求出两条平行的切线方程． 解 由例3知x 0＝0或－23.当x 0＝0时，两平行切线方程为y ＝－1或y ＝1.当x 0＝－23时，曲线y ＝x 2－1的切线方程为12x ＋9y ＋13＝0.曲线y ＝1－x 3的切线方程为36x ＋27y －11＝0.∴所求两平行切线方程为y ＝－1与y ＝1或12x ＋9y ＋13＝0与36x ＋27y －11＝0. 反思与感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x 0，y 0)． (2)求导函数f ′(x )． (3)求切线的斜率f ′(x 0)．(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0.(5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0，得切点坐标．跟踪训练3 已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝f (x )＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标．解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵f ′(x )＝lim Δx→f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx＝3x 2－4x ，由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点坐标为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，∴a ＝12127.当切点坐标为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5.∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)；当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)．类型三 导数几何意义的应用例4 (1)已知函数f (x )在区间[0,3]上的图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝f (2)－f (1)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)(2)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为________．答案 (1)k 1>k 3>k 2 (2)⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫23π，π 解析 (1)由导数的几何意义，可得k 1>k 2. ∵k 3＝f (2)－f (1)2－1表示割线AB 的斜率，∴k 1>k 3>k 2. (2)设P (x 0，y 0)．∵f ′(x )＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－3(x ＋Δx )＋23－x 3＋3x －23Δx＝3x 2－3，∴切线的斜率k ＝3x 20－3，∴tan α＝3x 20－3≥－3，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫23π，π. 反思与感悟 导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的诸如直线的位置关系、斜率最值范围等关系求解相关问题时常与函数、方程、不等式等知识相结合．跟踪训练4 (1)若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是()(2)已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋a 在点P 处的切线方程为8x －y －15＝0，则实数a 的值为________． 答案 (1)A (2)－7解析 (1)依题意，y ＝f ′(x )在[a ，b ]上是增函数，则在函数f (x )的图象上，各点的切线的斜率随着x 的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A 满足． (2)设点P (x 0，2x 20＋a )． 由导数的几何意义可得 f ′(x 0)＝lim Δx→0ΔyΔx＝lim Δx →02(x 0＋Δx )2＋a －(2x 20＋a )Δx＝4x 0＝8.∴x 0＝2，∴P (2,8＋a )．将x ＝2，y ＝8＋a ，代入8x －y －15＝0， 得a ＝－7.1．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1答案 A解析 由题意，知k ＝y ′|x ＝0 ＝lim Δx →0(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b Δx ＝1，∴a ＝1.又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A.2.已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定 答案 B解析 由导数的几何意义，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A ，B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B )．3.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( )A ．－4B ．3C ．－2D ．1答案 D解析 由图象可得函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线是l ，与x 轴交于(4,0)，与y 轴交于(0,4)，则可知l ：x ＋y ＝4，∴f (2)＝2，f ′(2)＝－1，∴代入可得f (2)＋f ′(2)＝1，故选D. 4．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________．答案 (3,30)解析 设点P (x 0,2x 20＋4x 0)． 则f ′(x 0)＝lim Δx→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →02(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx ＝4x 0＋4，令4x 0＋4＝16，得x 0＝3，∴P (3,30)．5．已知f (x )＝log a x (a >1)的导函数是f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a ，C ＝f ′(a ＋1)，则由导数的几何意义和斜率公式可得A ，B ，C 的大小关系是________． 答案 A >B >C解析 记M (a ，f (a ))，N (a ＋1，f (a ＋1))， 则由于B ＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a ，表示直线MN 的斜率，A ＝f ′(a )表示函数f (x )＝log a x 在点M 处的切线斜率，C ＝f ′(a ＋1)表示函数f (x )＝log a x 在点N 处的切线斜率．所以A >B >C .1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值． 3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．课时作业一、选择题1．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)＝0 C ．f ′(x 0)<0 D ．f ′(x 0)不存在答案 C解析 由导数的几何意义，可得f ′(x 0)＝－2<0.2．曲线y ＝12x 2－2在点(1，－32)处切线的倾斜角为( )A ．1 B.π4 C.54π D ．－π4答案 B解析 ∵y ′|x ＝1＝lim Δx →012(1＋Δx )2－2－(12－2)Δx＝lim Δx →0(1＋12Δx )＝1，∴倾斜角为π4.3．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点P 处的切线平行于直线y ＝9x －1，则切线方程为( ) A ．y ＝9x B ．y ＝9x －26C ．y ＝9x ＋26D ．y ＝9x ＋6或y ＝9x －26答案 D解析 设P (x 0，x 30－3x 20＋1)，k ＝y ′|0x x =＝lim Δx→0ΔyΔx＝lim Δx →0(x 0＋Δx )3－3(x 0＋Δx )2＋1－(x 30－3x 20＋1)Δx＝3x 20－6x 0＝9，即x 20－2x 0－3＝0，解得x 0＝－1或3. ∴点P 的坐标为(－1，－3)或(3,1)．∴切线方程为y ＋3＝9(x ＋1)或y －1＝9(x －3)， 即y ＝9x ＋6或y ＝9x －26.4．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是()答案 B解析 由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知，当x <0时，f ′(x )>0，当x ＝0时，f ′(x )＝0，当x >0时，f ′(x )<0，故选B.5．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f (1)－f (1－x )2x ＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2 答案 D解析 ∵lim x →012·f (1)－f (1－x )x＝12lim x →0f (1)－f (1－x )x ＝12f ′(1)＝－1， ∴f ′(1)＝－2.由导数的几何意义，知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－2.6．设P 为曲线C ：y ＝f (x )＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[π4，π2]，则点P 的横坐标的取值范围为( ) A ．(－∞，12]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－12，＋∞)答案 D解析 设点P 的横坐标为x 0，则点P 处的切线倾斜角α与x 0的关系为 tan α＝f ′(x 0)＝lim Δx→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝2x 0＋2.∵α∈[π4，π2]，∴tan α∈[1，＋∞)，∴2x 0＋2≥1，即x 0≥－12.∴x 0的取值范围为[－12，＋∞)．二、填空题7．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.答案 2解析 由题意知a ＋b ＝3，又y ′|x ＝1＝lim Δx →0a (1＋Δx )2＋b －(a ＋b )Δx ＝2a ＝2，∴a ＝1，b ＝2，故ba＝2.8．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋1在点M 处的瞬时变化率为－4，则点M 的坐标为________． 答案 (－1,3)解析 设点M (x 0，y 0)，f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝4x 0＝－4， ∴x 0＝－1，则y 0＝3，∴M (－1,3)．9．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 答案 3解析 由在M 点处的切线方程是y ＝12x ＋2， 得f (1)＝12×1＋2＝52， f ′(1)＝lim Δx →012(1＋Δx )＋2－12－2Δx ＝lim Δx →012Δx Δx＝12. ∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3. 10．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________．答案 4解析 设在P 点处切线的斜率为k ，则k ＝y ′|x ＝－2＝lim Δx →0(－2＋Δx )2－(－2＋Δx )＋c －(6＋c )Δx ＝－5， ∴切线方程为y ＝－5x .∴点P 的纵坐标为y ＝－5×(－2)＝10，将P (－2,10)代入y ＝x 2－x ＋c ，得c ＝4.三、解答题11．若曲线y ＝f (x )＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴、直线x ＝a 所围成的三角形的面积为16，求a 的值． 解 ∵f ′(a )＝lim Δx →0(a ＋Δx )3－a 3Δx ＝3a 2， ∴曲线在(a ，a 3)处的切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )，切线与x 轴的交点为(23a,0)． ∴三角形的面积为12|a －23a |·|a 3|＝16，得a ＝±1.12．已知抛物线y ＝f (x )＝2x 2＋1分别满足下列条件，求出切点的坐标．(1)切线的倾斜角为45°；(2)切线平行于直线4x －y －2＝0；(3)切线垂直于直线x ＋8y －3＝0.解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，∴y ′|0x x ＝lim Δx →0Δy Δx＝4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1，即f ′(x 0)＝4x 0＝1，解得x 0＝14， ∴切点坐标为(14，98)． (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0，∴k ＝4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，解得x 0＝1，∴切点坐标为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，∴k ·(－18)＝－1，即k ＝8， ∴f ′(x 0)＝4x 0＝8，解得x 0＝2，∴切点坐标为(2,9)．13．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．解 ∵f ′(x 0)＝lim Δx→0Δy Δx ＝lim Δx →0[3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2] ＝3x 20＋2ax 0－9，即f ′(x )＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23， 当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取到最小值，为－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12，解得a ＝±3，又a <0，∴a ＝－3.四、探究与拓展14.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝________；lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝______.(用数字作答) 答案 2 －2解析 ∵f (0)＝4，∴f (f (0))＝f (4)＝2，f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝0－42－0＝－2. 15．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．解 (1)∵y ′＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－(x 2＋x －2)Δx ＝2x ＋1，∴y ′|x ＝1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点P (x 0，x 20＋x 0－2)，则直线l 2的方程为y －(x 20＋x 0－2)＝(2x 0＋1)(x －x 0)．∵l 1⊥l 2，∴3(2x 0＋1)＝－1，解得x 0＝－23. ∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧ x ＝16，y ＝－52.又∵直线l 1，l 2与x 轴的交点坐标分别为(1,0)，(－223，0)，12×|－52|×(1＋223)＝12512.∴所求三角形的面积为S＝。
§1.4生活中的优化问题举例学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．知识点生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为．优化问题(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．(3)解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的过程．数学建模1．生活中常见到的收益最高，用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题．( √) 2．解决应用问题的关键是建立数学模型．( √)类型一几何中的最值问题例1 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．考点利用导数求几何模型的最值问题题点 利用导数求几何体体积的最值问题 解 ∵V (x )＝(2x )2×(60－2x )×22＝2x 2×(60－2x )＝－22x 3＋602x 2(0<x <30)． ∴V ′(x )＝－62x 2＋1202x ＝－62x (x －20)．令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝20.∵当0<x <20时，V ′(x )>0； 当20<x <30时，V ′(x )<0.∴V (x )在x ＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值．∴底面边长为2x ＝202(cm)， 高为2(30－x )＝102(cm)， 即高与底面边长的比值为12.引申探究本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？解 ∵AE ＝x ，∴HE ＝2x .∵EF ＝60－2x ，∴EG ＝22EF ＝22(60－2x )＝2(30－x )． ∴S 侧＝4×HE ×EG ＝4×2x ×2(30－x )＝8x (30－x )＝－8x 2＋240x＝－8(x －15)2＋8×152.∴当x ＝15时，S 侧最大为1 800 cm 2.反思与感悟 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．跟踪训练1 (1)已知圆柱的表面积为定值S ，当圆柱的容积V 最大时，圆柱的高h 的值为________．考点 利用导数求几何模型的最值问题 题点 利用导数求几何体体积的最值问题(2)将一段长为100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm. 考点 利用导数求几何模型的最值问题题点 利用导数求面积的最值问题答案 (1)6πS 3π (2)100π4＋π解析 (1)设圆柱的底面半径为r ， 则S 圆柱底＝2πr 2，S 圆柱侧＝2πrh ， ∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πrh .∴h ＝S －2πr22πr，又圆柱的体积V ＝πr 2h ＝r 2(S －2πr 2)＝rS －2πr32，V ′(r )＝S －6πr22，令V ′(r )＝0，得S ＝6πr 2，∴h ＝2r ，∵V ′(r )只有一个极值点，∴当h ＝2r 时圆柱的容积最大．又r ＝S6π，∴h ＝2S 6π＝6πS 3π. 即当圆柱的容积V 最大时，圆柱的高h 为6πS3π.(2)设弯成圆的一段铁丝长为x (0<x <100)，则另一段长为100－x .设正方形与圆形的面积之和为S ，则正方形的边长a ＝100－x 4，圆的半径r ＝x2π.故S ＝π⎝⎛⎭⎪⎫x 2π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 42(0<x <100)． 因此S ′＝x 2π－252＋x 8＝x 2π－100－x8，令S ′＝0，则x ＝100π4＋π.由于在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，则问题中面积之和的最小值显然存在，故当x ＝100π4＋πcm 时，面积之和最小． 类型二 实际生活中的最值问题命题角度1 利润最大问题例2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 利用导数求解最大利润问题解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)错误!＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)，令f ′(x )＝0，得x ＝4或x ＝6.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有 (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10.8－130x2，0<x≤10，108x －1 0003x2，x>10.(1)求年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解最大利润问题 解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x －2.7x .所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧8.1x －x330－10，0<x≤10，98－1 0003x －2.7x ，x>10.(2)当0<x ≤10时，由W ′＝8.1－x210＝0，得x ＝9，当x ∈(0,9)时，W ′>0，当x ∈(9,10)时，W ′<0， 所以当x ＝9时，W 取得最大值， 且W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6，当x >10时，W ＝98－⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0003x ＋2.7x≤98－21 0003x×2.7x＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7 x ，即x ＝1009时，W max ＝38，综上可得，当x ＝9时，W 取得最大值38.6.故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．命题角度2 用料、费用最少问题例3 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元． (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 用料、费用最少问题 解 (1)设需新建n 个桥墩， 则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx－1.所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x)x＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1＋mx(2＋x)x＝256mx＋m x ＋2m －256. (2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x2＋12m＝m 2x2(－512)．令f ′(x )＝0，得＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)上为减函数； 当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)上为增函数， 所以f (x )在x ＝64处取得最小值． 此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答． (2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值． 跟踪训练3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 用料、费用最少问题 解 (1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5， 而建造费用为C 1(x )＝6x .因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－错误!. 令f ′(x )＝0，即错误!＝6， 解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0；当5<x <10时，f ′(x )>0，故当x ＝5时，f (x )取到最小值，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.答 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值为70万元.1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203C ．－1D ．－8考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解生活中的其他最值问题 答案 C解析 原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高应为( ) A.1033 cm B.2033cmC.1633 cm D.33cm 考点 利用导数求几何模型的最值问题 题点 利用导数求几何体体积的最值问题 答案 B解析 设圆锥的高为h cm,0<h <20， ∴V 圆锥＝13π(202－h 2)×h ＝13π(400－h 2)h∴V ′＝13π(400－3h 2)，令V ′(h )＝0得h ＝2033，当h ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2033时，V ′>0，当h ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2033，20时，V ′<0，故当h ＝2033时，体积最大．3．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P 元，销售量为Q 件，且销量Q 与零售价P 有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( ) A ．30元 B ．60元 C ．28 000元 D ．23 000元考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解最大利润问题 答案 D解析 毛利润为(P －20)Q ，即f (P )＝(P －20)(8 300－170P －P 2)，f ′(P )＝－3P 2－300P ＋11 700＝－3(P ＋130)(P －30)． 令f ′(P )＝0，得P ＝30或P ＝－130(舍去)． 又P ∈[20，＋∞)， 故f (P )max ＝f (P )极大值， 故当P ＝30时，毛利润最大， 所以f (P )max ＝f (30)＝23 000(元)．4．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元． 考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 用料、费用最少问题 答案 160解析 设底面长为x ，由题意得底面宽为4x.设总造价为y ，则y ＝20x ×4x ＋10×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ， 即y ＝20x ＋80x＋80，y ′＝20－80x2，令y ′＝0，得x ＝2.∴当x ＝2时，y min ＝160(元)．5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件． (1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解最大利润问题解 (1)设商品降价x 元，则多卖出的商品件数为kx 2. 若记商品一个星期的获利为f (x )，则有f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)．由已知条件，得24＝k ×22，于是有k ＝6.所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,21]． (2)由(1)得，f ′(x )＝－18x 2＋252x －432 ＝－18(x －2)(x －12)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故当x ＝12时，f (x )取得极大值． 因为f (0)＝9 072，f (12)＝11 664.所以定价为30－12＝18(元)，才能使一个星期的商品销售利润最大．1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．一、选择题1若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则当其表面积最小时底面边长为( )A.3VB.32VC.34VD．23V考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求面积的最值问题答案C解析设底面边长为x，则表面积S＝32x2＋43xV(x>0)，∴S′＝3x2(x3－4V)．令S′＝0，得x＝34V，可判断当x＝34V时，S取得最小值．2．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫l63π B.⎝⎛⎭⎪⎫l33πC.⎝⎛⎭⎪⎫l43π D.14⎝⎛⎭⎪⎫l43π考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求几何体体积的最值问题答案A解析设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r ＋2h ＝l ，∴h ＝l －4r2.∴V ＝πr 2h ＝l 2πr 2－2πr 3⎝⎛⎭⎪⎫0<r<l 4，则V ′＝l πr －6πr 2.令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l6，而r >0，∴r ＝l6是其唯一的极值点．∴当r ＝l 6时，V 取得最大值，最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π.3．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3900＋400x ，0≤x≤390，90 090，x>390，则当总利润P (x )最大时，每年生产产品的单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解最大利润问题答案 D解析 由题意得，总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3900＋300x －20 000，0≤x≤390，70 090－100x ，x>390，当0≤x ≤390时，令P ′(x )＝0，得x ＝300，又当x >390时，P (x )＝70 090－100x 为减函数，所以当每年生产300单位的产品时，总利润最大，故选D.4．若方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )A ．4B ．6C ．4.5D ．8考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 用料、费用最少问题答案 A解析 设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x2.∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x2＝x 2＋4×256x，∴S ′(x )＝2x －4×256x2.令S ′(x )＝0，解得x ＝8，∴当x ＝8时，S (x )取得最小值．∴h ＝25682＝4.5．某超市中秋前30天，月饼销售总量f (t )与时间t (0<t ≤30，t ∈Z )的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t ＋12，则该超市前t 天平均售出错误!的月饼最少为( )A ．14个B ．15个C ．16个D ．17个考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 利用导数求解生活中的其他最值问题答案 D解析 记g (t )＝错误!＝t ＋错误!＋10，令g ′(t )＝1－12t2＝0，得t ＝23(负值舍去)，则g (t )在区间(0,23)上单调递减，在区间(23，30]上单调递增，由于t ∈Z ，且g (3)＝g (4)＝17，∴g (t )min ＝17.6．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x ∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为( )A ．0.016 2B ．0.032 4C ．0.024 3D ．0.048 6考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 利用导数求解最大利润问题答案 B解析 依题意，得存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，获得的贷款利息是0.048 6kx 2，其中x ∈(0,0.048 6)．所以银行的收益是y ＝0.048 6kx 2－kx 3(0<x <0.048 6)，则y ′＝0.097 2kx －3kx 2.令y ′＝0，得x ＝0.032 4或x ＝0(舍去)．当0<x <0.032 4时，y ′>0；当0.032 4<x <0.048 6时，y ′<0.所以当x ＝0.032 4时，y 取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．7．圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，则它的高与底面半径的比为( ) A ．2∶1 B．1∶2 C ．1∶4 D．4∶1考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 用料、费用最少问题答案 A解析 设其体积为V ，高与底面半径分别为h ，r ，则V ＝πr 2h ，即h ＝V πr2.由题意知，当表面积S 最小时所用材料最省．S ＝2πr 2＋2πrh ＝2πr 2＋2πrV πr2＝2πr 2＋2V r.令S ′＝4πr －2Vr2＝0，得r ＝3V 2π，当r ＝3V 2π时，h ＝V π⎝⎛⎭⎪⎫3V 2π2＝34V π. 则h ∶r ＝2∶1时，表面积S 最小． 二、填空题8.如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．考点 利用导数求几何模型的最值问题题点 利用导数求面积的最值问题答案439解析 设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，0，点B 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x2，1－x24，∴矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎝⎛⎭⎪⎫1－x24＝－x34＋x ，x ∈(0,2)．4得x 1＝－233(舍)，x 2＝233，∴当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，233时，f ′(x )>0，f (x )是单调递增的，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫233，2时，f ′(x )<0，f (x )是单调递减的，∴当x ＝233时，f (x )取最大值439.9．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8，x ∈(0,120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以________千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少．考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 用料、费用最少问题答案 80解析 当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为y 升，依题意得，y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1128 000x3－380x ＋8·100x ＝1 1 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)．则y ′＝x 640－800x2＝x3－803640x2(0<x ≤120)．令y ′＝0，得x ＝80，当x ∈(0,80)时，y ′<0，该函数递减；当x ∈(80,120]时，y ′>0，该函数递增，所以当x ＝80时，y 取得最小值．10．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 用料、费用最少问题答案 20解析 设该公司一年内总共购买n 次货物，则n ＝400x ，∴总运费与总存储费之和f (x )＝4n ＋4x ＝1 600x＋4x ，x2解得x ＝20，x ＝－20(舍去)，x ＝20是函数f (x )的最小值点，故当x ＝20时，f (x )最小．11．某厂生产某种产品x 件的总成本为C (x )＝1 200＋275x 3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为____件时总利润最大．考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 利用导数求解最大利润问题答案 25解析 由题意知502＝k 100，解得k ＝25×104.∴产品的单价P ＝25×104x ＝500x.∴总利润L (x )＝x 500x－1 200－275x3＝500x －1 200－275x 3，L ′(x )＝250x －12－225x 2，令L ′(x )＝0，得x ＝25，∴当x ＝25时，总利润最大．12.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为________ m 时，帐篷的体积最大．考点 利用导数求几何模型的最值问题 题点 利用导数求几何体体积的最值问题答案 2解析 设OO 1＝x ，则1<x <4.由题设可得正六棱锥底面边长为错误!＝错误!.于是底面正六边形的面积为6·34·(8＋2x －x2)2＝332(8＋2x －x 2)． 帐篷的体积为V (x )＝332(8＋2x －x 2)错误!＝32(16＋12x －x 3)． 则V ′(x )＝32(12－3x 2)．令V ′(x )＝0，解得x ＝－2(不合题意，舍去)或x ＝2.当1<x <2时，V ′(x )>0，V (x )为增函数； 当2<x <4时，V ′(x )<0，V (x )为减函数．综上，当x ＝2时，V (x )最大．三、解答题13.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为64π3立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y 千元．(1)将y 表示成r 的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r 和l 为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 用料、费用最少问题解 (1)因为容器的体积为64π3立方米，所以4πr33＋πr 2l ＝643π，解得l ＝643r2－43r ，所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ⎝⎛⎭⎪⎫643r2－43r ＝128π3r －8πr23，两端两个半球的表面积之和为4πr 2，所以y ＝⎝⎛⎭⎪⎫128π3r－8πr23×3＋4πr 2×4＝128πr ＋8πr 2.又l ＝643r2－43r >0，即r <，所以定义域为(0,)．(2)因为y ′＝－128πr2＋16πr ＝错误!，令y ′>0得2<r <243；令y ′<0得0<r <2，所以当r ＝2时，该容器的建造费用最小为96π千元，此时l ＝83.四、探究与拓展14．某民营企业生产甲、乙两种产品，根据以往经验和市场调查，甲产品的利润与投入资金成正比，乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，已知甲、乙产品分别投入资金4万元时，所获得利润(万元)情况如下：该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品，那么可获得的最大利润(万元)是( ) A.92B.6516 C.358D.174考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解最大利润问题 答案 B解析 ∵甲产品的利润与投入资金成正比， ∴设y 1＝k 1x ，当投入4万时，利润为1万， 即4k 1＝1，得k 1＝14，即y 1＝x4.∵乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比， ∴设y 2＝k 2x ，当投入4万时，利润为2.5万， 即4k 2＝52，得2k 2＝52，即k 2＝54，即y 2＝5x4.设乙产品投入资金为x ，则甲产品投入资金为10－x,0≤x ≤10， 则销售甲、乙两种产品所得利润为y ＝14(10－x )＋5x4， 则y ′＝－14＋58x ＝5－2x8x ，由y ′>0，得5－2x>0，即0≤x <254，由y ′<0，得5－2x<0，即254<x ≤10，即当x ＝254时，函数取得极大值同时也是最大值，此时y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫10－254＋54·254＝1516＋5016＝6516. 15．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加，年销售量y 关于x 的函数为y ＝3 240⎝⎛⎭⎪⎫－x2＋2x ＋53，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？(年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量) 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解最大利润问题解 由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x )， 每辆车的出厂价为13(1＋0.7x )，年利润为f (x )＝[13(1＋0.7x )－10(1＋x )]·y＝(3－0.9x )×3 240×⎝ ⎛⎭⎪⎫－x2＋2x ＋53 ＝3 240(0.9x 3－4.8x 2＋4.5x ＋5)， 则f ′(x )＝3 240(2.7x 2－9.6x ＋4.5) ＝972(9x －5)(x －3)，由f ′(x )＝0，解得x ＝59或x ＝3(舍去)，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，59时，f ′(x )>0，f (x )是增函数； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫59，1时，f ′(x )<0，f (x )是减函数． 所以当x ＝59时，f (x )取极大值，f⎝ ⎛⎭⎪⎫59＝20 000. 因为f (x )在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值． 所以当x ＝59时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元．。
WANOLUOGOUJIAN—、导数1. 对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和Ax-0的方式，导数是函数的 增量Ay 与自变量的增量Ax 的比鲁的极限,函数y=Rx ）在点X 。
处的导数的几何意义，就是曲线y=j[x ）在点P （x 。
,几切））处的切线的斜 率.2. 曲线的切线方程利用导数求曲线过点P 的切线方程时应注意： （1） 判断P 点是否在曲线上；（2） 如果曲线尹=/«在P （x°,畑）处的切线平行于y 轴（此时导数不存在），可得方程为x =x 0；尸点坐标适合切线方程，P 点处的切线斜率为广（xo ）.3. 利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用 法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便.因此观察式子的特点，对式子进行适 当的变形是优化解题过程的关键.4. 判断函数的单调性（1） 在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程屮， 只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；（2） 注意在某一区问内/⑴＞0（或/ （x ）＜0）是函数.心）在该区间上为增（或减）函数的充 分条件.本章归纳整合•定积分的概念-L 变速直线运动的路程L 定积分--微积分基本定理- -/：/(x)dx=F(6)-F(a)r 定积分在几何中的应用-定积分的应用-______________ H 曲边梯形的面积[定积分在物理中的应用J 耍点归纳四步曲：分割、 近似代替、求 和、取极限网络构系统盘点i 提炼主线-变化率问题平均变化率鸽取极限-导数的概念:瞬时变化率免L 导数的几何意义、切线的斜率k=f （xA导数及其应用知识网络导数的概①求极值；②极值与端点 处函数值比校①求导数f （%）；②解方程 If 3）=0；③痴商两侧符号J 若厂何＞0,则y=flx ）递增； 若广何＜0,则5）递减；5.利用导数研究函数的极值要注意(1) 极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧领域而言的.(2) 连续函数/(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大 值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小.(3) 可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的 极值点.因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导 数异号.6. 求函数的最大值与最小值⑴函数的最大值与最小值：在闭区I'可［a, b ］上连续的函数心)，在［a, b ］上必有最大值与 最小值；但在开区间(a, b)内连续的函数./(X )不一定有最大值与最小值，例如：x 丘(一 1,1).(2)求函数最值的步骤一般地，求函数y=J{x)在［a, b ］上最大值与最小值的步骤如下： ① 求函数y=f(x)在(a, b)内的极值；② 将函数y=f{x)的各极值与端点处的函数值/(a), /(b)比较，其中最大的一个是最大值， 最小的一个是最小值.7. 应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间 内只有一个点xo ，使.广(xo) = O,则./(xo)是函数的最值.二、定积分I ■ 定积分白勺概念定积分0J 思想贏无限分割、以直代曲、求和、取极限：IMF)00立简)心，而f b af(x)Jx 只是这种极限的一种记号. /=!2.定积分的性质由定积分的定义，对以得到定积分的如下性质: ⑴f kf(x)dx=kf f(x)〃x(k 为常数);aa⑵ f ［fi(x)士f2(x)］dx=f fi(x)dx 土 f f 、2(x)dx ；J a"a"Q(33. 微积分基本定理用微积分基本定理求定积分，关键是求一个未知函数，使它的导函数恰好是已知的被积 函数.4. 定积分的几何意义由于定积分的值可正、可负还可能是0,所以如果在区间［a, b ］上函数f(x)连续且恒有f(x)30,面积的相反数.i 般情况下如下图，定积分ff(x)〃x 的几何意义是：介于X 轴，曲线y=f(x)以及直线X =a,x=b 之间各部分曲边梯形面詁的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的而 积取负号.即ff(x)Jx = Si-S 2+S 3.如图曲边扌话形的面积.设F‘ (x)=f(x),且f(x)在a b ］上连续,则?=F(b) —F(a).x)dx 的值等于曲边梯形的面积；如果f(x)<0,则 a<c<b).dx= F(x) “X 的值等于曲边梯形5. 定积分的应用主要有两个问题：一是能利用定积分求曲边梯形的面积；二是能利用定 积分求变速直线运动的路程及变力做功问题.其屮，应特别注意求定积分的运算与利用定积 分计算曲边梯形面积的区别.专题一应用导数解决与切线相关的问题根据导数的儿何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线 相关的问题.【例1】设函数f(x)=4x 2 —Zn x+2,求曲线y=f(x)在点(1, f(l))处的切线方程.解 f' (x) = 8x —7.ZY所以在点(1, f(l))处切线的斜率k = f‘ (1)=7, 又 f(l)=4+2 = 6,所以切点的坐标为(1,6),所以切线的方程为y —6 = 7(x —1),即y=7x —1.【例2］点P(2,0)是函数f(x) = x? + ax 与g(x)=bx 2+c 的图彖的一个公共点，且两条曲 线在点P 处有相同的切线，求a, b, c 的值.解 因为点P(2,0)是函数f(x)=x 3 + ax 与g(x)=bx 2 + c 的图象的一个公共点， 所以23 + 2a=0① 4b+c=0 ②由①得a=—4.所以 f(x) = x 3—4x.又因为两条曲线在点P 处有相同的切线， 所以 f‘ (2)=g‘ (2),而由 f‘ (x)=3x 2-4 得到 f‘ (2)=8, 由 g' (x)=2bx 得到『(2)=4b,所以8=4b,即b=2,代入②得到c= 一& 综上所述，a=—4, b=2, c= —& 专题二应用导数求函数的单调区间在区间(a, b)内,如果f' (x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a, b)内单调递增;在区间(a, b)内，如果f' (x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a, b)内单调递减.2【例3】 已知函数f(x)=x —~+ a(2 — In x), a>0.讨论f(x)的单调性.X解由题知，f(x)的定义域是(0, +8),2 a x 2—ax+2 ~2——= 2 .X X X设 g(x)=x 2-ax + 2,二次方程 g(x)=O 的判别式△ = &?一&① 当△<()即0VaV2迄吋，对一切x>0都有f' (x)>0.此吋f(x)是(0,十呵上的单调递 增函数.② 当△ = ()即a = 2迈时，仅对x=y/2,有f ，(x) = O,对其余的x>0都有f ，(x)>0.此时 f(x)也是(0, +8)上的.車调递增函数.02ZHUANTIGUINA .........................» 专题归纳整合专题i 典例掲秘③当△>()即a>2迈时，方程g(x) = O有两个不同的实根a—pa'—8 a+Qa'—8 小X] = c , X?= c , 0<X[<X2・当X变化时，f‘(x)、f(x)的变化情况如下表:a—呼芳上单调递增,此时f(x)在(o,在件爭+8)上单调递增.专题三利用导数求函数的极值和最值1.利用导数求函数极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f‘ (x)=0的根；(3)检验f‘(x) = 0的根的两侧f‘(x)的符号.若左正右负，则f(x)在此根处収得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点.2.求函数f(x)在闭区间［a, b］上的最大值、最小值的方法与步骤⑴求f(x)在(a, b)内的极值;(2)将(1)求得的极值与f(a). f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值.特别地，①当f(x)在［a, b］上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a, b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小)值，这里(a, b)也可以是(一°°, +°°).【例4】己知函数f(x)=x'+ax2 + b的图象上一点P(l,0),且在点P处的切线与直线3x +y=0平行.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间［0, t］(0<t<3)±的最大值和最小值;(3)在⑴的结论下，关于x的方程f(x)=c在区间［13上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围.解⑴因为f' (x)=3x2+2ax,曲线在P(l,0)处的切线斜率为：F (l)=3+2a,即3+2a =—3, a=—3.又函数过(1,0)点，即一2+b=0, b=2.所以a=—3, b = 2, f(x) = x3—3x2+2.(2)rtl f(x)=x3—3X2+2得，f' (x)=3x2—6x.由F (x) = 0 得，x = 0 或x=2.①当0<tW2 时，在区间(0, t)± f (x)<0, f(x)在［0, t］上是减函数,所以f(x),”“x=f(0)=2,f(X),wn = f(t) = t3— 312 + 2.②当f(xU=f(2)=-2, f(x)哑为f(0)与f(t)中较大的一个.f(t)—f(0)=F — 3t2=t2(t -3)<0.所以f(x)加心=f(0)=2.(3)令g(x) = f(x)—c=x3—3x2+2 —c, g' (x) = 3x2—6x=3x(x—2).在xe[l,2)上，g' (x)<0；在xw(2,3]上，g‘(x)>0.要使g(x)=0 在[1,3]上恰有两个相异g(l)>0,的实根，d g(2)<0,、g⑶ 20，解得一2<cW0.专题四导数与函数、不等式利用导数知识解决不等式问题是我们常见的一个热点问题，其实质就是利用导数研究函数的单调性，通过单调性证明不等式，这类问题在考查综合能力的同时，又充分体现了导数的工具性和导数的灵活性.【例5】证明：当xe［—2,1］时，一辛冬霁一4xW#证明令他)=占？一4*, ［―2,1］,则f‘ (X)=X2-4.因为xU［—2,1］,所以f‘(x)W0,即函数f(x)在区间［—2,1］上单调递减.故函数f(x)在区间［—2,1］上的最大值为f(-2)=y,最小值为f(l)=-y.所以，当xe［—2,1］时，一¥wf(x)w¥，即一¥冬$'—4xW学成立.专题五导数与函数、不等式的综合应用利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点.考题利用导数作为工具, 考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的収值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现.考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强.【例6］设函数f(x)=—、'+2ax2 —3a2x+b(0<a<l).(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若当xe［a + l, a + 2］吋，恒有|f‘(x)|Wa,试确定a的取值范围；(3)当&=彳时，关于x的方程f(x)=0在区间［1,3］上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围.解(l)f' (x)=-x2+4ax-3a2=—(x—a)(x —3a). 令f，(x) = 0,得x = a 或x = 3a.当xf(x)当x=a吋，f(x)取得极小值，f(x)极小=f(a)=b—扌J；当x=3a时，f(x)取得极大值，f(x)极大=f(3a)=b. (2)f z (x)=-x2+4ax-3a2,其对称轴为x=2a. 因为0<a<l,所以2a<a+l.所以f‘ (x)在区间［a + 1, a + 2］上是减函数.当x=a+1 时，f7 (x)取得最大值，f z (a+l) = 2a—1；当x=a+2 时,f r (x)取得最小值，f f (a+2)=4a—4.2a —lWa,4于是有仁宀 即4a —4±—a,34又因为0<a<l,所以§Wa<l.(3)当 a=f 时,f(x)= —|x 3+jx 1 2 3—yx+b. f' (x)=—x 2+|x —由 f' (x) = 0,即一x?+|x —扌=0,2解得 X]=T ，X2 = 2,即f(x)在(一 8,寻上是减函数， 在伶2)上是增函数，在(2, +8)上是减函数. 要使f(x) = 0在[13上恒有两个相异实根， 即f(x)在(1,2), (2,3)上各有一个实根，解得0<b 吕.专题六定积分及其应用1. 定积分是解决求平面图形，特别是不规则图形的面积、变速直线运动的路程及变力做 功等问题的方便而且强有力的工具.2. 不规则图形的面积可用定积分求，关键是确定积分上、下限及被积函数，积分的上、 下限一般是两曲线交点的横坐标.【例7】设两抛物线y= — x?+2x, y=x 2所围成的图形为M,求M 的面积.解函数y= —x?+2x, y = x 2在同一平面直角坐标系屮的图象如图所示. 由图可知，图形M 的面积S= f '0(-x 2 + 2x-x 2)t/x=f b(—2x?+2x)dx=(—討+ x?)=g.“ JIEDUGAOKAO .....................................03》解读高考命题趋势2 导数是研究函数的重要工具，自从导数进入教材之后，给函数问题注入了生机和活力, 开辟了许多解题新途径，拓展了高考对•函数问题的命题空间，其中导数的概念和运算是导数 的基础内容，在高考题中一般以容易题出现，并且在高考中所占的份量不大.3 由近三年的高考试题统计分析可以看出，导数的应用已经成为高考炙手可热的热点问 题.每年全国及各省市的自主命题中都有导数应用的解答题出现，因此搞好导数应用的复习f(l)W0,于是有\f(2)>0,、f(3)W0,—*+bW0, b>0,、一1 +bW0,感知考悄i 体验真题非常有必要.常见的考查角度如下：(1)对导数与函数的单调性的考查，求导确定函数的单调区间，已知函数的某一单调区间探求参数的范围等.(2)对导数与函数的极(最)值的考查，女口：求函数的极值及闭区间上的最值，以极值或最值为载体考查参数的范围；解题关键在于准确理解极值(最值)的定义，善于利用分类讨论思想，等价转化思想去解题.(3)对导数的综合应用的考查，与函数、方程、不等式、数列等联系进行综合考查，主耍考查函数的最值或求参数的值或范围.解题时要善于把复杂的、生疏的、非规范化的问题转化为简单的、熟悉的、规范化的问题来解决.高考真题(2012-湖北高考)已知二次函数y=f(x)的图象如图所示，贝9它与x轴所围图形的面积为()•解析根据f(x)的图象可设f(x)=a(x+l)(x-l)(a<0). 因为f(x)的图象过(0,1)点，所以一a=l,即a= —1. 所以f(x)= —(x4- l)(x—1)= 1 —x2.所以S= I L](l —x?)dx = 2 f '0(1 — x2)i/x = 2( x—jx答案B2.(2011-山东高考)曲线y=x3+ll在点P(l,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( ).A.-9B. -3C. 9D. 15解析Vy=x3+ll, :.y1 =3x2, ・・・『k=i = 3,・•・曲线y=x3+11在点戸亿⑵处的切线方程为y —12 = 3(x—l)・令x=0,得y=9.答案C3.(2012-陕西高考)设函数f(x)=xe x,贝％).A.x=l为f(x)的极大值点B.x=l为f(x)的极小值点C.x= —1为f(x)的极大值点D.x= —1为f(x)的极小值点解析*.*f(x)=xe x, /. f f (x) = e x 4- xe x=e x( 1 + x)・・••当F (x)2 0时,即e x(l+x)>0,即xM — l, ・・・xM — 1时函数y=f(x)为增函数.同理可求，X< —1时函数f(x)为减函数..*.X= — 1时，函数f(x)取得极小值.答案D4.(2010-大纲全国高考)曲线丫=0卞+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为().解析 Vy , =( — 2x)‘ e ・・・切线方程为y —2=—2仪一0),即丫= -2x + 2. 如图，Ty=—2x+2与y=x 的交点坐标为 S =^ X 1 乂3=亍.答案A5. (2012-辽宁)己知P, Q 为抛物线x 2=2y ±两点，点P, Q 的横坐标分别为4, 一2, 过P, Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A,则点A 的纵坐标为 _____________________ ・解析 因为y=|x',所以y‘ =x,易知P(4,8), Q(—2,2),所以在P 、Q 两点的切线的斜率的值为4或一2.所以这两条切线方程为h ： 4x —y —8=0, 12： 2x+y+2 = 0,将这两个方程联立方程组求 得 y=—4.答案一46. (2012-安徽高考)设函数 f(x)=ae x +^+b(a>0). ⑴求f(x)在［0, +8)内的最小值；3(2)设曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y 求a, b 的值.解(l)f' (x)=ae x —当 f‘ (x)>0,即 x>~ln a 时，f(x)在(—In a, +°°)上递增； 当 f‘ (x)<0,即 xV —加 a 时，f(x)在(一 8, fa)上递减.① 当0 <a< 1时，一/舁a>0, f(x)在(0, -In a)上递减，在(fa, +8)上递增，从而f(x) 在［0, +8)上的最小值为f (一加a)=2+b ；② 当aMl 吋，一f(x)在［0, +呵上递增，从而f(x)在［0, +呵上的最小值为f(0) =a+丄+b. a12i7⑵依题意f ，(2)=ae 2—解得a ，=2或a/=—/(舍去)，所以a=尹 代入原函数 可得 2+*+b =3,即 b=£,故 a_孑,b 一2«7. (2011•北京高考)已知函数f(x)=(x-k)e x .⑴求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间［0,1］上的最小值. 解(l)f' (x)=(x — k+l)/ 令 f‘ (x)=0,得 x = k-l.f(x)与的变化情况如下：X ( — 8, k — 1)k-1 (k —1, +°°)F (X )—+ f(x)k-1 "e/所以，f(x)的单调递减区I 、可是(一I k-1)；单调递增区间是(k-1, +<-).(2)当 k —lW0,即 kWl 吋， 函数f(x)在［0」］上单调递增，,y=—2x+2与x 轴的交点坐标为(1,0),-2x所以f(x)在区间［0丄］上的最小值为f (o )=-k ； 当 0<k-l<l, EP l<k<2 时，由⑴知f(x)在［0, k-1)上单调递减， 在(k-l,l ］±单调递增，所以f(x)在区间［0,1］上的最小值为f(k —l)=—F 】； 当 k —121,即 k$2 时，函数f(x)在［0,1］上单调递减，所以f(x)在区间［0」］上的最小值为f(l)=(l-k)e.8. (2011-江西高考)设 f(x) = —|x 3 +^x 2 + 2ax.(1)若f(x)在(彳，+s)上存在单调递增区间，求a 的取值范围；⑵当0<a<2时，f(x)在［1,4］上的最小值为一乎，求f(x)在该区间上的最大值. 解(1)由 f'(x)=-x 2+x+2a当 x e J, 时，f z (x)的最大值为F 6)=#+2a ； 2 1令^+2a>0,得 a>—所以，当a>—g 时,f(X )在住，+->)上存在单调递增区间. (2)令 f' (x)=0,得两根 X!-1\1+8a所以f(x)在(一8, Xi),(X2，+8)上单调递减，在(X1，X2)上单调递增. 当 0<a<2 时，有 X )<1<X 2<4, 所以f(x)在［1,4］上的最大值为f(X2)・27又 f(4)-f(l)=-y+6a<0,得a=l, X2=2,从而f(x)在［1,4］上的最大值为f(2)=y.9. (2011-福建高考)某商场销售某种商品的经验表明，该商场每日的销售量y (单位：千 克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y=^+10(x-6)2,其屮3<x<6, a 为常数.已 知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1) 求a 的值；(2) 若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商品每H 销售该商品所获得 的利润最大.解(1)因为x=5吋，y=ll,所以号+10=11, a=2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y=—^+10(x-6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(x_3)|j±+ 10(X _6)2=2+ 10(X -3)(X -6)23<X <6.从而,l+pl+8a即 f(4)<f(l),所以f(x)在［1,4］上的最小值为f' (X)=10[(X-6)2+2(X-3)(X-6)]=30(X-4)(X-6).于是，当X变化时，f' (x), f(x)的变化情况如下表:由上表可得，*=4是函数俭)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点. 所以，当x=4时，函数f(x)収得最大值，且最大值等于42.所以当销售价格为4元/千克时，商场每FI销售该商品所获得的利润最大.。
1.5.3 定积分的概念学习目标1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．知识点一 定积分的概念思考 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答案 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．梳理 一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1n b －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃba f (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1n b －an f (ξi )，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．知识点二 定积分的几何意义思考1 根据定积分的定义求得ʃ21(x ＋1)d x 的值是多少？ 答案 ʃ21(x ＋1)d x ＝52. 思考2 ʃ21(x ＋1)d x 的值与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，f (x )＝x ＋1围成的梯形面积有何关系？ 答案 相等．梳理 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分ʃb a f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分ʃb a f (x )d x 的几何意义．注意：f (x )<0(图象在x 轴的下方)时，ʃb a f (x )d x <0，－ʃb a f (x )d x 等于曲边梯形的面积．知识点三 定积分的性质思考你能根据定积分的几何意义解释ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)吗？答案直线x＝c把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2.梳理(1)ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x(k为常数)．(2)ʃb a[f1(x)±f2(x)]d x＝ʃb a f1(x)d x±ʃb a f2(x)d x.(3)ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)．1．ʃb a f(x)d x＝ʃb a f(t)d t.(√)2．ʃb a f(x)d x的值一定是一个正数．(×)3．ʃb a⎣⎡⎦⎤x3＋⎝⎛⎭⎫12x d x＝ʃb a x3d x＋ʃb a⎝⎛⎭⎫12x d x.(√)类型一利用定积分的定义求定积分例1利用定积分的定义，计算ʃ21(3x＋2)d x的值．考点定积分的概念题点定积分的概念解令f(x)＝3x＋2.(1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分成n个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n＋i－1n，n＋in(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝n＋in－n＋i－1n＝1n.(2)近似代替、求和取ξi＝n＋i－1n(i＝1,2，…，n)，则S n＝∑i＝1nf⎝⎛⎭⎪⎫n＋i－1n·Δx＝∑i＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(n＋i－1)n＋2·1n＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(i －1)n 2＋5n ＝3n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5 ＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n. (3)取极限ʃ21(3x ＋2)d x ＝lim n →∞ S n＝lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫132－32n ＝132. 反思与感悟 利用定义求定积分的步骤跟踪训练1 利用定积分的定义计算ʃ32(x ＋2)d x . 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 解 令f (x )＝x ＋2.将区间[2,3]平均分为n 个小区间，每个小区间的长度为Δx i ＝1n，[x i －1，x i ]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋i －1n ，2＋i n ，i ＝1,2，…，n .取ξi ＝x i ＝2＋i n ，则f (ξi )＝2＋i n ＋2＝4＋in .则∑ni ＝1f (ξi )Δx i＝∑ni ＝1 ⎝⎛⎭⎫4＋i n ·1n＝∑ni ＝1 ⎝⎛⎭⎫4n ＋i n 2＝n ·4n ＋1＋2＋…＋n n 2＝4＋n ＋12n.∴ʃ32(x ＋2)d x ＝lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫4＋n ＋12n ＝92. 类型二 利用定积分的性质求定积分例2 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563，求下列各式的值． (1)ʃ20(3x 3)d x ； (2)ʃ41(6x 2)d x ； (3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x .考点 定积分性质的应用 题点 定积分性质的应用解 (1)ʃ20(3x 3)d x ＝3ʃ20x 3d x ＝3()ʃ10x 3d x ＋ʃ21x 3d x＝3×⎝⎛⎭⎫14＋154＝12.(2)ʃ41(6x 2)d x ＝6ʃ41x 2d x ＝6()ʃ21x 2d x ＋ʃ42x 2d x＝6×⎝⎛⎭⎫73＋563＝126.(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x ＝ʃ21(3x 2)d x －ʃ21(2x 3)d x＝3ʃ21x 2d x －2ʃ21x 3d x ＝3×73－2×154＝－12. 反思与感悟 若函数f (x )的奇偶性已经明确，且f (x )在[－a ，a ]上连续，则 (1)若函数f (x )为奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0.(2)若函数f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x .跟踪训练2 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，－1≤x <0，e －x ，0≤x ≤1，且ʃ0－1(2x －1)d x ＝－2，ʃ10e －x d x ＝1－e －1，求ʃ1－1f (x )d x . 考点 定积分性质的应用 题点 定积分性质的应用解 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1f (x )d x ＋ʃ10f (x )d x ＝ʃ0－1(2x －1)d x ＋ʃ10e －x d x ＝－2＋1－e －1＝－(e －1＋1)．类型三 利用定积分的几何意义求定积分 例3 用定积分的几何意义求下列各式的值．(1)ʃ1－14－x 2d x ； (2)π2π-2sin d x x ⎰.考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用 解 (1)由y ＝4－x 2得x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图象如图所示．ʃ1－14－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和，S 弓形CED ＝12×π3×22－12×2×3＝2π3－3，S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝23，∴ʃ1－14－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3. (2)∵函数y ＝sin x 在x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是奇函数， ∴π2π-2sin d x x ⎰＝0.跟踪训练3 求定积分：ʃ20(4－(x －2)2－x )d x .考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用 解 ʃ204－(x －2)2d x 表示圆心在(2,0)，半径等于2的圆的面积的14，即ʃ204－(x －2)2d x ＝14×π×22＝π.ʃ20x d x 表示底和高都为2的直角三角形的面积， 即ʃ20x d x ＝12×22＝2. ∴原式＝ʃ204－(x －2)2d x －ʃ20x d x＝π－2.1．下列结论中成立的个数是( )①ʃ10x 3d x ＝∑i ＝1n i 3n 3·1n ；②ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1n (i －1)3n 3·1n ； ③ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1ni 3n 3·1n . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 答案 C解析 ②③成立．2．关于定积分a ＝ʃ2－1(－2)d x 的叙述正确的是( ) A ．被积函数为y ＝2，a ＝6 B ．被积函数为y ＝－2，a ＝6 C ．被积函数为y ＝－2，a ＝－6 D ．被积函数为y ＝2，a ＝－6 考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义 答案 C解析 由定积分的概念可知， ʃ2－1(－2)d x 中的被积函数为y ＝－2，由定积分的几何意义知，ʃ2－1(－2)d x 等于由直线x ＝－1，x ＝2，y ＝0，y ＝－2所围成的图形的面积的相反数，∴ʃ2－1(－2)d x ＝－2×3＝－6. 3．已知定积分ʃ60f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则ʃ6－6f (x )d x 等于( )A ．0B ．16C ．12D ．8考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 B解析 ʃ6－6f (x )d x ＝2ʃ60f (x )d x ＝16. 4．由函数y ＝－x 的图象，直线x ＝1，x ＝0，y ＝0所围成的图形的面积可表示为( ) A ．ʃ10(－x )d xB ．ʃ10|－x |d xC ．ʃ0－1x d xD ．－ʃ10x d x考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义 答案 B解析 由定积分的几何意义可知，所求图形的面积为 S ＝ʃ10|－x |d x .5．计算ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x . 考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用 解 如图所示，由定积分的几何意义得ʃ3－39－x 2d x ＝π×322＝9π2， ʃ3－3x 3d x ＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x ＝ʃ3－39－x 2d x －ʃ3－3x 3d x ＝9π2.1．定积分ʃb a f (x )d x是一个和式 i ＝1n b －anf (ξi )的极限，是一个常数．2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分．对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．一、选择题1．根据定积分的定义，ʃ20x 2d x 等于( )A.∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫i －1n 2·1n B ．lim n →∞ ∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫i －1n 2·1n C.∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫2i n 2·2n D ．lim n →∞ ∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫2i n 2·2n 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 答案 D 解析根据定积分的定义，ʃ20x 2d x ＝lim n →∞∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫2i n 2·2n .2．下列定积分的值等于1的是( ) A ．ʃ101d x B ．ʃ10(x ＋1)d x C ．ʃ1012d x D ．ʃ10x d x考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 A解析 D 项，ʃ10x d x ＝12，C 项，ʃ1012d x ＝12， B 项，ʃ10(x ＋1)d x ＝32，A 项，ʃ101d x ＝1，故选A. 3．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0B ．若f (x )是连续的偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d xC ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则ʃb a f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且ʃb a f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 D解析 A 项，因为f (x )是奇函数，图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 项正确；B 项，因为f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，故y 轴两侧的图象都在x 轴上方或下方且面积相等，故B 项正确；由定积分的几何意义知，C 项显然正确；D 项，f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大． 4．与定积分3π2x ⎰相等的是( )A.3π20sin d x x ⎰B.3π2sin d x x ⎰C ．ʃπ0sin x d x －3π2πsin d x x ⎰D.π3π22π02sin d sin d x x x x +⎰⎰考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 C解析 当x ∈[0，π]时，sin x ≥0； 当x ∈⎝⎛⎦⎤π，3π2时，sin x <0. ∴由定积分的性质可得，3π2sin d x x ⎰＝ʃπ0|sin x |d x ＋3π2πsin d x x ⎰＝ʃπ0sin x d x ＋()3π2πsin d x x -⎰＝ʃπ0sin x d x －3π2πsin d x x ⎰.5．下列各阴影部分的面积S 不可以用S ＝ʃb a [f (x )－g (x )]d x 求出的是( )考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义答案 B解析 定积分S ＝ʃb a [f (x )－g (x )]d x 的几何意义是求函数f (x )与g (x )之间的阴影部分的面积，必须注意f (x )的图象要在g (x )的图象上方．对照各选项可知，B 项中f (x )的图象不全在g (x )的图象上方，故选B.6．由直线y ＝x ，y ＝－x ＋1及x 轴围成的平面图形的面积为( ) A ．ʃ10[(1－y )－y ]d y B ．()121d x x x -+-⎡⎤⎣⎦⎰ C ．()112102d 1d x x x x +-+⎰⎰D ．ʃ10[x －(－x ＋1)]d x考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义 答案 C解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝12，故A ⎝⎛⎭⎫12，12.由图知阴影部分的面积可表示为()112102d 1d x x x x +-+⎰⎰.7．设a ＝ʃ1013x d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．a ＝b >cD ．c >a >b考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用答案A解析根据定积分的几何意义，易知ʃ10x3d x<ʃ10x2d x<ʃ1013x d x，即a>b>c，故选A.8．若ʃa－a|56x|d x≤2 016，则正数a的最大值为() A．6 B．56C．36 D．2 016考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用答案A解析由ʃa－a|56x|d x＝56ʃa－a|x|d x≤2 016，得ʃa－a|x|d x≤36，∵ʃa－a|x|d x＝a2，∴a2≤36，即0<a≤6.故正数a的最大值为6.二、填空题9．若ʃ1012f(x)d x＝1，ʃ0－13f(x)d x＝2，则ʃ1－1f(x)d x＝________.考点定积分性质的应用题点定积分性质的应用答案8 3解析∵ʃ1012f(x)d x＝12ʃ10f(x)d x＝1，∴ʃ10f(x)d x＝2.又ʃ0－13f(x)d x＝3ʃ0－1f(x)d x＝2，∴ʃ0－1f(x)d x＝2 3.∴ʃ1－1f(x)d x＝ʃ0－1f(x)d x＋ʃ10f(x)d x＝23＋2＝83.10．如图所示的阴影部分的面积用定积分表示为________．考点定积分的几何意义及性质题点 定积分的几何意义答案 ʃ2－4x 22d x 11．定积分ʃ10(2＋1－x 2)d x ＝________.考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 2＋π4解析 原式＝ʃ102d x ＋ʃ101－x 2d x .因为ʃ102d x ＝2，ʃ101－x 2d x ＝π4， 所以ʃ10(2＋1－x 2)d x ＝2＋π4. 12．已知f (x )是一次函数，其图象过点(3,4)且ʃ10f (x )d x ＝1，则f (x )的解析式为________． 考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 f (x )＝65x ＋25解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f (x )图象过(3,4)点，∴3a ＋b ＝4.又ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝a ʃ10x d x ＋ʃ10b d x ＝12a ＋b ＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝4，12a ＋b ＝1， 得⎩⎨⎧ a ＝65，b ＝25.∴f (x )＝65x ＋25.三、解答题 13．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ∈[0，2)，4－x ，x ∈[2，3)，52－x 2，x ∈[3，5]，求f (x )在区间[0,5]上的定积分．考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用解 如图画出函数f (x )的图象．由定积分的几何意义得ʃ20x d x ＝12×2×2＝2， ʃ32(4－x )d x ＝12×(1＋2)×1＝32， ʃ53⎝⎛⎭⎫52－x 2d x ＝12×2×1＝1. 所以ʃ50f (x )d x ＝ʃ20x d x ＋ʃ32(4－x )d x ＋ʃ53⎝⎛⎭⎫52－x 2d x ＝2＋32＋1＝92. 四、探究与拓展14．若定积分ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( ) A ．－1B ．0C ．1D ．2 考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 A解析 根据定积分的几何意义知，定积分ʃm －2－x 2－2x d x 的值就是函数y ＝－x 2－2x 的图象与x 轴及直线x ＝－2，x ＝m 所围成的图形的面积．y ＝－x 2－2x 是一个以(－1,0)为圆心，1为半径的半圆，其面积等于π2，而ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，所以m ＝－1. 15.如图所示，抛物线y ＝12x 2将圆x 2＋y 2≤8分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为14＋16π， 求ʃ20⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x . 考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝8，y ＝12x 2， 得x ＝±2.∴阴影部分的面积为ʃ2－2⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x . ∵圆的面积为8π， ∴由几何概型可得阴影部分的面积是8π·⎝⎛⎭⎫14＋16π＝2π＋43. 由定积分的几何意义得，ʃ20⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x ＝12ʃ2－2⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x ＝π＋23.。
1．3.1函数的单调性与导数学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．知识点一函数的单调性与导函数正负的关系思考1观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象及h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．答案从起跳到最高点，h随t的增加而增加，h(t)是增函数，h′(t)>0；从最高点到入水，h(t)是减函数，h′(t)<0.思考2观察图中函数f(x)，填写下表．梳理一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上，(1)如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上单调递增；(2)如果f′(x)<0，则f(x)在该区间上单调递减．知识点二函数图象的变化趋势与导数值大小的关系思考观察下图，填写下表．注：表的最右一列填“平缓”或“陡峭”，函数值变化一栏中填快或慢.梳理一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：类型一导数与单调性的关系命题角度1根据原函数图象确定导函数图象例1已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的()答案 C解析由函数y＝f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：由表可知函数y＝f′(x)的图象，当x∈(－1，b)时，在x轴下方；当x∈(b，a)时，在x轴上方；当x∈(a,1)时，在x轴下方．故选C.反思与感悟对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在该区间内导数值大于零．在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零．根据导数值的正负可判定导函数图象．跟踪训练1设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是()答案 C解析原函数的单调性是当x<0时，增；当x>0时，单调性变化依次为增、减、增．故当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)的符号变化依次为＋、－、＋.故选C.命题角度2 由导函数图象确定原函数图象例2 (1)已知y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能是图中的( )(2)已知f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象只可能是( )答案 (1)C (2)D解析 (1)由f ′(x )>0(f ′(x )<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势．由已知可得x 的取值范围和f ′(x )的正、负，f (x )的增减变化情况如下表所示：由表可知f (x )在(－∞，0)内递增，在(0,2)内递减，在(2，＋∞)内递增，故满足条件的只有C ，故选C.(2)从f ′(x )的图象可以看出，在区间⎝⎛⎭⎫a ，a ＋b 2内，导数递增；在区间⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，b 内，导数递减．即函数f (x )的图象在⎝⎛⎭⎫a ，a ＋b 2内越来越陡峭，在⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，b 内越来越平缓．反思与感悟 通过观察导函数图象，确定导数值正负所在区间，也就确定了增减区间；根据导函数图象的变化，可确定原函数增减快慢．跟踪训练2 已知y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )答案 C解析 当0<x <1时，xf ′(x )<0， ∴f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数； 当x >1时，xf ′(x )>0，∴f ′(x )>0， 故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故选C.类型二 利用导数求函数的单调区间 命题角度1 不含参数的函数求单调区间 例3 求f (x )＝3x 2－2ln x 的单调区间． 解 f (x )＝3x 2－2ln x 的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝6x －2x ＝2(3x 2－1)x＝2(3x －1)(3x ＋1)x ，由x >0，解f ′(x )>0，得x >33. 由x >0，解f ′(x )<0，得0<x <33. ∴函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调递增区间为(33，＋∞)，单调递减区间为(0，33)． 反思与感悟 求函数y ＝f (x )的单调区间的步骤 (1)确定函数y ＝f (x )的定义域． (2)求导数y ′＝f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数． (4)解不等式f ′(x )<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数．跟踪训练3 函数f (x )＝(x 2＋2x )e x (x ∈R )的单调递减区间为____________． 答案 (－2－2，－2＋2) 解析 由f ′(x )＝(x 2＋4x ＋2)e x <0， 即x 2＋4x ＋2<0， 解得－2－2<x <－2＋ 2. 所以f (x )＝(x 2＋2x )e x 的递减区间为 (－2－2，－2＋2)．命题角度2 含参数的函数求单调区间例4 讨论函数f (x )＝12ax 2＋x －(a ＋1)ln x (a ≥0)的单调性．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ax ＋1－a ＋1x ＝ax 2＋x －(a ＋1)x .(1)当a ＝0时，f ′(x )＝x －1x，由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1. ∴f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数． (2)当a >0时，f ′(x )＝a (x ＋a ＋1a)(x －1)x ，∵a >0，∴－a ＋1a<0.由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1. ∴f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．综上所述，当a ≥0时，f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．反思与感悟 (1)讨论参数要全面，做到不重不漏．(2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解． 跟踪训练4 设函数f (x )＝e x －ax －2，求f (x )的单调区间． 解 f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． 若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增； 当a >0时，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．类型三 已知函数的单调性求参数的范围例5 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)解析 由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k ≥1x ，而0<1x <1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞)． 引申探究1．若将本例中条件递增改为递减，求k 的取值范围． 解 ∵f ′(x )＝k －1x，又f (x )在(1，＋∞)上单调递减，∴f ′(x )＝k －1x ≤0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≤1x ，∵0<1x <1，∴k ≤0.即k 的取值范围为(－∞，0]．2．若将本例中条件递增改为不单调，求k 的取值范围． 解 f (x )＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝k －1x .当k ≤0时，f ′(x )<0.∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，故不合题意． 当k >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1k ，只需1k ∈(1，＋∞)，即1k >1，则0<k <1.∴k 的取值范围是(0,1)．反思与感悟 (1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；②先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f (x )是否满足题意．(2)恒成立问题的重要思路 ①m ≥f (x )恒成立⇒m ≥f (x )max ； ②m ≤f (x )恒成立⇒m ≤f (x )min . 跟踪训练5 已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞，12)解析 因为f (x )＝ax ＋1x ＋2，所以f ′(x )＝2a －1(x ＋2)2.由函数f (x )在(－2，＋∞)内单调递减， 知f ′(x )≤0在(－2，＋∞)内恒成立， 即2a －1(x ＋2)2≤0在(－2，＋∞)内恒成立，因此a ≤12. 当a ＝12时，f (x )＝12，此时函数f (x )为常数函数，故a ＝12不符合题意，舍去．故实数a 的取值范围为(－∞，12)．1．设函数f (x )的图象如图所示，则导函数f ′(x )的图象可能为( )答案 C解析 由f (x )的图象可知，函数f (x )的单调递增区间为(1,4)，单调递减区间为(－∞，1)和(4，＋∞)，因此，当x ∈(1,4)时，f ′(x )>0，当x ∈(－∞，1)或x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )<0，结合选项知选C.2．已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )的图象只可能是下列各选项中的( )答案 C解析 ∵导数的正负确定了函数的单调性， ∴从函数f ′(x )的图象可知，令f ′(x )＝0， 得x ＝0或x ＝a (a >0)，∴函数在(－∞，0)上递减，在(0，a )上递增，在(a ，＋∞)上递减，故选C. 3．函数f (x )＝3＋x ·ln x 的单调递增区间是( ) A ．(0，1e )B ．(e ，＋∞)C ．(1e ，＋∞)D ．(1e，e)答案 C解析 f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )>0， 即ln x ＋1>0，得x >1e.故函数f (x )的单调递增区间为(1e，＋∞)．4．已知f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－3，3]解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1， 由题意知在R 上f ′(x )≤0恒成立， 则Δ＝(2a )2－4×(－3)×(－1)≤0， 得－3≤a ≤ 3.5．试求函数f (x )＝kx －ln x 的单调区间． 解 函数f (x )＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝k －1x ＝kx －1x.当k ≤0时，kx －1<0，∴f ′(x )<0， 则f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 当k >0时，由f ′(x )<0，即kx －1x<0， 解得0<x <1k；由f ′(x )>0，即kx －1x >0，解得x >1k .∴当k >0时，f (x )的单调递减区间为(0，1k )，单调递增区间为(1k，＋∞)．综上所述，当k ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)；当k >0时，f (x )的单调递减区间为(0，1k )，单调递增区间为(1k，＋∞)．1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间．课时作业一、选择题1．如图是函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下列判断正确的是( )A ．在区间(－2,1)上，f (x )是增函数B ．在(1,3)上，f (x )是减函数C ．在(4,5)上，f (x )是增函数D ．在(－3，－2)上，f (x )是增函数 答案 C解析 由图知当x ∈(4,5)时，f ′(x )>0，所以在(4,5)上，f (x )是增函数． 2．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )答案 D解析 ∵函数f (x )在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x >0时，f ′(x )<0，当x <0时，f ′(x )<0，故选D.3．函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(0,1)B ．(0,1)∪(－∞，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，＋∞)答案 A解析 ∵y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，∴y ′＝x －1x ，令y ′<0，即x －1x <0，解得0<x <1.故选A.4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x e x C ．y ＝x 3－x D ．y ＝ln x －x答案 B解析 B 项中，y ＝x e x ，y ′＝e x ＋x e x ＝e x (1＋x )， 当x ∈(0，＋∞)时，y ′>0， ∴y ＝x e x 在(0，＋∞)内为增函数．5．已知函数y ＝f (x )的图象是如图四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )答案 B解析 从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，当x ＝0时最大，所以函数f (x )的图象的变化率也先增大后减小，在x ＝0时变化率最大．A 中，在x ＝0时变化率最小，故错误；C 中，变化率是越来越大的，故错误；D 中，变化率是越来越小的，故错误．故选B.6．若f (x )＝ln xx ，e<a <b ，则( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )f (b )>1答案 A解析 由f ′(x )＝1－ln xx 2<0，解得x >e ，∴f (x )在(e ，＋∞)上为减函数， ∵e<a <b ，∴f (a )>f (b )． 二、填空题7．已知函数f (x )＝k e x －1－x ＋12x 2(k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行，则f (x )的单调递减区间为____________． 答案 (－∞，0)解析 f ′(x )＝k e x －1－1＋x .∵曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行， ∴f ′(0)＝k ·e －1－1＝0，解得k ＝e ，故f ′(x )＝e x ＋x －1. 令f ′(x )<0，解得x <0，故f (x )的单调递减区间为(－∞，0)．8．已知函数f (x )＝x 3－ax －1，若f (x )在(－1,1)上单调递减，则a 的取值范围为________． 答案 [3，＋∞)解析 ∵f (x )＝x 3－ax －1，∴f ′(x )＝3x 2－a . 要使f (x )在(－1,1)上单调递减， 则f ′(x )≤0在x ∈(－1,1)上恒成立， 则3x 2－a ≤0，即a ≥3x 2在x ∈(－1,1)上恒成立， 在x ∈(－1,1)上，3x 2<3，即a ≥3， ∴a 的取值范围为[3，＋∞)．9．如图为函数f (x )的图象，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式f ′(x )x<0的解集为________．答案 (－3，－1)∪(0,1) 解析 由图知，当x ∈(－∞，－3)∪(－1,1)时，f ′(x )<0， 当x ∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 故不等式f ′(x )x<0的解集为(－3，－1)∪(0,1)．10．定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，f ′(x )<2，则满足f (x )>2x －1的x 的取值范围是________． 答案 (－∞，1)解析 令g (x )＝f (x )－2x ＋1， 则g ′(x )＝f ′(x )－2<0， 又g (1)＝f (1)－2×1＋1＝0，当g (x )>g (1)＝0时，x <1，∴f (x )－2x ＋1>0， 即f (x )>2x －1的解集为(－∞，1)． 三、解答题11．已知函数f (x )＝2ax －1x 2，x ∈(0,1]．若f (x )在(0,1]上是增函数，求a 的取值范围．解 由已知，得f ′(x )＝2a ＋2x 3.∵f (x )在(0,1]上单调递增，∴f ′(x )≥0，即a ≥－1x 3在(0,1]上恒成立．而g (x )＝－1x 3在(0,1]上是增函数，∴g (x )max ＝g (1)＝－1，∴a ≥－1. 当a ＝－1时，f ′(x )＝－2＋2x 3，对x ∈(0,1]有f ′(x )≥0，∴当a ＝－1时，f (x )在(0,1]上是增函数．综上，若f (x )在(0,1]上为增函数，a 的取值范围是[－1，＋∞)．12．已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图象如图，f (x )＝6ln x ＋h (x )．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间(1，m ＋12)上是单调函数，求实数m 的取值范围．解 (1)由已知，h ′(x )＝2ax ＋b ， 其图象为直线，且过(0，－8)，(4,0)两点， 把两点坐标代入h ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，b ＝－8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－8，∴h (x )＝x 2－8x ＋2，h ′(x )＝2x －8， ∴f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋2.(2)∵f ′(x )＝6x ＋2x －8＝2(x －1)(x －3)x (x >0)．∴当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)， f (x )的单调递减区间为(1,3)．要使函数f (x )在区间(1，m ＋12)上是单调函数，则⎩⎨⎧1<m ＋12，m ＋12≤3，解得12<m ≤52.即实数m 的取值范围为(12，52]．13．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，求实数m 的取值范围． 解 f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ， 由于f (x )是R 上的单调函数， 所以f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立． 由于导函数的二次项系数3>0， 所以只能有f ′(x )≥0恒成立．方法一 由上述讨论可知要使f ′(x )≥0恒成立， 只需使方程3x 2＋2x ＋m ＝0的判别式Δ＝4－12m ≤0， 故m ≥13.经检验，当m ＝13时，只有个别点使f ′(x )＝0，符合题意．所以实数m 的取值范围是m ≥13.方法二 3x 2＋2x ＋m ≥0恒成立，即m ≥－3x 2－2x 恒成立．设g (x )＝－3x 2－2x ＝－3(x ＋13)2＋13，易知函数g (x )在R 上的最大值为13，所以m ≥13.经检验，当m ＝13时，只有个别点使f ′(x )＝0，符合题意．所以实数m 的取值范围是m ≥13.四、探究与拓展14．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )·g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( ) A ．(－3,0)∪(3，＋∞) B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3) 答案 D解析 当x <0时，[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )·g ′(x )>0， 令F (x )＝f (x )g (x )，则当x <0时，F (x )为增函数． ∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，∴F (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )． ∴F (x )为奇函数．故当x >0时，F (x )仍为增函数．根据F (x )＝f (x )g (x )的性质，可作出F (x )的示意图．∴f (x )g (x )<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．15．(1)已知函数f (x )＝ax e kx －1，g (x )＝ln x ＋kx .当a ＝1时，若f (x )在(1，＋∞)上为减函数，g (x )在(0,1)上为增函数，求实数k 的值；(2)已知函数f (x )＝x ＋ax－2ln x ，a ∈R ，讨论函数f (x )的单调区间．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x e kx －1， ∴f ′(x )＝(kx ＋1)e kx ，g ′(x )＝1x ＋k .∵f (x )在(1，＋∞)上为减函数， 则∀x >1，f ′(x )≤0⇔k ≤－1x ，∴k ≤－1.∵g (x )在(0,1)上为增函数，则∀x ∈(0,1)，g ′(x )≥0⇔k ≥－1x ，∴k ≥－1.综上所述，k ＝－1.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝1－a x 2－2x ＝x 2－2x －ax 2.①当Δ＝4＋4a ≤0，即a ≤－1时，得x 2－2x －a ≥0， 则f ′(x )≥0.∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当Δ＝4＋4a >0，即a >－1时， 令f ′(x )＝0，得x 2－2x －a ＝0， 解得x 1＝1－1＋a ，x 2＝1＋1＋a >0. (ⅰ)若－1<a ≤0，则x 1＝1－1＋a ≥0， ∵x ∈(0，＋∞)，∴f (x )在(0,1－1＋a )，(1＋1＋a ，＋∞)上单调递增， 在(1－1＋a ，1＋1＋a )上单调递减．(ⅱ)若a >0，则x 1<0，当x ∈(0,1＋1＋a )时，f ′(x )<0，当x ∈(1＋1＋a ，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴函数f (x )在区间(0,1＋1＋a )上单调递减， 在区间(1＋1＋a ，＋∞)上单调递增．。
习题课 导数的应用学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用．1．函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a ，b )内的函数y ＝f (x )2.求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时，(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值． (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． 3．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上最大值与最小值的求法 (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值．(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.类型一 构造法的应用命题角度1 比较函数值的大小例1 已知定义在⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，且sin x ·f ′(x )>cos x ·f (x )恒成立，则( ) A.2f ⎝⎛⎭⎫π6>f ⎝⎛⎭⎫π4 B.3f ⎝⎛⎭⎫π6>f ⎝⎛⎭⎫π3 C.6f ⎝⎛⎭⎫π6>2f ⎝⎛⎭⎫π4 D.3f ⎝⎛⎭⎫π6<f ⎝⎛⎭⎫π3考点 利用导数研究函数的单调性题点 构造法的应用 答案 D解析 由f ′(x )sin x >f (x )cos x ， 得f ′(x )sin x －f (x )cos x >0， 构造函数g (x )＝f (x )sin x，则g ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos xsin 2x .当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，g ′(x )>0， 即函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， ∴g ⎝⎛⎭⎫π6<g ⎝⎛⎭⎫π3，∴3f ⎝⎛⎭⎫π6<f ⎝⎛⎭⎫π3， 故选D.反思与感悟 用构造法比较函数值的大小关键是构造出恰当的函数，利用函数的单调性确定函数值的大小．跟踪训练1 已知定义域为R 的奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f (x )x <0，若a ＝12 f ⎝⎛⎭⎫12，b ＝－2f ()－2，c ＝⎝⎛⎭⎫ln 12 f ⎝⎛⎭⎫ln 12，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <c <b B ．b <c <a C ．a <b <cD ．c <a <b考点 利用导数研究函数的单调性 题点 构造法的应用 答案 B解析 令g (x )＝xf (x )， 则g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )，∴g (x )是偶函数．g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∵f ′(x )＋f (x )x<0，∴当x >0时，xf ′(x )＋f (x )<0， 当x <0时，xf ′(x )＋f (x )>0.∴g (x )在(0，＋∞)上是减函数． ∵12<ln 2<1<2， ∴g (2)<g (ln 2)<g ⎝⎛⎭⎫12. ∵g (x )是偶函数，∴g (－2)＝g (2)，g ⎝⎛⎭⎫ln 12＝g (ln 2)， ∴g (－2)<g ⎝⎛⎭⎫ln 12<g ⎝⎛⎭⎫12，故选B. 命题角度2 求解不等式例2 已知定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )>f ′(x )，且f (0)＝2，则不等式f (x )<2e x 的解集为( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，2) C ．(0，＋∞)D ．(2，＋∞)考点 利用导数研究函数的单调性 题点 构造法的应用 答案 C解析 设g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x.∵f (x )>f ′(x )，∴g ′(x )<0，即函数g (x )在R 上单调递减． ∵f (0)＝2，∴g (0)＝f (0)＝2， 则不等式等价于g (x )<g (0)． ∵函数g (x )单调递减，∴x >0，∴不等式的解集为(0，＋∞)，故选C.反思与感悟 构造恰当函数并判断其单调性，利用单调性得到x 的取值范围．跟踪训练2 已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，且对任意的x ∈R 都有f ′(x )<13，则不等式f (lg x )>lg x ＋23的解集为________．考点 利用导数研究函数的单调性 题点 构造法的应用 答案 (0,10)解析 ∵f ′(x )<13，∴f ′(x )－13<0，∴f (x )－x ＋23在R 上为减函数．设F (x )＝f (x )－x ＋23，则F (x )在R 上为减函数．∵f (1)＝1，∴F (1)＝f (1)－1＝1－1＝0.由f (lg x )>lg x ＋23，得f (lg x )－lg x ＋23>0，∴F (lg x )>F (1)．∵F (x )在R 上单调递减，∴lg x <1，∴0<x <10， ∴原不等式的解集为(0,10)． 类型二 利用导数研究函数的单调性 例3 已知函数f (x )＝ax －ax－2ln x (a ∈R )．(1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围； (2)讨论函数f (x )的单调区间． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数函数的单调区间解 (1)f ′(x )＝a ＋a x 2－2x ＝ax 2－2x ＋ax 2(x >0)．①当a ≤0时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； ②当a >0时，令g (x )＝ax 2－2x ＋a ， ∵函数f (x )在区间[1，＋∞)上是单调函数， ∴g (x )≥0在区间[1，＋∞)上恒成立， ∴a ≥2xx 2＋1在区间[1，＋∞)上恒成立．令u (x )＝2xx 2＋1，x ∈[1，＋∞)．∵u (x )＝2x ＋1x ≤22x ·1x ＝1，当且仅当x ＝1时取等号． ∴a ≥1.∴当a ≥1时，函数f (x )单调递增．∴实数a 的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞)．(2)由(1)可知：①当a ≤0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ②当a ≥1时，此时函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ③当0<a <1时，由ax 2－2x ＋a ＝0， 解得x ＝1－1－a 2a 或x ＝1＋1－a 2a. ∴函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－a 2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－a 2a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－a 2a ，1＋1－a 2a 上单调递减． 反思与感悟 利用导数研究函数单调性应注意以下几点 (1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间． (2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价． (3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集． (4)求参数的范围时常用到分离参数法．跟踪训练3 设函数f (x )＝ln x ＋x 2－2ax ＋a 2，a ∈R . (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1,3]上不存在单调递增区间，求实数a 的取值范围． 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 存在递增(或递减)区间解 (1)当a ＝2时，f (x )＝ln x ＋x 2－4x ＋4(x >0)， f ′(x )＝1x ＋2x －4＝2x 2－4x ＋1x，令f ′(x )>0，解得x >2＋22或x <2－22，令f ′(x )<0，解得2－22<x <2＋22，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2－22上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，2＋22上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22，＋∞上单调递增．(2)f ′(x )＝1x ＋2x －2a ＝2x 2－2ax ＋1x ，x ∈[1,3]，设g (x )＝2x 2－2ax ＋1，假设函数f (x )在[1,3]上不存在单调递增区间， 必有g (x )≤0，于是⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝3－2a ≤0，g (3)＝19－6a ≤0，解得a ≥196.即实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫196，＋∞. 类型三 函数的极值、最值与导数例4 已知函数f (x )＝2ax －ln(2x )，x ∈(0，e]，g (x )＝ln xx ，x ∈(0，e]，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间和极值； (2)求证：在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12；(3)是否存在实数a ，使f (x )的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由． 考点 导数在最值中的应用 题点 已知最值求参数(1)解 当a ＝1时，f (x )＝2x －ln(2x )，f ′(x )＝2－1x ＝2x －1x ，x ∈(0，e]，当0<x <12时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减；当12<x <e 时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增． 所以f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝1，故f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，12，单调递增区间为⎝⎛⎦⎤12，e ，f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝1，无极大值． (2)证明 令h (x )＝g (x )＋12＝ln x x ＋12，h ′(x )＝1－ln xx 2，x ∈(0，e]，当0<x <e 时，h ′(x )>0，此时h (x )单调递增， 所以h (x )max ＝h (e)＝1e ＋12<1，由(1)知f (x )min ＝1，所以在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.(3)解 假设存在实数a ，使f (x )＝2ax －ln(2x )，x ∈(0，e]有最小值3， f ′(x )＝2a －1x ＝2ax －1x ，x ∈(0，e]，①当a ≤0时，因为x ∈(0，e]， 所以f ′(x )<0，f (x )在(0，e]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (e)＝2a e －ln(2e)＝3， 解得a ＝4＋ln 22e(舍去)，②当0<12a <e ，即a >12e 时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递减，在⎝⎛⎦⎤12a ，e 上单调递增， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12a ＝1－ln 1a ＝3， 解得a ＝e 2，满足条件，③当12a ≥e ，即0<a ≤12e 时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e]上单调递减，所以f (x )min ＝f (e)＝2a e －ln(2e)＝3， 解得a ＝4＋ln 22e(舍去)．综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时，f (x )的最小值为3.反思与感悟 (1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义． (2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f ′(x )的正负．(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者．跟踪训练4 设函数f (x )＝c ln x ＋12x 2＋bx (b ，c ∈R ，c ≠0)，且x ＝1为f (x )的极值点．(1)若x ＝1为f (x )的极大值点，求f (x )的单调区间(用c 表示)； (2)若函数f (x )恰有两个零点，求实数c 的取值范围． 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 解 f ′(x )＝cx ＋x ＋b ＝x 2＋bx ＋c x ，∵x ＝1为f (x )的极值点，∴f ′(1)＝0， ∴f ′(x )＝(x －1)(x －c )x 且c ≠1，b ＋c ＋1＝0.(1)若x ＝1为f (x )的极大值点，∴c >1， 当0<x <1时，f ′(x )>0； 当1<x <c 时，f ′(x )<0； 当x >c 时，f ′(x )>0.∴f (x )的单调递增区间为(0,1)，(c ，＋∞)；单调递减区间为(1，c )． (2)①若c <0，则f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 函数f (x )恰有两个零点，则f (1)<0，即12＋b <0，∴－12<c <0；②若0<c <1，则f (x )极大值＝f (c )＝c ln c ＋12c 2＋bc ，f (x )极小值＝f (1)＝12＋b ，∵b ＝－1－c ，则f (x )极大值＝c ln c ＋12c 2＋c (－1－c )＝c ln c －c －12c 2<0，f (x )极小值＝－12－c ，从而得f (x )只有一个零点；③若c >1，则f (x )极小值＝f (c )＝c ln c ＋12c 2＋c (－1－c )＝c ln c －c －12c 2<0，f (x )极大值＝f (1)＝－12－c ，从而得f (x )只有一个零点．综上，使f (x )恰有两个零点的c 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，0.1．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.43B.73C.83D.163考点 函数极值的综合应用 题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 C解析 由题意可知f (0)＝0，f (1)＝0，f (2)＝0， 可得1＋b ＋c ＝0,8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2， 所以函数的解析式为f (x )＝x 3－3x 2＋2x . f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，由方程3x 2－6x ＋2＝0，可得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－2×23＝83. 2．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意的正数a ，b ，若a <b ，则必有( ) A ．bf (b )≤af (a ) B ．bf (a )≤af (b ) C ．af (a )≤bf (b )D ．af (b )≤bf (a ) 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 构造法的应用 答案 A解析 设g (x )＝xf (x )，x ∈(0，＋∞)， 则g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )≤0，∴g (x )在区间(0，＋∞)上单调递减或g (x )为常函数． ∵a <b ，∴g (a )≥g (b )，即af (a )≥bf (b )，故选A.3．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则m 的取值范围是________．考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案 ⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 解析 f ′(x )＝2x 3－6x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3， 验证可知x ＝3是函数的最小值点， 故f (x )min ＝f (3)＝3m －272，由f (x )＋9≥0恒成立，得f (x )≥－9恒成立， 即3m －272≥－9，∴m ≥32.4．已知函数f (x )＝x (x 2－ax ＋3)．(1)若x ＝13是f (x )的极值点，求f (x )在区间[－1,4]上的最大值与最小值；(2)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 解 (1)由f (x )＝x 3－ax 2＋3x ， 得f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3， 由已知得f ′⎝⎛⎭⎫13＝0，解得a ＝5，∴f (x )＝x 3－5x 2＋3x ，f ′(x )＝3x 2－10x ＋3， 由f ′(x )＝0，解得x ＝13或x ＝3，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴函数f (x )在[－1,4]上的最小值为－9，最大值是1327. (2)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3，由f (x )在[1，＋∞)上单调递增，得3x 2－2ax ＋3≥0，即a ≤32⎝⎛⎭⎫x ＋1x ， 要使上式成立，只要a ≤⎣⎡⎦⎤32⎝⎛⎭⎫x ＋1x min 即可， 设g (x )＝x ＋1x(x ≥1)， 由于g (x )在[1，＋∞)上单调递增，∴g (x )min ＝2，∴a ≤3，即实数a 的取值范围是(－∞，3]．导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用研究导数得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.一、选择题1．函数f (x )＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( )A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2B ．(π，2π) C.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2D ．(2π，3π)考点 函数的单调性与导数的关系题点 利用导数值的正负号判定函数的单调性答案 B解析 f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，若f (x )在某区间内是增函数，只需在此区间内f ′(x )大于或等于0(不恒为0)即可．∴只有选项B符合题意，当x∈(π，2π)时，f′(x)>0恒成立．2．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是() A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21考点利用导数研究函数的极值题点极值存在性问题答案 A解析f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点．3．若函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1的一个极值点为x＝1，则f(x)的极大值为() A．－1 B．－2e－3C．5e－3D．1考点利用导数研究函数的极值题点已知极值求参数答案 C解析由题意知f′(1)＝0，解得a＝－1，∴f′(x)＝(x2＋x－2)e x－1，则函数的极值点为x1＝－2，x2＝1，当x<－2或x>1时，f′(x)>0，函数是增函数，当x∈(－2,1)时，函数是减函数，∴f(x)极大值＝f(－2)＝5e－3.4.已知定义在R上的函数f(x)的图象如图，则x·f′(x)>0的解集为()A．(－∞，0)∪(1,2)B．(1,2)C．(－∞，1)D．(－∞，1)∪(2，＋∞)考点函数的单调性与导数的关系题点 根据单调性确定导数值的正负号答案 A解析 不等式x ·f ′(x )>0等价于当x >0时，f ′(x )>0，即当x >0时，函数单调递增，此时1<x <2；或者当x <0时，f ′(x )<0，即当x <0时，函数单调递减，此时x <0，综上，1<x <2或x <0，即不等式的解集为(－∞，0)∪(1,2)．5．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( ) A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)答案 C解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋b x ＋2≤0，x ∈(－1，＋∞)， 即f ′(x )＝－x 2－2x ＋b x ＋2≤0， 即－x 2－2x ＋b ＝－(x ＋1)2＋1＋b ≤0，∴1＋b ≤0，b ≤－1.6．已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，若关于x 的不等式f (x )－m ≥0在[1，e]上有实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，e 2－2)B ．(－∞，e 2－2]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1] 考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求函数中参数的取值范围答案 B解析 由f (x )－m ≥0得f (x )≥m ，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x 2－1)x， 当x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，此时，函数f (x )单调递增，所以f (1)≤f (x )≤f (e)．即1≤f (x )≤e 2－2，要使f (x )－m ≥0在[1，e]上有实数解，则有m ≤e 2－2.7．定义在R 上的函数f (x )满足f ′(x )>1－f (x )，f (0)＝6，其中f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e x f (x )>e x ＋5(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(3，＋∞)C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(3，＋∞)考点 利用导数研究函数的单调性题点 构造法的应用答案 A解析 不等式e x f (x )>e x ＋5可化为e x f (x )－e x －5>0.设g (x )＝e x f (x )－e x －5，则g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]>0，所以函数g (x )在定义域R 上单调递增．又g (0)＝0，所以g (x )>0的解集为(0，＋∞)．二、填空题8．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递增区间为________________．考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值求参数答案 (－∞，－1)和(1，＋∞)解析 令f ′(x )＝3x 2－3a ＝0，得x ＝±a .由题意得f (a )＝2，f (－a )＝6，得a ＝1，b ＝4.由f ′(x )＝3x 2－3>0，得f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．9．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f (x )＝x ＋sin x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．考点 利用导数研究函数的单调性题点 比较函数值的大小答案 c <a <b解析 f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，因为f ′(x )＝1＋cos x ≥0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数， 因为π2>π－2>1>π－3>0， 所以f (π－2)>f (1)>f (π－3)．即c <a <b .10．若函数f (x )＝4x x 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)答案 (－1,0]解析 f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )>0，得－1<x <1， 即函数f (x )的增区间为(－1,1)．又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥－1，m <2m ＋1，2m ＋1≤1，解得－1<m ≤0.11．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a 的取值范围为________．考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案 [1，＋∞)解析 由f (x )>1，得ax －ln x >1，∵x >1，∴原不等式转化为a >1＋ln x x， 设g (x )＝ln x ＋1x ，得g ′(x )＝－ln x x 2，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，则g (x )在(1，＋∞)上单调递减，则g (x )<g (1)＝1，∵a >1＋ln x x在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≥1. 三、解答题12．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a .(1)求f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．考点 导数在最值问题中的应用题点 求函数的最值解 (1)∵f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9，令f ′(x )<0，解得x <－1或x >3，∴函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，∴f (2)>f (－2)．于是有22＋a ＝20，∴a ＝－2，∴f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2.当x ∈(－1,3)时，f ′(x )>0，∴f (x )在[－1,2]上单调递增．又由于f (x )在[－2，－1)上单调递减，∴f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2,2]上的最大值和最小值，∴f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，即f (x )的最小值为－7.13．已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )． (1)若f (x )在x ＝2时取得极值，求a 的值；(2)求f (x )的单调区间；(3)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3. 考点 利用导数研究函数的单调性题点 利用导数证明不等式(1)解 f ′(x )＝x －a x，因为x ＝2是一个极值点， 所以2－a 2＝0，则a ＝4. 此时f ′(x )＝x －4x ＝(x ＋2)(x －2)x， 因为f (x )的定义域是(0，＋∞)，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)，f ′(x )>0，所以当a ＝4时，x ＝2是一个极小值点，故a ＝4.(2)解 因为f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x， 所以当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a >0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x ＋a )(x －a )x， 所以函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)；单调递减区间为(0，a )．(3)证明 设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ， 则g ′(x )＝2x 2－x －1x， 因为当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0， 所以g (x )在x ∈(1，＋∞)上是增函数，所以g (x )>g (1)＝16>0， 所以当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3. 四、探究与拓展14．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，f (1)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2>0，则不等式x 2f (x )>0的解集是________________．考点 利用导数求函数的单调区间题点 求不等式的解集答案 (－1,0)∪(1，＋∞)解析 令g (x )＝f (x )x(x ≠0)， 则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2. ∵当x >0时，xf ′(x )－f (x )x 2>0，即g ′(x )>0， ∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数．又f (1)＝0，∴g (1)＝f (1)＝0，∴在(0，＋∞)上，g (x )>0的解集为(1，＋∞)．∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴在(－∞，0)上，g (x )<0的解集为(－1,0)．由x 2f (x )>0，得f (x )>0(x ≠0)．又f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)，∴不等式x 2f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．15．设函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax . (1)若f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； (2)当0<a <2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值． 考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数解 (1)已知f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax ， 则f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ，由于函数f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，即导函数在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在函数值大于零的部分， 故f ′⎝⎛⎭⎫23＝－⎝⎛⎭⎫232＋23＋2a >0，即a >－19. 即实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－19，＋∞. (2)已知0<a <2时，f (x )在[1,4]上取到最小值－163，而f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a 的图象开口向下，且对称轴为x ＝12， 则f ′(1)＝－1＋1＋2a ＝2a >0，f ′(4)＝－16＋4＋2a ＝2a －12<0，则必有一点x 0∈[1,4]，使得f ′(x 0)＝0，此时函数f (x )在[1，x 0]上单调递增，在[x 0,4]上单调递减，因为f (1)＝－13＋12＋2a ＝16＋2a >0， 所以f (4)＝－13×64＋12×16＋8a ＝－403＋8a <0. 所以f (4)＝－403＋8a ＝－163，即a ＝1. 此时，由f ′(x 0)＝－x 20＋x 0＋2＝0，得x 0＝2或－1(舍去)，即f (x )在[1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减．所以函数f (x )max ＝f (2)＝103.。
1．3.2函数的极值与导数(一)学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．知识点一函数的极值点和极值思考观察函数y＝f(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值．答案极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)；极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h)．梳理(1)极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．知识点二函数极值的求法与步骤(1)求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，①如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f′(x)>0，在x0的右侧函数单调递减，即f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f′(x)<0，在x0的右侧函数单调递增，即f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数f (x )的极值的步骤 ①确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； ②求方程f ′(x )＝0的根； ③列表；④利用f ′(x )与f (x )随x 的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．1．导数为0的点一定是极值点．( × ) 2．函数的极大值一定大于极小值．( × ) 3．函数y ＝f (x )一定有极大值和极小值．( × ) 4．极值点处的导数一定为0.( × )类型一 求函数的极值点和极值 命题角度1 不含参数的函数求极值 例1 求下列函数的极值． (1)f (x )＝2xx 2＋1－2；(2)f (x )＝ln x x. 考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值问题 解 (1)函数f (x )的定义域为R .f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )↘极小值↗极大值↘由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3；当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1. (2)函数f (x )＝ln xx 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝e.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↗因此，x ＝e 是函数的极大值点，极大值为f (e)＝1e ，没有极小值．反思与感悟 函数极值和极值点的求解步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求方程f ′(x )＝0的根．(3)用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格． (4)由f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，来判断f (x )在这个根处取极值的情况． 特别提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然． 跟踪训练1 求下列函数的极值点和极值． (1)f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；(2)f (x )＝x 2e －x .考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值问题 解 (1)f ′(x )＝x 2－2x －3. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝3，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极大值，且极大值f (－1)＝143，当x ＝3时，函数有极小值，且极小值f (3)＝－6. (2)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x . 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可以看出，当x ＝0时，函数有极小值，且极小值为f (0)＝0. 当x ＝2时，函数有极大值，且极大值为f (2)＝4e －2. 命题角度2 含参数的函数求极值例2 已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，当实数a ≠23时，求函数f (x )的单调区间与极值．考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 含参数求极值问题解 f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x －2a 2＋4a ]e x . 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2a 或x ＝a －2， 由a ≠23知－2a ≠a －2.分以下两种情况讨论： ①若a >23，则－2a <a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在(－∞，－2a )，(a －2，＋∞)上是增函数，在(－2a ，a －2)上是减函数，函数f (x )在x ＝－2a 处取得极大值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a ，函数f (x )在x ＝a －2处取得极小值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2. ②若a <23，则－2a >a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在(－∞，a －2)，(－2a ，＋∞)上是增函数，在(a －2，－2a )上是减函数，函数f (x )在x ＝a －2处取得极大值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2，函数f (x )在x ＝－2a 处取得极小值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a .反思与感悟 讨论参数应从f ′(x )＝0的两根x 1，x 2相等与否入手进行． 跟踪训练2 已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 含参数求极值问题解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1.所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为 y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0，知①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a . 又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0， 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值． 类型二 利用函数的极值求参数例3 (1)已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(0，＋∞) C ．(0,1)D ．(－1,0)(2)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a ＝________，b ＝________. 考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值点求参数 答案 (1)D (2)2 9解析 (1)若a <－1，因为f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，所以f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，－1)上单调递增， 所以f (x )在x ＝a 处取得极小值，与题意不符；若－1<a <0，则f (x )在(－1，a )上单调递增，在(a ，＋∞)上单调递减，从而在x ＝a 处取得极大值．若a >0，则f (x )在(－1，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，与题意不符，故选D. (2)因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数， 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数，所以f (x )在x ＝－1处取得极小值，因此a ＝2，b ＝9. 反思与感悟 已知函数的极值求参数时应注意两点(1)待定系数法：常根据极值点处导数为0和极值两个条件列出方程组，用待定系数法求解． (2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证． 跟踪训练3 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． 考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值点求参数 解 (1)∵f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ， ∴f ′(x )＝ax＋2bx ＋1，∴f ′(1)＝f ′(2)＝0，∴a ＋2b ＋1＝0且a2＋4b ＋1＝0，解得a ＝－23，b ＝－16.(2)由(1)可知f (x )＝－23ln x －16x 2＋x ，且定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1＝－(x －1)(x －2)3x.当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )<0.故x ＝1是函数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点.1.函数f (x )的定义域为R ，它的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，则下面结论错误的是( )A ．在(1,2)上函数f (x )为增函数B ．在(3,4)上函数f (x )为减函数C ．在(1,3)上函数f (x )有极大值D ．x ＝3是函数f (x )在区间[1,5]上的极小值点 考点 函数极值的综合应用 题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 D解析 根据导函数图象知，x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，x ∈(4,5)时，f ′(x )>0.∴f (x )在(1,2)，(4,5)上为增函数，在(2,4)上为减函数，x ＝2是f (x )在[1,5]上的极大值点，x ＝4是极小值点．故选D.2．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值问题 答案 D解析 函数f (x )＝2x ＋ln x 的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝1x －2x2，令f ′(x )＝0，即1x －2x2＝0得，x ＝2，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 因为x ＝2为f (x )的极小值点，故选D.3．函数f (x )＝ax －1－ln x (a ≤0)在定义域内的极值点的个数为________． 考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 判断极值点的个数 答案 0解析 因为x >0，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x ，所以当a ≤0时，f ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立， 所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以f (x )在(0，＋∞)上没有极值点．4．已知曲线f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23是y ＝f (x )的极值点，则a ＋b ＝________. 考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值(点)求参数 答案 －2解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3，f ′⎝⎛⎭⎫23＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝3，43＋43a ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，则a ＋b ＝－2.5．已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值；(2)判断f (x )的单调区间，并求极值．考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值(点)求参数 解 (1)f ′(x )＝2ax ＋bx，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝12， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a ＝12，∴a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)得，f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x ＋1)(x －1)x.又f (x )的定义域为(0，＋∞)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘极小值↗∴f (x )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)． f (x )极小值＝f (1)＝12.1．求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)解方程f ′(x )＝0得方程的根；(4)利用方程f ′(x )＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号；(5)确定函数的极值，如果f ′(x )的符号在x 0处由正(负)变负(正)，则f (x )在x 0处取得极大(小)值．2．已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．一、选择题1．下列函数中存在极值的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝x －e xC ．y ＝2D ．y ＝x 3考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 答案 B解析 对于y ＝x －e x ，y ′＝1－e x ，令y ′＝0，得x ＝0. 在区间(－∞，0)上，y ′>0； 在区间(0，＋∞)上，y ′<0.故x ＝0为函数y ＝x －e x 的极大值点．2．函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e)上的极大值为( ) A ．－e B ．1－e C ．－1D ．0 考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值问题 答案 C解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －1.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，当x ∈(1，e)时，f ′(x )<0， 故f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.3．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是() A．(2,3) B．(3，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，3)考点利用导数研究函数的极值题点已知极值(点)求参数答案B解析因为f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，所以f′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15，所以f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，由f′(x)>0，得x<2或x>3.4．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的图象的一部分如图所示，则()A．f(x)极大值为f(3)，极小值为f(－3)B．f(x)极大值为f(－3)，极小值为f(3)C．f(x)极大值为f(－3)，极小值为f(3)D．f(x)极大值为f(3)，极小值为f(－3)考点函数极值的综合应用题点函数极值在函数图象上的应用答案D解析当x<－3时，y＝xf′(x)>0，即f′(x)<0；当－3<x<3时，f′(x)≥0；当x>3时，f′(x)<0.∴f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(－3)．5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的()A．极大值为427，极小值为0B．极大值为0，极小值为427C．极小值为－427，极大值为0D．极大值为－427，极小值为0考点 函数某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值问题 答案 A解析 f ′(x )＝3x 2－2px －q .由函数f (x )的图象与x 轴切于点(1,0)，得p ＋q ＝1， ∴q ＝1－p ，① 3－2p －q ＝0，②联立①②，解得p ＝2，q ＝－1， ∴函数f (x )＝x 3－2x 2＋x ，则f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝13.当x ≤13时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，当13<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ≥1时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增， ∴f (x )极大值＝f ⎝⎛⎭⎫13＝427， f (x )极小值＝f (1)＝0.故选A.6．设a <b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )的图象可能是( )考点 函数极值的综合应用 题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 C解析 y ′＝(x －a )(3x －a －2b )，由y ′＝0得x 1＝a ，x 2＝a ＋2b 3.当x ＝a 时，y 取得极大值0，当x ＝a ＋2b 3时，y 取得极小值且极小值为负，故选C.7．已知函数f (x )＝e x (sin x －cos x )，x ∈(0,2 017π)，则函数f (x )的极大值之和为( ) A.e 2π(1－e 2 018π)e 2π－1B.e π(1－e 2 016π)1－e 2πC.e π(1－e 1 008π)1－e 2πD.e π(1－e 1 008π)1－e π考点 函数某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值问题 答案 B解析 f ′(x )＝2e x sin x ，令f ′(x )＝0得sin x ＝0， ∴x ＝k π，k ∈Z ，当2k π<x <2k π＋π时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当(2k －1)π<x <2k π时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， ∴当x ＝(2k ＋1)π时，f (x )取到极大值， ∵x ∈(0,2 017π)，∴0<(2k ＋1)π<2 017π， ∴0≤k <1 008，k ∈Z . ∴f (x )的极大值之和为S ＝f (π)＋f (3π)＋f (5π)＋…＋f (2 015π) ＝e π＋e 3π＋e 5π＋…＋e 2 015π＝e π[1－(e 2π)1 008]1－e 2π＝e π(1－e 2 016π)1－e 2π，故选B.二、填空题8．函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________． 考点 函数某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值问题 答案 y ＝－1e解析 令y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ＝0， 得x ＝－1，∴y ＝－1e，∴在极值点处的切线方程为y ＝－1e.9．若函数f (x )＝(x －2)(x 2＋c )在x ＝2处有极值，则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线的斜率为________．考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值(点)求参数 答案 －5解析 ∵函数f (x )＝(x －2)(x 2＋c )在x ＝2处有极值， ∴f ′(x )＝(x 2＋c )＋(x －2)×2x ，令f ′(2)＝0，∴(c ＋4)＋(2－2)×2×2＝0，∴c ＝－4， ∴f ′(x )＝(x 2－4)＋(x －2)×2x .∴函数f (x )的图象在x ＝1处的切线的斜率为 f ′(1)＝(1－4)＋(1－2)×2＝－5. 10．若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为________．考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值(点)求参数 答案 －1解析 函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1， 则f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)·e x －1 ＝e x －1·[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]． 由x ＝－2是函数f (x )的极值点，得f ′(－2)＝e －3·(4－2a －4＋a －1)＝(－a －1)e －3＝0， 所以a ＝－1.所以f (x )＝(x 2－x －1)e x －1， f ′(x )＝e x －1·(x 2＋x －2)．由e x －1>0恒成立，得当x ＝－2或x ＝1时，f ′(x )＝0，且x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点． 所以函数f (x )的极小值为f (1)＝－1.11．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则f (－1)＝________. 考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值(点)求参数 答案 30解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.经检验知，当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )≥0，不合题意．∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，则f (－1)＝30. 三、解答题12．设函数f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 不含参数函数求极值 解 (1)f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由题意知，曲线在x ＝1处的切线斜率为0，即f ′(1)＝0， 从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为单调递减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为单调递增函数．故f (x )在x ＝1处取得极小值，极小值为f (1)＝3.13．已知函数f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－52，求m 的值．考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值(点)求参数解 ∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m )， 令f ′(x )＝0，得x ＝－m 或x ＝23m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－m )－m ⎝⎛⎭⎫－m ，23m23m ⎝⎛⎭⎫23m ，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗∴f (x )有极大值f (－m )＝－m 3＋12m 3＋2m 3－4＝－52，∴m ＝1. 四、探究与拓展14．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )考点 函数极值的综合应用 题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 C解析由题意可得f′(－2)＝0，而且当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，此时xf′(x)>0；排除B，D，当x∈(－2，＋∞)时，f′(x)>0，此时若x∈(－2,0)，xf′(x)<0，若x∈(0，＋∞)，xf′(x)>0，所以函数y＝xf′(x)的图象可能是C.15．已知函数f(x)＝(x2＋ax＋a)e x(a≤2，x∈R)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．考点利用导数研究函数的极值题点已知极值(点)求参数解(1)f(x)＝(x2＋x＋1)e x，f′(x)＝(2x＋1)e x＋(x2＋x＋1)e x＝(x2＋3x＋2)e x.当f′(x)>0时，解得x<－2或x>－1，当f′(x)<0时，解得－2<x<－1，所以函数的单调递增区间为(－∞，－2)，(－1，＋∞)；单调递减区间为(－2，－1)．(2)令f′(x)＝(2x＋a)e x＋(x2＋ax＋a)e x＝[x2＋(2＋a)x＋2a]e x＝(x＋a)(x＋2)e x＝0，得x＝－a或x＝－2.当a＝2时，f′(x)≥0恒成立，函数无极值，故舍去；当a<2时，－a>－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知，f(x)极大值＝f(－2)＝(4－2a＋a)e－2＝3，解得a＝4－3e2<2，所以存在实数a<2，使f(x)的极大值为3，此时a＝4－3e2.。
1．3.3函数的最大(小)值与导数(一)学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．知识点函数的最大(小)值与导数如图为函数y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．思考1观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．答案极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)．思考2结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．梳理(1)函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．函数的最大值不一定是函数的极大值．(√)2．函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得．(×)3．有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．(×)类型一求函数的最值命题角度1利用导数直接求最值例1求下列各函数的最值：(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值解(1)f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故当x＝－1时，f(x)min＝－12；当x＝1时，f(x)max＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2.反思与感悟求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．跟踪训练1求下列函数的最值．(1)f (x )＝x －1e x； (2)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]．考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 解 (1)函数f (x )＝x －1e x 的定义域为R .f ′(x )＝1·e x －e x (x －1)(e x )2＝2－xe x ，当f ′(x )＝0时，x ＝2， 当f ′(x )>0时，x <2， 当f ′(x )<0时，x >2.所以f (x )在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减， 所以f (x )无最小值，且当x ＝2时，f (x )max ＝f (2)＝1e 2.(2)f ′(x )＝12＋cos x ，x ∈[0,2π]，令f ′(x )＝0，得x ＝23π或x ＝43π.因为f (0)＝0，f (2π)＝π，f ⎝⎛⎭⎫23π＝π3＋32，f ⎝⎛⎭⎫43π＝23π－32， 所以当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0， 当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π. 命题角度2 对参数讨论求最值例2 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数． 设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值． 考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求含参数函数的最值 解 因为f (x )＝e x －ax 2－bx －1， 所以g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b ， 又g ′(x )＝e x －2a ，因为x ∈[0,1]，1≤e x ≤e ， 所以：(1)若a ≤12，则2a ≤1，g ′(x )＝e x －2a ≥0，所以函数g (x )在区间[0,1]上单调递增，g (x )min ＝g (0)＝1－b . (2)若12<a <e2，则1<2a <e ，于是当0<x <ln(2a )时，g ′(x )＝e x －2a <0， 当ln(2a )<x <1时，g ′(x )＝e x －2a >0， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减， 在区间[ln(2a )，1]上单调递增， g (x )min ＝g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b . (3)若a ≥e2，则2a ≥e ，g ′(x )＝e x －2a ≤0，所以函数g (x )在区间[0,1]上单调递减， g (x )min ＝g (1)＝e －2a －b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在区间[0,1]上的最小值为1－b ；当12<a <e2时，g (x )在区间[0,1]上的最小值为2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在区间[0,1]上的最小值为e －2a －b .引申探究1．若a ＝1，b ＝－2，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值． 解 因为a ＝1，b ＝－2， g (x )＝f ′(x )＝e x －2x ＋2， 又g ′(x )＝e x －2，令g ′(x )＝0， 因为x ∈[0,1]，解得x ＝ln 2，已知当x ＝ln 2时，函数取极小值，也是最小值，故g (x )min ＝g (ln 2)＝2－2ln 2＋2＝4－2ln 2.2．当b ＝0时，若函数g (x )在区间[0,1]上的最小值为0，求a 的值． 解 当b ＝0时，因为f (x )＝e x －ax 2－1， 所以g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax ，又g ′(x )＝e x －2a ，因为x ∈[0,1]，1≤e x ≤e ， 所以：(1)若a ≤12，则2a ≤1，g ′(x )＝e x －2a ≥0，所以函数g (x )在区间[0,1]上单调递增， g (x )min ＝g (0)＝1，不符合题意． (2)若12<a <e2，则1<2a <e ，于是当0<x <ln(2a )时，g ′(x )＝e x －2a <0， 当ln(2a )<x <1时，g ′(x )＝e x －2a >0， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减， 在区间[ln(2a )，1]上单调递增， g (x )min ＝g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )＝0， 解得a ＝e2不符合题意，舍去．(3)若a ≥e2，则2a ≥e ，g ′(x )＝e x －2a ≤0，所以函数g (x )在区间[0,1]上单调递减， g (x )min ＝g (1)＝e －2a ＝0，解得a ＝e2.反思与感悟 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．跟踪训练2 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )，求f (x )在区间[0,2]上的最大值． 考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求含参数函数的最值 解 f ′(x )＝3x 2－2ax .令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a 3. ①当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增， 从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a . ②当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减， 从而f (x )max ＝f (0)＝0.③当0<2a3<2，即0<a <3时，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎡⎦⎤2a 3，2上单调递增， 从而f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，0<a ≤2，0，2<a <3，综上所述，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，a ≤2，0，a >2.类型二 由函数的最值求参数例3 已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值． 考点 导数在最值问题中的应用 题点 已知最值求参数解 由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾． 求导得f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．①当a >0，且当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值b ，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f (0)＝b ＝3. 又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.反思与感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．跟踪训练3已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k,2]上的最大值是28，求k的取值范围．考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数解∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，∴h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：当x＝－3时，取极大值28；当x＝1时，取极小值－4.而h(2)＝3<h(－3)＝28，如果h(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则k≤－3.1．如图所示，函数f (x )导函数的图象是一条直线，则( )A ．函数f (x )没有最大值也没有最小值B ．函数f (x )有最大值，没有最小值C ．函数f (x )没有最大值，有最小值D ．函数f (x )有最大值，也有最小值 考点 导数在最值问题中的应用 题点 最值与极值的综合应用 答案 C解析 由导函数图象可知，函数f (x )只有一个极小值点1， 即f (x )在x ＝1处取得最小值，没有最大值．2．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是( ) A ．1，－1 B ．1，－17 C ．3，－17D ．9，－19考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 C解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1.又f (－3)＝－27＋9＋1＝－17，f (0)＝1，f (－1)＝－1＋3＋1＝3,1∉[－3,0]． 所以最大值为3，最小值为－17. 3．函数f (x )＝ln xx 的最大值为( )A ．e －1 B ．e C ．e2 D.103考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 A解析 令f ′(x )＝(ln x )′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx 2＝0，解得x ＝e.当x >e 时，f ′(x )<0；当0<x <e 时，f ′(x )>0.f (x )极大值＝f (e)＝1e ，且函数在定义域内只有一个极值，所以f (x )max ＝1e.4．函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 是常数)在区间[－2,2]上有最大值3，则在区间[－2,2]上的最小值为________．考点 导数在最值问题中的应用 题点 已知最值求参数 答案 －37解析 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，由题意知，在区间[－2,2]上，x ＝0是f (x )的最大值点， ∴f (x )max ＝f (0)＝m ＝3.∵f (－2)＝－16－24＋3＝－37，f (2)＝16－24＋3＝－5， ∴f (x )min ＝－37.5．已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16. (1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值． 考点 导数在最值问题中的应用 题点 最值与极值的综合应用解 (1)因为f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b . 由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，故有⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得a ＝1，b ＝－12.(2)令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－2,2)上为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值，f(－2)＝16＋c，f(x)在x2＝2处取得极小值，f(2)＝c －16.由题设条件知16＋c＝28得c＝12.此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4.因此，f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论.一、选择题1．设M ，m 分别是函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值，若M ＝m ，则f ′(x )( )A ．等于0B ．小于0C ．等于1D ．不确定考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求导数答案 A解析 因为M ＝m ，所以f (x )为常数函数，故f ′(x )＝0，故选A.2．函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( )A ．有最大值，无最小值B ．有最大值，也有最小值C ．无最大值，有最小值D ．既无最大值，也无最小值考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 最值存在性问题答案 D解析 f ′(x )＝4x 3－4＝4(x －1)(x 2＋x ＋1)．令f ′(x )＝0，得x ＝1.又x ∈(－1,1)且1∉(－1,1)，∴该方程无解，故函数f (x )在(－1,1)上既无极值也无最值，故选D.3．函数f (x )＝2x ＋1x，x ∈(0,5]的最小值为( ) A ．2B ．3 C.174 D ．22＋12考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值答案 B解析 由f ′(x )＝1x －1x2＝32x －1x 2＝0，得x ＝1， 且当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1,5]时，f ′(x )>0，∴当x ＝1时，f (x )最小，最小值为f (1)＝3.4．若函数f (x )＝a sin x ＋13sin 3x 在x ＝π3处有最值，则a 等于( ) A ．2B ．1 C.233D ．0 考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数答案 A解析 ∵f (x )在x ＝π3处有最值， ∴x ＝π3是函数f (x )的极值点． 又∵f ′(x )＝a cos x ＋cos 3x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π3＝a cos π3＋cos π＝0，解得a ＝2. 5．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a ) 考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值答案 A解析 令F (x )＝f (x )－g (x )，∵f ′(x )<g ′(x )，∴F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0，∴F (x )在[a ，b ]上单调递减，∴F (x )max ＝F (a )＝f (a )－g (a )．6．已知函数f (x )＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于( ) A ．－32B.12 C ．－12D.12或－32考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数答案 C解析 由题意知a <2，令f ′(x )＝－2x －2＝0，则x ＝－1.当a ≤－1时，最大值为4，不符合题意．当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上是减函数，f (a )最大，－a 2－2a ＋3＝154， 解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)． 所以a ＝－12. 7．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是( )A ．15B ．－15C ．10D ．－13 考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求含参数函数的最值答案 D解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3，由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在区间[－1,0)上单调递减，在区间(0,1]上单调递增，∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.又f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为直线x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.二、填空题8．函数f (x )＝4x x 2＋1(x ∈[－2,2])的最大值是________，最小值是________． 考点 导数在最值问题中的应用题点 最值与极值的综合应用答案 2 －2解析 f ′(x )＝4(x 2＋1)－4x ×2x (x 2＋1)2＝4(1－x 2)(x 2＋1)2＝4(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1.由f (－2)＝－85，f (－1)＝－2，f (1)＝2，f (2)＝85， ∴f (x )max ＝2，f (x )min ＝－2.9．已知函数f (x )＝－23x 3＋2ax 2＋3x (a >0)的导数f ′(x )的最大值为5，则在函数f (x )图象上的点(1，f (1))处的切线方程是________．考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数答案 15x －3y －2＝0解析 ∵f ′(x )＝－2x 2＋4ax ＋3＝－2(x －a )2＋3＋2a 2，∴f ′(x )max ＝3＋2a 2＝5，∵a >0，∴a ＝1.∴f ′(x )＝－2x 2＋4x ＋3，f ′(1)＝－2＋4＋3＝5.又f (1)＝－23＋2＋3＝133， ∴所求切线方程为y －133＝5(x －1)．即15x －3y －2＝0.10．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________． 考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12π2e 解析 f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e x cos x ， 当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0， 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数， 故f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝12π2e ，f (x )的最小值为f (0)＝12. 11．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝⎛⎭⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为________．考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数答案 1解析 由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1.令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a， 当0<x <1a时，f ′(x )>0； 当x >1a时，f ′(x )<0. ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.12．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是__________．考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 最值与零点问题答案 (－∞，2ln 2－2]解析 由题意知e x －2x ＋a ＝0有根，即a ＝2x －e x ，令g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝ln 2.而g (x )在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减，∴g (x )max ＝2ln 2－e ln 2＝2ln 2－2，∴a ≤2ln 2－2.三、解答题13．已知函数f (x )＝a ln x －bx 2，a ，b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切． (1)求a ，b 的值；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值．考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值解 (1)f ′(x )＝a x－2bx . 由曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切， 得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －2b ＝0，－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12.(2)由(1)，得f (x )＝ln x －12x 2，定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x. 令f ′(x )>0，得0<x <1，令f ′(x )<0，得x >1，所以f (x )在⎣⎡⎭⎫1e ，1上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值为f (1)＝－12. 四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m 在[0,1]上的最小值为13，则实数m 的值为________．考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数答案 2解析 由f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m ， 可得f ′(x )＝x 2－2x －1，令x 2－2x －1＝0，可得x ＝1±2.当x ∈(1－2，1＋2)时，f ′(x )<0，即函数f (x )在(1－2，1＋2)上是减函数，即f (x )在[0,1]上为减函数，故f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)，所以13－1－1＋m ＝13，解得m ＝2. 15．已知函数f (x )＝ln x ＋a x. (1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值． 考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数解 函数f (x )＝ln x ＋a x的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2， (1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．(2)当x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a <1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，其最小值为f (1)＝a <1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾； ②当a ＝1时，函数f (x )在[1，e]上单调递增，其最小值为f (1)＝1，同样与最小值是32相矛盾； ③当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(a ，e ]上有f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以，函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝ e. ④当a ＝e 时，函数f (x )在[1，e]上有f ′(x )≤0，f (x )单调递减，其最小值为f (e)＝2，这与最小值是32相矛盾； ⑤当a >e 时，显然函数f (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋a e >2，仍与最小值是32相矛盾；综上所述，a 的值为 e.。
