福建省长汀县第一中学2015届高三下学期第一次综合测试理综试题 扫描版含答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）理科综合能力测试一、 选择题1、人体内含有多种多样的蛋白质，每种蛋白质A、都含有20种氨基酸B、都是在细胞内发挥作用C、都具有一定的空间结构D、都能催化生物化学反应2、有一种胰岛素依赖型糖尿病是由于患者体内某种T细胞过度激活为效应T细胞后，选择性地与胰岛B细胞密切接触，导致胰岛B细胞死亡而发病。

下列叙述正确的是：A、这种胰岛素依赖型糖尿病属于自身免疫病B、患者血液中胰岛素水平高于正常生理水平C、效应T细胞将抗原传递给胰岛B细胞致其死亡D、促进T细胞增殖的免疫增强剂可用于治疗该病3、在光合作用中，RuBP羧化酶能催化CO2+C5（即RuBP）→2C3。

为测定RuBP羧化酶的活性，某学习小组从菠菜叶中提取该酶，用其催化C5与14CO2的反应，并检测产物14C3的放射性强度。

下列分析错误的是A、菠菜叶肉细胞内BuBP羧化酶催化上述反应的场所是叶绿体基质B、RuBP羧化酶催化的上述反应需要在无光条件下进行C、测定RuBP羧化酶活性的过程中运用了同位素标记法D、单位时间内14C3生成量越多说明RuBP羧化酶活性越高4、下图为某人工鱼塘食物网及其能量传递示意图（图中数字为能量数值，单位是J.m-2.a-1）。

下列叙述正确的是A、该食物网中最高营养级为第六营养级B、该食物网中第一到第二营养级的能量传递效率为25%C、太阳鱼呼吸作用消耗的能量为1357J.m-2.a-1D、该食物网中的生物与无机环境共同构成一个生态系统5、绿色荧光标记的X染色体DNA探针（X探针），仅能与细胞内的X染色体DNA的一段特定序列杂交，并使该处呈现绿色荧光亮点。

同理，红色荧光标记的Y染色体DNA探针（Y探针）可使Y染色体呈现一个红色荧光亮点。

同时用这两种探针检测体细胞，可诊断性染色体数目是否存在异常。

医院对某夫妇及其流产胎儿的体细胞进行检测，结果如图所示。

下列分析正确的是A、X染色体DNA上必定有一段与X探针相同的碱基序列B、据图分析可知妻子患X染色体伴性遗传病C、妻子的父母至少有一方患有性染色体数目异常疾病D、该夫妇选择生女儿可避免性染色体数目异常疾病的发生6．下列制作铅笔的材料与相应工业不对应的是A．橡皮擦——橡胶工业B．铝合金片——冶金工业C．铝笔芯一—电镀工业D．铅笔漆一—涂料工.业7．下列关于有机化合物的说法正确的是A．聚氯乙烯分子中含碳碳双键B．以淀粉为原料可制取乙酸乙酯C．丁烷有3种同分异构体D．油脂的皂化反应属于加成反应8．下列实验操作正确且能达到相应实验目的的是实验目的实验操作A 称取2.0gNaOH固体先在托盘上各放一张滤纸，然后在右盘上添加2g砝码，左盘上添加NaOH固体B 配制FeCl3溶液将FeCl3固体溶解于适量蒸馏水C 检验溶液中是否含有NH4+去少量试液于试管中，加入NaOH溶液并加热，用湿润的红色石蕊试纸检验产生的气体D 验证铁的吸氧腐蚀将铁钉放入试管中，用盐酸浸没9．纯净物X、Y、Z转化关系如右图所示，下列判断正确的是A．X可能是金属铜B．Y不可能是氢气C．Z可能是氯化钠D．Z可能是三氧化硫10．短周期元紊X、Y、Z、W在元索周期表中的相对位置如右下图所示，其中W原子的质子数是其最外层电子数的三倍，下列说法不正确的是A．原子半径:W>Z>Y>XB．最高价氧化物对应水化物的酸性：X>W>ZC．最简单气态氢化物的热稳定性:Y>X>W>ZD．元素X、Z、W的最高化合价分别与其主族序数相等11．某模拟"人工树叶”电化学实验装置如右图所示，该装置能将H 2O 和CO 2转化 为O 2和燃料(C 3H 8O)。

2015年福建卷理综化学部分7、(2015·福建卷)下列制作铅笔的材料与相应工业不对应的是( ) A．橡皮擦——橡胶工业B．铝合金片——冶金工业C．铝笔芯——电镀工业D．铅笔漆——涂料工业8、(2015·福建卷)下列关于有机化合物的说法正确的是( )A．聚氯乙烯分子中含碳碳双键B．以淀粉为原料可制取乙酸乙酯C．丁烷有3种同分异构体D．油脂的皂化反应属于加成反应9、(2015·福建卷)下列实验操作正确且能达到相应实验目的的是( )实验目的实验操作A 称取2.0gNaOH固体先在托盘上各放一张滤纸，然后在右盘上添加2g砝码，左盘上添加NaOH固体B 配制FeCl3溶液将FeCl3固体溶解于适量蒸馏水C 检验溶液中是否含有NH4+取少量试液于试管中，加入NaOH溶液并加热，用湿润的红色石蕊试纸检验产生的气体D 验证铁的吸氧腐蚀将铁钉放入试管中，用盐酸浸没10、(2015·福建卷)纯净物X、Y、Z转化关系如右图所示，下列判断正确的是( )A．X可能是金属铜B．Y不可能是氢气C．Z可能是氯化钠D．Z可能是三氧化硫11、(2015·福建卷)短周期元素X、Y、Z、W在元素周期表中的相对位置如右下图所示，其中W原子的质子数是其最外层电子数的三倍，下列说法不正确的是( )A．原子半径:W>Z>Y>XB．最高价氧化物对应水化物的酸性：X>W>ZC．最简单气态氢化物的热稳定性:Y>X>W>ZD．元素X、Z、W的最高化合价分别与其主族序数相等12、(2015·福建卷)某模拟"人工树叶”电化学实验装置如右图所示，该装置能将H2O和CO2转化为O2和燃料(C3H8O)。

下列说法正确的是( )A．该装置将化学能转化为光能和电能B．该装置工作时，H＋从b极区向a极区迁移C．每生成1 mol O2，有44 g CO2被还原D．a电极的反应为：3CO2 + 16H＋-18e－= C3H8O+4H2O13、(2015·福建卷)在不同浓度（c)、温度（T)条件下，蔗糖水解的瞬时速率（v）如下表。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）理科综合 物理部分13.如图，一束光经玻璃三棱镜折射后分为两束单色光a 、b ，波长分别为a λ、b λ，该玻璃对单色光a 、b 的折射率分别为n a 、n b ，则A. a b λλ<，n a >n bB. a b λλ>，n a <n bC. a b λλ<，n a <n bD. a b λλ>，n a >n b14.如图，若两颗人造卫星a 和b 均绕地球做匀速圆周运动，a 、b 到地心O 的距离分别为r 1、r 2，线速度大小分别为v 1、v 2，则 A.1221v r v r = B. 1122v r v r = C. 21221()v r v r = D. 21122()v r v r = 15.图为远距离输电示意图，两变压器均为理想变压器，升压变压器T 的原副线圈匝数分别为n 1、n 2，在T 的原线圈两端接入一电压u=U m sinwt 的交流电，若输送电功率为P ，输电线的总电阻为2r ，不考虑其它因素的影响，则输电线上的损失电功率为A. 212()4m U n n rB. 221()4m U n n rC. 22124()()m n P r n UD. 22214()()mn P r n U 16.简谐横波在同一均匀介质中沿x 轴正方向传播，波速为v 。

若某时刻在波的传播方向上，位于平衡位置的两质点a 、b 相距为s ，a 、b 之间只存在一个波谷，则从该时刻起，下列四幅波形图中质点a 最早到达波谷的是17.如图,在竖直平面内，滑到ABC 关于B 点对称，且A 、B 、C 三点在同一水平线上。

若小滑块第一次由A 滑到C ，所用时间为t 1，第二次由C 滑到A ，所用时间为t 2，小滑块两次的初速度大小相同且运动过程始终沿着滑道滑行，小滑块与滑道的动摩擦因素恒定，则A.t 1<t 2B. t 1=t 2C. t 1>t 2D.无法比较t 1、t 2的大小18.如图，由某种粗细均匀的总电阻为3R 的金属条制成的矩形线框abcd ，固定在水平面内且处于方向竖直向下的匀强磁场B 中。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）理科综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分300分，考试时间150分钟。

可能用到的相对原子质量：H —1 C —12 O —16 Al —27 Si —28 Cl —35.5 K —39Fe —56第Ⅰ卷（选择题 共108分）本卷共18小题，每小题6分，共108分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1. 人体内含有多种多样的蛋白质，每种蛋白质（ ）A. 都含有20种氨基酸B. 都是在细胞内发挥作用C. 都具有一定的空间结构D. 都能催化生物化学反应2. 有一种胰岛素依赖型糖尿病是由于患者体内某种T 细胞过度激活为效应T 细胞后，选择性地与胰岛B 细胞密切接触，导致胰岛B 细胞死亡而发病。

下列叙述正确的是（ ）A. 这种胰岛素依赖型糖尿病属于自身免疫病B. 患者血液中胰岛素水平高于正常生理水平C. 效应T 细胞将抗原传递给胰岛B 细胞致其死亡D. 促进T 细胞增殖的免疫增强剂可用于治疗该病3. 在光合作用中，RuBP 羧化酶能催化253CO +C RuBP 2C −−→（即）。

为测定RuBP 羧化酶的活性，某学习小组从菠菜叶中提取该酶，用其催化5C 与142CO 的反应，并检测产物143C 的放射性强度。

下列分析错误的是（ ）A. 菠菜叶肉细胞内BuBP 羧化酶催化上述反应的场所是叶绿体基质B. RuBP 羧化酶催化的上述反应需要在无光条件下进行C. 测定RuBP 羧化酶活性的过程中运用了同位素标记法D. 单位时间内143C 生成量越多说明RuBP 羧化酶活性越高4. 下图为某人工鱼塘食物网及其能量传递示意图（图中数字为能量数值，单位是2.1J m a --）。

下列叙述正确的是（ ）A. 该食物网中最高营养级为第六营养级B. 该食物网中第一到第二营养级的能量传递效率为25%C. 太阳鱼呼吸作用消耗的能量为121 357 J m a --D. 该食物网中的生物与无机环境共同构成一个生态系统5. 绿色荧光标记的X 染色体DNA 探针（X 探针），仅能与细胞内的X 染色体DNA 的一段特定序列杂交，并使该处呈现绿色荧光亮点。

福建省长汀县第一中学2015届高三下学期第一次综合测试数学（理）试题（完卷时间：120分钟；满分：150分）第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．抛物线24y x =的准线方程为A ．1x =-B ．1x =C ．1y =-D ． 1y = 2．命题“R x ∀∈，0x e >”的否定是 A ．x ∀∈R ,0x e ≤B ．x ∃∈R ，0x e ≤C ．x ∃∈R ,0xe > D ．x ∀∈R ,0xe <3．如果执行如图所示的框图，输入如下四个复数： ①12z i =； ②1344z i =-+；③12z i =④12z =， 那么输出的复数是 A ．①B ．②C ．③D ．④4. 用m 、n 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列命题正确的是 A ．若//,m n n ⊂α，则//m α B ．若//m α,n ⊂α，则//m n C ．若,m n n ⊥⊂α，则m ⊥α D ．若,m n ⊥α⊂α，则m n ⊥5. 设随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，则函数2()2f x x x ξ=++不存在零点的概率为 A ．14B ．13C ．12D ．236．在ABC ∆中，点O 在线段BC 的延长线上，且与点C 不重合，若(1)AO xAB x AC =+-，则实数x 的取值范围是A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．()1,0-D ． ()0,17. 如图所示22⨯方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个, 允许重复．若填入A 方格的数字大于 B 方格的数字，则不同的填法共有A ．192种B ．128种C ．96种D ．12种8．函数()2cos()f x x ωϕ=+（0,0ωϕπ><<）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A 、B 分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为则函数()f x 图象的一条对称轴的方程为第7题图第8题图第3题图A ．4x π=B ．2x π=C ．4x =D ． 2x =9. 过双曲线22221x y a b -=（0,0a b >>）的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若T 为线段FP 的中点，则该双曲线的渐近线方程为A ．0x y ±=B ．20x y ±=C ．40x y ±=D ．20x y ±=10. 若将有理数集Q 分成两个非空的子集M 与N ，且满足M N =Q ，M N =∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为有理数集的一个分割．试判断，对于有理数集的任一分割(),M N ，下列选项中，不可能．．．成立的是 A ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素 B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素 C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素 D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）11．sin 47cos13sin13sin 43+的值等于 ．12．函数3()f x x ax =+（R x ∈）在1x =处有极值，则曲线()y f x =在原点处的切线方程是 ．13．在约束条件1,2,10x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩下，目标函数z ax by =+（0,0a b >>）的最大值为1，则ab 的最大值等于 ．14．设函数()()112xf x +-=（Z x ∈）．给出以下三个判断：①()f x 为偶函数；②()f x 为周期函数；③()()11f x f x ++=． 其中正确判断的序号是 （填写所有正确判断的序号）． 15. 一个平面图由若干顶点与边组成，各顶点用一串从1开始的连续．．自然数进行编号，记各边的编号为它的两个端点的编号差的绝对值，若各条边的编号正好也是一串从1开始的连续自然数，则称这样的图形为“优美图”．已知图15是“优美图”，则点A B 、与边a 所对应的三个数分别为 ．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，12a =，点1(,)n n a a +在直线2y x =上． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；第15题图（Ⅱ）若2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T .17．(本小题满分13分)假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5，记此时教室里敞开的窗户个数为X ． （Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y ，求Y 的数学期望．18．(本小题满分13分)如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的上、下顶点分别为A 、B ，已知点B 在直线l ：1y =-上，且椭圆的离心率e =（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PQ y ⊥轴，Q 为垂足， M 为线段PQ 中点，直线AM 交直线l 于点C ，N 为线段BC 的中点，求证：OM MN ⊥．19．(本小题满分14分)如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=．点E F 、分别在边CD CB 、上，点E 与点C 、D 不重合，EF AC ⊥，EF AC O =．沿EF 将△CEF 翻折到△PEF 的位置，使平面PEF ⊥平面ABFED ．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面POA ；（Ⅱ）当PB 取得最小值时，请解答以下问题： （ⅰ）求四棱锥P BDEF -的体积；（ⅱ）若点Q 满足(0)AQ=QP λλ>，试探究：直线OQ 与平面PBD 所成角的大小是否一定大于4π？并说明你的理由．第18题图第19题图20．(本小题满分14分)如图①，一条宽为1km 的两平行河岸有村庄A 和供电站C ，村庄B 与A 、C 的直线距离都是2km ，BC 与河岸垂直，垂足为D ．现要修建电缆，从供电站C 向村庄A 、B 供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元/km 、4万元/km .（Ⅰ）已知村庄A 与B 原来铺设有旧电缆AB ，需要改造，旧电缆的改造费用是0.5万元/km ．现决定利用旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值．（Ⅱ）如图②，点E 在线段AD 上，且铺设电缆的线路为CE 、EA 、EB .若DCE θ∠=（03πθ≤≤），试用θ表示出总施工费用y （万元）的解析式，并求y 的最小值．第20题图21．本题有(1)、(2)、(3)三个选做题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换利用矩阵解二元一次方程组32,423x y x y +=⎧⎨+=⎩．（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ+=．圆的参数方程为1cos ,1sin x r y r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，0r >），若直线l 与圆C 相切，求r 的值．（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知2221a b c ++=（a ，b ，c ∈R ），求a b c ++的最大值．2015届高三数学(理科)试卷参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．） 1. A 2. B 3. D 4. D 5. C 6. A 7. C 8. D 9. B 10. C第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．） 11．12. 30x y += 13. 18 14．①②③ 15. 3、6、3三、解答题（本大题共6小题，共80分．) 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知得12n n a a +=，所以12n na a += 又12a =， 所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， ····················································· 3分 所以1*122()n n n a a n -=⋅=∈N ． ························································································ 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2n n a =，所以2log n nb a n ==， ·············································· 7分 所以11111(1)1n n b b n n n n +==-⋅⋅++， ··············································································· 10分 所以111111111223341n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n =-=++． ······························································································ 13分 17．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）∵X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，(4,0.5)X B ， ······················· 1分 ∴4411(0)216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，41411(1)24P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，42413(2)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，43411(3)24P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 44411(4)216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ·························································································· 6分 ∴X 的分布列为：········································ 7分 （Ⅱ）Y 的所有可能取值为3，4，则··········································································· 8分1(3)(3)4P Y P X ====， ······························································································· 9分3(4)1(3)4P Y P Y ==-==， ························································································· 11分 Y ∴的期望值1315()34444E Y =⨯+⨯=.答：Y 的期望值()E Y 等于154. ···················································································· 13分18．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）依题意，得1b =． ······················································································ 1分∵c e a ==2221a c b -==，∴24a =． ··························································· 3分 ∴椭圆的标准方程为2214x y +=．················································································ 4分（Ⅱ）（法一）证明：设()00,P x y ，00x ≠， 则0(0,)Q y ，且220014x y +=．∵M 为线段PQ 中点， ∴00,2x M y ⎛⎫⎪⎝⎭． ···································································· 5分又()0,1A ，∴直线AM 的方程为002(1)1y y x x -=+．000,1,x y ≠∴≠令1y =-，得00,11x C y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭． ····················································································· 8分又()0,1B -，N 为线段BC 的中点，∴00,12(1)x N y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭． ········································· 9分 ∴0000,122(1)x x NM y y ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭． ··············································································· 10分 ∴22200000000000(1)222(1)44(1)x x x x x OM NM y y y y y y ⎛⎫⋅=-+⋅+=-++ ⎪--⎝⎭ =2220000000()1(1)044(1)x x y y y y y +-+=-++=-．·································· 12分 ∴OM MN ⊥． ··············································································································· 13分（法二）同（法一）得： 00,2x M y ⎛⎫⎪⎝⎭，00,12(1)x N y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭． ········································· 9分 当00y =时，02x =， 此时()()()2,0,1,0,1,1P M N -，∴0OM k =，MN k 不存在，∴OM MN ⊥．························ 10分当00y ≠时，000022OM y y k x x ==， ()()()200000000000002111221221MNy y y x k x x x y x y y y y -------====---，∵1OM MN k k ⋅=-，∴OM MN ⊥ ················································································· 12分 综上得OM MN ⊥． ······································································································· 13分 19．(本小题满分14分)（Ⅰ）证明：∵ 菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥，∴BD AO ⊥， ························································································· 1分 ∵ EF AC ⊥，∴PO EF ⊥． ∵ 平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF 平面ABFED EF =，且PO ⊂平面PEF ，∴ PO ⊥平面ABFED , ······························································································ 2分 ∵ BD ⊂平面ABFED ，∴ PO BD ⊥. ················································································································· 3分 ∵ AOPO O =，∴ BD ⊥平面POA . ····································································································· 4分 （Ⅱ）如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -. ············································· 5分 （ⅰ）设.AOBD H =因为60DAB ∠=︒，所以BDC ∆为等边三角形， 故4BD =，2,HB HC ==.又设PO x =，则OH x =，OA x =-. 所以(0,0,0)O ，(0,0,)P x，,2,0)B x -，故,2,)PB OB OP x x =-=--， ············································································ 6分所以(2PB ==，当x =时，min PB =. 此时PO =OH = ·············································7分 由（Ⅰ）知，PO⊥平面,BFED所以221142)333P BFED BFED V S PO -=⋅⋅=⋅-=四棱锥梯形. ··························· 8分 （ⅱ）设点Q的坐标为(),0,a c ，由（i ）知，OP =A，B，2,0)D -，P . 所以()AQ a c =-，()QP a c =-， ·························································· 9分 ∵AQ=QP λ，∴,a a c cλλ⎧-=-⎪⎨-⎪⎩⇒a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴Q ，∴3(OQ =． ·················· 10分 设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0n PB n BD ⋅=⋅=．∵(3,2,PB =，()0,4,0BD =-，∴20,40y y +-=-=⎪⎩ ，∵[0,]2πθ∈，∴4πθ>．因此直线OQ 与平面PBD 所成的角大于4π，即结论成立． ····································· 14分20.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知可得ABC △为等边三角形. 因为CD AD ⊥，所以水下电缆的最短线路为CD .过D 作DE AB ⊥于E ，可知地下电缆的最短线路为DE 、AB . ······························ 3分又1,2CD DE AB ===， 故该方案的总费用为14220.5⨯+⨯5= …………6分（Ⅱ）因为0,3DCE πθθ⎛⎫∠=≤≤ ⎪⎝⎭所以1,tan ,tan cos CE EB ED AE θθθ====. ·························································· 7分则)113sin 42tan 22cos cos cos y θθθθθ-=⨯+⨯+⨯=⨯+ ·································· 9分令()3sin ,cos g θθθ-=则()()()222cos 3sin sin 3sin 1cos cos g θθθθθθθ-----'== ， ····················· 10分 因为03πθ≤≤，所以0sin θ≤≤， 记001sin ,(0,),33πθθ=∈当10sin 3θ≤<，即0≤0θθ<时，()0g θ'<，当1sin 3θ<≤0θ<θ≤3π时， ()0g θ'>， 所以()0min()g g θθ===，从而y ≥， ·········································· 12分此时0tan ED θ==，因此施工总费用的最小值为（）万元，其中ED = ························ 13分 21．（本小题满分7分） 选修4-2，矩阵与变换解：方程组可写为312423x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ··································································· 2分 系数行列式为32412⨯-⨯=，方程组有唯一解.利用矩阵求逆公式得11131242322-⎛⎫- ⎪⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭， ····························································· 5分 因此原方程组的解为111222331222x y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1,21.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ································ 7分（2）（本小题满分7分） 选修4-4：坐标系与参数方程 解：∵直线l 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ+=，∴直线l 的直角坐标方程为10x y +-=， ································································ 2分又圆C 的普通方程为222(1)(1)x y r -+-=，所以圆心为(1,1)，半径为r . ·················································································· 4分 因为圆心到直线l的距离d ······························································6分。

长汀一中2015届理科综合物理试卷（三）13．如图所示，将两相同的木块a、b置于粗糙的水平地面上，中间用一轻弹簧连接，两侧用细绳固定于墙壁。

开始时a、b均静止。

弹簧处于伸长状态，两细绳均有拉力，a所受摩擦力F fa≠0，b所受摩擦力F fb=0，现将右侧细绳剪断，则剪断瞬间（）A. Ffa大小不变B.F fa方向改变C.F fb仍然为零D. F fa变为零14．如图所示，实线为不知方向的三条电场线，从电场线中M点以相同速度垂直于电场线方向飞出a、b两个带电粒子，运动轨迹如图中虚线所示测（）A．a一定带正电，b一定带负电B．a的速度将减小，b的速度将增加C．a的加速度将减小，b的加速度将增加D．两个带电粒子的动能，一个增大一个减小v竖直上抛的同时，将另一相同质量的小球从距地面15．如图所示，将小球a从地面以初速度处由静止释放，两球恰在处相遇（不计空气阻力）,则 ( )A.两球同时落地B.相遇时两球速度大小相等C.从开始运动到相遇，球动能的减少量等于球动能的增加量D.相遇后的任意时刻，重力对球做功功率和对球做功功率相等16．行星A和B都是均匀球体，其质量之比是1：3，半径之比是1：3，它们分别有卫星a和b，轨道接近各自行星表面，则两颗卫星a和b的周期之比为（）A、 1：27B、 1：9C、 3：1D、 1：317．两个等量异种点电荷位于x轴上，相对原点对称分布，正确描述电势随位置变化规律的是图( )18．如图20图所示，一空间内有磁感应强度大小均为B的两匀强磁场区域以半径为R的圆周为界，圆周内磁场方向垂直纸面向里，圆周外磁场方向垂直纸面向外且范围足够大。

一质量为、电量为的粒子以速度从圆周上的A点正对圆心O进入圆周内磁场，不许粒子重力和空气阻力，已知，粒子经过时间t再次到达A点，则时间至少为（）A． B．C．D．第Ⅱ卷（简答题共192分）必考部分19. (1)读出下面图中游标卡尺与螺旋测微器的读数, 游标卡尺读数为 cm，螺旋测微器读数为 cm。

长汀一中2015届理科综合物理试卷（一）13．放置在光滑地面上的物体在某种力的作用下从静止开始向右运动，如果该物体的速度—时间图象是一条抛物线，如图所示，则下列说法正确的是( ) A ．0～t1内物体做匀加速运动B ．t1时刻物体的速度最大，加速度也最大C ．物体在0～t1内和t1～t2内运动的位移相等D ．物体在0～t1内和t1～t2内运动的速度方向相反14．如图，滑轮固定在天花板上，物块A 、B 用跨过滑轮不可伸长的轻细绳相连接，物块B 静止在水平地面上。

如用f 和N 分别表示水平地面对物块B 的摩擦力和支持力，那么若将物块B 向右移动一小段距离，物块B 仍静止在水平地面上，则（ ）A ．f 、N 都减小B ．f 、N 都增大C ．f 增大，N 减小D ．f 减小，N 增大15．2008年9月我国成功发射了“神州七号”载人飞船。

为了观察“神舟七号“的运行和宇航员仓外活动情况，飞船利用弹射装置发射一颗“伴星“。

伴星经调整后，和”神舟七号”一样绕地球做匀速圆周运动，但比“神舟七号“离地面稍高一些，如图所示，那么（ ）A ．伴星的运行周期比“神舟七号”稍大一些B ．伴星的运行速度比“神舟七号”稍大一些C ．伴星的运行角速度比“神舟七号”稍大一些D ．伴星的向心加速度比“神舟七号”稍大一些16．质量为m 的小球从高H 处由静止开始自由下落，以地面作为零势能面。

当小球的动能和重力势能相等时，重力的瞬时功率为( ) A.2mg gH B.mg gHC.21mg gH D.31mg gH17．6.如图所示电路中，闭合开关S ，将R1的滑动触头向右移动一些，电压表V1、V2的示数变化，下列叙述正确的是（ ） Ａ．V1变小 V2变大 Ｂ．V1变大 V2变小Ｃ．V1变小 V2变小 Ｄ．V1变大 V2变大18．如图所示，虚线a 、b 、c 代表电场中的三个等势面，相邻等势面间的电势差相等，即Uab=Ubc ，实线为一带正电的质点仅在电场力作用下的运动轨迹，P 、Q 是这条轨迹上的两点，据此可知（ ）A ．三个等势面中，a 的电势较高B ．带电质点通过P 点时的电势能较大C ．带电质点通过P 点时的动能较大D ．带电质点通过Q 点时的加速度较大第Ⅱ卷（简答题 共192分） 必考部分 19(18分)．（1）用图甲所示的装置做“验证牛顿第二定律”的实验．①为了验证小车的加速度与其质量的定量关系，必须采用 法。

福建省长汀县第一中学 2015届高三下学期第一次综合测试数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．设全集，a ，，则图中阴影部分表示的集合为A ．B ．C ．D ．3．某校组织班班有歌声比赛，8个评委为某个班级打出的分数如茎叶图所示，则这些数据的中位数是A ．B ．C ．D ．4．执行如图所示程序框图所表达的算法，若输出的值为，则输入的值为A ．B ．C ．D ． 5．若，，且构成等比数列，则A ．有最小值4B ．有最小值4C ．无最小值D ．有最小值2 6．圆在点处的切线方程为A ．B ．C ．D ．7．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是A ．B ．C ．D ．8．设，那么“”是“”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点在直线上，则其渐近线方程为A ．B ．C ．D ．10．已知()21()cos sin cos 02f x x x x ωωωω=⋅->的图象与的图象的两相邻交点间的距离为，要得到的图象，只须把的图象A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位11．已知周期函数的定义域为，周期为2，且当时，．若直线与曲线恰有2个交点，则实数的所有可能取值构成的集合为 A ．或 B ．或 C ．或 D ． 12．如图，在棱长为1的正方体的对角线上任取一点P ，以为球心，为半径作一个球.设，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图象最有可能的是A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置．13．已知向量，，若，则实数等于 ． 14．根据2012年初我国发布的《环境空气质量指数AQI 技术规定（试行）》，AQI 共分为六级：为优，为良，为轻度污染，为中度污染，为重度污染，300以上为严重污染．2015年1月5日出版的《A 市早报》报道了A 市2014年9月份中30天的AQI 统计数据，右图是根据统计数据绘制的频率分布直方图. 根据图中的信息可以得出A 市该月环境空气质量优良的总天数为 ．15．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出它的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面图形的面积为 ．16．对于个互异的实数，可以排成行列的矩形数阵，右图所示的行列的矩形数阵就是其中之一．将个互异的实数排成行列的矩形数阵后，把每行中最大的数选出，记为，并设其中最小的数为；把每列中最小的数选出，记为，并设其中最大的数为. 两位同学通过各自的探究，分别得出两个结论如下： ①和必相等； ②和可能相等； ③可能大于； ④可能大于．以上四个结论中，正确结论的序号是__________________（请写出所有正确结论的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在某次模块水平测试中，某同学对于政治、历史、地理这三个学科每个学科是否能达到优秀水平的概率都为，记政治、历史、地理达到优秀水平的事件分别为、、，未达到优秀水平的事件分别为、、．（Ⅰ）若将事件 “该同学这三科中恰有两科达到优秀水平” 记为，试求事件发生的概率； （Ⅱ）请依据题干信息，仿照（Ⅰ）的叙述，设计一个关于该同学测试成绩情况的事件，使得事件发生的概率大于，并说明理由．18．已知外接圆的半径为，且． （Ⅰ）求边的长及角的大小；（Ⅱ）从圆内随机取一个点，若点取自内的概率恰为，试判断的形状．19．在数列和等比数列中，，，．126126126x x x y y y z zz（Ⅰ）求数列及的通项公式； （Ⅱ）若，求数列的前项和．20．已知长方体中，底面为正方形，面，，，点在棱上，且． （Ⅰ）试在棱上确定一点，使得直线平面，并证明；（Ⅱ）若动点在底面内，且，请说明点的轨迹，并探求长度的最小值．21．已知是中心在坐标原点的椭圆的一个焦点，且椭圆的离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设：、为椭圆上不同的点，直线的斜率为；是满足（）的点，且直线的斜率为．①求的值；②若的坐标为，求实数的取值范围．22．定义域为的函数，其导函数为．若对，均有，则称函数为上的梦想函数． （Ⅰ）已知函数，试判断是否为其定义域上的梦想函数，并说明理由； （Ⅱ）已知函数（，）为其定义域上的梦想函数，求的取值范围；（Ⅲ）已知函数()sin 1h x x ax a =++-（，）为其定义域上的梦想函数，求的最大整数值．参考答案一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．1．B 2．A 3．C 4．B 5．B 6．D7．D 8．B 9．A 10．C 11．C 12．B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分.13．14．15．16．②③三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．解：（Ⅰ）依题意，总的基本事件有“，，，，，，，”，共种，………………2分事件包含的基本事件有“，，”，共种，…4分由于每个基本事件发生的可能性都相等，故事件发生的概率．……6分（Ⅱ）方案一：记“该同学这三科中至少有一科达到优秀水平”的事件为，则事件发生的概率大于.…………8分理由：事件包含的基本事件有“，，，，，，”，共种，……10分由于每个基本事件发生的可能性都相等，所以．……12分方案二：记“该同学参加这次水平测试成绩不全达到优秀水平”的事件为，则事件发生的概率大于.…………8分理由：事件包含的基本事件有“，，，，，，”，共种，……10分由于每个基本事件发生的可能性都相等，故．………12分18．本小题主要考查向量的数量积、几何概型、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等. 满分12分.解：（Ⅰ）依题意1cos2OA OB OA OB AOB⋅=⋅⋅∠=-，………………2分得，又，故，…4分又为等腰三角形，故，…………5分而或12(2)23C AOBππ∠=-∠=．………………6分（Ⅱ）依题意，从圆内随机取一个点，取自内的概率，19．本小题主要考查等比数列、数列通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等. 满分12分.解法一：（Ⅰ）依题意，，………………2分设数列的公比为，由，可知，………3分 由，得，又，则，………4分故nn n n q b b 222111=⋅==--，………5分又由，得．………………6分 （Ⅱ）依题意．………………7分n n n n n S 2)1(2)2(2221201321⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=- ， ①则14322)1(2)2(2221202+⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n n n n S ②……9分①-②得21231122222(1)2(1)212n n n n n S n n +++--=++⋅⋅⋅+--⋅=--⋅-，…………11分即12)2(4+⋅-+-=-n n n S ，故．………………12分解法二：（Ⅰ）依题意为等比数列，则（常数），由，可知，………………2分由，得（常数），故为等差数列，…………4分设的公差为，由，220213=+=+=d d a a ，得， 故．…………6分 （Ⅱ）同解法一．20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分12分. 解：（Ⅰ）取的四等分点，使得，则有平面. 证明如下：………1分因为且，所以四边形为平行四边形，则，………2分 因为平面，平面，所以平面．………4分（Ⅱ）因为,所以点在平面内的轨迹是以为圆心，半径等于2的四分之一圆弧． (6)分因为，面，所以面， ………………7分故EF ==………………8分所以当的长度取最小值时，的长度最小，此时点为线段和四分之一圆弧的交点，………………10分即11523E F E A AF =-=-=，所以EF ==即长度的最小值为．………………12分21．本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分． 解：（Ⅰ）依题意，可设椭圆的方程为（），………………1分由，，得，由，可得，………………3分 故椭圆的方程为．………………4分（Ⅱ）解法一：①由、且存在，得，………………5分由，且存在，得，则222121211222212121y y y y y y k k x x x x x x +--⋅=⋅=+--.………………6分∵，在椭圆上，∴，，………7分 两式相减得，， ∴．………………8分 ②若的坐标为，则，由①可得. 设直线（），由222,1,43y x m y x =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2216123120x mx m -+-=，…… ……9分 所以.∵，∴，. …………10分又由()()22124163120m m ∆=--⋅⋅->，解得，………………11分∴且．………………12分解法二：①设直线（），若，则由满足（，），得，∵直线的斜率存在，∴. ………5分由122,1,43y k x m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22211(43)63120k x k mx m +++-=……(*).……………6分 ∵、，∴. ………7分∵12112()2y y k x x m +=++，满足，∴直线的斜率2121211121214323y y k m k k k x x x x k ++==+=-++， 经化简得. ………9分②若的坐标为，则，由①可得. ………10分 ∴方程(*)可化为2216123120x mx m -+-=，下同解法一.所以．………………8分（Ⅲ），由题意在恒成立，故cos sin 1x a x ax a +>++-，即在上恒成立．①当时，0cos0sin012a ⋅<-+=显然成立；……………9分 ②当时，由可得对任意恒成立. 令cos sin 1()x x F x x -+=，则2(sin cos )(cos sin 1)'()x x x x x F x x --⋅--+=，…10分令)1sin (cos )cos sin ()(+--⋅--=x x x x x x k ，则'()(sin cos )sin()4k x x x x x π=-⋅=⋅-．当时，因为，所以在单调递减； 当时，因为，所以在单调递增．∵，()1044k π=--<， ∴当时，的值均为负数.∵()104k π=-<，， ∴当时，有且只有一个零点，且. ……………11分∴当时，，所以，可得在单调递减； 当时，，所以，可得在单调递增． 则00min 00cos sin 1()()x x F x F x x -+==．…………12分因为，所以00000cos sin 1(sin cos )x x x x x -+=--⋅，min 0000()()sin cos )4F x F x x x x π==--=+．…………13分∵在单调递增，，， ∴，所以01)04x π-<+<，即．又因为，所以的最大整数值为．…………14分。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）理科综合 物理部分13.如图，一束光经玻璃三棱镜折射后分为两束单色光a 、b ，波长分别为a λ、b λ，该玻璃对单色光a 、b 的折射率分别为n a 、n b ，则A. a b λλ<，n a >n bB. a b λλ>，n a <n bC. a b λλ<，n a <n bD. a b λλ>，n a >n b14.如图，若两颗人造卫星a 和b 均绕地球做匀速圆周运动，a 、b 到地心O 的距离分别为r 1、r 2，线速度大小分别为v 1、v 2，则A. 12v v =B. 12v v =C.21221()v r v r = D. 21122()v r v r = 15.图为远距离输电示意图，两变压器均为理想变压器，升压变压器T 的原副线圈匝数分别为n 1、n 2，在T的原线圈两端接入一电压u=U m sinwt 的交流电，若输送电功率为P ，输电线的总电阻为2r ，不考虑其它因素的影响，则输电线上的损失电功率为A. 212()4m U n n rB. 221()4mU n n rC. 22124()()m n P r n U D. 22214()()mn Pr n U 16.简谐横波在同一均匀介质中沿x 轴正方向传播，波速为v 。

若某时刻在波的传播方向上，位于平衡位置的两质点a 、b 相距为s ，a 、b 之间只存在一个波谷，则从该时刻起，下列四幅波形图中质点a 最早到达波谷的是17.如图,在竖直平面内，滑到ABC 关于B 点对称，且A 、B 、C 三点在同一水平线上。

若小滑块第一次由A 滑到C ，所用时间为t 1，第二次由C 滑到A ，所用时间为t 2，小滑块两次的初速度大小相同且运动过程始终沿着滑道滑行，小滑块与滑道的动摩擦因素恒定，则A.t 1<t 2B. t 1=t 2C. t 1>t 2D.无法比较t 1、t 2的大小18.如图，由某种粗细均匀的总电阻为3R 的金属条制成的矩形线框abcd ，固定在水平面内且处于方向竖直向下的匀强磁场B 中。

某某省长汀县第一中学2015届高三下学期第一次综合测试数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若i 是虚数单位，则复数i (2i)⋅+在复平面内所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设全集U =R ，{(3)0}A x x x =+<，{1}B x x =<-，则图中阴影部分表示的集合为A ．(3,1)--B ．(1,0)-C ．[1,0)-D ．(,1)-∞-3．某校组织班班有歌声比赛，8个评委为某个班级打出的分数如茎叶图所示，则这些数据的中位数是A ．84B ．85C ．86D ．87.54．执行如图所示程序框图所表达的算法，若输出的x 值为48，则输入的x 值为 A ．3B ．6C ．8D ．125．若0a >，0b >，且1,,,4a b 构成等比数列，则A ．22a b +有最小值4 B ．a b +有最小值4 C ．22a b +无最小值 D ．a b +有最小值26．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 A ．023=-+y x B ．043=-+y x C ．043=+-y x D ．023=+-y x 7．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是A ．13y x = B ．x x f tan )(-= C ．2()1xf x x =- D ．xx x f 22)(-=-8．设,a b ∈R ，那么“>1a b ”是“>>0a b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一个焦点在直线20x y a --=上，则其渐近线方程为A ．3y x =±B ．33y x =±C ．13y x=± D ．3y x =± 10．已知()21()cos 3sin cos 02f x x x x ωωωω=-⋅->的图象与1y =的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到()y f x =的图象，只须把cos 2y x =的图象A ．向左平移3π个单位B ．向右平移3π个单位C ．向左平移6π个单位D ．向右平移6π个单位11．已知周期函数()f x 的定义域为R ，周期为2，且当11x -<≤时，2()1f x x =-．若直线y x a =-+与曲线()y f x =恰有2个交点，则实数a 的所有可能取值构成的集合为A ．3{|24a a k =+或524k +,k ∈Z } B ．1{|24a a k =-或324k +,k ∈Z } C ．{|21a a k =+或524k +,k ∈Z } D ．{|21a a k =+,k ∈Z }12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1AC 上任取一点P ，以A 为球心，AP 为半径作一个球.设AP x =，记该球面与正方体表面的交线的长度和为()f x ，则函数()f x 的图象最有可能的是A ．BC ．D ．x 123y O x 123y O x123y O x123y O第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置． 13．已知向量(4,)m =a ，(1,2)=-b ，若+=-a b a b，则实数m 等于．14．根据2012年初我国发布的《环境空气质量指数AQI 技术规定（试行）》，AQI 共分为六级：(0,50]为优，(50,100]为良，(100,150]为轻度污染，(150,200]为中度污染，(200,300]为重度污染，300以上为严重污染．2015年1月5日出版的《A 市早报》报道了A 市2014年9月份中30天的AQI 统计数据，右图是根据统计数据绘制的频率分布直方图. 根据图中的信息可以得出A 市该月环境空气质量优良的总天数为．15．一水平放置的平面图形OABC ，用斜二测画法画出它的直观图''''O A B C 如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形OABC 的面积为．16．对于30个互异的实数，可以排成m 行n 列的矩形数阵，右图所示的5行6列的矩形数阵就是其中之一．将30个互异的实数排成m 行n 列的矩形数阵后，把每行中最大的数选出，记为12,,ma a a ⋅⋅⋅，并设其中最小的数为a ；把每列中最小的数选出，记为12,,nb b b ⋅⋅⋅，并设其中最大的数为b .两位同学通过各自的探究，分别得出两个结论如下： ①a 和b 必相等；②a 和b 可能相等； ③a 可能大于b ；④b 可能大于a ．以上四个结论中，正确结论的序号是__________________（请写出所有正确结论的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．在某次模块水平测试中，某同学对于政治、历史、地理这三个学科每个学科是否能达到优秀水平的概率都为12，记政治、历史、地理达到优秀水平的事件分别为1A 、2A 、3A，未126126126x x x y y y z z z达到优秀水平的事件分别为1A 、2A 、3A ．（Ⅰ）若将事件“该同学这三科中恰有两科达到优秀水平”记为M ，试求事件M 发生的概率； （Ⅱ）请依据题干信息，仿照（Ⅰ）的叙述，设计一个关于该同学测试成绩情况的事件N ，使得事件N 发生的概率大于%85，并说明理由．18．已知ABC ∆外接圆O 的半径为1，且12OA OB ⋅=-．（Ⅰ）求AB 边的长及角C 的大小；（Ⅱ）从圆O 内随机取一个点M ，若点M 取自ABC ∆内的概率恰为334π，试判断ABC ∆的形状．19．在数列}{n a 和等比数列}{n b 中，01=a ，23=a ，1*2()n a n b n N +=∈．（Ⅰ）求数列{}n b 及}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若nn n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项和nS ．20．已知长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1D D ⊥面ABCD ，4AB =，12AA =，点E 在棱11C D 上，且13D E =．（Ⅰ）试在棱CD 上确定一点1E ，使得直线1//EE 平面1D DB，并证明；（Ⅱ）若动点F 在底面ABCD 内，且2AF =，请说明点F 的轨迹，并探求EF 长度的最小值．21．已知(0,1)F 是中心在坐标原点O 的椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 的离心率e 为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设：11(,)M x y 、22(,)N x y 为椭圆C 上不同的点，直线MN 的斜率为1k ；A 是满足OM ON OA λ+=（0λ≠）的点，且直线OA 的斜率为2k ．①求12k k ⋅的值；②若A 的坐标为3(,1)2，某某数λ的取值X 围．22．定义域为D 的函数()f x ，其导函数为'()f x ．若对x D ∀∈，均有()'()f x f x <，则称函数()f x 为D 上的梦想函数．（Ⅰ）已知函数()sin f x x=，试判断()f x 是否为其定义域上的梦想函数，并说明理由；（Ⅱ）已知函数()1g x ax a =+-（a ∈R ，(0,)x π∈）为其定义域上的梦想函数，求a 的取值X 围； （Ⅲ）已知函数()sin 1h x x ax a =++-（a ∈R ，[0,]x π∈）为其定义域上的梦想函数，求a 的最大整数值．2015届高三文科数学试题 参考解答及评分标准一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1．B 2．A 3．C 4．B 5．B 6．D 7．D 8．B 9．A 10．C 11．C 12．B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分. 13．2 14．12 15． 16．②③三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．本小题主要考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．解：（Ⅰ）依题意，总的基本事件有“123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ”，共8种，………………2分事件M 包含的基本事件有“123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ”，共3种，…4分由于每个基本事件发生的可能性都相等，故事件M 发生的概率83)(=M P ．……6分（Ⅱ）方案一：记“该同学这三科中至少有一科达到优秀水平”的事件为N ，则事件N 发生的概率大于%85.…………8分 理由：事件N 包含的基本事件有“123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ”，共7种，……10分由于每个基本事件发生的可能性都相等，所以%8587)(>=N P ．……12分方案二：记“该同学参加这次水平测试成绩不全达到优秀水平”的事件为N ，则事件N 发生的概率大于%85.…………8分 理由：事件N 包含的基本事件有“123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ”，共7种，……10分由于每个基本事件发生的可能性都相等，故%8587)(>=N P ．………12分18．本小题主要考查向量的数量积、几何概型、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等. 满分12分.解：（Ⅰ）依题意1cos 2OA OB OA OB AOB ⋅=⋅⋅∠=-，………………2分得1cos 2AOB ∠=-，又0AOB π<∠<，故23AOB π∠=，…4分又AOB ∆为等腰三角形， 故AB =5分而123C AOB π∠=∠=或12(2)23C AOB ππ∠=-∠=．………………6分 （Ⅱ）依题意，从圆O 内随机取一个点，取自ABC ∆内的概率OABCS S P 圆∆=，19．本小题主要考查等比数列、数列通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等. 满分12分.解法一：（Ⅰ）依题意21=b ，8233==b ，………………2分 设数列}{n b 的公比为q ，由120n a n b +=>，可知0q >，………3分由822213=⋅=⋅=q q b b ，得42=q ，又0>q ，则2=q ，………4分故nn n n q b b 222111=⋅==--，………5分又由n a n 221=+，得1-=n a n ．………………6分（Ⅱ）依题意nn n c 2)1(⋅-=．………………7分nn n n n S 2)1(2)2(2221201321⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=-，①则14322)1(2)2(2221202+⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n n n n S ②……9分①-②得21231122222(1)2(1)212n n n n n S n n +++--=++⋅⋅⋅+--⋅=--⋅-，…………11分 即12)2(4+⋅-+-=-n n n S ，故12)2(4+⋅-+=n n n S ．………………12分解法二：（Ⅰ）依题意}{n b 为等比数列，则q b b nn =+1（常数），由120n a n b +=>，可知0q >，………………2分由q n n n n a a a a ==-++++1122211，得q a a n n 21log =-+（常数），故}{n a 为等差数列，…………4分设}{n a 的公差为d ，由01=a ，220213=+=+=d d a a ，得1=d ，故1-=n a n ．…………6分（Ⅱ）同解法一．20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分12分. 解：（Ⅰ）取CD 的四等分点1E ，使得13DE =，则有1//EE 平面1D DB. 证明如下：………1分因为11//D E DE 且11D E DE =，所以四边形11D EE D为平行四边形，则11//D D EE ， (2)分 因为1DD ⊂平面1D DB，1EE ⊄平面1D DB，所以1//EE 平面1D DB．………4分（Ⅱ）因为2AF =,所以点F 在平面ABCD 内的轨迹是以A 为圆心，半径等于2的四分之一圆弧．………………6分 因为11//EE DD ，1D D ⊥面ABCD ，所以1E E ⊥面ABCD ，………………7分故2221114EF E E E F E F =+=+．………………8分所以当1E F的长度取最小值时，EF 的长度最小，此时点F 为线段1AE 和四分之一圆弧的交点，………………10分即11523E F E A AF =-=-=，所以EF ==．即EF12分21．本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）依题意，可设椭圆C 的方程为22221y x a b +=（0a b >>），………………1分由1c =，12c e a ==，得2a =，由222b a c =-，可得23b =，………………3分故椭圆C 的方程为22143y x +=．………………4分（Ⅱ）解法一：①由11(,)M x y 、22(,)N x y 且1k 存在，得21121y y k x x -=-，………………5分由OM ON OA λ+=，0λ≠且2k存在，得21221y y k x x +=+，则222121211222212121y y y y y y k k x x x x x x +--⋅=⋅=+--.………………6分∵11(,)M x y ，22(,)N x y 在椭圆上，∴2211143y x +=，2222143y x +=，………7分两式相减得22222121043y y x x --+=，2221222143y y x x -=--， ∴1243k k ⋅=-．………………8分②若A 的坐标为3(,1)2，则223k =，由①可得12k =-. 设直线:2MN y x m =-+（m ∈R ），由222,1,43y x m y x =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2216123120x mx m -+-=，…………9分所以1234mx x +=.∵OM ON OA λ+=，∴1232x x λ+=，2m λ=. …………10分 又由()()22124163120m m ∆=--⋅⋅->，解得44m -<<，………………11分∴22λ-<<且0λ≠．………………12分 解法二：①设直线1:MN y k x m=+（m ∈R ），若0m =，则120,x x +=由A 满足OM ON OA λ+=（λ∈R ，0λ≠），得0A x =，∵直线OA 的斜率2k 存在，∴0m ≠. ………5分由122,1,43y k x m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22211(43)63120k x k mx m +++-=……(*).……………6分 ∵11(,)M x y 、22(,)N x y ，∴11221643k mx x k +=-+.………7分∵12112()2y y k x x m+=++，A 满足OM ON OA λ+=，∴直线OA 的斜率2121211121214323y y k m k k k x x x x k ++==+=-++，经化简得1243k k ⋅=-. ………9分②若A 的坐标为3(,1)2，则223k =，由①可得12k =-. ………10分 ∴方程(*)可化为2216123120x mx m -+-=，下同解法一.所以1a π≤．………………8分（Ⅲ）a x x h +=cos )('，由题意)()('x h x h >在[0,]x π∈恒成立，故cos sin 1x a x ax a +>++-，即cos sin 1ax x x <-+在[0,]x π∈上恒成立． ①当0x =时，0cos0sin012a ⋅<-+=显然成立；……………9分②当0x π<≤时，由cos sin 1ax x x <-+可得cos sin 1x x a x -+<对任意(]0,x π∈恒成立. 令cos sin 1()x x F x x -+=，则2(sin cos )(cos sin 1)'()x x x x x F x x --⋅--+=，…10分 令)1sin (cos )cos sin ()(+--⋅--=x x x x x x k ， 则'()(sin cos )2sin()4k x x x x x x π=-⋅=⋅-． 当(0,]4x π∈时，因为0)('≤x k ，所以)(x k 在(0,]4π单调递减； 当(,]4x ππ∈时，因为0)('≥x k ，所以)(x k 在(,]4ππ单调递增．∵(0)20k =-<，()104k π=-<， ∴当(0,]4x π∈时，()k x 的值均为负数.∵()1044k π=--<，()0k ππ=>， ∴当(,]4x ππ∈时，()k x 有且只有一个零点0x ，且0(,)4x ππ∈. ……………11分∴当0(0,)x x ∈时，0)(<x k ，所以'()0F x <，可得()F x 在0(0,)x 单调递减； 当0(,)x x π∈时，0)(>x k ，所以'()0F x >，可得()F x 在0(,)x π单调递增． 则00min 00cos sin 1()()x x F x F x x -+==．…………12分 因为0)(0=x k ，所以00000cos sin 1(sin cos )x x x x x -+=--⋅，min 0000()()sin cos )4F x F x x x x π==--=+．…………13分 ∵)(x k 在(,]4ππ单调递增，02)2(<-=ππk ，012)43(>-=πk ， ∴0324x ππ<<，所以01)04x π-<+<，即01()0F x -<<．又因为0()a F x <，所以a 的最大整数值为1-．…………14分。